Примеры на арифметическую и геометрическую прогрессию взяты из "Сборника задач для абитуриентов. Математика" изданного Волынским государственным университетом имени Леси Украинки в 2001 году. Внимательно ознакомьтесь с ответами и выберите для себя самое необходимое.

Группа А (уровень 1)

Пример 1. Вычислить шестой член арифметической прогрессии 21,3; 22,4; … ,
Решение: Найдем разницу (шаг) прогрессии
d=a 2 -a 1 =22,4-21,3=1,1.
Далее вычисляем шестой член арифметической прогрессии
a 6 =a 1 +(6-1)d=21,3+5*1,1=26,8.

Пример 2. Вычислить шестой член геометрической прогрессии 5; 10; 20; ...
Решение: Найдем знаменатель геометрической прогрессии
q=b 2 /b 1 =10/5=2.
Вычисляем шестой член геометрической прогрессии
b 6 =b 1 q 6-1 =5*25=5*32=160.

Пример 3. В арифметической прогрессии a 1 =2,1 a 10 =12,9 . Вычислить разницу прогрессии.
Решение: Представим десятый член прогрессии в виде формулы
a 10 =a 1 +(10-1)d= a 1 +9d .
Подставим известные значения и решим
12,9=2,1+9d;
9d=12,9-2,1=10,8;
d=10,8/9=1,2.
Ответ: разница прогрессии d=1,2.

Пример 4. В геометрической прогрессии b 1 =2,56; b 4 =4,42368. Вычислить знаменатель прогрессии.
Решение: Находим знаменатель прогрессии
q=b 2 /b 1 =4,42368/2,56=1,728.
Без калькулятора здесь не обойтись.
Ответ: знаменатель прогрессии равен q=1,728.

Пример 5. В арифметической прогрессии a 1 =20,1, d=1,3 . Вычислить сумму первых восьми членов прогрессии.
Решение: Cуму арифметической прогрессии находим по формуле

Выполняем вычисления
S 8 =(2*20,1+(8-1)*1,3)*8/2=197,2.
Ответ: S 8 =197,2 .

Пример 6 . В геометрической прогрессии b 1 =1,5; q=1,2 . Вычислить сумму первых четырех членов прогрессии.
Решение: Cуму геометрической прогрессии вычисляем по формуле

Находим сумму прогрессии

Ответ: S 8 =8,052.

Пример 7 . В арифметической прогрессии a 1 =1,35 d=-2,4 . Вычислить номер члена прогрессии, равный -25,05.
Решение: Член арифметической прогрессии находят по формуле
a n =a 1 +(n-1)d.
По условию задано все кроме порядкового номера известно, найдем его
-25,05=1,35+(n-1)(-2,4) ;

Ответ: n=12.

Пример 8. Вычислить седьмой член прогрессии 23,5; 24,82; 26,14; ...
Решение: Поскольку в условии не задано какая прогрессия задана, то сначала нужно ето установить. Получите, что арифметическая
d=a 2 -a 1 =24,82-23,5=1,32;
d=a 3 -a 2 =26,14-24,82=1,32.
Находим седьмой член прогрессии
a 7 =a 1 +(7-1)d=23,5+6*1,32=31,42.
Ответ: a 7 = 31,42.

Пример 9. Вычислить номер члена прогрессии 2,1; 3,3; 4,5; ... , равный 11,7 .
Решение: Легко убедиться, что задана арифметическая прогрессия. Найдем разницу прогрессии
d=a 2 -a 1 =3,3-2,1=1,2.
По формуле члена прогрессии
a n =a 1 +(n-1)d
найдем номер
11,7=2,1+(n-1)*1,2;

Ответ: n= 9 .

Пример 10. Вычислить четвертый член прогрессии 1,5; 1,8; 2,16; ... .
Решение: Без проверки можно сказать, что прогрессия - геометрическая. Найдем ее знаменатель
q=b 2 /b 1 =1, 8/1,5=1,2.
Вычислим 4 член геометрической прогрессии по формуле
b 4 =b 1 q 3 =1,5*1,2 3 =2,592.
Ответ: b 4 =2,592 .

Пример 11. Вычислить номер члена прогрессии 1,2; 1,8; 2,16; ... равный 4,05.
Решение: Имеем геометрическую прогрессию. Найдем знаменатель прогрессии
q=b 2 /b 1 =1, 8/1,2=1,5.
Найдем номер прогресии из зависимости
b n =b 1 q n-1 .
4,05=1,2*1,5 n-1 ;
1,5 n-1 =4,05/1,2=3,375=1,5 3 ;
n-1=3; n=4.
Ответ: n=4.

Пример 12. В арифметической прогрессии a 5 =14,91 a 9 =20,11. Вычислить a 1 .
Решение: Выразим 9 член прогрессии через 5
a 9 = a 5 +(9-5)d
и найдем шаг прогрессии
20,11=14,91+4d;
4d=5,2; d=5,2/4=1,3.
Выразим 5 член прогрессии через 1 и вычислим первый
a 5 = a 1 +4d;
14,91= a 1 +5,2;
a 1 =14,91-5,2=9,71.
Ответ: a 1 =9,71.

Пример 13 . В арифметической прогрессии а 7 =12,01; a 11 =17,61. Вычислить разницу прогрессии.
Решение: Выразим 11 член прогрессии через 7
a 11 = a 7 +(11-7)d.
Отсюда вычислим шаг прогрессии
17,61=12,01+4d;
4d=5,6; d=5,6/4=1,4.
Ответ: d=1,4.

Пример 14. В геометрической прогрессии b 5 =64; b 8 =1. Вычислить b 3 .
Решение: Выразим 8 член прогрессии через 5
b 8 = b 5 q 8-5 .
Отсюда находим знаменатель прогрессии
1=64 q 3 ;
q 3 =1/64=(1/4) 3 ;
q=1/4.
Подобным образом находим b 3 через b 5
b 3 = b 5 /q 2 =64*4 2 =1024.
Ответ: b 3 =1024.

Пример 15. В арифметической прогрессии а 9 +а 15 =14,8 . Вычислить а 12
Решение: В этом примере следует учесть, что 12 член прогрессии находится посередине между 9 ее номером и 15 . Поэтому соседние члены прогрессии (9, 15 ) можно выразить через 12 следующим образом
a 9 = a 12 -(12-9)d;
a 15 = a 12 +(15-9)d;
a 9 = a 12 -3d;
a 15 = a 12 +3d.
Просуммируем крайние члены прогрессии
a 9 + a 15 = a 12 -3d+ a 12 +3d=2a 12 .
Отсюда находим 12 член прогрессии
a 12 =(a 9 +a 15)/2=14,8/2=7,4.
Ответ: a 12 =7,4.

Пример 16. В геометрической прогрессии b 10 *b 14 =289. Вычислить модуль 12 члена прогрессии | b 12 |.
Решение: Алгоритм решении задачи содержится в предыдущем примере. Следует выразить 10 и 14 член геометрической прогрессии через 12 . По свойствам геометрической прогрессии получим
b 10 = b 12 /q 2 ; b 14 = b 12 *q 2 .
Легко заметить, что при их произведения знамениик прогрессии пропадает
b 10 * b 14 = (b 12) 2 =289=17 2 .
Отсюда находим модуль | b 12 |
(b 12) 2 =289=17 2 -> | b 12 |=17.
Ответ: | b 12 |=17.

Пример 17. В геометрической прогрессии b 8 =1,3. Вычислить b 6 *b 10 .
Решение: Схема вычислений аналогична предыдущему примеру - выражаем 6 и 10 член прогрессии через 8.
b 6 = b 8 /q 2 ; b 10 = b 8 *q 2 .
При их умножении знаменатели сокращаются и получим квадрат известного члена прогрессии
b 6 *b 10 = (b 8) 2 =1,3 2 =1,69.
Ответ: b 6 *b 10 =1,69.

Пример 18. В арифметической прогрессии а 10 =3,6: a 12 =8. Вычислить а 8
Решение: Запишем члены прогрессии в ряд а 8 , а 10 , a 12 . Между ними одинаковый шаг, найдем его
a 12 = a 10 +2d;
2d= a 12 - a 10 =8-3,6=4,4.
Таким же методом находим а 8
a 10 = a 8 +2d;
a 8 = a 10 -2d=3,6-4,4=-0,8.
Вот такие несложные расчеты.
Ответ: a 8 =-0,8.

Пример 19. В геометрической прогрессии b 14 =8; b 16 =2. Вычислить b 12 .
Решение: Опуская подробные объяснения, запишем произведение 14 и 16 члена прогрессии
b 14 *b 16 =(b 12) 2 .
Это равносильно среднему геометрическому. Найдя корень из произведения членов, получим искомое значение
(b 12) 2 =8*2=16; b 12 =4.
Ответ: b 12 =4.

Пример 20. В арифметической прогрессии а 5 =3,4; a 11 =6,9. Вычислить а 17 .
Решение: Между 5,11 и 17 членом прогрессии одинаковый шаг и он равен 6d . Поэтому конечное решение можно записать в виде
а 17 = a 11 +6d= a 11 +(a 11 - а 5)=2*6,9-3,4=10,4.
Думаю, что Вы понимаете, почему такая запись. Если нет - попробуйте расписать 11 член прогрессии через 5 и виразить 6d .
Ответ: а 17 =10,4 .

Пример 21. Вычислить 6-й член геометрической прогрессии 3; 12;... .
Решение: Найдем знаменатель прогрессии
q=b 2 /b 1 =12/3=4.
Воспользуемся общей формуле члена геометрической прогрессии
b n = b 1 *q n-1 .
Отсюда получим
b 6 = b 1 *q 5 =b 2 *q 4 .
Как видите, главное в записи, чтобы сумма индекса (2) и степень (4) соответствовала порядковому номеру члена прогрессии (6). Выполняем вычисления
b 6 = 12*4 4 =12*256=3072.
Получили большое число, но геометрическая прогрессия тем и отличается, что ее члены или быстро растут, или - сходят.
Ответ: b 6 =3072.

Пример 22. В арифметической прогрессии а 3 =48; a 5 =42. Вычислить а 7 .
Решение: Так как разница прогрессии между заданными членами и искомым сталая и равна 2d то формула 7 члена прогрессии будет выглядеть
а 7 = a 5 +2d= a 5 +(a 5 - а 3);
а 7 =2*42-48=36 .
Ответ: а 7 =36.

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Теоретические сведения

	Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
Определение	Арифметической прогрессией a n называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d (d - разность прогрессий)	Геометрической прогрессией b n называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и тоже число q (q - знаменатель прогрессии)
Рекуррентная формула	Для любого натурального n a n + 1 = a n + d	Для любого натурального n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Формула n-ого члена	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Характеристическое свойство
Сумма n-первых членов

Примеры заданий с комментариями

Задание 1

В арифметической прогрессии (a n ) a 1 = -6, a 2

По формуле n-ого члена:

a 22 = a 1 + d (22 - 1) = a 1 + 21 d

По условию:

a 1 = -6, значит a 22 = -6 + 21 d .

Необходимо найти разность прогрессий:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Ответ : a 22 = -48.

Задание 2

Найдите пятый член геометрической прогрессии: -3; 6;....

1-й способ (с помощью формулы n -члена)

По формуле n-ого члена геометрической прогрессии:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4 .

Так как b 1 = -3,

2-й способ (с помощью рекуррентной формулы)

Так как знаменатель прогрессии равен -2 (q = -2), то:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Ответ : b 5 = -48.

Задание 3

В арифметической прогрессии (a n ) a 74 = 34; a 76 = 156. Найдите семьдесят пятый член этой прогрессии.

Для арифметической прогрессии характеристическое свойство имеет вид .

Из этого следует:

.

Подставим данные в формулу:

Ответ : 95.

Задание 4

В арифметической прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Найдите сумму семнадцати первых членов.

Для нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии используют две формулы:

.

Какую из них в данном случае удобнее применять?

По условию известна формула n-ого члена исходной прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Можно найти сразу и a 1 , и a 16 без нахождения d . Поэтому воспользуемся первой формулой.

Ответ : 368.

Задание 5

В арифметической прогрессии(a n ) a 1 = -6; a 2 = -8. Найдите двадцать второй член прогрессии.

По формуле n-ого члена:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1 + 21d .

По условию, если a 1 = -6, то a 22 = -6 + 21d . Необходимо найти разность прогрессий:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Ответ : a 22 = -48.

Задание 6

Записаны несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .

При решении воспользуемся формулой n-го члена b n = b 1 ∙ q n - 1 для геометрических прогрессий. Первый член прогрессии. Чтобы найти знаменатель прогрессии q необходимо взять любой из данных членов прогрессии и разделить на предыдущий. В нашем примере можно взять и разделить на. Получим, что q = 3. Вместо n в формулу подставим 3, так как необходимо найти третий член, заданной геометрической прогрессии.

Подставив найденные значения в формулу, получим:

.

Ответ : .

Задание 7

Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите ту, для которой выполняется условие a 27 > 9:

Так как заданное условие должно выполняться для 27-го члена прогрессии, подставим 27 вместо n в каждую из четырех прогрессий. В 4-й прогрессии получим:

.

Ответ : 4.

Задание 8

В арифметической прогрессии a 1 = 3, d = -1,5. Укажите наибольшее значение n , для которого выполняется неравенство a n > -6.

Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии)

В которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии .

Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле

Свойства арифметической прогрессии

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии

Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией. По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.

Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей

В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства

Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.

2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.

3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k -го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы

4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k -го номера. Для этого используйте формулу

На этом теоретический материал заканчивается и переходим к решению распространенных на практике задач.

Пример 1. Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;...

Решение:

Согласно условию имеем

Определим шаг прогрессии

По известной формуле находим сороковой член прогрессии

Пример2. Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

Распишем заданные элементы прогрессии по формулам

От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии

Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии

Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии

Не применяя сложных вычислений ми нашли все искомые величины.

Пример 3. Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых.

Решение:

Запишем формулу сотого элемента прогрессии

и найдем первый

На основе первого находим 50 член прогрессии

Находим сумму части прогрессии

и сумму первых 100

Сумма прогрессии равна 250.

Пример 4.

Найти число членов арифметической прогрессии, если:

а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Решение:

Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их

Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме

Выполняем упрощения

и решаем квадратное уравнение

Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.

Пример 5.

Решить уравнение

1+3+5+...+х=307.

Решение: Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии

Кто-то к слову «прогрессия» относится настороженно, как к очень сложному термину из разделов высшей математики. А между тем самая простая арифметическая прогрессия - работа счётчика такси (где они ещё остались). И понять суть (а в математике нет ничего важнее, чем «понять суть») арифметической последовательности не так сложно, разобрав несколько элементарных понятий.

Математическая числовая последовательность

Числовой последовательностью принято именовать какой-либо ряд чисел, каждое из которых имеет свой номер.

а 1 - первый член последовательности;

а 2 - второй член последовательности;

а 7 - седьмой член последовательности;

а n - n-ный член последовательности;

Однако не любой произвольный набор цифр и чисел интересует нас. Наше внимание сосредоточим на числовой последовательности, у которой значение n-ного члена связано с его порядковым номером зависимостью, которую можно чётко сформулировать математически. Иными словами: численное значение n-ного номера является какой-либо функцией от n.

a - значение члена числовой последовательности;

n - его порядковый номер;

f(n) - функция, где порядковый номер в числовой последовательности n является аргументом.

Определение

Арифметической прогрессией принято именовать числовую последовательность, в которой каждый последующий член больше (меньше) предыдущего на одно и то же число. Формула n-ного члена арифметической последовательности выглядит следующим образом:

a n - значение текущего члена арифметической прогрессии;

a n+1 - формула следующего числа;

d - разность (определённое число).

Нетрудно определить, что если разность положительна (d>0), то каждый последующий член рассматриваемого ряда будет больше предыдущего и такая арифметическая прогрессия будет возрастающей.

На представленном ниже графике нетрудно проследить, почему числовая последовательность получила название «возрастающая».

В случаях, когда разность отрицательная (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Значение заданного члена

Иногда бывает необходимо определить значение какого-либо произвольного члена a n арифметической прогрессии. Можно сделать это путём расчёта последовательно значений всех членов арифметической прогрессии, начиная с первого до искомого. Однако такой путь не всегда приемлем, если, например, необходимо отыскать значение пятитысячного или восьмимиллионного члена. Традиционный расчёт сильно затянется по времени. Однако конкретная арифметическая прогрессия может быть исследована с помощью определённых формул. Существует и формула n-ного члена: значение любого члена арифметической прогрессии может быть определено как сумма первого члена прогрессии с разностью прогрессии, умноженной на номер искомого члена, уменьшенный на единицу.

Формула универсальна для возрастающей и убывающей прогрессии.

Пример расчёта значения заданного члена

Решим следующую задачу на нахождение значения n-ного члена арифметической прогрессии.

Условие: имеется арифметическая прогрессия с параметрами:

Первый член последовательности равен 3;

Разность числового ряда равняется 1,2.

Задание: необходимо отыскать значение 214 члена

Решение: для определения значения заданного члена воспользуемся формулой:

а(n) = а1 + d(n-1)

Подставив в выражение данные из условия задачи имеем:

а(214) = а1 + d(n-1)

а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Ответ: 214-ый член последовательности раве 258,6.

Преимущества такого способа расчёта очевидны - всё решение занимает не более 2 строчек.

Сумма заданного числа членов

Очень часто в заданном арифметическом ряду требуется определить сумму значений некоторого его отрезка. Для этого также нет необходимости вычислять значения каждого члена и затем суммировать. Такой способ применим, если число членов, сумму которых необходимо найти, невелико. В остальных случаях удобнее воспользоваться следующей формулой.

Сумма членов арифметической прогрессии от 1 до n равна сумме первого и n-ного членов, помноженной на номер члена n и делённой надвое. Если в формуле значение n-ного члена заменить на выражение из предыдущего пункта статьи, получим:

Пример расчёта

Для примера решим задачу со следующими условиями:

Первый член последовательности равен нулю;

Разность равняется 0,5.

В задаче требуется определить сумму членов ряда с 56-го по 101.

Решение. Воспользуемся формулой определения суммы прогрессии:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Вначале определим сумму значений 101 члена прогрессии, подставив в формулу данные их условия нашей задачи:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Очевидно, для того, чтобы узнать сумму членов прогрессии с 56-го по 101-й, необходимо от S 101 отнять S 55 .

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Таким образом сумма арифметической прогрессии для данного примера:

s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Пример практического применения арифметической прогрессии

В конце статьи вернёмся к примеру арифметической последовательности, приведённому в первом абзаце - таксометр (счётчик автомобиля такси). Рассмотрим такой пример.

Посадка в такси (в которую входит 3 км пробега) стоит 50 рублей. Каждый последующий километр оплачивается из расчёта 22 руб./км. Расстояние поездки 30 км. Рассчитать стоимость поездки.

1. Отбросим первые 3 км, цена которых включена в стоимость посадки.

30 - 3 = 27 км.

2. Дальнейший расчет - не что иное как разбор арифметического числового ряда.

Номер члена - число км пробега (минус первые три).

Значение члена - сумма.

Первый член в данной задаче будет равен a 1 = 50 р.

Разность прогрессии d = 22 р.

интересующее нас число - значение (27+1)-ого члена арифметической прогрессии - показания счётчика в конце 27-го километра - 27,999… = 28 км.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

На формулах, описывающих те или иные числовые последовательности, построены расчёты календарных данных на сколь угодно длительный период. В астрономии в геометрической зависимости от расстояния небесного тела до светила находится длина орбиты. Кроме того, различные числовые ряды с успехом применяются в статистике и других прикладных разделах математики.

Другой вид числовой последовательности - геометрическая

Геометрическая прогрессия характеризуется большими, по сравнению с арифметической, темпами изменения. Не случайно в политике, социологии, медицине зачастую, чтобы показать большую скорость распространения того или иного явления, например заболевания при эпидемии, говорят, что процесс развивается в геометрической прогрессии.

N-ный член геометрического числового ряда отличается от предыдущего тем, что он умножается на какое-либо постоянное число - знаменатель, например первый член равен 1, знаменатель соответственно равен 2, тогда:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - значение текущего члена геометрической прогрессии;

b n+1 - формула следующего члена геометрической прогрессии;

q - знаменатель геометрической прогрессии (постоянное число).

Если график арифметической прогрессии представляет собой прямую, то геометрическая рисует несколько иную картину:

Как и в случае с арифметической, геометрическая прогрессия имеет формулу значения произвольного члена. Какой-либо n-ный член геометрической прогрессии равен произведению первого члена на знаменатель прогрессии в степени n уменьшенного на единицу:

Пример. Имеем геометрическую прогрессию с первым членом равным 3 и знаменателем прогрессии, равным 1,5. Найдём 5-й член прогрессии

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Сумма заданного числа членов рассчитывается так же с помощью специальной формулы. Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна разности произведения n- ного члена прогрессии на его знаменатель и первого члена прогрессии, делённой на уменьшенный на единицу знаменатель:

Если b n заменить пользуясь рассмотренной выше формулой, значение суммы n первых членов рассматриваемого числового ряда примет вид:

Пример. Геометрическая прогрессия начинается с первого члена, равного 1. Знаменатель задан равным 3. Найдём сумму первых восьми членов.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Задачи по арифметической прогрессии существовали уже в глубокой древности. Они появлялись и требовали решения, поскольку имели практическую необходимость.

Так, в одном из папирусов Древнего Египта, имеющем математическое содержание, - папирусе Райнда (XIX век до нашей эры) - содержится такая задача: раздели десять мер хлеба на десять человек, при условии если разность между каждым из них составляет одну восьмую меры».

И в математических трудах древних греков встречаются изящные теоремы, имеющие отношение к арифметической прогрессии. Так, Гипсикл Александрийский (II век составивший немало интересных задач и добавивший четырнадцатую книгу к «Началам» Евклида, сформулировал мысль: «В арифметической прогрессии, имеющей четное число членов, сумма членов 2-ой половины больше суммы членов 1-ой на квадрату 1/2 числа членов».

Обозначается последовательность an. Числа последовательности называются ее членами и обозначаются обычно буквами с индексами, которые указывают порядковый номер этого члена (a1, a2, a3 … читается: «a 1-ое», «a 2-ое», «a 3-тье» и так далее).

Последовательность может быть бесконечной или конечной.

А что же такое арифметическая прогрессия? Под ней понимают получаемую сложением предыдущего члена (n) с одним и тем же числом d, являющимся разностью прогрессии.

Если d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, то такая прогрессия считается возрастающей.

Арифметическая прогрессия называется конечной, если учитываются только несколько ее первых членов. При очень большом количестве членов это уже бесконечная прогрессия.

Задается любая арифметическая прогрессия следующей формулой:

an =kn+b, при этом b и k - некоторые числа.

Абсолютно верно утверждение, являющееся обратным: если последовательность задается подобной формулой, то это точно арифметическая прогрессия, которая имеет свойства:

1. Каждый член прогрессии - среднее арифметическое предыдущего члена и последующего.
2. Обратное: если, начиная со 2-ого, каждый член - среднее арифметическое предыдущего члена и последующего, т.е. если выполняется условие, то данная последовательность - арифметическая прогрессия. Это равенство одновременно является и признаком прогрессии, поэтому его, как правило, называют характеристическим свойством прогрессии.
   Точно так же верна теорема, которая отражает это свойство: последовательность - арифметическая прогрессия только в том случае, если это равенство верно для любого из членов последовательности, начиная со 2-ого.

Характеристическое свойство для четырёх любых чисел арифметической прогрессии может быть выражено формулой an + am = ak + al, если n + m = k + l (m, n, k - числа прогрессии).

В арифметической прогрессии любой необходимый (N-й) член найти можно, применяя следующую формулу:

К примеру: первый член (a1) в арифметической прогрессии задан и равен трём, а разность (d) равняется четырём. Найти нужно сорок пятый член этой прогрессии. a45 = 1+4(45-1)=177

Формула an = ak + d(n - k) позволяет определить n-й член арифметической прогрессии через любой ее k-тый член при условии, если он известен.

Сумма членов арифметической прогрессии (подразумевается 1-ые n членов конечной прогрессии) вычисляется следующим образом:

Sn = (a1+an) n/2.

Если известны и 1-ый член, то для вычисления удобна другая формула:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Сумма арифметической прогрессии, которая содержит n членов, подсчитывается таким образом:

Выбор формул для расчетов зависит от условий задач и исходных данных.

Натуральный ряд любых чисел, таких как 1,2,3,...,n,...- простейший пример арифметической прогрессии.

Помимо арифметической прогрессии существует еще и геометрическая, которая обладает своими свойствами и характеристиками.