PRAVOSLAVNA CERKEV. Pravoslavna cerkev ni neka čisto zemeljska ...
Oddelek za izobraževanje regije Vladimir
Oddelek za izobraževanje okrožja Sudogodsky
Mestna izobraževalna ustanova
"Srednja šola Moshok"
«
rešitev enačbe in neenakosti z parameter»
Razvil: Gavrilova G.V.
učiteljica matematike
mou "Moshokskaya povprečje
srednja šola"
letnik 2009
Reševanje enačb in neenačb s parametri
Pojasnilo
Koncept parametra je matematični koncept, ki se pogosto uporablja v šolski matematiki in sorodnih disciplinah.
7. razred - pri preučevanju linearne funkcije in linearne enačbe z eno spremenljivko.
8. razred - pri študiju kvadratnih enačb.
Splošni izobraževalni program šolskega tečaja matematike ne predvideva reševanja problemov s parametri, toda na sprejemnih izpitih na univerzah in Enotnem državnem izpitu iz matematike se pojavljajo problemi s parametri, katerih rešitev študentom povzroča velike težave. Naloge s parametri imajo diagnostično in prognostično vrednost, ki vam omogočajo, da preizkusite znanje o glavnih razdelkih šolskega tečaja matematike, stopnjo logičnega razmišljanja, začetne spretnosti raziskovalnih dejavnosti.
Glavni cilj predmeta je seznaniti študente s splošnimi pristopi k reševanju nalog s parametri, pripraviti študente na način, da bodo uspešno kos nalogam, ki vsebujejo parametre, v atmosferi tekmovalnega izpita.
Reševanje enačbe, določanje števila rešitev, preučevanje enačbe, iskanje pozitivnih korenov, dokazovanje, da enačba nima rešitev itd., so vse različice parametričnih primerov. Zato je nemogoče podati univerzalna navodila za reševanje primerov, v tem predmetu so obravnavani različni primeri z rešitvami. Učna snov je predstavljena po shemi: referenčne informacije, primeri z rešitvami, primeri za samostojno delo, primeri za ugotavljanje uspešnosti obvladovanja snovi.
Reševanje nalog s parametri prispeva k oblikovanju raziskovalnih spretnosti, intelektualnemu razvoju.
Cilji tečaja:
Sistematizirati znanje učencev, pridobljeno v 7. in 8. razredu pri reševanju linearnih in kvadratnih enačb ter neenačb;
Prepoznavanje in razvijanje njihovih matematičnih sposobnosti;
Ustvarite celosten pogled na rešitev linearnih enačb in neenačb, ki vsebujejo parametre;
Ustvarite celosten pogled na reševanje kvadratnih enačb in neenačb, ki vsebujejo parametre;
Poglobiti znanje matematike, ki zagotavlja oblikovanje trajnega zanimanja študentov za predmet;
usposobiti za poklicne dejavnosti, ki zahtevajo visoko matematično kulturo.
Izobraževalni in tematski načrt
|
№ p/p
|
Tema |
Količina ure
|
dejavnosti |
|
1. |
|
|
Delavnica |
|
2. |
Začetne informacije o nalogah s parametrom. |
Seminar |
|
|
3. |
Rešitev linearnih enačb s parametri. |
|
|
|
4. |
Rešitev linearnih neenačb, ki vsebujejo parametre. |
Raziskovalno delo; razvoj spretnosti; samostojno delo. |
|
|
5. |
Kvadratne enačbe. Vietov izrek. |
3 |
Raziskovalno delo; razvoj spretnosti; samostojno delo. |
|
6. |
Uspeh tečaja |
1 |
Zaključno kontrolno delo |
Tema 1. Reševanje linearnih enačb in neenačb, kvadratnih enačb in neenačb, reševanje nalog o uporabi Vieta izreka.
Tema 2. Začetne informacije o nalogah s parametrom.
Koncept parametra. Kaj pomeni "rešiti problem s parametrom"? Glavne vrste nalog s parametrom. Osnovni načini reševanja problemov s parametrom.
Primeri reševanja linearnih enačb s parametrom.
Tema 4. Reševanje linearnih neenačb, ki vsebujejo parametre.
Primeri reševanja linearnih neenačb s parametrom.
Tema 5. Kvadratne enačbe. Vietov izrek.
Primeri reševanja kvadratnih enačb s parametrom.
Didaktično gradivo za izbirni predmet
"Reševanje enačb in
neenakosti s parametrom"
Tema 1. Primeri za to temo.
Tema 2 Primeri, ko so se učenci že srečali s parametri:
Funkcija neposredne sorazmernosti: y \u003d kx (x in y sta spremenljivki; k je parameter, k ≠ 0);
Funkcija obratne sorazmernosti: y \u003d k / x (x in y sta spremenljivki, k je parameter, k ≠ 0)
Linearna funkcija: y \u003d kx + b (x in y sta spremenljivki; k in b sta parametra);
Linearna enačba: ax + b = 0 (x je spremenljivka; a in b sta parametra);
Kvadratna enačba ax 2 + bx + c \u003d 0 (x je spremenljivka; a, b in c so parametri,
Kaj je parameter?
Če v enačbi ali neenakosti nekateri koeficienti niso nadomeščeni z določenimi številskimi vrednostmi, ampak so označeni s črkami, se imenujejo parametri, enačba ali neenakost pa je parametrična.
Parametre običajno označujemo s prvimi črkami latinice: a, b, c, ... ali a 1, a 2, a 3, ..., neznane pa z zadnjimi črkami latinice x, y, z, ... Te oznake niso obvezne, če pa v pogoju ni navedeno, katere črke so parametri in katere neznane-
mi, potem se uporabi naslednji zapis.
Na primer, rešite enačbo (4x - sekira) a \u003d 6x - 10. Tukaj je x neznanka in a je parameter.
Kaj pomeni "rešiti problem s parametrom"?
Rešiti problem s parametrom pomeni za vsako vrednost parametra a najti vrednost x, ki zadosti temu problemu, tj. odvisno od vprašanja v problemu.
Reševanje enačbe ali neenačbe s parametri pomeni:
Ugotovite, za katere vrednosti parametrov obstaja rešitev;
Za vsak dopusten sistem vrednosti parametrov poiščite ustrezen niz rešitev.
Katere so glavne vrste nalog s parametrom?
Vrsta 1. Enačbe, neenačbe, ki jih je treba rešiti za katero koli vrednost parametra ali za vrednosti parametrov, ki pripadajo vnaprej določenemu nizu. Ta vrsta naloge je osnovna pri obvladovanju teme "Problemi s parametri".
Vrsta 2. Enačbe, neenačbe, za katere je potrebno določiti število rešitev glede na vrednost parametra.
Vrsta 3. Enačbe, neenačbe, za katere je treba najti vse tiste vrednosti parametra, za katere imajo navedene enačbe in neenačbe dano število rešitev (zlasti nimajo ali imajo neskončno število rešitev). Problemi tipa 3 so v nekem smislu inverzni problemi tipa 2.
Vrsta 4. Enačbe, neenačbe, pri katerih za želene vrednosti parametra množica rešitev izpolnjuje dane pogoje v domeni definicije.
Na primer, poiščite vrednosti parametrov, za katere:
1) enačba je izpolnjena za katero koli vrednost spremenljivke iz danega intervala;
2) množica rešitev prve enačbe je podmnožica množice rešitev druge enačbe in tako naprej.
Osnovni načini reševanja problemov s parametrom.
Metoda 1. (analitična) Ta metoda je tako imenovana direktna rešitev, ki ponavlja standardne metode iskanja odgovora v problemih brez parametra.
Metoda 2. (grafični) Glede na nalogo se grafike obravnavajo v koordinatni ravnini (x; y) ali v koordinatni ravnini (x; a).
Metoda 3. (Odločitev o parametru) Pri reševanju te metode se spremenljivki x in a vzameta kot enaki in izberemo spremenljivko, glede na katero je analitična rešitev prepoznana kot enostavnejša. Po naravnih poenostavitvah se vrnemo k prvotnemu pomenu spremenljivk x in a ter dopolnimo rešitev.
Komentiraj. Bistven korak pri reševanju problemov s parametri je zapis odgovora. To še posebej velja za tiste primere, kjer se zdi, da se rešitev "razveja" glede na vrednosti parametrov. V takih primerih je pisanje odgovora zbirka predhodno pridobljenih rezultatov. In tukaj je zelo pomembno, da v odgovoru ne pozabite odražati vseh stopenj rešitve.
Razmislite o primerih. 2.1. Primerjaj -a in 5a.
rešitev. Upoštevati je treba tri primere: če je 5a;
če je a = 0, potem je –a = 5a;
če je a > 0, potem -a
Odgovori. S 5a; pri a \u003d 0, -a \u003d 5a; za a > 0, -a
Rešite enačbo ax = 1.
Če je a ≠ 0, potem je x = 1 / a.
Odgovori. Za a = 0 ni rešitev; pri a ≠ 0, x = 1 / a.
Primerjaj z in - 7s.
Rešite enačbo cx = 10
Tema 3.
Linearne enačbe
Enačbe oblike
kjer a, c - pripadajo nizu realnih števil in x - neznana, se imenuje linearna enačba glede na x.
Shema za študij linearne enačbe (1).
1. Če je a ≠ 0, je b poljubno realno število. Enačba ima edinstveno rešitev x = v/a.
2. Če je a=0, b=0, bo enačba v obliki 0 ∙ x = 0, rešitev enačbe bo množica vseh realnih števil.
3. Če je a=0, в ≠ 0, potem enačba 0 ∙ x = в nima rešitev.
Komentiraj. Če linearna enačba ni predstavljena v obliki (1), jo morate najprej prenesti v obliko (1) in šele nato opraviti študijo.
Primeri. 3.1 Rešite enačbo (a -3) x \u003d b + 2a
Enačba je zapisana v obliki (1).
Rešitev: Če je a ≠ 3, ima enačba rešitev x = b + 2a / a-3 za kateri koli c.
To pomeni, da je edina vrednost a, za katero morda ni rešitev enačbe, a = 3. V tem primeru ima enačba (a -3) x \u003d b + 2a obliko
0 ∙ x \u003d b + 6. (2)
Če je ≠ - 6, potem enačba (2) nima rešitev.
Če je a = - 6, potem je vsak x rešitev (2).
Zato je β = - 6 edina vrednost parametra β, za katero ima enačba (1) rešitev za kateri koli a (x=2 za a ≠ 3 in x pripada množici realnih števil za a=3).
Odgovor: in = -6.
3.2. Rešite enačbo 3(x-2a) = 4(1-x).
3.3. Reši enačbo 3/kx-12=1/3x-k
3.4. Rešite enačbo (a 2 -1)x \u003d a 2 - a -2
3.5. Rešite enačbo x 2 + (2a +4)x + 8a + 1 \u003d 0
Samostojno delo.
Možnost 1. Rešite enačbe: a) v + 2 = - 1;
b) (a - 1) x = a - 2;
c) (a 2 - 1) x - a 2 + 2a - 1 \u003d 0.
Možnost 2. Rešite enačbe: a) - 8 = v + 1;
b) (a + 1) x = a - 1;
c) (9a 2 - 4) x - 9a 2 + 12a - 4 = 0.
Tema 4.
Linearne neenačbe s parametrom
neenakosti
sekira > v, ah
kjer sta a, c izraza, odvisna od parametrov, in x je neznanka, imenujemo linearne neenačbe s parametri.
Rešiti neenačbo s parametri pomeni najti niz rešitev neenakosti za vse vrednosti parametrov.
Shema za reševanje neenačbe aX > c.
Če je a > 0, potem je x > b/a.
Če
Če je a = 0, ima neenakost obliko 0 ∙ x > c. Pri ≥ 0 neenačba nima rešitev; pri noter
Primeri. 4.1. Rešite neenačbo a(3x-1)>3x - 2.
Rešitev: a (3x-1)> 3x - 2, torej 3x (a-1)> a-2.
Razmislimo o treh primerih.
a=1, je rešitev 0 ∙ x > -1 poljubno realno število.
a > 1, 3x (a-1) > a-2, torej x > a-2/3 (a-1).
a-2 pomeni x
2ax +5 > a+10x.
(a + 1)x - 3a + 1 ≤ 0.
X 2 + sekira +1 > 0.
Samostojno delo.
Možnost 1. Rešite neenačbe: a) ( a– 1) x ≤ a 2 – 1;
b) 3x-a > ah - 2.
Možnost 2. Rešite neenačbe: a) (a - 1) x – 2а +3 ≥ 0;
b) ah-2v
Tema 5.
Kvadratne enačbe, ki vsebujejo parametre. Vietov izrek.
Vrsta enačbe
sekira 2 + in + c \u003d 0, (1)
kjer so a, b, c izrazi, ki so odvisni od parametrov, a ≠ 0, x je neznanka, imenujemo kvadratna enačba s parametri.
Shema za preučevanje kvadratne enačbe (1).
Če je a = 0, potem imamo linearno enačbo v x + c = 0.
Če je a ≠ 0 in je diskriminanta enačbe D = v 2 - 4ac
Če je a ≠ 0 in D \u003d 0, potem ima enačba edinstveno rešitev x \u003d - b / 2a ali, kot pravijo, sovpadajoče korenine x 1 \u003d x 2 \u003d - B / 2a.
Če je a ≠ 0 in D > 0, ima enačba dva različna korena X 1,2 = (- V ± √D) / 2a
Primeri. 5.1. Za vse vrednosti parametra a rešite enačbo
(a - 1)x 2 - 2ax + a + 2 = 0.
rešitev. 1. a - 1 = 0, tj. a \u003d 1. Potem bo enačba v obliki -2x + 3 \u003d 0, x \u003d 3 / 2.
2. a ≠ 1. Poiščite diskriminant enačbe D \u003d 4a 2 - 4 (a - 1) (a + 2) \u003d - 4a + 8.
Možni so primeri: a) D 8, a > 2. Enačba nima
b) D = 0, tj. -4a + 8 = 0, 4a = 8, a = 2. Enačba ima eno
koren x \u003d a / (a - 1) \u003d 2 / (2 - 1) \u003d 2.
c) D > 0, tj. -4a + 8 > 0,4a
koren x 1,2 \u003d (2a ± √ -4a + 8) / 2 (a - 1) \u003d (a ± √ 2 - a) / (a - 1)
Odgovori. Ko je \u003d 1 x \u003d 3 / 2;
ko je \u003d 2 x \u003d 2;
za a>2 ni korenin;
Za vse vrednosti parametrov rešite enačbe:
sekira 2 + 3ax - a - 2 \u003d 0;
sekira 2 + 6x - 6 \u003d 0;
v 2 - (v + 1) x +1 \u003d 0;
(in + 1) x 2 - 2x + 1 - in \u003d 0.
Samostojno delo.
1. možnost. Rešite enačbo ax 2 - (a + 3) x + 3 = 0.
Možnost 2. Rešite enačbo a 2 + (a + 1) x + 2a-4 \u003d 0.
Naloge.
. Poiščite vse vrednosti parametra a, za katere velja kvadratna enačba
rešitev. Ta enačba je kvadratna, torej
a – 1 ≠ 0, tj. a ≠ 1. Poiščite diskriminanco D = 4(2a + 1) 2 - 4(a - 1)(4a + 3) =
4(4a 2 + 4a + 1 - 4a 2 + a + 3) = 4(5a + 4).
Imamo: 1) Za a ≠ 1 in D > 0, tj. 4(5a + 4) > 0 in > - 4/5 ima enačba dva
različne korenine.
2) Ko je a ≠ 1 in D
3) Ko je a ≠ 1 in D = 0, tj. a = - 4/5 enačba ima en koren.
Odgovori. Če je a > - 4/5 in a ≠ 1, ima enačba dva različna korena;
če je a \u003d - 4/5, ima enačba en koren.
.Za katere vrednosti parametra a ima enačba (a + 6)x 2 + 2ax +1 = 0 enolično rešitev?
.Za katere vrednosti parametra a enačba (a 2 - a - 2) x 2 + (a + 1) x + 1 \u003d 0 nima rešitev?
.Za katere vrednosti parametra a ima enačba ax 2 - (2a + 3) x + a + 5 \u003d 0 dva različna korena?
Samostojno delo.
Možnost 1. Poiščite vse vrednosti parametrov a, za katero velja kvadratna enačba (2 a – 1)X 2 +2X– 1 = 0 ima dva različna korena; nima korenin; ima eno korenino.
Možnost 2.. Poiščite vse vrednosti parametra a, za katere velja kvadratna enačba (1 - a)X 2 +4X– 3 = 0 ima dva različna korena; nima korenin; ima eno korenino.
Vietov izrek.
Pri reševanju številnih problemov, povezanih s kvadratnimi enačbami, ki vsebujejo parametre, se uporabljajo naslednji izreki.
Vietov izrek.Če so x 1, x 2 korenine kvadratne enačbe ax 2 + in + c \u003d 0, a≠0, potem x 1 + x 2 \u003d - B / a in x 1 ∙ x 2 \u003d C / a .
1. izrek. Da so korenine kvadratnega trinoma ax 2 + in + c realne in imajo enake predznake, je potrebno in zadostno izpolniti naslednje pogoje: D = in 2 - 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C / A > 0.
V tem primeru bosta oba korena pozitivna, če je x 1 + x 2 \u003d - B / a > 0, oba korena pa negativna, če je x 1 + x 2 \u003d - B / a
2. izrek. Da bi bili koreni kvadratnega trinoma ax 2 + in + c realni in obe nenegativni ali obe nepozitivni, je potrebno in zadostno izpolniti naslednje pogoje: D = in 2 - 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C / a ≥ 0.
V tem primeru bosta oba korena nenegativna, če je x 1 + x 2 \u003d - B / a ≥ 0, oba korena pa nepozitivna, če je x 1 + x 2 \u003d - B / a ≤ 0.
Izrek 3. Da so korenine kvadratnega trinoma ax 2 + inx + c realne in imajo različne predznake, je potrebno in zadostno izpolnjevanje naslednjih pogojev: x 1 ∙ x 2 = C / a V tem primeru velja pogoj D = v 2 - 4ac > 0 je samodejno izpolnjeno.
Opomba. Ti izreki igrajo pomembno vlogo pri reševanju problemov, povezanih s preučevanjem predznakov korenin enačbe ax 2 + bx + c = 0.
Uporabne enakosti: x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2, (1)
x 1 3 + x 2 3 \u003d (x 1 + x 2) (x 1 2 - x 1 x 2 + x 2 2) \u003d (x 1 + x 2) ((x 1 + x 2) 2 - 3x 1 x 2), (2)
(x 1 - x 2) 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 4x 1 x 2, (3)
(5)
5.10.
(a - 1)x 2 - 2ax + a +1 = 0 ima: a) dva pozitivna korena; b) dva negativna korena; c) koreni različnih predznakov?
rešitev. Enačba je kvadratna, torej a ≠ 1. Po izreku Vieta imamo
x 1 + x 2 \u003d 2a / (a - 1), x 1 x 2 \u003d (a + 1) / (a - 1).
Izračunajmo diskriminanco D = 4a 2 - 4(a - 1)(a + 1) = 4.
a) Po izreku 1 ima enačba pozitivne korene, če
D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 > 0, tj. (a + 1) / (a - 1) > 0, 2a / (a - 1) > 0.
Zato je a (-1; 0).
b) Po izreku 1 ima enačba negativne korene, če
D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 0, 2a / (a - 1)
Zato je a (0; 1).
c) Po izreku 3 ima enačba korene različnih predznakov, če je x 1 x 2
(a + 1) / (a - 1) Odgovor. a) ko je a (-1; 0), ima enačba pozitivne korenine;
b) ko je a (0; 1) ima enačba negativne korenine;
c) ko je (-1; 1) ima enačba korenine različnih predznakov.
5.11.
Pri katerih vrednostih parametra a kvadratna enačba
(a - 1) x 2 - 2 (a + 1) x + a + 3 \u003d 0 ima: a) dva pozitivna korena; b) dva negativna korena; c) koreni različnih predznakov?
5. 12. Brez reševanja enačbe 3x 2 - (c + 1) x - 3c 2 + 0 poiščite x 1 -1 + x 2 -1, kjer sta x 1, x 2 korena enačbe.
5.13. Pri katerih vrednostih parametra a ima enačba x 2 - 2 (a + 1) x + a 2 \u003d 0 korenine, katerih vsota kvadratov je 4.
Test.
Možnost 1. 1. Rešite enačbo (a 2 + 4a) x \u003d 2a + 8.
2. Rešite neenačbo (in + 1)x ≥ (in 2 - 1).
3. Za katere vrednosti parametra a enačba
x 2 - (2a + 1) x + a 2 + a - 6 \u003d 0 ima: a) dva pozitivna korena; b) dva negativna korena; c) koreni različnih predznakov?
Možnost 2. 1. Rešite enačbo (a 2 - 2a) x = 3a.
2. Rešite neenačbo (a + 2) x ≤ a 2 - 4.
3. Pri katerih vrednostih parametra v enačbi
x 2 - (2v - 1) x + v 2 - t - 2 \u003d 0 ima: a) dva pozitivna korena; b) dva negativna korena; c) koreni različnih predznakov?
Literatura.
V.V. Mochalov, V.V. Silvestrov. Enačbe in neenačbe s parametri. Ch .: Založba ChSU, 2004. - 175 str.
Yastrebinsky G.A. Naloge s parametri. M.: Razsvetljenje, 1986, - 128 str.
Bashmakov M.I. Algebra in začetki analize. Učbenik za 10.-11. razred srednje šole. M.: Razsvetljenje, 1991. - 351 str.
T. Peskova. Prvo seznanitev s parametri v enačbah. Izobraževalni in metodični časopis "Matematika". št. 36, 1999.
T. Kosjakova. Rešitev linearnih in kvadratnih neenačb, ki vsebujejo parametre. 9 celic Izobraževalni in metodični časopis "Matematika".Št. 25 - 26, št. 27 - 28. 2004.
T. Goršenina. Naloge s parametrom. 8 celic Izobraževalni in metodični časopis "Matematika". št. 16. 2004.
Š. Ciganov. Kvadratni trinomi in parametri. Izobraževalni in metodični časopis "Matematika". št. 5. 1999.
S. Nedelyaeva. Značilnosti reševanja problemov s parametrom. Izobraževalni in metodični časopis "Matematika". št. 34. 1999.
Državna proračunska izobraževalna ustanova
Srednje splošno izobraževanje Samarske regije
šola številka 2 im. V. Maskina železnica Umetnost. Klyavlino
občinski okraj Klyavlinsky
regija Samara
«Enačbe
in
neenakosti
s parametri"
vadnica
Klyavlino
Vadnica
"Enačbe in neenačbe s parametri" za učence 10.-11
ta priročnik je dodatek k programu izbirnega predmeta "Enačbe in neenačbe s parametri", ki je opravil zunanji preizkus (znanstveni in metodološki strokovni svet Ministrstva za izobraževanje in znanost Samarske regije z dne 19. decembra 2008 je bil priporočen za uporabo v izobraževalnih ustanovah Samarske regije)
Avtorji
Romadanova Irina Vladimirovna
Učiteljica matematike, srednje splošno izobraževanje Klyavlinskaya
šola številka 2 jim. V. Maskina, okrožje Klyavlinsky, regija Samara
Serbaeva Irina Alekseevna
Uvod………………………………………………………………3-4
Linearne enačbe in neenačbe s parametri……………..4-7
Kvadratne enačbe in neenačbe s parametri……………7-9
Ulomke racionalnih enačb s parametri……………..10-11
Iracionalne enačbe in neenačbe s parametri……11-13
Trigonometrične enačbe in neenačbe s parametri.14-15
Eksponentne enačbe in neenačbe s parametri………16-17
Logaritemske enačbe in neenačbe s parametri ...... 16-18
Naloge enotnega državnega izpita…………………………………………………………...18-20
Naloge za samostojno delo…………………………...21-28
Uvod.
Enačbe in neenačbe s parametri.
Če v enačbi ali neenačbi nekateri koeficienti niso podani s posebnimi številskimi vrednostmi, ampak so označeni s črkami, se imenujejo parametri, in sama enačba ali neenakost parametrični.
Če želite rešiti enačbo ali neenačbo s parametri, morate:
Označite poseben pomen- to je vrednost parametra, v katerem ali pri prehodu skozi katerega se spremeni rešitev enačbe ali neenakosti.
Določite dovoljene vrednosti so vrednosti parametrov, pri katerih je enačba ali neenakost smiselna.
Reševanje enačbe ali neenačbe s parametri pomeni:
1) ugotovite, pri katerih vrednostih parametrov obstajajo rešitve;
2) za vsak dopusten sistem vrednosti parametrov poiščite ustrezen niz rešitev.
Enačbo s parametrom lahko rešimo z naslednjimi metodami: analitično ali grafično.
Analitična metoda prevzame nalogo raziskovanja enačbe z upoštevanjem več primerov, od katerih ne more spregledati nobenega.
Rešitev enačbe in neenakosti s parametri vsake vrste z analitično metodo vključuje podrobno analizo situacije in dosledno študijo, med katero se pojavi potreba "nežno ravnanje" s parametrom.
Grafična metoda vključuje konstrukcijo grafa enačbe, s katerim je mogoče ugotoviti, kako sprememba parametra vpliva na rešitev enačbe. Graf včasih omogoča analitično oblikovanje potrebnih in zadostnih pogojev za reševanje postavljenih nalog. Metoda grafične rešitve je še posebej učinkovita, ko je treba ugotoviti, koliko korenin ima enačba glede na parameter, in ima nedvomno prednost, da to vidimo vizualno.
§ 1. Linearne enačbe in neenačbe.
Linearna enačba a x = b , zapisano v splošni obliki, lahko obravnavamo kot enačbo s parametri, kjer x – neznano , a , b - opcije. Za to enačbo je posebna ali kontrolna vrednost parametra tista, pri kateri koeficient izgine v neznano.
Pri reševanju linearne enačbe s parametrom se upoštevajo primeri, ko je parameter enak svoji posebni vrednosti in se od nje razlikuje.
Posebna vrednost parametra a je vrednost a = 0.
b = 0 je posebna vrednost parametra b .
pri b ¹ 0 enačba nima rešitev.
pri b = 0 enačba bo imela obliko: 0x = 0. Rešitev te enačbe je poljubno realno število.
Neenakosti oblike ah > b in sekira < b (a ≠ 0) imenujemo linearne neenakosti. Množica rešitev neenačbe ah >b– vrzel
(; +
),
če a
> 0
, in (-;)
, če a< 0
. Podobno velja za neenakost
Oh<
b
niz rešitev - interval(-;),
če a
> 0,
in (; +),
če a< 0.
Primer 1 reši enačbo sekira = 5
rešitev: To je linearna enačba.
Če a = 0, nato enačba 0 × x = 5 nima rešitve.
Če a¹ 0, x =- rešitev enačbe.
Odgovori: pri a¹ 0, x=
za a = 0 ni rešitve.
Primer 2 reši enačbo sekira - 6 \u003d 2a - 3x.
rešitev: To je linearna enačba sekira - 6 \u003d 2a - 3x (1)
sekira + 3x = 2a +6
Enačbo prepišemo kot (a+3)x = 2(a+3) Razmislimo o dveh primerih:
a= -3 in a¹ -3.
Če a= -3, potem poljubno realno število X je koren enačbe (1). če a¹ -3 , enačba (1) ima en sam koren x = 2.
odgovor: pri a = -3, x 
R
;
pri a
¹
-3, x = 2.
Primer 3 Pri katerih vrednostih parametra a med koreni enačbe
2x - 4x - a 2 + 4а – 4 = 0 več je korenin 1 ?
rešitev: Reši enačbo 2x - 4x - a 2 + 4а – 4 = 0– linearna enačba
2 (a - 2) x \u003d a 2 - 4a +4
2(a - 2) x \u003d (a - 2) 2
pri a = 2 rešitev enačbe 0x = 0 biti poljubno število, celo večje od 1.
pri a¹
2 x = 
.
Po stanju x > 1, to je >1, a > 4.
odgovor: pri a (2) U(4;∞).
Primer 4 . Za vsako vrednost parametra a poiščite število korenov enačbe sekira=8.
rešitev. sekira = 8 je linearna enačba.
l = a– družina vodoravnih črt;
l = - graf je hiperbola. Sestavimo grafe teh funkcij.
Odgovor: Če a = 0, potem enačba nima rešitev. Če a ≠ 0, potem ima enačba eno rešitev.
Primer 5 . S pomočjo grafov ugotovite, koliko korenin ima enačba:
|x| = sekira - 1.
y=| x | ,
l = sekira - 1- graf je premica, ki poteka skozi točko (0;-1).
Sestavimo grafe teh funkcij.
Odgovor: Kdaj |a|>1- en koren
pri | a|≤1 Enačba nima korenin.
Primer 6 . Reši neenačbo sekira + 4 > 2x + a 2
rešitev
:
sekira + 4 > 2x + a
2
(а – 2) х >a
2
– 4. Razmislite o treh primerih.
Odgovori. x > a + 2 pri a > 2; X<а + 2, pri a< 2; pri a=2 ni rešitev.
§ 2. Kvadratne enačbe in neenačbe
Kvadratna enačba je enačba oblike Oh ² + b x + c = 0 , kje a≠ 0,
a, b , z - opcije.
Če želite rešiti kvadratne enačbe s parametrom, lahko uporabite standardne metode reševanja z uporabo naslednjih formul:
1
)
diskriminanta kvadratne enačbe:
D
=
b
² - 4
ac
,
(
²-
ac)
2)
formule korenin kvadratne enačbe:X
1
=
, X
2
=
,
(X
1,2 =
)
Kvadratne neenakosti imenujemo neenakosti oblike
a X 2 + b x + c > 0,a X 2 + b x + c< 0, (1), (2)
a X 2 + b x + c ≥ 0,a X 2 + b x + c ≤ 0,(3), (4)
Množico rešitev neenačbe (3) dobimo s kombinacijo množic rešitev neenačbe (1) in enačbe , a X 2 + b x + c=0. Množico rešitev neenačbe (4) najdemo podobno.
Če je diskriminant kvadratnega trinoma
a
X
2
+
b
x + c
manj kot nič, potem je za a > 0 trinom pozitiven za vse x R.
Če ima kvadratni trinom korenine (x 1
< х
2
), potem je za a > 0 pozitiven na množici(-;
x 2 )
(X 2;
+)
in negativno na intervalu
(x 1; x 2 ). Če< 0, то трехчлен положителен на интервале (х
ena ; x 2 ) in je negativen za vse x (-;
x 1 )(X 2;
+).
Primer 1 reši enačbo ax² - 2 (a - 1) x - 4 \u003d 0.
To je kvadratna enačba
rešitev: Poseben pomen a = 0.
pri a = 0 dobimo linearno enačbo 2x - 4 = 0. Ima eno samo korenino x = 2.
pri a ≠ 0. Poiščimo diskriminanco.
D \u003d (a-1)² + 4a \u003d (a + 1)²
Če a = -1, potem D = 0 - en koren.
Poiščite koren z zamenjavo a = -1.
-x² + 4x - 4 \u003d 0, to je x² -4x + 4 = 0, ugotovimo, da x=2.
Če a ≠ - 1, potem D
>0
. Po korenski formuli dobimo:x= 
;
X 1 =2, x 2 = -.
odgovor: pri a=0 in a=-1 enačba ima en koren x = 2; pri a ≠ 0 in
a ≠ - 1 enačba ima dva korenaX 1 =2, x 2 =-.
Primer 2 Poiščite število korenov dane enačbe x²-2x-8-a=0 odvisno od vrednosti parametrov a.
rešitev. Zapišimo to enačbo v obliki x²-2x-8=a
l \u003d x²-2x-8- graf je parabola;
l =a- družina vodoravnih črt.
Zgradimo grafe funkcij.
Odgovor: Kdaj a<-9 , enačba nima rešitev; ko je a=-9, ima enačba eno rešitev; pri a>-9, ima enačba dve rešitvi.
Primer 3 Pri čem a neenakost (a - 3) x 2 – 2ax + 3a – 6 >0 velja za vse vrednosti x?
rešitev. Kvadratni trinom je pozitiven za vse vrednosti x if
a-3 > 0 in D<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств
,
od koder sledi, daa
> 6
.
Odgovori.a > 6
§ 3. Ulomno-racionalne enačbe s parametrom,
zmanjšana na linearno
Postopek reševanja ulomljenih enačb poteka po običajni shemi: ulomek nadomestimo s celim številom tako, da oba dela enačbe pomnožimo s skupnim imenovalcem njenega levega in desnega dela. Po tem se reši celotna enačba, brez tujih korenov, to je števil, ki spremenijo imenovalec na nič.
V primeru enačb s parametrom je ta problem bolj zapleten. Tu je za "odpravo" tujih korenin potrebno najti vrednost parametra, ki spremeni skupni imenovalec na nič, torej rešiti ustrezne enačbe za parameter.
Primer 1
reši enačbo 
= 0
rešitev: D.Z: x +2 ≠ 0, x ≠ -2
x - a \u003d 0, x \u003d a.
odgovor: pri a ≠ - 2, x=a
pri a = -2 ni korenin.
Primer 2
.
reši enačbo 
- 
= 
(1)
To je ulomljena racionalna enačba
rešitev: Pomen a = 0 je poseben. pri a = 0 enačba izgubi pomen in zato nima korenin. Če a ≠ 0, potem bo po transformacijah enačba dobila obliko: x² + 2 (1-a) x + a² - 2a - 3 = 0 (2)- kvadratna enačba.
Poiščimo diskriminanco 
\u003d (1 - a)² - (a² - 2a - 3) \u003d 4,
poišči korenine enačbeX
1
= a + 1, x
2
= a - 3.
Pri prehodu z enačbe (1) na enačbo (2) se je domena definicije enačbe (1) razširila, kar bi lahko povzročilo pojav tujih korenov. Zato je preverjanje potrebno.
Pregled. Izključi iz najdenih vrednosti X tiste, v katerih
x 1 +1=0, x 1 +2=0, x 2 +1=0, x 2 +2=0.
Če X 1 +1=0, to je (a+1) + 1= 0, potem a = -2. V to smer,
pri a= -2 , X 1 -
Če X 1 +2=0, to je (a+1)+2=0, potem a = - 3. Tako pri a \u003d - 3, x 1 - zunanji koren enačbe. (ena).
Če X 2 +1=0, to je (a - 3) + 1 = 0, potem a = 2. Tako pri a = 2 x 2 - tuj koren enačbe (1).
Če X 2 +2=0, to je ( a – 3) + 2 = 0, potem a=1. Tako pri a = 1,
X 2 - zunanji koren enačbe (1).
V skladu s tem je pri a = - 3 dobimo x \u003d - 3 - 3 \u003d -6;
pri a \u003d - 2 x \u003d -2 – 3= - 5;
pri a \u003d 1 x \u003d 1 + 1 \u003d 2;
pri a \u003d 2 x \u003d 2 + 1 \u003d 3.
Odgovor lahko zapišete.
odgovor: 1) če a= -3, potem x= -6; 2) če a= -2, potem x= -5; 3) če a=0, potem ni korenin; 4) če a=1, potem x=2; 5) če a=2, potem x=3; 6) če a ≠ -3, a ≠ -2, a ≠ 0, a ≠ 1, a ≠ 2, nato x 1 = a + 1, x 2 = a-3.
§ štiri. Iracionalne enačbe in neenačbe
Enačbe in neenačbe, v katerih je spremenljivka pod znakom korena, se imenujejo neracionalno.
Reševanje iracionalnih enačb se zreducira na prehod iz iracionalne v racionalno enačbo z dvigom obeh strani enačbe na potenco ali s spremembo spremenljivke. Ko sta obe strani enačbe dvignjeni na sodo potenco, se lahko pojavijo tuji koreni. Zato je treba pri uporabi te metode vse najdene korenine preveriti s substitucijo v izvirno enačbo ob upoštevanju sprememb vrednosti parametrov.
Vrsta enačbe 
=g (x ) je enakovreden sistemu 
Neenakost f (x) ≥ 0 izhaja iz enačbe f (x) = g 2 (x).
Pri reševanju iracionalnih neenačb bomo uporabili naslednje ekvivalentne transformacije:
≤ g(x) 
≥g(x) 
Primer 1
Reši enačbo 
= x + 1 (3)
To je iracionalna enačba
rešitev:
Po definiciji aritmetičnega korena je enačba (3) enakovredna sistemu 
.
pri a = 2 prva enačba sistema ima obliko 0 x = 5, to pomeni, da nima rešitev.
pri a≠ 2 x= 
.
Ugotovimo, za katere vrednostia
najdeno vrednostX
zadovoljuje neenakostx ≥ -1: ≥ - 1, 
≥ 0,
kje a ≤ oz a > 2.
odgovor: pri a≤, a > 2 x= ,
pri < а ≤ 2
enačba nima rešitev.
Primer 2
reši enačbo 
= a
(Priloga 4)
rešitev. l
=
l = a je družina vodoravnih črt.
Zgradimo grafe funkcij.
Odgovori: pri a<0 - ni rešitev
pri a≥ 0 - ena rešitev.
Primer 3
. Rešimo neenačbo(a+1) 
<1.
rešitev. O.D.Z. x ≤ 2. Če a+1 ≤0, potem neenakost velja za vse dopustne vrednosti X. če a+1>0, potem
(a+1) <1.<
kje X (2- 
2
Odgovori.
X (- ;2pri a (-;-1,
X (2- 2
pri a
(-1;+).
§ 5. Trigonometrične enačbe in neenačbe.
Tukaj so formule za reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb:
Sinx = a x= (-1) n arcsin a+πn, n Z, 
≤1, (1)
Cos x = a x = ± arccos a + 2 πn, n Z, ≤1.
(2)
Če
>1, potem enačbi (1) in (2) nimata rešitev.
tan x = a x= arctg a + πn, n Z, a R
ctg x = a x = arcctg a + πn, n Z, a R
Za vsako standardno neenačbo navedemo množico rešitev:
1.
sin x > a arcsin a + 2 n
Z,
pri a
<-1,
x R
;
pri a
≥ 1,
ni rešitev.
2. . greh x< a π - arcsin a + 2 πnZ,
za a≤-1 ni rešitev; ko je a>1,x R
3.
cos
x
>
a
-
arccos
a
+ 2
pn
<
x
<
arccos
a
+ 2
pn
,
n
Z
,
pri a<-1,
x R
; pri a
≥ 1
, ni rešitev.
4. cos x lok a+ 2 nZ,
pri a≤-1
, ni rešitev; pria
> 1,
x
R
5. tg x > a, arctg a + πnZ
6.tg x< a, -π/2 + πn Z
Primer1. Najti a, za katero ima ta enačba rešitev:
Cos 2 x + 2(a-2) cosx + a 2 - 4a - 5 \u003d 0.
rešitev. Enačbo zapišemo v obliki
zos 2 x + (2 a -4) cosx +(a – 5)(а+1) =0,če ga rešimo kot kvadrat, dobimo cosx = 5-a in cosx = -a-1.
Enačba cosx
= 5-
a
ima na voljo rešitve -1≤ 5-a
≤1
4≤
a≤ 6 in enačbo cosx
= -
a-1
podano -1≤ -1-a
≤ 1
-2 ≤
a
≤0.
Odgovori.
a
-2; 0 4; 6
Primer 2
Pri čem bobstaja taka, da neenakost 
+
b> 0 je izpolnjeno za vse x ≠pn
,
n
Z
.
rešitev. Postavimo a= 0. Neenakost velja za b >0. Pokažimo zdaj, da noben b ≤0 ne izpolnjuje pogojev problema. Dejansko zadostuje, če postavimo x = π /2, če a <0, и х = - π /2 pri a ≥0.
Odgovori.b > 0
§ 6. Eksponentne enačbe in neenačbe
1. Enačba h(x)
f ( x )
=
h(x)
g ( x) pri h(x) > 0 je enakovredna kombinaciji dveh sistemov 
in 
2. V določenem primeru (h (x)= a ) enačba a f(x) = a g(x) pri a> 0, je enakovredna kombinaciji dveh sistemov
in 
3. Enačba a f(x) = b , kje a > 0, a ≠1, b>0, je enakovredna enačbi
f(x)= log a b. Dogajanje a=1 se obravnavajo ločeno.
Rešitev najenostavnejših eksponentnih neenačb temelji na lastnosti stopnje. Neenakost oblikef(a
x ) > 0 s spremembo spremenljivket=
a
x zmanjša na reševanje sistema neenačb 
nato pa k rešitvi ustreznih najenostavnejših eksponentnih neenačb.
Pri reševanju nestroge neenačbe je treba množici rešitev stroge neenačbe dodati korenine ustrezne enačbe. Kot pri reševanju enačb v vseh primerih, ki vsebujejo izraz a f (x), predpostavimo a> 0. Primer a= 1 se obravnavajo ločeno.
Primer 1
.
Pri čem a enačba 8 x = 
ima samo pozitivne korenine?
rešitev.
Po lastnosti eksponentne funkcije z bazo, večjo od ena, imamo x>0 8
X >1 >1
>0, od koda
(1,5;4).
Odgovori.
a
(1,5;4).
Primer 2 Reši neenačbo a 2 ∙2 x > a
rešitev. Razmislite o treh primerih:
1.
a< 0
. Ker je leva stran neenakosti pozitivna in desna stran negativna, neenakost velja za vsak x R.
2. a=0. Ni rešitev.
3.
a
> 0
.
a
2
∙2
x
> a
2
x
>
x > -log 2
a
Odgovori.
X R pri a
> 0; ni rešitev za
a
=0; X (-
dnevnik 2
a; +) pria > 0
.
§ 7. Logaritemske enačbe in neenačbe
Predstavimo nekaj enakovrednosti, ki se uporabljajo pri reševanju logaritemske enačbe in neenačbe.
1. Enačba log f (x) g (x) \u003d log f (x) h (x) je enakovredna sistemu
Še posebej, če a >0, a≠1, torej
dnevnik a
g(x)= log a
h(x) 
2.
Enačba dnevnik a
g(x)=b g(x)=a
b (
a
>0,
a ≠
1, g(x) >0).
3. Neenakost dnevnik f ( x )
g (x) ≤
dnevnik f ( x )
h(x) je enakovredna kombinaciji dveh sistemov: 
in 
Če, b so števila, a >0, a ≠1, potem
dnevnik a
f(x) ≤ b 
dnevnik a
f(x) > b 
Primer 1
Reši enačbo 
rešitev. Poiščimo ODZ: x > 0, x ≠ a 4 , a > 0, a≠ 1. Transformiraj enačbo
dnevnik 
x - 2 = 4 - dnevnik a
x dnevnik x + dnevnik a
x– 6 = 0, od koder dnevnik a
x = - 3
x = a-3 in dnevnik a
x = 2
x = a 2. Pogoj x = a
4
a
– 3
=
a 4 oz a
2
=
a
4
ne izvajajo na ODZ.
odgovor: x = a-3, x = a 2 pri a
(0; 1) 
(1; ).
Primer 2 . Poiščite najvišjo vrednost a, za katero velja enačba
2
dnevnik 
-
+
a
= 0 ima rešitve.
rešitev.
Zamenjajmo =
tin dobimo kvadratno enačbo 2t 2
–
t +
a
= 0. Reševanje, najdemoD = 1-8
a
. Razmislite D≥0, 1-8
a
≥0 
a
≤.
pri a = kvadratna enačba ima korent= >0.
Odgovori. a =
Primer 3 . Reši neenačbodnevnik(x 2 – 2 x + a ) > - 3
rešitev.
Rešimo sistem neenačb 
Korenine kvadratnih trinomov x 1,2
= 1 ± 
njim 3,4
= 1 ± 
.
Kritične vrednosti parametrov: a= 1 in a= 9.
Naj sta torej X 1 in X 2 množici rešitev prve in druge neenačbe
X 1 
X 2
= X je rešitev prvotne neenačbe.
Pri 0<
a
<1 Х
1
= (-
;1 - )(1 + ; +), pria> 1 x 1 = (-;+).
Pri 0<
a
< 9 Х
2
= (1 -; 1 +), pria≥9 Х 2 – ni rešitev.
Razmislite o treh primerih:
1. 0<
a
≤1 X = (1 - ;1 - )(1 + ;1 +).
2. 1 <
a
< 9 Х = (1 -;1 +).
3. a≥ 9 Х – ni rešitev.
USE naloge
Visoka stopnja C1, C2
Primer 1 Poiščite vse vrednosti R, za katero velja enačba
R ∙ ctg 2x+2sinx+ str= 3 ima vsaj en koren.
rešitev. Transformirajmo enačbo
R ∙ (
-1)+2sinx+ str\u003d 3, sinx \u003d t, t 
, t 
0.
-
str+ 2t + str
= 3,
+ 2t = 3, 3 -2t = , 3t2 – 2t3 = str
.
Pustiti f(l) = 3
t 2
– 2
t 3
. Poiščimo množico funkcijskih vrednostif(x) na 
. pri /
= 6
t – 6
t 2
, 6
t - 6
t 2
= 0,
t 1
=0,
t 2
= 1.
f(-1) = 5,
f(1) = 1.
pri t ,
E(f) =
,
pri t ,
E(f) =
, torej ko t ,
E(f) =
.
K enačbi 3t 2
– 2
t 3
=
str
(torej dano) imel vsaj en koren potreben in zadostenstr
E(f), to je str
.
Odgovori.
.
Primer 2
Pri katerih vrednostih parametraa enačba dnevnik 
(4
x 2
– 4
a
+
a
2
+7) = 2 ima točno en koren?
rešitev. Enačbo pretvorimo v enakovredno:
4x 2 - 4 a + a 2 +7 \u003d (x 2 + 2) 2.
Upoštevajte, da če je določeno število x koren nastale enačbe, potem je število - x tudi koren te enačbe. Po pogoju to ni izvedljivo, zato je edini koren število 0.
Najdimo a.
4∙ 0 2 - 4a + a 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,
a 2 - 4a +7 = 4, a 2 - 4a +3 = 0, a 1 = 1, a 2 = 3.
Pregled.
1)
a
1
= 1. Potem ima enačba obliko:dnevnik (4
x 2
+4) =2. Mi rešujemo
4x 2 + 4 \u003d (x 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 \u003d x 4 + 4x 2 + 4, x 4 \u003d 0, x \u003d 0 je edini koren.
2)
a
2
= 3. Enačba izgleda takole:dnevnik (4
x 2
+4) =2 x = 0 je edini koren.
Odgovori. 1; 3
Visoka stopnja C4, C5
Primer 3 Poiščite vse vrednosti R, pod katero je enačba
x 2 - ( R+ 3)x + 1= 0 ima cele korene in ti koreni so rešitve neenačbe: x 3 - 7 R x 2 + 2 x 2 - 14 R x - 3x +21 R ≤ 0.
rešitev.
Naj bo x 1,
X 2
so celi koreni enačbe x 2
– (R
+ 3)x + 1= 0. Potem je po formuli Vieta x 1
+ x 2
=
R
+ 3, x 1
∙ x 2
= 1. Zmnožek dveh celih števil x 1
, X 2
je lahko enaka ena samo v dveh primerih: x 1
= x 2
= 1 ali x 1
= x 2
= - 1. Če je x 1
= x 2
= 1, torejR
+ 3 = 1+1 = 2R
= - 1; če x 1
= x 2
= - 1, torejR
+ 3 = - 1 – 1 = - 2 R
= - 5. Preverite, ali so koreni enačbe x 2
– (R
+ 3)x + 1= 0 v primerih, ki jih opisujejo rešitve te neenačbe. Za primerR
= - 1, x 1
= x 2
= 1 imamo
1 3 - 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2 ∙ 1 2 - 14 ∙ (- 1) ∙ 1 - 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 - drži; za primer R\u003d - 5, x 1 \u003d x 2 \u003d - 1 imamo (- 1) 3 - 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 - 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≤ 0 je pravilno. Torej je izpolnjen le pogoj problema R= - 1 in R = - 5.
Odgovori.R 1 = - 1 in R 2 = - 5.
Primer 4 Poiščite vse pozitivne vrednosti parametrov a, za katero število 1 pripada domeni funkcije
pri
= (a 
-
a 
).
Pouk izbirnega predmeta
na to temo: "Reševanje enačb in neenačb s parametri"
(Lekcija posploševanja in ponavljanja)
Cilj: 1. Ponoviti in posplošiti znanje učencev o metodah reševanja enačb in neenačb s parametri; utrditi sposobnost uporabe znanja pri reševanju specifičnih nalog; 2. Razviti logično razmišljanje; 3. Gojiti pozornost in natančnost.
Učni načrt: I. Organizacijski trenutek __________________________ 2 min.
II. Posodobitev osnovnega znanja:
- Revizija _______________________________________ 3 min.
- Ustno delo________________________________3 min.
- Delo s kartami (med 1 in 2)
III. Rešitev vaj _____________________ 22 min.
I.Y. Izvedba testa __________________________ 8 min.
Y. Povzetek, postavitev domače naloge__2 min.
Med predavanji:
JAZ. Organiziranje časa.
Učiteljica: - Živjo družba. Lepo vas je videti, začenjamo z lekcijo. Danes v lekciji je naš cilj ponoviti in izdelati znanje, spretnosti in sposobnosti, pridobljene v prejšnjih lekcijah med študijem te teme.
II . Posodobitev osnovnega znanja:
1) Ponavljanje.
Učitelj: Torej, ponovimo.
Kaj imenujemo linearna enačba s parametri?
Katere primere smo upoštevali pri reševanju takih enačb?
Navedite primere linearnih enačb s parametri.
Navedite primere linearnih neenačb s parametri.
2) Ustno delo.
Naloga: Pripravi to enačbo v linearno obliko.
Na mizi:
a) 3a x - 1 \u003d 2 x;
b) 2+5 x \u003d 5a x;
c) 2 x - 4 \u003d a x + 1.
3) Delo na kartah.
III . Rešitev vaj.
1. vaja. Rešite enačbo s parametrom a.
3(ax + 1) + 1 = 2(a - x) + 1.
Naloge se izvajajo na tabli in v zvezkih.
Naloga 2. V kakšni vrednosti a, premica y \u003d 7ax + 9, poteka skozi
t. A(-3;2)?
Nalogo samostojno ob tabli opravi en učenec. Ostali delajo v zvezkih, nato preverijo s tablo.
Fizkult. minuta.
Naloga 3. V kakšni vrednosti a ima enačba 3(ax - a) = x - 1
Neskončno veliko rešitev?
To nalogo predlagamo, da jo učenci samostojno rešijo v zvezkih. Nato preverite odgovore.
Naloga 4. Pri kateri vrednosti parametra a , vsota korenov enačbe
2x² + (4a² - 2)x - (a² + 1) = 0 enako 1?
Naloga se izvaja s komentiranjem s kraja.
Naloga 5. Rešite neenačbo s parametrom R:
p(5x - 2)
Naloga se izvaja na tabli in v zvezkih.
I.Y. Izvedba testa.
Učenci dobijo individualne delovne liste z nalogami:
1) Je enačba6(ax + 1) + a = 3(a - x) + 7 linearno?
A) da; b) ne; c) se lahko reducira na linearno
2) Enačba (2ax + 1) a = 5a - 1 reduciran na obliko linearne enačbe
A) ne; b) da;
3) Pri kateri vrednosti parametra in ravna črta y \u003d ax - 3 poteka skozi
T. A(-2;9) ?
A) a \u003d 1/6; b) a = 1/2; c) a = -6; d) a = 6.
4) Pri kateri enačbi je 2ax + 1 = x ima koren enak -1?
a) a = -1; b) a = 0; c) a = 1; d) a = 1/2.
5) Če je kvadratna enačba ax² + in + c \u003d 0 D ax² + in + c >0 je odvisno od
A) vrednosti v; b) vrednosti a; c) vrednosti \u200b\u200b-v / a;
d) nima rešitev.
Odgovori na test: v; a; v; v; b.
YII. Povzetek lekcije. Postavljanje domače naloge.
Učiteljica: - Danes smo na lekciji ponovili in utrdili znanje, pridobljeno v prejšnjih lekcijah, razvili potrebne spretnosti pri opravljanju različnih nalog. Mislim, da si dobro opravil delo, dobro opravljeno.
Poleg ocen pri učni uri je možno oceniti delo številnih drugih učencev pri učni uri.
učiteljica : - Zapiši domačo nalogo:
Na mizi:
Reši neenačbo: x² - 2ax + 4 > 0.
Lekcije je konec.
Tečajna naloga
Umetnik: Bugrov S.K.
Preučevanje številnih fizičnih procesov in geometrijskih vzorcev pogosto vodi do rešitve problemov s parametri. Nekatere univerze v izpitne karte vključujejo tudi enačbe, neenačbe in njihove sisteme, ki so pogosto zelo zapleteni in zahtevajo nestandarden pristop k reševanju. V šoli se ta eden najtežjih delov šolskega tečaja matematike obravnava le pri nekaj izbirnih razredih.
Pri pripravi tega dela sem si zadal cilj poglobljene študije te teme, pri čemer najdem najbolj racionalno rešitev, ki hitro pripelje do odgovora. Po mojem mnenju je grafična metoda priročen in hiter način reševanja enačb in neenačb s parametri.
V mojem eseju so obravnavane pogoste vrste enačb, neenačb in njihovih sistemov, in upam, da mi bo znanje, ki sem ga pridobil v procesu dela, pomagalo pri opravljanju šolskih izpitov in vpisu na univerzo.
Neenakost
¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x), (1)
kjer so a, b, c, …, k parametri in je x realna spremenljivka, se imenuje neenakost z eno neznanko, ki vsebuje parametre.
Vsak sistem vrednosti parametrov a = a0, b = b0, c = c0, …, k = k0, za neko funkcijo
¦(a, b, c, …, k, x) in
j(a, b, c, …, k, x
smiselno v območju realnih števil, imenujemo sistem dovoljenih vrednosti parametrov.
se imenuje veljavna vrednost x, če
¦(a, b, c, …, k, x) in
j(a, b, c, …, k, x
vzemite realne vrednosti za kateri koli dopusten sistem vrednosti parametrov.
Množica vseh dopustnih vrednosti x se imenuje domena neenakosti (1).
Realno število x0 imenujemo partikularna rešitev neenačbe (1), če je neenakost
¦(a, b, c, …, k, x0)>j(a, b, c, …, k, x0)
velja za vsak sistem dovoljenih vrednosti parametrov.
Množico vseh partikularnih rešitev neenačbe (1) imenujemo splošna rešitev te neenačbe.
Rešiti neenačbo (1) pomeni navesti, za katere vrednosti parametrov obstaja splošna rešitev in kakšna je.
Dve neenakosti
¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x) in (1)
z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x) (2)
se imenujejo enakovredni, če imajo enake splošne rešitve za isto množico sistemov dovoljenih vrednosti parametrov.
Poiščite definicijsko področje te neenakosti.
Neenakost skrčimo na enačbo.
Izrazimo a kot funkcijo x.
V koordinatnem sistemu xOa gradimo grafe funkcij a =¦ (x) za tiste vrednosti x, ki so vključene v domeno definicije te neenakosti.
Poiščemo množice točk, ki zadoščajo tej neenakosti.
Raziskujemo vpliv parametra na rezultat.
poiščite abscise presečišč grafov.
nastavite vrstico a=const in jo premaknite od -¥ do +¥
Odgovor zapišemo.
To je le eden izmed algoritmov za reševanje neenačb s parametri v koordinatnem sistemu x0a. Možni so tudi drugi načini reševanja z uporabo standardnega xOy koordinatnega sistema.
§3. Primeri
I. Za vse dopustne vrednosti parametra a rešite neenačbo
V domeni parametra a je določen s sistemom neenačb
ta neenakost je enakovredna sistemu neenačb
Če , potem rešitve prvotne neenačbe zapolnijo segment .
II. Za katere vrednosti parametra a ima sistem rešitev
Poiščite korenine trinoma na levi strani neenakosti -
(*)
Ravne črte, podane z enačbami (*), delijo koordinatno ravnino a0x na štiri področja, od katerih vsako vsebuje kvadratni trinom
ohranja konstanten predznak. Enačba (2) definira krog s polmerom 2 s središčem v izhodišču. Potem bo rešitev prvotnega sistema senčeno križišče
krog s krogom, kjer , in vrednosti in so najdene iz sistema
in vrednosti in se najdejo iz sistema
Če rešimo te sisteme, to dobimo
III. Reši neenačbo 
odvisno od vrednosti parametra a.
Najdemo območje dopustnih vrednosti -
Zgradimo graf funkcije v koordinatnem sistemu xOy.
ko neenačba nima rešitev.
kdaj za 
rešitev x ustreza razmerju 
, kje 
Odgovor: Rešitve neenačbe obstajajo za
Kje 
, in pri reševanju 
; pri reševanju.
IV. Reši neenačbo
Iskanje ODZ ali diskontinuitetnih črt (asimptote)
Poiščimo enačbe funkcij, katerih grafe je treba izrisati v UCS; za kar se obrnemo na enakost:
Razložimo števec na faktorje.
Ker 
potem
Oba dela enakosti delimo z at . Vendar je rešitev: leva stran enačbe je enaka desni strani in je enaka nič pri .
3. Gradimo grafe funkcij v PSC xOa
in oštevilčite nastale regije (osi ne igrajo vloge). Bilo je devet regij.
4. Iščemo, katera od regij je primerna za to neenačbo, za kar regiji vzamemo točko in jo nadomestimo v neenačbo.
Za jasnost naredimo tabelo.
| neenakost: |
|||
|
|
|||
|
|
5. Poiščite presečišča grafov
6. Postavimo premico a=const in jo premaknemo od -¥ do +¥.
pri 
brez rešitev
pri 
Bibliografija
Dalinger V. A. "Geometrija pomaga algebri". Založba "Šola - Press". Moskva 1996
V. A. Dalinger “Vse za uspeh na zaključnih in sprejemnih izpitih iz matematike”. Založba Pedagoške univerze Omsk. Omsk 1995
Okunev A. A. "Grafična rešitev enačb s parametri". Založba "Šola - Press". Moskva 1986
Pismensky D. T. "Matematika za srednješolce". Založba Iris. Moskva 1996
Yastribinetskiy G. A. “Enačbe in neenačbe, ki vsebujejo parametre”. Založba "Razsvetljenje". Moskva 1972
G. Korn in T. Korn “Handbook of Mathematics”. Založba "Nauka" fizikalna in matematična literatura. Moskva 1977
Amelkin V. V. in Rabtsevich V. L. “Problemi s parametri” . Založba "Asar". Moskva 1996
Mestna avtonomna izobraževalna ustanova "Licej št. 1", Novotroitsk
Raziskovalno delo
Metode reševanja enačb in neenačb s parametrom
Matematično modeliranje
Dokončano:
učenka 11. A razreda MOAU
"Licej №1"
Nadzornik:
visokošolski učitelj
Novotroitsk
Uvod. 3
Parameter. 5
Metode reševanja trigonometričnih enačb s parametrom. 9
Metode reševanja eksponentnih in logaritemskih enačb in neenačb s parametrom. 17
Metode reševanja sistemov enačb in neenačb. 22
Zaključek. 31
Seznam uporabljene literature.. 32
Uvod
Enačbe s parametrom povzročajo velike težave učencem od 9. do 11. razreda. To je posledica dejstva, da rešitev takšnih enačb ne zahteva le znanja o lastnostih funkcij in enačb, sposobnosti izvajanja algebrskih transformacij, temveč tudi visoko logično kulturo in raziskovalno tehniko.
Težave pri preučevanju te vrste enačb so povezane z naslednjimi lastnostmi:
obilo formul in metod, ki se uporabljajo pri reševanju tovrstnih enačb;
možnost reševanja iste enačbe, ki vsebuje parameter, na različne načine.
Ustreznost tema je zaradi nezadostne vsebine nalog na to temo v učbeniku "Algebra razred 11".
Pomen te teme je določen s potrebo po reševanju takšnih enačb s parametri tako pri opravljanju Enotnega državnega izpita kot pri sprejemnih izpitih na visokošolske ustanove.
Predmet študija: naloge s parametri.
Namen tega dela:
Razkrije, utemelji in nazorno prikaže načine reševanja vseh vrst enačb s parametri;
Reševanje enačb s parametri;
Poglobiti teoretično znanje o reševanju enačb s parametri;
Za dosego tega cilja je potrebno rešiti naslednje naloge:
1. Opredeliti pojme enačbe s parametri;
2. Pokaži načine reševanja enačb s parametri.
Zasluga mojega dela sestoji iz naslednjega: navedeni so algoritmi za reševanje enačb s parametri; težave pogosto najdemo na raznih izpitih in olimpijadah. Delo bo študentom pomagalo opraviti enotni državni izpit.
Moja dejanja:
1. Poberite in preučite literaturo;
2. Rešiti izbrane naloge;
Parameter
Definicij je več parameter:
- Parameter - to je količina, vključena v formule in izraze, katerih vrednost je konstantna znotraj obravnavanega problema, vendar v drugi nalogi spremeni svoje vrednosti (, - "Razlagalni slovar matematičnih izrazov").
- Spremenljivke a, b, c, …, k, ki veljajo za konstante pri reševanju enačbe ali neenačbe, imenujemo parametri, sama enačba (neenakost) pa se imenuje enačba (neenakost), ki vsebuje parametre (- "Tutor matematike", Rostov na Donu "Phoenix" 1997).
Rešitev večine enačb, ki vsebujejo parameter, se zmanjša na kvadratne enačbe s parametrom. Da bi se torej naučili reševati eksponentne, logaritemske, trigonometrične enačbe in sisteme enačb s parametrom, morate najprej pridobiti veščine reševanja kvadratne enačbe s parametrom.
Vrsta enačbe sekira2 + bx+ c=0 , kjer je x neznanka, a, b, c so izrazi, odvisni samo od parametrov, a¹0, se imenuje kvadratna enačba glede x. Upoštevali bomo samo tiste vrednosti parametrov, za katere veljajo a, b, c.
Kontrolne vrednosti parametrov
Za reševanje kvadratnih enačb s parametrom je potrebno najti vrednosti nadzora parametrov.
Kontrolne vrednosti parametrov- tiste vrednosti, pri katerih se spremeni v 0:
Vodilni koeficient v enačbi ali neenačbi;
Imenovalci v ulomkih;
Diskriminanta kvadratnega binoma.
Splošna shema za reševanje enačb, reduciranih na kvadratne enačbe s parametrom.
Splošna shema za reševanje enačb, zmanjšana na kvadratne enačbe s parametrom:
1. Navedite in izključite vse vrednosti parametra in spremenljivke, za katere enačba izgubi pomen.
2. Pomnožite obe strani enačbe s skupnim imenovalcem, ki ni nič.
3. Enačbo posledice pretvorite v obliko https://pandia.ru/text/80/147/images/image002_13.png" width="128" height="24 src="> - realna števila ali funkcije parametra.
4. Rešite nastalo enačbo z upoštevanjem primerov:
a) ; b) https://pandia.ru/text/80/147/images/image005_6.png" width="19" height="27">.png" width="21" height="27">.png" višina="75">x=2b+1
Ker mora biti x med 1 in 6, potem:
1) 1<2b+1<6
2) 1<2b – 1<6
https://pandia.ru/text/80/147/images/image009_4.png" width="47" height="41 src=">=2b+1
1) 1<2b+1<6
2) 1<2b – 1<6
https://pandia.ru/text/80/147/images/image010_2.png" width="18 height=98" height="98"> 
y(1)>0 y=1-4b+4b2– 1>0
y(6)> 0 y=36-24b+4b2– 1>0
хвн(1; 6) 1<-<6
bн(-∞; 0) È (1; +∞).
2) 4b2-24b+35>0
D=576 – 560=16=42>0
b1=https://pandia.ru/text/80/147/images/image016_2.png" width="47" height="41 src=">=2,5 bÎ(0,5; 3)
bн(-∞;2,5)И(3,5;+∞)
bн(1; 2,5)
Odgovor: koreni enačbe x2-4bx+4b2–1=0 ležijo na intervalu od
