ПРАВОСЛАВНАЯ ЦЕРКОВЬ.Православная Церковь не является каким-то чисто земным...
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
ДВУГРАННЫЙ УГОЛ Учитель математики ГОУ СОШ №10 Еременко М.А.
Основные задачи урока: Ввести понятие двугранного угла и его линейного угла Рассмотреть задачи на применение этих понятий
Определение: Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой.
Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB -линейный угол двугранного угла ACD В
Докажем, что все линейные углы двугранного угла равны друг другу. Рассмотрим два линейных угла АОВ и А 1 ОВ 1 . Лучи ОА и ОА 1 лежат в одной грани и перпендикулярны ОО 1 , поэтому они сонаправлены. Лучи ОВ и ОВ 1 также сонаправлены. Следовательно, ∠ АОВ = ∠ А 1 ОВ 1 (как углы с сонаправленными сторонами).
Примеры двугранных углов:
Определение: Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Задача 1: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD 1 . Ответ: 90 o .
Задача 2: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA 1 . Ответ: 45 o .
Задача 3: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и BDD 1 . Ответ: 90 o .
Задача 4: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и BDD 1 . Ответ: 90 o .
Задача 5: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями BC 1 D и BA 1 D . Решение: Пусть О – середина В D. A 1 OC 1 – линейный угол двугранного угла А 1 В D С 1 .
Задача 6: В тетраэдре DABC все ребра равны, точка М – середина ребра АС. Докажите, что ∠ DMB – линейный угол двугранного угла BACD .
Решение: Треугольники ABC и ADC правильные, поэтому, BM ⊥ AC и DM ⊥ AC и, следовательно, ∠ DMB является линейным углом двугранного угла DACB .
Задача 7: Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит в плоскости α , проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВ 1 . Найдите расстояние от точки В до прямой АС и до плоскости α , если АВ=2, ∠ВАС=150 0 и двугранный угол ВАСВ 1 равен 45 0 .
Решение: АВС – тупоугольный треугольник с тупым углом А, поэтому основание высоты ВК лежит на продолжении стороны АС. ВК – расстояние от точки В до АС. ВВ 1 – расстояние от точки В до плоскости α
2) Так как АС ⊥ВК, то АС⊥КВ 1 (по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах). Следовательно, ∠ВКВ 1 – линейный угол двугранного угла ВАСВ 1 и ∠ВКВ 1 =45 0 . 3) ∆ВАК: ∠А=30 0 , ВК=ВА· sin 30 0 , ВК =1. ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· sin 45 0 , ВВ 1 =
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
В планиметрии основными объектами являются прямые, отрезки, лучи и точки. Лучи исходящие из одной точки, образуют одну их геометрических фигур-угол.
Мы знаем, что линейный угол измеряется в градусах и радианах.
В стереометрии к объектам добавляется плоскость. Фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости в геометрии называется двугранным углом. Полуплоскости - это грани двугранного угла. Прямая а - это ребро двугранного угла.
Двухгранный угол как и линейный угол можно назвать, измерить, построить. Это и предстоит нам выяснить в этом уроке.
Найдём двухгранный угол на модели тетраэдра АВСD.
Двугранный угол с ребром АВ называют CABD, где С и D точки принадлежащие разным граням угла а ребро АВ называют в середине
Вокруг нас достаточно много предметов с элементами в виде двухгранного угла.
Во многих городах в парках установлены специальные скамейки для примирения. Скамейка выполнена в виде двух сходящихся к центру наклонных плоскостей.
При строительстве домов часто используется так называемая двухскатная крыша. На этом доме крыша выполнена в виде двухгранного угла в 90 градусов.
Двугранный угол тоже измеряется в градусах или радианах, но как его измерить.
Интересно заметить, что крыши домов лежат на стропилах. А обрешётка стропил образует два ската крыши под заданным углом.
Перенесем изображение на чертёж. На чертеже для нахождения двухгранного угла на его ребре отмечается точка В. Из этой точки проводятся два луча ВА и ВС перпендикулярно ребру угла. Образованный этими лучами угол АВС называется линейным углом двугранного угла.
Градусная мера двугранного угла равна градусной мере его линейного угла.
Измерим угол АОВ.
Градусная мера данного двугранного угла равна шестидесяти градусам.
Линейных углов для двугранного угла можно провести бесконечное количество, важно знать, что все они равны.
Рассмотрим два линейных угла АОВ и А1О1В1 . Лучи ОА и О1А1 лежат в одной грани и перпендикулярны к прямой ОО1, поэтому они сонаправлены. Лучи ОВ и О1В1 так же сонаправлены. Поэтому угол АОВ равен углуА1О1В1 как углы с сонаправленными сторонами.
Так двугранный угол характеризуется линейным углом, а линейные углы бывают острые, тупые и прямые. Рассмотрим модели двугранных углов.
Тупой угол, если его линейный угол от 90 до 180 градусов.
Прямой угол, если его линейный угол равен 90 градусов.
Острый угол, елси его линейный угол от 0 до 90 градусов.
Докажем одно из важных свойств линейного угла.
Плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранного угла.
Пусть угол АОВ - линейный угол данного двугранного угла. По построению лучи АО и ОВ перпендикулярные прямой а.
Через две пересекающиеся прямые АО и ОВ проходит плоскость АОВ по теореме: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.
Прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в этой плоскости, значит по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая а перпендикулярна плоскости АОВ.
Для решения задач важно уметь строить линейный угол заданного двухгранного угла. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АВ для тетраэдра АВСD.
Речь идет о двугранном угле, который образован, во-первых, ребром АВ, одной гранью АВD, второй гранью АВС.
Вот один из способов построения.
Проведем перпендикуляр из точки D к плоскости АВС, Отметим точку М основание перпендикуляра. Вспомним, что в тетраэдре основание перпендикуляра совпадает с центром вписанной окружности в основание тетраэдра.
Проведем наклонную из точки D перпендикулярно к ребру АВ, отметим точку N основание наклонной.
В треугольнике DMN отрезок NM будет проекций наклонной DN на плоскость АВС. По теореме о трёх перпендикулярах ребро АВ будет перпендикулярно проекции NМ.
Значит cтороны угла DNM перпендикулярны к ребру АВ, значит построенный угол DNM искомый линейный угол.
Рассмотрим пример решения задачи на вычисление двугранного угла.
Равнобедренный треугольник АВС и правильный треугольник АDB не лежат в одной плоскости. Отрезок CD является перпендикуляром к плоскости ADB. Найдите двугранный угол DABC, если AC=CB=2 см, АB= 4см.
Двугранный угол DABC равен его линейному углу. Построим этот угол.
Проведем наклонную СМ перпендикулярно к ребру АВ, так как треугольник АСВ равнобедренный, то точка М совпадёт с серединой ребра АВ.
Прямая СD по условию перпендикулярна плоскости ADB, значит перпендикулярна прямой DM лежащей в этой плоскости. А отрезок МD является проекцией наклонной СМ на плоскость АDВ.
Прямая АВ перпендикулярна наклонной СМ по построению, значит по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярна проекции MD.
Итак к ребру АВ найдены два перпендикуляра СМ и DМ. Значит они образуют линейный угол СMD двугранного угла DАВС. И нам останется его найти из прямоугольного треугольника СDM.
Так отрезок СМ медиана и высота равнобедренного треугольника АСВ, то по теореме Пифагора катет СМ равен 4 см.
Из прямоугольного треугольника DMB по теореме Пифагора катет DM равен двум корням из трёх.
Косинус угла из прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета МD к гипотенузе СМ и равен три корня из трёх на два. Значит угол СМD равен 30 градусам.
ГЛАВА ПЕРВАЯ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ
V. ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ, УГОЛ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ,
УГОЛ ДВУХ СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ, МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
Двугранные углы
38. Определения. Часть плоскости, лежащая по одну сторону от какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, называется полуплоскостью . Фигура, образованная двумя полуплоскостями (Р и Q, черт. 26), исходящими из одной прямой (АВ), называется двугранным углом . Прямая АВ называется ребром , а полуплоскости Р и Q - сторонами или гранями двугранного угла.
Такой угол обозначается обыкновенно двумя буквами, поставленными у его ребра (двугранный угол АВ). Но если при одном ребре лежат нисколько двугранных углов, то каждый из них обозначают четырьмя буквами, из которых две средние стоят при ребре, а две крайние - у граней (например, двугранный угол SCDR) (черт. 27).
Если из произвольной точки D ребра АВ (черт. 28) проведём на каждой грани по перпендикуляру к ребру, то образованный ими угол CDE называется линейным углом двугранного угла.
Величина линейного угла не зависит от положения его вершины на ребре. Так, линейные углы CDE и C 1 D 1 E 1 равны, потому что их стороны соответственно параллельны и одинаково направлены.
Плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру, так как она содержит две прямые, перпендикулярные к нему. Поэтому для получения линейного угла достаточно грани данного двугранного угла пересечь плоскостью, перпендикулярной к ребру, и рассмотреть получившийся в этой плоскости угол.
39. Равенство и неравенство двугранных углов. Два двугранных угла считаются равными, если они при вложении могут совместиться; в противном случае тот из двугранных углов считается меньшим, который составит часть другого угла.
Подобно углам в планиметрии, двугранные углы могут быть смежные, вертикальные и пр.
Если два смежных двугранных угла равны между собой, то каждый из них называется прямым двугранным углом .
Теоремы. 1) Равным двугранным углам соответствуют равные линейные углы.
2) Большему двугранному углу соответствует больший линейный угол.
Пусть РАВQ, и Р 1 А 1 В 1 Q 1 (черт. 29)-два двугранных угла. Вложим угол А 1 В 1 в угол АВ так, чтобы ребро А 1 В 1 совпало с ребром АВ и грань Р 1 с гранью Р.
Тогда если эти двугранные углы равны, то грань Q 1 совпадёт с гранью Q; если же угол А 1 В 1 меньше угла АВ, то грань Q 1 займёт некоторое положение внутри двугранного угла, например Q 2 .
Заметив это, возьмём на общем ребре какую-нибудь точку В и проведём через неё плоскость R, перпендикулярную к ребру. От пересечения этой плоскости с гранями двугранных углов получатся линейные углы. Ясно, что если двугранные углы совпадут, то у них окажется один и тот же линейный угол CBD; если же двугранные углы не совпадут, если, например, грань Q 1 займёт положение Q 2 , то у большего двугранного угла окажется больший линейный угол (именно: / CBD > / C 2 BD).
40. Обратные теоремы. 1) Равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.
2) Большему линейному углу соответствует больший двугранный угол .
Эти теоремы легко доказываются от противного.
41. Следствия. 1) Прямому двугранному углу соответствует прямой линейный угол, и обратно.
Пусть (черт. 30) двугранный угол PABQ прямой. Это значит, что он равен смежному углу QABP 1 . Но в таком случае линейные углы CDE и CDE 1 также равны; а так как они смежные, то каждый из них должен быть прямой. Обратно, если равны смежные линейные углы CDE и CDE 1 , то равны и смежные двугранные углы, т. е. каждый из ни должен быть прямой.
2) Bcе прямые двугранные углы равны, лотому что у них равны линейные углы.
Подобным же образом легко доказать, что:
3) Вертикальные двугранные углы равны .
4) Двугранные углы с соответственно параллельными и одинаково (или противоположно) направленными гранями равны.
5) Если за единицу двугранных углов возьмём такой двугранный угол, который соответствует единице линейных углов, то можно сказать, чтo двугранный угол измеряется его линейным углом.
