การเคลื่อนไหวของวัตถุในสนามโน้มถ่วงโดยคำนึงถึงแรงต้านของอากาศ การเคลื่อนที่ของร่างกายในสนามแรงโน้มถ่วงโดยคำนึงถึงแรงต้านของอากาศ การเคลื่อนที่ของร่างกายในมุมหนึ่ง

ทฤษฎี

หากวัตถุถูกโยนในมุมหนึ่งจนถึงขอบฟ้า ขณะบินวัตถุนั้นจะถูกกระทำโดยแรงโน้มถ่วงและแรงต้านอากาศ หากละเลยแรงต้านทาน แรงเดียวที่เหลืออยู่คือแรงโน้มถ่วง ดังนั้นเนื่องจากกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน ร่างกายจึงเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเท่ากับความเร่งของแรงโน้มถ่วง เส้นโครงความเร่งบนแกนพิกัดเท่ากัน เอ็กซ์ = 0, และคุณ= -ก.

การเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนใดๆ ของจุดวัสดุสามารถแสดงเป็นการซ้อนทับของการเคลื่อนไหวอิสระตามแนวแกนพิกัด และประเภทของการเคลื่อนที่อาจแตกต่างกันไปในทิศทางของแกนต่างๆ ในกรณีของเรา การเคลื่อนไหวของวัตถุที่บินได้สามารถแสดงเป็นการซ้อนทับของการเคลื่อนไหวอิสระสองอัน: การเคลื่อนที่สม่ำเสมอตามแนวแกนนอน (แกน X) และ การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอตามแนวแกนตั้ง (แกน Y) (รูปที่ 1)

การคาดคะเนความเร็วของร่างกายจึงเปลี่ยนไปตามเวลาดังนี้

,

โดยที่ความเร็วเริ่มต้นคือ α คือมุมการขว้าง

พิกัดของร่างกายจึงเปลี่ยนไปดังนี้:

ด้วยการเลือกที่มาของพิกัดพิกัดเริ่มต้น (รูปที่ 1) จากนั้น

ค่าครั้งที่สองที่ความสูงเป็นศูนย์จะเป็นศูนย์ซึ่งสอดคล้องกับช่วงเวลาของการขว้างนั่นคือ ค่านี้ยังมีความหมายทางกายภาพด้วย

เราได้ระยะการบินจากสูตรแรก (1) ระยะการบินคือค่าพิกัด เอ็กซ์เมื่อสิ้นสุดเที่ยวบินเช่น ในแต่ละครั้งเท่ากับ เสื้อ 0- แทนค่า (2) ลงในสูตรแรก (1) เราจะได้:

.

(3)

จากสูตรนี้จะเห็นได้ว่าระยะการบินสูงสุดอยู่ที่มุมการขว้าง 45 องศา

ความสูงที่ยิ่งใหญ่ที่สุดการยกตัวที่ถูกโยนสามารถทำได้จากสูตรที่สอง (1) ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแทนที่ค่าเวลาเท่ากับครึ่งหนึ่งของเวลาบิน (2) ลงในสูตรนี้ เนื่องจาก ระดับความสูงของการบินอยู่ที่จุดกึ่งกลางของวิถีโคจร เราได้รับการคำนวณ

เมื่อศึกษาการเคลื่อนที่ทางกลในฟิสิกส์ หลังจากที่คุ้นเคยกับการเคลื่อนที่ของวัตถุที่มีความเร่งสม่ำเสมอและสม่ำเสมอแล้ว พวกเขาจะพิจารณาการเคลื่อนที่ของร่างกายในมุมหนึ่งถึงขอบฟ้า ในบทความนี้เราจะศึกษาปัญหานี้โดยละเอียด

ข้อใดคือการเคลื่อนไหวของร่างกายในมุมหนึ่งถึงแนวนอน

การเคลื่อนไหวของวัตถุประเภทนี้เกิดขึ้นเมื่อบุคคลขว้างก้อนหินขึ้นไปในอากาศ ปืนใหญ่ยิงลูกกระสุนปืนใหญ่ หรือผู้รักษาประตูเตะลูกฟุตบอลออกจากประตู กรณีดังกล่าวทั้งหมดได้รับการพิจารณาโดยศาสตร์แห่งขีปนาวุธ

ประเภทของการเคลื่อนที่ของวัตถุในอากาศที่ระบุไว้นั้นเกิดขึ้นตามวิถีโคจรพาราโบลา ในกรณีทั่วไปการคำนวณที่เกี่ยวข้องไม่ใช่เรื่องง่ายเนื่องจากจำเป็นต้องคำนึงถึงแรงต้านของอากาศการหมุนของร่างกายในระหว่างการบินการหมุนของโลกรอบแกนของมันและปัจจัยอื่น ๆ

ในบทความนี้เราจะไม่คำนึงถึงปัจจัยเหล่านี้ทั้งหมด แต่จะพิจารณาปัญหานี้จากมุมมองทางทฤษฎีล้วนๆ อย่างไรก็ตาม สูตรผลลัพธ์ที่ได้สามารถอธิบายวิถีการเคลื่อนที่ของวัตถุในระยะทางสั้นๆ ได้ค่อนข้างดี

การได้มาซึ่งสูตรสำหรับประเภทการเคลื่อนไหวที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

ลองนำศพไปที่ขอบฟ้าในมุมหนึ่ง ในกรณีนี้ เราจะคำนึงถึงแรงเพียงครั้งเดียวที่กระทำต่อวัตถุที่กำลังบิน นั่นคือแรงโน้มถ่วง เนื่องจากมันทำหน้าที่ในแนวตั้งลงในแนวตั้ง (ขนานกับแกน y และตรงข้ามกับมัน) ดังนั้นเมื่อพิจารณาองค์ประกอบแนวนอนและแนวตั้งของการเคลื่อนไหว เราจึงสามารถพูดได้ว่าอันแรกจะมีลักษณะเป็นเครื่องแบบ การเคลื่อนไหวเชิงเส้น- และประการที่สอง - การเคลื่อนไหวเป็นเส้นตรงช้าสม่ำเสมอ (เร่งสม่ำเสมอ) ด้วยความเร่ง g นั่นคือ องค์ประกอบความเร็วผ่านค่า v 0 (ความเร็วเริ่มต้น) และ θ (มุมทิศทางการเคลื่อนที่ของร่างกาย) จะถูกเขียนดังนี้:

โวลต์ x = โวลต์ 0 *cos(θ)

v y = v 0 *บาป(θ)-g*t

สูตรแรก (สำหรับ v x) ใช้ได้เสมอ สำหรับประการที่สอง ควรสังเกตความแตกต่างเล็กน้อยที่นี่: เครื่องหมายลบจะถูกวางไว้ด้านหน้าผลิตภัณฑ์ g*t เฉพาะในกรณีที่องค์ประกอบแนวตั้ง v 0 *sin(θ) ชี้ขึ้นด้านบน ในกรณีส่วนใหญ่ นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น แต่ถ้าคุณโยนร่างลงมาจากที่สูงโดยชี้มันลง จากนั้นในนิพจน์สำหรับ v y คุณควรใส่เครื่องหมาย "+" ไว้หน้า g*t

เมื่อรวมสูตรสำหรับส่วนประกอบความเร็วเมื่อเวลาผ่านไป และคำนึงถึงความสูงเริ่มต้น h ของการบินของร่างกาย เราจะได้สมการสำหรับพิกัด:

x = v 0 *คอส(θ)*t

y = h+v 0 *บาป(θ)*t-g*t 2 /2

การคำนวณช่วงการบิน

เมื่อพิจารณาในวิชาฟิสิกส์ถึงการเคลื่อนที่ของวัตถุไปยังขอบฟ้าในมุมที่เป็นประโยชน์ การประยุกต์ใช้จริงปรากฎว่าคำนวณระยะการบินแล้ว มานิยามกัน

เนื่องจากการเคลื่อนไหวนี้นั้น การเคลื่อนไหวสม่ำเสมอหากไม่มีการเร่งความเร็วก็เพียงพอที่จะทดแทนเวลาบินและรับผลลัพธ์ที่ต้องการ ระยะการบินถูกกำหนดโดยการเคลื่อนที่ตามแนวแกน x (ขนานกับขอบฟ้า) เท่านั้น

เวลาที่วัตถุยังคงอยู่ในอากาศสามารถคำนวณได้โดยการตั้งค่าพิกัด y ให้เป็นศูนย์ เรามี:

0 = h+v 0 *บาป(θ)*t-g*t 2 /2

นี้ สมการกำลังสองการแก้ปัญหาด้วยการเลือกปฏิบัติเราได้รับ:

D = b 2 - 4*a*c = v 0 2 *sin 2 (θ) - 4*(-g/2)*h = v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h,

t = (-b±√D)/(2*a) = (-v 0 *sin(θ)±√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/(-2* ก./2) =

= (v 0 *บาป(θ)+√(v 0 2 *บาป 2 (θ) + 2*g*h))/g

ในนิพจน์สุดท้าย รากหนึ่งอันที่มีเครื่องหมายลบจะถูกละทิ้งเนื่องจากความสำคัญทางกายภาพไม่มีนัยสำคัญ เมื่อแทนเวลาบิน t ลงในนิพจน์สำหรับ x เราจะได้ช่วงการบิน l:

l = x = v 0 *cos(θ)*(v 0 *sin(θ)+√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/g

วิธีที่ง่ายที่สุดในการวิเคราะห์นิพจน์นี้คือ หากความสูงเริ่มต้นเป็นศูนย์ (h=0) เราจะได้สูตรง่ายๆ:

l = v 0 2 *บาป(2*θ)/ก

สำนวนนี้บ่งชี้ว่าสามารถรับระยะการบินสูงสุดได้หากร่างกายถูกเหวี่ยงไปที่มุม 45 o (sin(2*45 o) = m1)

ความสูงในการยกสูงสุด

นอกจากระยะทางในการบินแล้ว ยังมีประโยชน์ในการค้นหาความสูงเหนือพื้นดินที่ร่างกายสามารถขึ้นไปได้ เนื่องจากการเคลื่อนไหวประเภทนี้อธิบายได้ด้วยพาราโบลา ซึ่งกิ่งก้านของกิ่งนั้นชี้ลงด้านล่าง ความสูงของการยกสูงสุดจึงอยู่ที่ปลายสุด หลังคำนวณโดยการแก้สมการสำหรับอนุพันธ์ t ของ y:

dy/dt = d(h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2)/dt = v 0 *sin(θ)-gt=0 =>

=> t = v 0 *บาป(θ)/ก.

เมื่อแทนเวลานี้ลงในสมการของ y เราจะได้:

y = h+v 0 *sin(θ)*v 0 *sin(θ)/g-g*(v 0 *sin(θ)/g) 2 /2 = h + v 0 2 *sin 2 (θ)/( 2*ก)

สำนวนนี้บ่งชี้ว่าร่างกายจะสูงขึ้นถึงความสูงสูงสุดหากถูกเหวี่ยงขึ้นในแนวตั้ง (บาป 2 (90 o) = 1)

ในบทความนี้เราจะพิจารณาการวิเคราะห์สถานการณ์ที่ร่างกายถูกโยนในมุมหนึ่งไปยังแนวนอน นี่อาจเป็นการขว้างก้อนหินด้วยมือ ยิงกระสุนจากปืนใหญ่ ยิงธนูจากคันธนู และอื่นๆ สถานการณ์ทั้งหมดนี้อธิบายในลักษณะเดียวกันจากมุมมองทางคณิตศาสตร์

ลักษณะการเคลื่อนที่ในมุมหนึ่งถึงแนวนอน

อะไรคือความคล้ายคลึงกันระหว่างตัวอย่างข้างต้นจากมุมมองทางฟิสิกส์? เป็นไปตามธรรมชาติของแรงที่กระทำต่อร่างกาย ในระหว่างการบินอย่างอิสระของร่างกาย มีเพียงสองแรงเท่านั้นที่กระทำต่อมัน:

• แรงโน้มถ่วง.
• การไขลาน

หากมวลของร่างกายมีขนาดใหญ่เพียงพอและรูปร่างของมันแหลม (กระสุนปืน, ลูกศร) ก็อาจละเลยแรงต้านของอากาศได้

ดังนั้นการเคลื่อนที่ของร่างกายที่ถูกโยนไปในมุมหนึ่งถึงขอบฟ้าจึงเป็นปัญหาที่มีเพียงแรงโน้มถ่วงเท่านั้นที่ปรากฏ นี่คือสิ่งที่กำหนดรูปร่างของวิถีซึ่งอธิบายด้วยฟังก์ชันพาราโบลาที่มีความแม่นยำดี

สมการการเคลื่อนที่ตามแนวโคจรพาราโบลา ความเร็ว

ศพถูกโยนออกไปในมุมหนึ่งจนถึงขอบฟ้า คุณจะอธิบายการเคลื่อนไหวของเขาได้อย่างไร? เนื่องจากแรงเดียวที่กระทำระหว่างการบินของร่างกายจะลดลง องค์ประกอบในแนวนอนของวัตถุจึงเป็นศูนย์ ข้อเท็จจริงนี้หมายความว่าการเคลื่อนที่ในแนวนอนของวัตถุถูกกำหนดโดยเฉพาะจากเงื่อนไขเริ่มต้น (มุมการขว้างหรือการยิง θ และความเร็ว v) การเคลื่อนที่ในแนวตั้งของวัตถุเป็นตัวอย่างที่ชัดเจนของการเคลื่อนที่ที่มีความเร่งสม่ำเสมอ โดยที่บทบาทของความเร่งจะเล่นโดยค่าคงที่ g (9.81 m/s2)

เมื่อคำนึงถึงสิ่งข้างต้น เราสามารถเขียนองค์ประกอบสองประการสำหรับความเร็วของวัตถุที่บินได้ ณ เวลา t:

โวลต์ x = โวลต์ * cos(θ);

v y = v * บาป(θ) - g * t

ดังที่เห็น องค์ประกอบ v x ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเวลาและคงที่ตลอดเส้นทางการบิน (เป็นผลจากการไม่มีแรงภายนอกในทิศทางของแกน x) องค์ประกอบ v y จะมีค่าสูงสุด ณ ช่วงเวลาเริ่มต้น จากนั้นจะเริ่มลดลงจนกลายเป็นศูนย์ ณ จุดสูงสุดของร่างกาย หลังจากนี้ป้ายเปลี่ยนและตอนล้มกลับกลายเป็น เท่ากับโมดูลัสองค์ประกอบเริ่มต้น v y นั่นคือ v*sin(θ)

สมการที่เป็นลายลักษณ์อักษรช่วยให้เราสามารถกำหนดความเร็วของวัตถุที่ถูกโยนจากมุมหนึ่งไปยังแนวนอน ณ เวลาใดก็ได้ t โมดูลของมันจะเท่ากับ:

v = √ (v x 2 + v y 2) = √ (v 2 * cos 2 (θ) + v 2 * sin 2 (θ) - 2 * v* sin(θ) * g * t + g 2 * t 2) =

= √ (ข้อ 2 - 2 * v * บาป(θ) * g * t + g 2 * t 2)

สมการการเคลื่อนที่ตามแนวโคจรพาราโบลา ระยะการบิน

ศพถูกโยนออกไปในมุมหนึ่งจนถึงขอบฟ้า มันจะบินได้ไกลแค่ไหน? ปัญหาเกี่ยวกับช่วงเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงพิกัด x ค่านี้สามารถพบได้โดยการรวมองค์ประกอบความเร็วทั้งสองเข้าด้วยกันในช่วงเวลาหนึ่ง จากการรวมเข้าด้วยกันเราได้รับสูตร:

x = v * cos(θ) * t + x 0 ;

y = v * บาป(θ) * t - g * t 2/2 + y 0

ความแตกต่างระหว่างพิกัด x และ x 0 คือระยะการบิน หากเราถือว่า x 0 = 0 พิสัยจะเท่ากับ x เพื่อค้นหาว่าวัตถุจะลอยอยู่ในอากาศได้นานแค่ไหน

สมการที่สองช่วยให้คุณสามารถคำนวณเวลานี้ได้ โดยมีเงื่อนไขว่าทราบค่า y 0 (ความสูง h ที่ร่างกายถูกโยน) เมื่อวัตถุเคลื่อนที่เสร็จสิ้น (ตกลงสู่พื้น) พิกัด y จะกลายเป็นศูนย์ ลองคำนวณเวลาที่สิ่งนี้จะเกิดขึ้น เรามี:

v * บาป(θ) * t - g * t 2/2 + h = 0

ตรงหน้าเราคือความเท่าเทียมกันกำลังสองที่สมบูรณ์ เราแก้ไขมันด้วยการเลือกปฏิบัติ:

D = v 2 * บาป 2 (θ) - 4 * (-g/2) * h = v 2 * บาป 2 (θ) + 2 * g * h;

t = (-v * บาป(θ) ± √D)/(2 * (-g/2))

เราละทิ้งรากที่เป็นลบ เราได้รับเวลาเที่ยวบินดังต่อไปนี้:

t = (v * บาป(θ) + √ (v 2 * บาป 2 (θ) + 2 * g * h))/g

ตอนนี้เราแทนค่านี้เป็นสมการของระยะการบิน เราได้รับ:

x = v * cos(θ) * (v * sin(θ)+√ (v 2 * บาป 2 (θ) + 2 * g * h))/g

หากร่างกายถูกโยนลงจากพื้นนั่นคือ h = 0 สูตรนี้จะง่ายขึ้นอย่างมาก และมันจะมีลักษณะดังนี้:

x = 2 * โวลต์ 2 * cos(θ) * sin(θ)/g = v 2 * sin(2 * θ)/g

นิพจน์สุดท้ายได้มาโดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่าง ฟังก์ชันตรีโกณมิติไซน์และโคไซน์ (สูตรลด)

เนื่องจากไซน์มีค่าสูงสุดสำหรับ มุมฉาก, แล้ว ช่วงสูงสุดการบินจะเกิดขึ้นได้เมื่อร่างกายถูกโยน (ยิง) จากพื้นผิวโลกที่มุม 45° และช่วงนี้เท่ากับ:

ความสูงของลำตัวทำมุมกับแนวนอน

ทีนี้ลองนิยามอีกอย่างหนึ่ง พารามิเตอร์ที่สำคัญ- ความสูงที่วัตถุที่ถูกขว้างสามารถลอยขึ้นได้ เห็นได้ชัดว่าสำหรับสิ่งนี้ ก็เพียงพอที่จะพิจารณาเฉพาะการเปลี่ยนแปลงในพิกัด y เท่านั้น

ถ้าอย่างนั้น ร่างหนึ่งถูกโยนออกไปในมุมหนึ่งจนถึงขอบฟ้า มันจะลอยขึ้นไปได้สูงแค่ไหน? ความสูงนี้จะสอดคล้องกับความเท่าเทียมกันขององค์ประกอบความเร็ว v y ถึงศูนย์ เรามีสมการ:

v y = v * บาป(θ) - g * t = 0

มาแก้สมการกัน. เราได้รับ:

ตอนนี้ คุณต้องแทนที่เวลานี้ลงในนิพจน์ของพิกัด y เราได้รับ:

y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = v 2 * sin 2 (θ)/g - g/2* v 2 * sin 2 (θ)/g 2 + h =

V 2 * บาป 2 (θ)/(2 * g) + ชม

สูตรนี้ระบุว่าความสูงสูงสุดซึ่งตรงกันข้ามกับระยะการบินจะได้มาหากลำตัวถูกเหวี่ยงในแนวตั้งอย่างเคร่งครัด (θ = 90) ในกรณีนี้เรามาถึงสูตร:

เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าน้ำหนักตัวไม่ปรากฏในทุกสูตรที่ให้ไว้ในบทความนี้ ลักษณะของวิถีโคจรพาราโบลาไม่ได้ขึ้นอยู่กับมัน แต่เฉพาะในกรณีที่ไม่มีแรงต้านอากาศเท่านั้น

นี่เป็นงานที่สร้างสรรค์สำหรับชั้นเรียนปริญญาโทด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์สำหรับเด็กนักเรียนที่ FEFU
วัตถุประสงค์ของภารกิจคือค้นหาว่าวิถีการเคลื่อนที่ของร่างกายจะเปลี่ยนไปอย่างไรหากคำนึงถึงแรงต้านของอากาศ ต้องตอบคำถามด้วยว่าระยะการบินจะยังไปถึงหรือไม่ ค่าสูงสุดที่มุมขว้าง 45° โดยคำนึงถึงแรงต้านของอากาศ

ส่วน “การวิจัยเชิงวิเคราะห์” จะสรุปทฤษฎี คุณสามารถข้ามส่วนนี้ได้ แต่ส่วนใหญ่ควรชัดเจนสำหรับคุณเพราะ... โอคุณเรียนรู้สิ่งนี้ส่วนใหญ่ในโรงเรียน
ส่วน "การศึกษาเชิงตัวเลข" ประกอบด้วยคำอธิบายของอัลกอริทึมที่ต้องนำไปใช้กับคอมพิวเตอร์ อัลกอริธึมนั้นเรียบง่ายและกระชับ ดังนั้นทุกคนควรจะสามารถทำได้

การวิจัยเชิงวิเคราะห์

ขอแนะนำระบบพิกัดสี่เหลี่ยมดังแสดงในรูป ในช่วงเวลาเริ่มต้นของวัตถุที่มีมวล มตั้งอยู่ที่จุดกำเนิด เวกเตอร์ความเร่งอิสระตกมีทิศทางในแนวตั้งลงในแนวดิ่งและมีพิกัด (0, - ก).
- เวกเตอร์ความเร็วเริ่มต้น ลองขยายเวกเตอร์นี้ตามพื้นฐาน: - ที่นี่ ขนาดของเวกเตอร์ความเร็วคือมุมขว้าง

ลองเขียนกฎข้อที่สองของนิวตัน:
ความเร่งในแต่ละช่วงเวลาคืออัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็ว (ทันที) กล่าวคือ อนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลา:

ดังนั้นกฎข้อที่ 2 ของนิวตันจึงสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้
โดยที่เป็นผลจากแรงทั้งหมดที่กระทำต่อร่างกาย
เนื่องจากแรงโน้มถ่วงและแรงต้านอากาศกระทำต่อร่างกายแล้ว
.

เราจะพิจารณาสามกรณี:
1) แรงต้านอากาศคือ 0: .
2) แรงต้านอากาศนั้นทิศทางตรงข้ามกับเวกเตอร์ความเร็ว และขนาดของมันจะแปรผันตามความเร็ว: .
3) แรงต้านอากาศนั้นทิศทางตรงข้ามกับเวกเตอร์ความเร็ว และขนาดของมันเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของความเร็ว: .

เรามาพิจารณากรณีที่ 1 กันก่อน
ในกรณีนี้ , หรือ .


มันเป็นไปตามนั้น (การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ)
เพราะ ( ร- เวกเตอร์รัศมี) แล้ว .
จากที่นี่ .
สูตรนี้ไม่มีอะไรมากไปกว่าสูตรที่คุ้นเคยสำหรับกฎการเคลื่อนที่ของร่างกายในระหว่างการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา .
เมื่อพิจารณาแล้วว่าทั้งสองอย่าง เราได้รับความเท่าเทียมกันแบบสเกลาร์จากความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์สุดท้าย:

ให้เราวิเคราะห์สูตรผลลัพธ์
มาหากัน. เวลาบินร่างกาย การทำให้เท่าเทียมกัน ยถึงศูนย์ เราได้

ระยะการบินเท่ากับค่าพิกัด xในช่วงเวลาหนึ่ง ที 0:

จากสูตรนี้ จะได้ว่าระยะการบินสูงสุดอยู่ที่
ตอนนี้เรามาหากัน สมการของแทรคเตอร์ตัวถัง- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เราแสดง ทีผ่าน x

และลองแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ด้วย ทีสู่ความเท่าเทียมกันเพื่อ ย.

ฟังก์ชันผลลัพธ์ ย(x) -- ฟังก์ชันกำลังสองกราฟของมันคือพาราโบลาซึ่งมีกิ่งก้านชี้ลง
มีการอธิบายการเคลื่อนไหวของวัตถุโดยทำมุมกับขอบฟ้า (โดยไม่คำนึงถึงแรงต้านของอากาศ) ในวิดีโอนี้

พิจารณากรณีที่สอง: .

กฎข้อที่สองใช้แบบฟอร์ม ,
จากที่นี่ .
ให้เราเขียนความเท่าเทียมกันนี้ในรูปแบบสเกลาร์:

เราได้รับ สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นสองสมการ.
สมการแรกมีคำตอบ

ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยการแทนที่ฟังก์ชันนี้ลงในสมการ วีเอ็กซ์และสู่สภาวะเริ่มต้น .
โดยที่ e = 2.718281828459... คือเลขของออยเลอร์
สมการที่สองมีคำตอบ

เพราะ , จากนั้นเมื่อมีแรงต้านอากาศ การเคลื่อนไหวของร่างกายมีแนวโน้มที่จะสม่ำเสมอ ตรงกันข้ามกับกรณีที่ 1 เมื่อความเร็วเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด
วิดีโอต่อไปนี้บอกว่านักดิ่งพสุธาจะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร่งก่อน จากนั้นจึงเริ่มเคลื่อนที่เท่าๆ กัน (แม้กระทั่งก่อนที่ร่มชูชีพจะเปิดออกด้วยซ้ำ)

เรามาค้นหาสำนวนสำหรับ xและ ย.
เพราะ x(0) = 0, ย(0) = 0 แล้ว

เรายังต้องพิจารณากรณีที่ 3 เมื่อใด .
กฎข้อที่สองของนิวตันมีรูปแบบ
, หรือ .
ในรูปแบบสเกลาร์ สมการนี้มีลักษณะดังนี้:

นี้ ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้น- ระบบนี้ไม่สามารถแก้ไขได้อย่างชัดเจน ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้การจำลองเชิงตัวเลข

การศึกษาเชิงตัวเลข

ในหัวข้อที่แล้ว เราเห็นว่าในสองกรณีแรก กฎการเคลื่อนที่ของวัตถุสามารถได้รับในรูปแบบที่ชัดเจน อย่างไรก็ตามในกรณีที่สาม จำเป็นต้องแก้ไขปัญหาเชิงตัวเลข เมื่อใช้วิธีการเชิงตัวเลขเราจะได้ผลลัพธ์โดยประมาณเท่านั้น แต่เราจะค่อนข้างพอใจกับความแม่นยำเพียงเล็กน้อย (ตัวเลข π หรือ รากที่สองอย่างไรก็ตามจาก 2 มันเป็นไปไม่ได้ที่จะเขียนอย่างแม่นยำอย่างแน่นอนดังนั้นเมื่อคำนวณพวกเขาจะใช้ตัวเลขจำนวนจำกัดซึ่งก็เพียงพอแล้ว)

เราจะพิจารณากรณีที่สองเมื่อสูตรกำหนดแรงต้านทานอากาศ - สังเกตว่าเมื่อไร. เค= 0 เราได้กรณีแรก

ความเร็วของร่างกาย เป็นไปตามสมการต่อไปนี้:

องค์ประกอบความเร่งเขียนไว้ทางด้านซ้ายของสมการเหล่านี้ .
จำไว้ว่าความเร่งคืออัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็ว (ขณะนั้น) ซึ่งก็คืออนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลา
ทางด้านขวามือของสมการจะมีส่วนประกอบของความเร็ว ดังนั้นสมการเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วสัมพันธ์กับความเร็วอย่างไร

ลองหาคำตอบของสมการเหล่านี้โดยใช้วิธีตัวเลข เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแนะนำแกนเวลา ตาข่าย: ลองเลือกตัวเลขและพิจารณาช่วงเวลาของแบบฟอร์ม: .

งานของเราคือการคำนวณค่าโดยประมาณ ที่โหนดกริด

ให้เราแทนที่ความเร่งในสมการ ( ความเร็วทันทีการเปลี่ยนแปลงความเร็ว) โดย ความเร็วเฉลี่ยการเปลี่ยนแปลงความเร็วโดยคำนึงถึงการเคลื่อนไหวของร่างกายในช่วงเวลาหนึ่ง:

ทีนี้ลองแทนที่การประมาณที่ได้รับลงในสมการของเรา

สูตรที่ได้ช่วยให้เราคำนวณค่าของฟังก์ชันได้ ที่โหนดกริดถัดไป หากทราบค่าของฟังก์ชันเหล่านี้ที่โหนดกริดก่อนหน้า

โดยใช้วิธีการที่อธิบายไว้เราสามารถรับตารางค่าโดยประมาณของส่วนประกอบความเร็วได้

วิธีค้นหากฎการเคลื่อนที่ของร่างกาย ได้แก่ ตารางค่าพิกัดโดยประมาณ x(ที), ย(ที- เช่นเดียวกัน!
เรามี

ค่าของ vx[j] เท่ากับค่าของฟังก์ชัน และค่าเดียวกันสำหรับอาร์เรย์อื่นๆ
ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการเขียนลูปภายในซึ่งเราจะคำนวณ vx ผ่านค่าที่คำนวณแล้ว vx[j] และเช่นเดียวกันกับอาร์เรย์ที่เหลือ วงจรก็จะเป็น เจตั้งแต่ 1 ถึง เอ็น.
อย่าลืมกำหนดค่าเริ่มต้น vx, vy, x, y ตามสูตร x 0 = 0, ย 0 = 0.

ใน Pascal และ C มีฟังก์ชัน sin(x) และ cos(x) สำหรับคำนวณไซน์และโคไซน์ โปรดทราบว่าฟังก์ชันเหล่านี้รับอาร์กิวเมนต์เป็นเรเดียน

คุณต้องสร้างกราฟการเคลื่อนไหวของร่างกายในระหว่างนั้น เค= 0 และ เค> 0 และเปรียบเทียบกราฟผลลัพธ์ กราฟสามารถสร้างได้ใน Excel
โปรดทราบว่า สูตรการคำนวณง่ายมากจนคุณสามารถใช้เฉพาะ Excel ในการคำนวณและไม่ใช้ภาษาการเขียนโปรแกรมด้วยซ้ำ
อย่างไรก็ตาม ในอนาคต คุณจะต้องแก้ไขปัญหาใน CATS ซึ่งคุณจะต้องคำนวณเวลาและช่วงการบินของร่างกาย ซึ่งคุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีภาษาการเขียนโปรแกรม

โปรดทราบว่าคุณสามารถ ทดสอบโปรแกรมของคุณและตรวจสอบกราฟของคุณโดยเปรียบเทียบผลการคำนวณเมื่อใด เค= 0 ด้วยสูตรที่แน่นอนที่ให้ไว้ในส่วน “การศึกษาเชิงวิเคราะห์”

ทดลองกับโปรแกรมของคุณ ตรวจสอบให้แน่ใจว่าหากไม่มีแรงต้านอากาศ ( เค= 0) ระยะการบินสูงสุดที่ความเร็วเริ่มต้นคงที่ทำได้ที่มุม 45°
แล้วความต้านทานต่ออากาศล่ะ? ระยะการบินสูงสุดทำได้ที่มุมใด?

รูปแสดงวิถีการเคลื่อนที่ของร่างกาย ณ โวลต์ 0 = 10 ม./วินาที, α = 45°, ก= 9.8 เมตรต่อวินาที 2, ม= 1 กก. เค= 0 และ 1 ได้มาจากการจำลองเชิงตัวเลขที่ Δ ที = 0,01.

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับผลงานที่ยอดเยี่ยมของนักเรียนเกรด 10 จาก Troitsk ซึ่งนำเสนอในการประชุม "Start in Science" ในปี 2554 งานนี้อุทิศให้กับการสร้างแบบจำลองการเคลื่อนไหวของลูกเทนนิสที่ขว้างในมุมหนึ่งถึงขอบฟ้า (โดยคำนึงถึงอากาศ) ความต้านทาน). ใช้ทั้งการสร้างแบบจำลองเชิงตัวเลขและการทดลองเต็มรูปแบบ

ดังนั้นงานที่สร้างสรรค์นี้จะช่วยให้คุณได้ทำความคุ้นเคยกับวิธีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และตัวเลขซึ่งใช้ในทางปฏิบัติอย่างแข็งขัน แต่มีการศึกษาน้อยที่โรงเรียน ตัวอย่างเช่นวิธีการเหล่านี้ใช้ในการดำเนินโครงการนิวเคลียร์และอวกาศในสหภาพโซเวียตในช่วงกลางศตวรรษที่ 20

คำแนะนำ

ปล่อยให้วัตถุถูกโยนในมุม α ไปยังขอบฟ้าด้วยความเร็วเริ่มต้น v0 ให้พิกัดเริ่มต้นของร่างกายเป็นศูนย์: x(0)=0, y(0)=0 ในการฉายภาพลงบนแกนพิกัด ความเร็วเริ่มต้นจะถูกแบ่งออกเป็นสององค์ประกอบ: v0(x) และ v0(y) ความเร็วเท่ากันโดยทั่วไป ตามแกน Ox ความเร็วจะถือว่าคงที่ตามอัตภาพ ในขณะที่ตามแกน Oy ความเร็วจะเปลี่ยนไปภายใต้อิทธิพลของ ความเร่งของแรงโน้มถ่วง g สามารถวัดได้ประมาณ 10 m/s²

มุม α ที่ร่างกายถูกขว้างนั้นไม่ได้เกิดขึ้นโดยบังเอิญ คุณสามารถอธิบายความเร็วเริ่มต้นในแกนพิกัดได้ ดังนั้น v0(x)=v0·cos(α), v0(y)=v0·sin(α) ตอนนี้เราสามารถรับฟังก์ชันของส่วนประกอบพิกัดของความเร็วได้แล้ว: v(x)=const=v0(x)=v0·cos(α), v(y)=v0(y)-g·t=v0·sin( α)-g· เสื้อ.

พิกัด x และ y ของร่างกายขึ้นอยู่กับเวลา t ดังนั้น เราสามารถสร้างสมการการพึ่งพาได้สองสมการ: x=x0+v0(x) t+a(x) t²/2, y=y0+v0(y) t+a(y) t²/2 เนื่องจาก x0=0, a(x)=0 จากนั้น x=v0(x) t=v0 cos(α) t เป็นที่ทราบกันว่า y0=0, a(y)=-g (เครื่องหมาย “ ” ปรากฏขึ้นเนื่องจากทิศทางความเร่งของแรงโน้มถ่วง g และทิศทางบวกของแกน Oy อยู่ตรงข้ามกัน) ดังนั้น y=v0·sin(α)·t-g·t²/2

เวลาบินสามารถแสดงได้จากสูตรความเร็ว โดยรู้ว่า ณ จุดสูงสุดร่างกายหยุดชั่วขณะหนึ่ง (v = 0) และระยะเวลา "ขึ้น" และ "ลง" เท่ากัน ดังนั้น เมื่อแทน v(y)=0 ลงในสมการ v(y)=v0·sin(α)-g·t จะได้ว่า: 0=v0·sin(α)-g·t(p) โดยที่ t (p) – เวลาสูงสุด “t จุดยอด” ดังนั้น t(p)=v0·sin(α)/g เวลารวมเที่ยวบินจะแสดงเป็น t=2·v0·sin(α)/g

สูตรเดียวกันนี้สามารถหาได้ในอีกทางหนึ่งทางคณิตศาสตร์ จากสมการของพิกัด y=v0·sin(α)·t-g·t²/2 สมการนี้สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบที่แก้ไขเล็กน้อย: y=-g/2·t²+v0·sin(α)·t จะเห็นได้ว่านี่คือการพึ่งพากำลังสอง โดยที่ y คือฟังก์ชัน t คืออาร์กิวเมนต์ จุดยอดของพาราโบลาที่อธิบายวิถีโคจรคือจุด t(p)=[-v0·sin(α)]/[-2g/2] ลบและสองหักล้างกัน ดังนั้น t(p)=v0·sin(α)/g หากเราแสดงความสูงสูงสุดเป็น H และจำไว้ว่าจุดสูงสุดคือจุดยอดของพาราโบลาที่วัตถุเคลื่อนที่ ดังนั้น H=y(t(p))=v0²sin²(α)/2g นั่นคือเพื่อให้ได้ความสูง คุณต้องแทนที่ "จุดยอด" ลงในสมการของพิกัด y

ดังนั้น เวลาบินจึงเขียนเป็น t=2·v0·sin(α)/g หากต้องการเปลี่ยน คุณจะต้องเปลี่ยนความเร็วเริ่มต้นและมุมเอียงตามลำดับ ยิ่งความเร็วสูง ร่างกายก็จะบินได้นานขึ้น เมื่อทำมุมจะค่อนข้างซับซ้อนกว่า เพราะเวลาไม่ได้ขึ้นอยู่กับมุมนั้นเอง แต่ขึ้นอยู่กับไซน์ของมันด้วย ค่าไซน์ที่เป็นไปได้สูงสุด - เอกภาพ - ทำได้ที่มุมเอียง 90° ซึ่งหมายความว่าร่างกายจะบินได้ไกลที่สุดเมื่อถูกเหวี่ยงขึ้นในแนวตั้ง

ระยะการบินคือพิกัด x สุดท้าย หากเราแทนเวลาบินที่พบแล้วลงในสมการ x=v0·cos(α)·t ก็จะพบว่า L=2v0²sin(α)cos(α)/g เป็นเรื่องง่าย ตรงนี้เราสามารถใช้สูตรมุมคู่ตรีโกณมิติ 2sin(α)cos(α)=sin(2α) จากนั้น L=v0²sin(2α)/g ไซน์ของอัลฟ่าสองตัวจะเท่ากับหนึ่งเมื่อ 2α=n/2, α=n/4 ดังนั้น ระยะการบินจะสูงสุดหากลำตัวถูกเหวี่ยงไปที่มุม 45°