ПРАВОСЛАВНАЯ ЦЕРКОВЬ.Православная Церковь не является каким-то чисто земным...
Подготовка к профильному уровню единого государственного экзамена по математике. Полезные материалы по планиметрии, видеоразборы задач и подборка заданий прошлых лет.
Полезные материалы
Подборки видео
Как прокачать геометрию
Если с планиметрией у вас всё совсем плохо, а нужно ее «затащить», и вы готовы потратить на это значительное время, то есть хорошая книжка -- Гордин. Планиметрия . Работать с ней нужно так. По каждой теме:
- читаете теорию (обычно, пара абзацев);
- изучаете разобранные примеры;
- пробуете решать последние 3-5 задач «второго» уровня;
- если они получились, то переходите к следующей теме («третий» уровень смотреть необязательно);
- если они не решаются, то пробуете решить задачи из начала «второго» уровня;
- если получается, то решаете все задачи «второго» уровня (если их много, то можно идти через одну-две);
- если почти все получается, то переходите к следующей теме;
- если многие задачи непонятно как решать, то отрешиваете весь «первый» уровнь (там совсем простые одноходовые задачи, но решение таких задач позволит вам узнать основные идеи решения задач по этой теме).
Важно! Читать решения в конце книжки можно только в двух случаях. Либо вы решили задачу и хотите узнать авторское решение, либо вы долго пытались и у вас совсем нет никаких идей. Долго -- это подумать над задачей минимум полчаса, отложить, вернуться через день-два, подумать еще минимум полчаса. И так 3-4 раза, параллельно отрешивая простые задачи на ту же тему. Если вы будете смотреть решение задачи сразу, не пытаясь ее решать, толку от этого не будет.
Всё про прямоугольный треугольник
Теорема Менелая
Замечательные точки треугольника
Теоремы синусов и косинусов
Формула Герона
Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты
Видеоразборы задач
Две окружности касаются внешним образом в точке $K$. Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A$, а второй - в точке $B$. Прямая $BK$ пересекает первую окружность в точке $D$, прямая $AK$ пересекает вторую окружность в точке $C$.
а) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны.
б) Найдите площадь треугольника $AKB$, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Окружность высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные отрезки.
а) Докажите, биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.
б) Пусть окружность пересекает боковую сторону $AB$ в точках $K$ и $L$ так, что $AK = 23$, $KL = 4$ и $LB = 2$. Найдите высоту трапеции.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите $BD$.
а) Докажите, что угол $ABC$ равен $120^{\circ}$.
б) Найдите $BH$, если $AB = 7$, $BC = 8$.
а) Докажите, что $\angle CAN = \angle CMN$.
б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $ANB$ и $CBM$, если $\mathrm{tg} \angle BAC = \dfrac43$.
а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_1H$, если $BC = 2 \sqrt3$.
а) Докажите, что $CK \cdot CE = AB \cdot CD$.
б) Найдите отношение $CK$ и $KE$, если $\angle ECD = 15^{\circ}$.
а) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны;
б) Найдите отношение $EH: AC$, если угол $ABC$ равен $30^{\circ}$.
Подборка задач
- Точки $M$ и $N$ -- середины соответственно боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$. Окружность проходящая через точки $B$ и $C$ пересекает отрезки $MB$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.
а) Докажите, что $M$, $P$, $Q$ и $N$ лежат на одной окружности.
б) Найдите длину отрезка $QN$. Если $BC=4{,}5$, $AD=21{,}5$, $AB=26$, $CD=25$, а угол $CPD$ -- прямой. (ЕГЭ-2019, досрочная волна) - В треугольнике $ABC$ угол $B$ тупой, $H$ -- точка пересечения высот, угол $AHC$ равен $60^{\circ}$.
а) Докажите, что угол $ABC$ равен $120^{\circ}$.
б) Найдите $BH$, если $AB = 7$, $BC = 8$. (ЕГЭ-2018, досрочная волна) - Точка $O$ -- центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$, а $BH$ -- высота этого треугольника.
а) Докажите, что углы $ABH$ и $CBO$ равны.
б) Найдите $BH$, если $AB = 16$, $BC = 18$, $BH = BO$. (ЕГЭ-2018, основная волна, резервный день) - В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известны стороны и диагональ: $AB = 3$, $BC = CD = 5$, $AD = 8$, $AC = 7$.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите $BD$. (ЕГЭ-2018, досрочная волна, резервный день) - В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ углы $ABD$ и $ACD$ прямые.
а) Докажите, что $AB = CD$.
б) Найдите $AD$, если $AB = 2$, $BC = 7$. (ЕГЭ-2018, основная волна) - Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса 8. Известно, что
а) Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны.
б) Найдите $AD$. (ЕГЭ-2018, основная волна) - Окружность с центром $O_1$ касается оснований $BC$ и $AD$ и боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Окружность с центром $O_2$ касается сторон $BC$, $CD$ и $AD$. Известно, что $AB = 10$, $BC = 9$, $CD = 30$, $AD = 39$.
а) Докажите, что прямая $O_1O_2$ параллельна основаниям трапеции $ABCD$.
б) Найдите $O_1O_2$. (ЕГЭ-2018, основная волна) - Окружность высекает на всех сторонах трапеции $ABCD$ равные отрезки.
а) Докажите, биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.
б) Пусть окружность пересекает боковую сторону $AB$ в точках $K$ и $L$ так, что $AK = 23$, $KL = 4$ и $LB = 2$. Найдите высоту трапеции. (ЕГЭ-2018, основная волна) - Точка $E$ -- середина стороны $BC$ квадрата $ABCD$. Серединные перпендикуляры к отрезкам $AE$ и $EC$ пересекаются в точке $O$.
а) Докажите, что $\angle AOE = 90^{\circ}$.
б) Найдите $BO: OD$. (ЕГЭ-2018, основная волна, резервный день) - Точка $M$ -- середина гипотенузы $AB$ треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет $BC$ в точке $N$.
а) Докажите, что $\angle CAN = \angle CMN$.
б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $ANB$ и $CBM$, если $\mathrm{tg} \angle BAC = \dfrac43$. (ЕГЭ-2017) - В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ -- середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ -- высота, $\angle BAC = 60^{\circ}$, $\angle BCA = 45^{\circ}$.
а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_1H$, если $BC = 2 \sqrt3$. (ЕГЭ-2017) - Точка $E$ -- середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$. На стороне $AB$ взяли точку $K$, так, что прямые $CK$ и $AE$ параллельны. Отрезки $CK$ и $BE$ пересекаются в точке $O$.
а) Докажите, что $CO = KO$.
б) Найти отношение оснований трапеции $BC$ и $AD$, если площадь треугольника $BCK$ составляет $0,009$ площади трапеции $ABCD$. (ЕГЭ-2017) - Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$, причем точки $O_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны от прямой $AB$. Продолжения диаметра $CA$ первой окружности и хорды $CB$ этой окружности пересекают вторую окружности в точках $D$ и $E$ соответственно.
а) Докажите, что треугольники $CBD$ и $O_1AO_2$ подобны.
б) Найдите $AD$, если $\angle DAE = \angle BAC$, радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и $AB = 3$. (ЕГЭ-2017) - В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$ из вершины прямого угла. В треугольники $ACH$ и $BCH$ вписаны окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно, касающиеся прямой $CH$ в точках $M$ и $N$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $AO_1$ и $CO_2$ перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырехугольника $MO_1NO_2$, если $AC = 20$ и $BC = 15$. (ЕГЭ-2017) - Точки $E$ и $K$ -- соответственно середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Прямая $BE$ пересекается с прямой $CK$ в точке $O$.
а) Докажите, что вокруг четырехугольника $ABOK$ можно описать окружность.
б) Найдите $AO$, если сторона квадрата равна 1. (ЕГЭ-2017) - Точка $O$ -- центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$, $I$ -- центр вписанной в него окружности, $H$ -- точка пересечения высот. Известно, что $\angle BAC = \angle OBC + \angle OCB$.
а) Докажите, что точка $I$ лежит на окружности, описанной около треугольника $BOC$.
б) Найдите угол $OIH$, если $\angle ABC = 55^{\circ}$. (ЕГЭ-2016) - В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$. На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны;
б) Найдите отношение $EH: AC$, если угол $ABC$ равен $30^{\circ}$. (ЕГЭ-2016) - В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $60^{\circ}$. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны $AC$ в точке $M$.
а) Докажите, что отрезок $BM$ не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите $\sin \angle BMC$ если известно, что отрезок $BM$ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности. (ЕГЭ-2016) - Квадрат $ABCD$ вписан в окружность. Хорда $CE$ пересекает его диагональ $BD$ в точке $K$.
а) Докажите, что $CK \cdot CE = AB \cdot CD$.
б) Найдите отношение $CK$ и $KE$, если $\angle ECD = 15^{\circ}$. (ЕГЭ-2016) - В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ -- середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно. Биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $MN$ в точке $L$.
а) Докажите, что треугольники $AML$ и $BLC$ подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $\cos \angle BAC = \dfrac{7}{25}$. (ЕГЭ-2016) - Окружность касается стороны $AC$ остроугольного треугольника $ABC$ и делит каждую из сторон $AB$ и $BC$ на три равные части.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.
б) Найдите, в каком отношении высота этого треугольника делит сторону $BC$. (ЕГЭ-2016) - В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ точки $M$ и $N$ -- середины катетов $AC$ и $BC$ соответственно, $CH$ -- высота.
а) Докажите, что прямые $MH$ и $NH$ перпендикулярны.
б) Пусть $P$ -- точка пересечения прямых $AC$ и $NH$, а $Q$ -- точка пересечения прямых $BC$ и $MH$. Найдите площадь треугольника $PQM$, если $AH = 4$ и $BH = 2$. (ЕГЭ-2016) - На катетах $AC$ и $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке $M$. Точка $Q$ лежит на меньшей дуге $MB$ окружности с диаметром $BC$. Прямая $CQ$ второй раз пересекает окружность с диаметром $AC$ в точке $P$.
а) Докажите, что прямые $PM$ и $QM$ перпендикулярны.
б) Найдите $PQ$, если $AM = 1$, $BM = 3$, а $Q$ -- середина дуги $MB$. (ЕГЭ-2016) - Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2. - Хорды $AD$, $BE$ и $CF$ окружности делят друг друга на три равные части.
а) Докажите, что эти хорды равны.
б) Найдите площадь шестиугольника $ABCDEF$, если точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен $2\sqrt{21}$. - Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Вписанная в него окружность с центром $O$ касается боковой стороны $BC$ в точке $P$ и пересекает биссектрису угла $B$ в точке $Q$.
а) Докажите, что отрезки $PQ$ и $OC$ параллельны.
б) Найдите площадь треугольника $OBC$, если точка $O$ делит высоту $BD$ треугольника в отношении $BO: OD = 3: 1$ и $AC = 2$.
Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами.
Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.
Свойства медиан треугольника
Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
Биссектриса
Биссектриса угла
- это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника
называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.
Свойства биссектрис треугольника
Высота
Высотой
треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.
Свойства высот треугольника
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
Серединный перпендикуляр
Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром к отрезку.
Свойства серединных перпендикуляров треугольника
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.
Средняя линия
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Свойство средней линии треугольника
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:
Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos
Формулы площади треугольника
Произвольный треугольник
a, b, c - стороны; - угол между сторонами a и b ;- полупериметр; R - радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности; S - площадь; h a - a .
S = ah
a
S = ab sin
S = pr
Прямоугольный треугольник
a, b - катеты; c - гипотенуза; h c - высота, проведенная к стороне c .
S = ch c
Равносторонний треугольник
Четырехугольники
Четырехугольником
называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.
Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.
Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и невыпуклые (A 1 B 1 C 1 D 1 ) .
Виды четырёхугольников
Параллелограмм
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма
противолежащие стороны равны;
противоположные углы равны;
диагонали точкой пересечения делятся пополам;
сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:
d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2 ).
Признаки параллелограмма
Четырехугольник является параллелограммом, если:
Две его противоположные стороны равны и параллельны.
Противоположные стороны попарно равны.
Противоположные углы попарно равны.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Трапеция
Трапецией
называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.
Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны - боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.
Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой ), если ее боковые стороны равны.
Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.
Свойства трапеции
ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;
если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;
если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.
Признаки трапеции
Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны
Прямоугольник
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойства прямоугольника
все свойства параллелограмма;
диагонали равны.
Признаки прямоугольника
Параллелограмм является прямоугольником, если:
Один из его углов прямой.
Его диагонали равны.
Ромб
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства ромба
Все свойства параллелограмма;
диагонали перпендикулярны;
диагонали являются биссектрисами его углов.
Признаки ромба
Параллелограмм является ромбом, если:
Две его смежные стороны равны.
Его диагонали перпендикулярны.
Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.
Квадрат
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадрата
все углы квадрата прямые;
диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
Признаки квадрата
Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.
Основные формулы
S =d 1 d 2 sin
S = ah a
S = ab sin
S =d 1 d 2 sin
S =d 1 d 2 sin
S = ah a
S = a 2 sin
S =d 1 d 2
S = a 2
Планиметрия. Задачи.
Сторона треугольника равна 21, а две другие стороны образуют угол в 60 o и относятся как 3:8. Найдите эти стороны.
a) Докажите, что BL : LC = 2: 1.
б) Найдите площадь треугольника BLK .
В равнобедренном треугольнике ABC AC - основание. На продолжении стороны CB за точку В отмечена точка D так, что угол CAD равен углу ABD.
а) Докажите, что AB биссектриса угла CAD.
б) Найдите длину отрезка AD, если боковая сторона треугольника АВС равна 5, а его основание равно 6.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и CN .
а) Докажите, что углы ACB и MNB равны.
б) Вычислите длину стороны АС , если известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, периметр треугольника BMN равен 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника BMN равен 3 см.
Площадь треугольника АВС равна 72, а сумма длин сторон АС и ВС равна 24.
а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
б) Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник АВС , если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне АВ .
Основания трапеции равны 3 см и 5 см. Одна из диагоналей трапеции равна 8 см, угол между диагоналями равен 60 o . Найдите периметр трапеции.
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L .
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если.
Задание № 16. Планиметрия с доказательством.
57. Одна окружность вписана в прямоугольную трапецию, а вторая касается большей боковой стороны и продолжений оснований.
а) Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно большей боковой стороне трапеции.
б) Найдите расстояние от вершины одного из прямых углов трапеции до центра второй окружности, если точка касания первой окружности с большей боковой стороной трапеции делит её на отрезки, равные 2 и 50.
58. В остроугольном треугольнике
ABC
проведены высоты
AK
и
CM.
На них из точек
M
и
K
опущены перпендикуляры
ME
и
KH
соответственно.
а) Докажите, что прямые
EH
и
AC
параллельны.
б) Найдите отношение
EH
и
AC
, если
∠
ABC
=45°
Ответ: б) 1:2
59.
Точка
М
– середина гипотенузы
АВ
треугольника
АВС
. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет
ВС
в точке
N
.
а) Докажите, что
∠
CAN =
∠
CMN
б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников
ANB
и
CBM
, если
tg BAC
= 4/3.
Ответ: б) 5:4
60. В равнобедренной трапеции
ABCD
основание
AD
в два раза больше основания
BC
.
а) Докажите, что высота
CH
AD
на отрезки, один из которых втрое больше другого.
б) Пусть
O
- точка пересечения диагоналей трапеции
ABCD
. Найдите расстояние от вершины
C
до середины отрезка
OD
, если
BC=16
и
AB=10.
Ответ: б) 4
61. В трапеции
ABCD
основание
AD
в два раза больше основания
BC.
Внутри трапеции взяли точку
M
так, что углы
ABM
и
DCM
прямые.
а) Докажите, что
AM=DM
.
б) Найдите угол
BAD
, если угол
ADC
равен 70°, а расстояние от точки
M
до прямой
AD
равно стороне
BC
.
Ответ: б) 65°
62. Около остроугольного треугольника
ABC
описана окружность с центром
O.
На продолжении отрезка
AO
за точку
O
отмечена точка
K
так, что ∠
BAC +
∠
AKC=90°.
а) Докажите, что четырёхугольник
OBKC
вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника
OBKC,
если
cos
∠
BAC=3/5,
а BC=48.
Ответ:
б)
25
63. В равнобедренной трапеции
ABCD
основание
AD
в три раза больше основания
BC
.
а) Докажите, что высота
CH
трапеции разбивает основание
AD
на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины
C
до середины диагонали
BD,
если
AD
=15 и
AC
=2√61.
Ответ:
б)
6
64. В трапеции
ABCD
боковая сторона
AB
перпендикулярна основаниям.
Из точки
A
на сторону
CD
опустили перпендикуляр
AH
. На стороне
AB
отмечена точка
E
так, что прямые
CD
и
CE
перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые
BH
и
ED
параллельны.
б) Найдите отношение
BH
к
ED
, если
∠
BCD=120°.
Ответ:
б)
3:4
65. В треугольнике
ABC
угол
ABC
тупой,
H
- точка пересечения продолжений высот, угол
AHC
равен 60°.
а) Докажите, что угол
ABC
равен 120°.
б) Найдите
BH
, если
AB
=7,
BC
=8.
66. В трапеции
ABCD
с основаниями
ВС
и
AD
углы
ABD
и
ACD
прямые.
а) Докажите, что
АВ
=
CD
.
б) Найдите
AD
, если
AB
= 2,
BC
= 7.
Ответ:
б)
8
67. Точка
Е
- середина стороны
BС
квадрата
АВСD
. Серединные перпендикуляры к отрезкам
АЕ
и
ЕС
пересекаются в точке
O
.
а) Докажите, что
∠
AOE
=90°.
б) Найдите
BO
:
OD
.
Ответ:
б)
3:1
68. Точка
O
- центр окружности, описанной около остроугольного треугольника
ABC
, а
BH
- высота этого треугольника.
а) Докажите, что углы
ABH
и
CBO
равны.
б) Найдите
BH
, если
AB
=8,
BC
=9,
BH
=
BO
.
Ответ:
б)
6
69. В выпуклом четырёхугольнике
ABCD
известны стороны и диагональ:
AB
= 3,
BC
=
CD
= 5,
AD
= 8,
AC
= 7.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите
BD
.
Ответ: б) 55/7
70. Четырёхугольник
ABCD
вписан в окружность радиуса
R
= 8. Известно, что
AB
=
BC
=
CD
=12.
а) Докажите, что прямые
BC
и
AD
параллельны.
б) Найдите
AD.
Ответ:
б)
9
71. Окружность с центром
О
1
касается оснований
ВС
и
AD
и боковой стороны
АВ
трапеции
ABCD
. Окружность с центром
O
2
касается сторон
ВС
,
CD
и
AD
. Известно, что
АВ
= 10,
ВС
= 9,
CD
= 30,
AD
= 39.
а) Докажите, что прямая
О
1
О
2
параллельна основаниям трапеции
АВСD
.
б) Найдите
О
1
О
2
.
Ответ:
б)
4
72. Окружность с центром в точке
O
высекает на всех сторонах трапеции
ABCD
равные хорды.
а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной и той же точке.
б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону
AB
в точках
K
и
L
так, что
AK
= 11,
KL
= 10,
LB
= 4.
Ответ:
б)
24
73. Окружность проходит через вершины
A
,
B
и
D
параллелограмма
ABCD
, пересекает сторону
BC
в точках
B
и
E
и пересекает сторону
CD
в точках
K
и
D
.
а) Докажите, что
AE
=
AK
.
б) Найдите
AD
, если
CE
=10,
DK
= 9 и cos
∠
BAD
=0,2.
Ответ:
б)
40
74. Высоты тупоугольного треугольника
АВС
с тупым углом
АВС
пересекаются в точке
Н.
Угол
АНС
равен 60 градусов.
а) Докажите, что угол
АВС
равен 120 градусов
б) Найдите
ВН
, если
АВ=7, ВС=8.
75. В трапецию
ABCD
c основаниями
ВС
и
AD
вписана окружность с центром
О, СН
– высота трапеции,
Е
– точка пересечения диагоналей.
а) Докажите, что ∠
OHC
= ∠
ADC
/
2.
б) Найдите площадь четырехугольника
СЕОН,
если известно, что ∠
BAD
=90°,
BC
=9,
AD
=18.
Ответ:
б)
21
76. Серединный перпендикуляр к стороне
АВ
треугольника
АВС
пересекает сторону
АС
в точке
D.
Окружность с центром
О,
вписанная в треугольник
ADB
, касается отрезка
AD
в точке
Р
, а прямая
ОР
пересекает сторону
АВ
в точке
К.
а) Докажите, что около четырехугольника
ВDОК
можно описать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если
АВ = 10, АС = 8, ВС = 6.
77. Окружность, вписанная в треугольник
ABC,
касается сторон
BC
и
AC
в точках
M
и
N
соответственно,
E
и
F
- середины сторон
AB
соответственно. Прямые
MN
и
EF
пересекаются в точке
D.
а) Докажите, что треугольник
DFN
равнобедренный.
BED
, если
AB =
20
и
∠
ABC =
60
°
.
78. Медианы AA 1 , BB 1 , CC 1 треугольника ABC пересекаются в точке M . Известно, что AC = 3MB.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA 1 и CC 1 , если известно, что AC = 12.
Ответ: б) 180
79. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диаметр CC 1 перпендикулярен стороне AD и пересекает её в точке M , а диаметр DD 1 перпендикулярен стороне AB и пересекает её в точке N .
а) Пусть AA 1 также диаметр окружности. Докажите, что ∠ DNM = ∠ BA 1 D 1 .
б) Найдите углы четырёхугольника
ABCD
, если угол
CDB
вдвое меньше угла
ADB.
Ответ:
б)
72
°, 126°,
108°, 54°
80. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC =12, BC = 5. Окружность радиусом 0,5 с центром O на стороне BC проходит через вершину C . Вторая окружность касается катета AC , гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.
а) Докажите, что радиус второй окружности меньше , чем 1/5 длины катета AC .
б) Найдите радиус второй окружности.
Ответ:
б)
2
81. Окружность с центром O проходит через вершины B и C большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD и касается боковой стороны AD в точке T.
а) Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BTC.
б) Найдите расстояние от точки T до прямой BC , если основания трапеции AB и CD равны 4 и 9 соответственно.
Ответ: б) 6
82. Окружность с центром O , вписанная в треугольник ABC , касается его сторон BC, AB и AC в точках K, L и M соответственно. Прямая KM вторично пересекает в точке P окружность радиуса AM с центром A .
а) Докажите, что прямая AP параллельна прямой BC .
б) Пусть ∠ ABC = 90 °, AM = 3 , CM = 2 , Q - точка пересечения прямых KM и AB , а T -такая точка на отрезке PQ, что ∠ OAT = 45°. Найдите QT.
83. На гипотенузе AB и на катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки M , N и K соответственно, причем прямая KN параллельна прямой AB и BM = BN = KN / 2. Точка P - середина отрезка KN .
а) Докажите, что четырехугольник BCPM - равнобедренная трапеция.
б) Найдите площадь треугольника
ABC
,
если
BM
=1
и
∠
BCM
=15
°.
84. В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC , а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C , причём CM=BC и CN=AC . Отрезки CP и CQ - биссектрисы треугольников ACB и NCM соответственно.
а) Докажите, что CP и СQ перпендикулярны.
б) Найдите PQ , если BC =3, а AC =5.
Ответ: б) 15/4
85. Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD . Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С , пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).
а) Докажите, что точки M , N , P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника MPQ , если прямая DP перпендикулярна прямой PC , AB = 25, BC = 3, CD = 28, AD = 20.
Ответ: б) 85/12
86. В о строугольном треугольнике ABC , ∠A =60°. Высоты BN и CM треугольника ABC пересекаются в точке H . Точка O - центр окружности, описанной около ∆ ABC .
а) Докажите, что AH=AO .
б) Найдите площадь ∆ AHO , если BC =6√3, ∠ABC =45°.
Ответ: б) 9
87. Точка O - центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая OB вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P .
а)
Докажите, что
∠
POC
=∠
PCO
.
б)
Найдите площадь треугольника
APC
, если радиус описанной около
треугольника
ABC
окружности равен 4, а
∠
ABC
=120
°.
Ответ: б) 12√3
88. Около остроугольного треугольника ABC с различными сторонами описали окружность с диаметром BN . Высота BH пересекает эту окружность в точке K .
а) Докажите, что AN = CK .
б) Найдите KN , если ∠ BAC =35 °, ∠ ACB =65 °, а радиус окружности равен 12.
О
твет: б) 12
89. Около ∆ ABC описана окружность. Прямая BO , где O - центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке P .
а) Докажите, что OP=AP.
б) Найдите расстояние от точки 3
Описание презентации по отдельным слайдам:
1 слайд
Описание слайда:
Решение задач по геометрии Подготовка к ЕГЭ Планиметрия Учитель математики МАОУ СОШ № 13 с углублённым изучением отдельных предметов г.Тамбова Е.В.Кирина
2
слайд
Описание слайда:
Некоторые теоремы Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанной окружности.
3
слайд
Описание слайда:
Теорема о пропорциональности отрезков, высекаемых на сторонах угла параллельными прямыми. Стороны угла, пересекаемые рядом параллельных прямых, рассекаются ими на пропорциональные части. Признаки подобия треугольников. Два треугольника подобны, если выполнено хотя бы одно из условий: два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника; две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между пропорциональными сторонам, равны; три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника. Свойства подобных треугольников. В подобных треугольниках сходственные элементы (например, медианы, высоты, периметры, Радиусы вписанной и описанной окружностей и др.) относятся как сходственные стороны, и это отношение равно коэффициенту подобия. Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон, т.е. отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
4
слайд
Описание слайда:
Задача 1. Периметр прямоугольного треугольника равен 60 см. Найти его стороны, если высота, проведённая к гипотенузе, равна 12 см. Решение. Составим и решим систему: Решая систему, находим стороны: 15 см, 20 см, 25 см. Ответ: 15 см, 20 см, 25 см.
5
слайд
Описание слайда:
Задача 2. В треугольнике АВС сторона АВ=6, сторона АС=9. Из вершины В проведена прямая, проходящая через середину биссектрисы АL. В каком отношении эта прямая делит площадь треугольника АВС? Решение. Пусть D –середина биссектрисы AL, К – точка пересечения BD и АС. Проведём LM//ВК. Пусть АК=х. По теореме Фалеса АК=КМ, поэтому КМ=х. По свойству биссектрисы BL:LC=АВ:АС=6:9=2:3. А К С В M L D x
6
слайд
Описание слайда:
По теореме о пропорциональности отрезков, высекаемых на сторонах угла параллельными прямыми, имеем: КМ:МС=BL:LC= . Т.о., Тогда Ответ: 2:5
7
слайд
Описание слайда:
Задача 3. Через точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные его сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых – треугольники с площадями S1, S2,S3. Найти площадь S треугольника. Решение. Треугольник МРО подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия и этот коэффициент равен, т.е. А Е С В M Р D О N Q S S S
8
слайд
Описание слайда:
Проводим аналогичные рассуждения для треугольников DQO и OEN, получаем: Складываем эти равенства и, учитывая, что AD+DQ+QC=AC, получаем: . Отсюда Ответ:
9
слайд
Описание слайда:
Задача 4. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС построены квадраты ABDE и BCKM. Доказать, что отрезок DM вдвое длиннее медианы ВР треугольника АВС. Решение. Продолжим отрезок ВР и отложим РТ=ВР. Рассмотрим треугольники DBM и ВСТ. Отрезки ВМ и ВС равны как стороны квадрата, АВ=СТ – как противоположные стороны параллелограмма АВСТ. Кроме того, 10
слайд
Описание слайда:
Задача 5. На стороне АС треугольника АВС Взята точка D. Через неё проведены две прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разбивают треугольник на три части – один параллелограмм и два треугольника, площади которых равны S1 и S2. Найти площадь параллелограмма. Решение. Пусть х – искомая площадь параллелограмма PBQD. Отметим, ∆APD~∆ABC с коэффициентом подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, кроме того, площадь ∆ABC равна S1+S2+x. Поэтому (1) Аналогично (2) А В С D P Q S S x 11
слайд
Описание слайда:
Складывая почленно равенства (1) и (2), получаем: Находим х из данного равенства и получаем, что Ответ: 12
слайд
