ตัวอย่างสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด การแก้สมการตรีโกณมิติอย่างง่าย

ฉันเคยเห็นการสนทนาระหว่างผู้สมัครสองคน:

– เมื่อใดที่คุณควรเติม 2πn และเมื่อใดที่คุณควรเติม πn ฉันจำไม่ได้!

– และฉันก็มีปัญหาเดียวกัน

ฉันแค่อยากจะบอกพวกเขาว่า “คุณไม่จำเป็นต้องท่องจำ แต่ต้องเข้าใจ!”

บทความนี้มีไว้สำหรับนักเรียนมัธยมปลายเป็นหลัก และฉันหวังว่าจะช่วยพวกเขาแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดด้วย "ความเข้าใจ":

วงกลมตัวเลข

นอกจากแนวคิดเรื่องเส้นจำนวนแล้ว ยังมีแนวคิดเกี่ยวกับวงกลมจำนวนด้วย ดังที่เราทราบ ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม วงกลมที่มีศูนย์กลางที่จุด (0;0) และรัศมี 1 เรียกว่า หน่วยลองนึกภาพเส้นจำนวนเป็นเส้นบางๆ แล้วพันรอบวงกลมนี้: เราจะแนบจุดกำเนิด (จุดที่ 0) เข้ากับจุด "ขวา" ของวงกลมหน่วย เราจะพันครึ่งแกนบวกทวนเข็มนาฬิกา และครึ่งลบ -แกนไปในทิศทาง (รูปที่ 1) วงกลมหน่วยดังกล่าวเรียกว่าวงกลมตัวเลข

คุณสมบัติของวงกลมตัวเลข

• จำนวนจริงแต่ละจำนวนอยู่บนจุดเดียวบนวงกลมตัวเลข
• มีจำนวนจริงจำนวนอนันต์อยู่ทุกจุดบนวงกลมจำนวน เนื่องจากความยาวของวงกลมหนึ่งหน่วยคือ 2π ผลต่างระหว่างตัวเลขสองตัวใดๆ ที่จุดหนึ่งบนวงกลมจะเท่ากับหนึ่งในตัวเลข ±2π; ±4π ; ±6π ; -

สรุป: เมื่อรู้จำนวนจุด A จำนวนหนึ่ง เราก็สามารถหาจำนวนจุด A ทั้งหมดได้.

มาวาดเส้นผ่านศูนย์กลางของ AC กัน (รูปที่ 2) เนื่องจาก x_0 เป็นหนึ่งในตัวเลขของจุด A ดังนั้นตัวเลข x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... และมีเพียงพวกมันเท่านั้นที่จะเป็นตัวเลขของจุด C ลองเลือกตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งต่อไปนี้ พูด x_0+π และใช้มันเพื่อเขียนตัวเลขทั้งหมดของจุด C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ ซี. โปรดทราบว่าตัวเลขที่จุด A และ C สามารถรวมกันเป็นสูตรเดียวได้: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (สำหรับ k = 0; ±2; ±4; ... เราจะได้ตัวเลขของ จุด A และสำหรับ k = ±1; ±3;

สรุป: เมื่อทราบตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งที่จุดใดจุดหนึ่ง A หรือ C ของเส้นผ่านศูนย์กลาง AC เราก็สามารถหาตัวเลขทั้งหมดที่จุดเหล่านี้ได้

• สอง ตัวเลขตรงข้ามตั้งอยู่บนจุดของวงกลมที่มีความสมมาตรเทียบกับแกนแอบซิสซา

มาวาดคอร์ดแนวตั้ง AB (รูปที่ 2) เนื่องจากจุด A และ B มีความสมมาตรรอบแกน Ox ตัวเลข -x_0 จึงอยู่ที่จุด B ดังนั้น จำนวนจุด B ทั้งหมดจึงได้มาจากสูตร: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z เราเขียนตัวเลขที่จุด A และ B โดยใช้สูตรเดียว: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z สรุป: เมื่อรู้ตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งที่จุดใดจุดหนึ่ง A หรือ B ของคอร์ดแนวตั้ง AB เราก็สามารถหาตัวเลขทั้งหมดที่จุดเหล่านี้ได้ ลองพิจารณาคอร์ด AD แนวนอนแล้วค้นหาจำนวนจุด D (รูปที่ 2) เนื่องจาก BD คือเส้นผ่านศูนย์กลาง และตัวเลข -x_0 อยู่ในจุด B ดังนั้น -x_0 + π จึงเป็นหนึ่งในตัวเลขของจุด D ดังนั้น ตัวเลขทั้งหมดของจุดนี้จึงได้มาจากสูตร x_D=-x_0+π+ 2πk ,k∈Z ตัวเลขที่จุด A และ D สามารถเขียนได้โดยใช้สูตรเดียว: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z (สำหรับ k= 0; ±2; ±4; … เราได้จำนวนของจุด A และสำหรับ k = ±1; ±3; ±5; … – จำนวนของจุด D)

สรุป: เมื่อรู้ตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งที่จุดใดจุดหนึ่ง A หรือ D ของคอร์ด AD แนวนอน เราก็จะสามารถหาตัวเลขทั้งหมดที่จุดเหล่านี้ได้

ประเด็นหลัก 16 ประการของวงกลมตัวเลข

ในทางปฏิบัติวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดคือ สมการตรีโกณมิติเกี่ยวข้องกับจุด 16 จุดบนวงกลม (รูปที่ 3) จุดเหล่านี้คืออะไร? จุดสีแดง น้ำเงิน และเขียวแบ่งวงกลมออกเป็น 12 ส่วนเท่าๆ กัน เนื่องจากความยาวของครึ่งวงกลมคือ π ดังนั้นความยาวของส่วนโค้ง A1A2 คือ π/2 ความยาวของส่วนโค้ง A1B1 คือ π/6 และความยาวของส่วนโค้ง A1C1 คือ π/3

ตอนนี้เราสามารถระบุได้ครั้งละหนึ่งหมายเลข:

π/3 บน C1 และ

จุดยอดของสี่เหลี่ยมสีส้มคือจุดกึ่งกลางของส่วนโค้งของแต่ละไตรมาส ดังนั้น ความยาวของส่วนโค้ง A1D1 จึงเท่ากับ π/4 ดังนั้น π/4 จึงเป็นหนึ่งในตัวเลขของจุด D1 การใช้คุณสมบัติของวงกลมตัวเลข เราสามารถใช้สูตรเพื่อเขียนตัวเลขทั้งหมดบนจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ทุกจุดในวงกลมของเรา พิกัดของจุดเหล่านี้มีการระบุไว้ในรูปด้วย (เราจะละคำอธิบายของการได้มา)

เมื่อเรียนรู้ข้างต้นแล้ว ตอนนี้เราก็มีการเตรียมการเพียงพอที่จะแก้ไขกรณีพิเศษ (สำหรับตัวเลขเก้าค่า ก)สมการที่ง่ายที่สุด

แก้สมการ

1)บาปx=1⁄(2).

– เราต้องการอะไรจากเรา?

– ค้นหาตัวเลขทั้งหมด x ที่มีไซน์เท่ากับ 1/2.

จำคำจำกัดความของไซน์: sinx – พิกัดของจุดบนวงกลมตัวเลขซึ่งมีเลข x อยู่- เรามีจุดสองจุดบนวงกลมซึ่งมีพิกัดเท่ากับ 1/2 นี่คือจุดสิ้นสุดของคอร์ดแนวนอน B1B2 ซึ่งหมายความว่าข้อกำหนด “แก้สมการ sinx=1⁄2” เทียบเท่ากับข้อกำหนด “ค้นหาตัวเลขทั้งหมดที่จุด B1 และตัวเลขทั้งหมดที่จุด B2”

2)ซินx=-√3⁄2 .

เราจำเป็นต้องค้นหาตัวเลขทั้งหมดที่จุด C4 และ C3

3) บาปx=1- บนวงกลมเรามีจุดเดียวที่มีพิกัด 1 - จุด A2 ดังนั้นเราจึงต้องหาเฉพาะตัวเลขทั้งหมดของจุดนี้เท่านั้น

คำตอบ: x=π/2+2πk , k∈Z .

4)ซินx=-1 .

เฉพาะจุด A_4 เท่านั้นที่มีพิกัดเป็น -1 ตัวเลขทั้งหมดของจุดนี้จะเป็นม้าของสมการ

คำตอบ: x=-π/2+2πk, k∈Z

5) บาปx=0 .

บนวงกลมเรามีจุดสองจุดที่มีพิกัด 0 - จุด A1 และ A3 คุณสามารถระบุตัวเลขในแต่ละจุดแยกกันได้ แต่เมื่อพิจารณาว่าจุดเหล่านี้มีเส้นทแยงมุมตรงกันข้าม จึงควรรวมเป็นสูตรเดียว: x=πk,k∈Z

คำตอบ: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

จำคำจำกัดความของโคไซน์: cosx คือจุดหักล้างของจุดบนวงกลมตัวเลขซึ่งมีเลข x อยู่บนวงกลมเรามีจุดสองจุดโดยมีจุด abscissa √2⁄2 - ปลายของคอร์ดแนวนอน D1D4 เราจำเป็นต้องค้นหาตัวเลขทั้งหมดในจุดเหล่านี้ มาจดรวมกันเป็นสูตรเดียวกัน

คำตอบ: x=±π/4+2πk , k∈Z .

7) คอสเอ็กซ์=-1⁄2 .

เราจำเป็นต้องค้นหาตัวเลขที่จุด C_2 และ C_3

คำตอบ: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

เฉพาะจุด A2 และ A4 เท่านั้นที่มีค่า Abscissa เท่ากับ 0 ซึ่งหมายความว่าตัวเลขทั้งหมดในแต่ละจุดจะเป็นคำตอบของสมการ
.

ผลเฉลยของสมการของระบบคือตัวเลขที่จุด B_3 และ B_4 ถึงอสมการ cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
คำตอบ: x=-5π/6+2πk, k∈Z

โปรดทราบว่าสำหรับค่า x ที่ยอมรับได้ ตัวประกอบที่สองจะเป็นค่าบวก ดังนั้นสมการจึงเทียบเท่ากับระบบ

ผลเฉลยของสมการของระบบคือจำนวนจุด D_2 และ D_3 จำนวนจุด D_2 ไม่เป็นไปตามอสมการ sinx≤0.5 แต่จำนวนจุด D_3 เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน

blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อกับบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเรา
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

ตัวอย่าง:

\(2\บาป(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

วิธีแก้สมการตรีโกณมิติ:

สมการตรีโกณมิติใดๆ ควรถูกลดให้เหลือประเภทใดประเภทหนึ่งต่อไปนี้:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

โดยที่ \(t\) คือนิพจน์ที่มี x, \(a\) คือตัวเลข สมการตรีโกณมิติดังกล่าวเรียกว่า ง่ายที่สุด- สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายโดยใช้ () หรือสูตรพิเศษ:

ตัวอย่าง - แก้สมการตรีโกณมิติ \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\)
สารละลาย:

คำตอบ: \(\left[ \begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(gathered)\right.\) \(k,n∈Z\)

ความหมายของแต่ละสัญลักษณ์ในสูตรรากของสมการตรีโกณมิติ โปรดดู

ความสนใจ!สมการ \(\sin⁡x=a\) และ \(\cos⁡x=a\) ไม่มีคำตอบถ้า \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\) เนื่องจากไซน์และโคไซน์สำหรับ x ใดๆ มากกว่าหรือเท่ากับ \(-1\) และน้อยกว่าหรือเท่ากับ \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

ตัวอย่าง - แก้สมการ \(\cos⁡x=-1,1\)
สารละลาย: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
คำตอบ : ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่าง - แก้สมการตรีโกณมิติ tg\(⁡x=1\)
สารละลาย:

ลองแก้สมการโดยใช้วงกลมตัวเลขกัน สำหรับสิ่งนี้: 1) สร้างวงกลม) 2) สร้างแกน \(x\) และ \(y\) และแกนแทนเจนต์ (มันผ่านจุด \((0;1)\) ขนานกับแกน \(y\)) 3) บนแกนแทนเจนต์ ให้ทำเครื่องหมายจุด \(1\) 4) เชื่อมต่อจุดนี้และที่มาของพิกัด - เป็นเส้นตรง 5) ทำเครื่องหมายจุดตัดของเส้นนี้กับวงกลมตัวเลข 6) มาลงนามค่าของจุดเหล่านี้กันดีกว่า: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) มาเขียนค่าทั้งหมดของจุดเหล่านี้กัน เนื่องจากอยู่ห่างจากกัน \(π\) พอดี ค่าทั้งหมดจึงสามารถเขียนได้ในสูตรเดียว:

คำตอบ: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\)

ตัวอย่าง - แก้สมการตรีโกณมิติ \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\)
สารละลาย:

ลองใช้วงกลมตัวเลขอีกครั้ง 1) สร้างวงกลม แกน \(x\) และ \(y\) 2) บนแกนโคไซน์ (\(x\) แกน) ให้ทำเครื่องหมาย \(0\) 3) วาดตั้งฉากกับแกนโคไซน์ผ่านจุดนี้ 4) ทำเครื่องหมายจุดตัดของเส้นตั้งฉากและวงกลม 5) มาลงนามค่าของจุดเหล่านี้กัน: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) เราเขียนค่าทั้งหมดของจุดเหล่านี้แล้วเทียบให้เป็นโคไซน์ (กับสิ่งที่อยู่ภายในโคไซน์) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) ตามปกติ เราจะเขียน \(x\) ในสมการ อย่าลืมปฏิบัติต่อตัวเลขด้วย \(π\) เช่นเดียวกับ \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\) ฯลฯ เหล่านี้เป็นตัวเลขเดียวกันกับตัวเลขอื่นๆ ทั้งหมด ไม่มีการแบ่งแยกเชิงตัวเลข! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

คำตอบ: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\)

การลดสมการตรีโกณมิติให้เหลือน้อยที่สุดเป็นงานที่สร้างสรรค์ คุณต้องใช้ทั้งสองวิธีและวิธีการพิเศษในการแก้สมการ:
- วิธีการ (ที่นิยมมากที่สุดในการสอบ Unified State)
- วิธี.
- วิธีการโต้แย้งเสริม

ลองพิจารณาตัวอย่างการแก้สมการตรีโกณมิติกำลังสอง

ตัวอย่าง - แก้สมการตรีโกณมิติ \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
สารละลาย:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	มาแทนที่ \(t=\cos⁡x\) กัน
	สมการของเรากลายเป็นเรื่องปกติ คุณสามารถแก้ไขได้โดยใช้.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	เราทำการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	เราแก้สมการแรกโดยใช้วงกลมตัวเลข สมการที่สองไม่มีคำตอบเพราะว่า \(\cos⁡x∈[-1;1]\) และไม่สามารถเท่ากับสองสำหรับ x ใดๆ
	ลองเขียนตัวเลขทั้งหมดที่อยู่ในจุดเหล่านี้กัน

คำตอบ: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)

ตัวอย่างการแก้สมการตรีโกณมิติด้วยการศึกษา ODZ:

ตัวอย่าง (ใช้) - แก้สมการตรีโกณมิติ \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	มีเศษส่วนและมีโคแทนเจนต์ นั่นหมายความว่าเราต้องเขียนมันลงไป ฉันขอเตือนคุณว่าโคแทนเจนต์จริงๆ แล้วเป็นเศษส่วน: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) ดังนั้น ODZ สำหรับ ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\)
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	ให้เราทำเครื่องหมาย “ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา” บนวงกลมตัวเลข
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	ลองกำจัดตัวส่วนในสมการด้วยการคูณด้วย ctg\(x\) เราสามารถทำได้ เนื่องจากเราเขียนไว้ข้างต้นแล้ว ctg\(x ≠0\)
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	ลองใช้สูตรมุมคู่สำหรับไซน์: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\)
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	หากมือของคุณยื่นออกไปหารด้วยโคไซน์ ให้ดึงมันกลับ! คุณสามารถหารด้วยนิพจน์ด้วยตัวแปรได้ หากตัวแปรไม่เท่ากับศูนย์ (ตัวอย่างเช่น \(x^2+1.5^x\)) ให้ใส่ \(\cos⁡x\) ออกจากวงเล็บแทน
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	มา "แยก" สมการออกเป็นสองกันดีกว่า
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	ลองแก้สมการแรกโดยใช้วงกลมตัวเลขกัน ลองหารสมการที่สองด้วย \(2\) แล้วย้าย \(\sin⁡x\) ไปทางด้านขวา
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	รากผลลัพธ์จะไม่รวมอยู่ใน ODZ ดังนั้นเราจะไม่เขียนคำตอบเหล่านั้นลงไป สมการที่สองเป็นเรื่องปกติ ลองหารมันด้วย \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) ไม่สามารถเป็นคำตอบของสมการได้ เพราะในกรณีนี้ \(\cos⁡x=1\) หรือ \(\cos⁡ x=-1\))
	เราใช้วงกลมอีกครั้ง
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	รากเหล่านี้ไม่รวมอยู่ใน ODZ ดังนั้นคุณจึงสามารถเขียนลงในคำตอบได้

คำตอบ: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)

การแก้สมการตรีโกณมิติอย่างง่าย

การแก้สมการตรีโกณมิติในระดับความซับซ้อนใดๆ ท้ายที่สุดแล้วต้องอาศัยการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด และในวงกลมตรีโกณมิตินี้กลับกลายเป็นผู้ช่วยที่ดีที่สุดอีกครั้ง

เรามาจำคำจำกัดความของโคไซน์และไซน์กันดีกว่า

โคไซน์ของมุมคือค่าแอบซิสซา (นั่นคือ พิกัดตามแกน) ของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งสอดคล้องกับการหมุนผ่านมุมที่กำหนด

ไซน์ของมุมคือพิกัด (นั่นคือ พิกัดตามแกน) ของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งสอดคล้องกับการหมุนผ่านมุมที่กำหนด

ทิศทางการเคลื่อนที่เชิงบวกบนวงกลมตรีโกณมิติจะเป็นทวนเข็มนาฬิกา การหมุน 0 องศา (หรือ 0 เรเดียน) สอดคล้องกับจุดที่มีพิกัด (1;0)

เราใช้คำจำกัดความเหล่านี้เพื่อแก้สมการตรีโกณมิติอย่างง่าย

1. แก้สมการ

สมการนี้พอใจกับค่าทั้งหมดของมุมการหมุนที่สอดคล้องกับจุดบนวงกลมซึ่งมีพิกัดเท่ากับ .

เรามาทำเครื่องหมายจุดด้วยการวางแนวบนแกนกำหนด:

วาดเส้นแนวนอนขนานกับแกน x จนกระทั่งตัดกับวงกลม เราได้สองแต้มบนวงกลมและมีออร์ดิเนท จุดเหล่านี้สอดคล้องกับมุมการหมุนในและเรเดียน:

ถ้าเราทิ้งจุดที่ตรงกับมุมการหมุนต่อเรเดียน แล้วหมุนไปรอบวงกลมเต็มวง เราก็จะไปถึงจุดที่ตรงกับมุมการหมุนต่อเรเดียนและมีพิกัดที่เหมือนกัน นั่นคือมุมการหมุนนี้เป็นไปตามสมการของเราด้วย เราสามารถทำการปฏิวัติ "ไม่ได้ใช้งาน" ได้มากเท่าที่ต้องการ โดยกลับไปที่จุดเดิม และค่ามุมทั้งหมดเหล่านี้จะเป็นไปตามสมการของเรา จำนวนการปฏิวัติ "ไม่ได้ใช้งาน" จะแสดงด้วยตัวอักษร (หรือ) เนื่องจากเราสามารถทำการปฏิวัติทั้งในทิศทางบวกและลบ (หรือ) สามารถใช้ค่าจำนวนเต็มใดก็ได้

นั่นคือคำตอบชุดแรกของสมการดั้งเดิมมีรูปแบบ:

, , - ชุดของจำนวนเต็ม (1)

ในทำนองเดียวกัน โซลูชันชุดที่สองมีรูปแบบ:

, ที่ไหน , . (2)

ดังที่คุณอาจเดาได้ ชุดวิธีแก้ปัญหานี้อิงจากจุดบนวงกลมที่สอดคล้องกับมุมการหมุนด้วย

โซลูชันทั้งสองชุดนี้สามารถรวมกันเป็นรายการเดียวได้:

หากเราทำ (นั่นคือ คู่) ในรายการนี้ เราจะได้คำตอบชุดแรก

หากเราใช้ (นั่นคือคี่) ในรายการนี้ เราจะได้คำตอบชุดที่สอง

2. ทีนี้มาแก้สมการกัน

เนื่องจากนี่คือจุดแอบซิสซาของจุดบนวงกลมหน่วยที่ได้จากการหมุนด้วยมุม เราจึงทำเครื่องหมายจุดนั้นด้วยจุดแอบซิสซาบนแกน:

วาดเส้นแนวตั้งขนานกับแกนจนกระทั่งตัดกับวงกลม เราจะได้สองแต้มบนวงกลมและมีแอบซิสซา จุดเหล่านี้สอดคล้องกับมุมการหมุนในและเรเดียน โปรดจำไว้ว่าเมื่อเคลื่อนที่ตามเข็มนาฬิกา เราจะได้มุมการหมุนที่เป็นลบ:

ให้เราเขียนวิธีแก้ปัญหาสองชุด:

,

,

(เราจะไปถึงจุดที่ต้องการโดยไปจากวงเวียนหลักนั่นคือ

มารวมสองซีรี่ส์นี้เป็นรายการเดียว:

3. แก้สมการ

เส้นสัมผัสกันลากผ่านจุดด้วยพิกัด (1,0) ของวงกลมหนึ่งหน่วยขนานกับแกน OY

ลองทำเครื่องหมายจุดนั้นด้วยพิกัดเท่ากับ 1 (เรากำลังมองหาแทนเจนต์ที่มุมเท่ากับ 1):

ลองเชื่อมต่อจุดนี้กับจุดกำเนิดของพิกัดด้วยเส้นตรงและทำเครื่องหมายจุดตัดของเส้นด้วยวงกลมหน่วย จุดตัดของเส้นตรงและวงกลมสอดคล้องกับมุมการหมุนบน และ :

เนื่องจากจุดที่สอดคล้องกับมุมการหมุนที่เป็นไปตามสมการของเรานั้นอยู่ห่างจากกันเป็นเรเดียน เราจึงสามารถเขียนคำตอบได้ดังนี้:

4. แก้สมการ

เส้นโคแทนเจนต์ผ่านจุดโดยมีพิกัดของวงกลมหนึ่งหน่วยขนานกับแกน

ลองทำเครื่องหมายจุดด้วย abscissa -1 บนเส้นโคแทนเจนต์:

ลองเชื่อมต่อจุดนี้กับจุดกำเนิดของเส้นตรงแล้วทำต่อไปจนกว่าจะตัดกับวงกลม เส้นตรงนี้จะตัดวงกลมที่จุดที่สอดคล้องกับมุมการหมุนในและเรเดียน:

เนื่องจากจุดเหล่านี้แยกจากกันด้วยระยะห่างเท่ากับ เราจึงสามารถเขียนคำตอบทั่วไปของสมการนี้ได้ดังนี้:

ในตัวอย่างที่ให้มาซึ่งแสดงให้เห็นถึงการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดจะใช้ค่าตารางของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

อย่างไรก็ตาม หากทางด้านขวาของสมการมีค่าที่ไม่ใช่ตาราง เราจะแทนค่าดังกล่าวลงในคำตอบทั่วไปของสมการ:

โซลูชั่นพิเศษ:

ให้เราทำเครื่องหมายจุดบนวงกลมที่มีพิกัดเป็น 0:

ให้เราทำเครื่องหมายจุดเดียวบนวงกลมที่มีพิกัดเป็น 1:

ให้เราทำเครื่องหมายจุดเดียวบนวงกลมซึ่งมีพิกัดเท่ากับ -1:

เนื่องจากเป็นเรื่องปกติที่จะต้องระบุค่าที่ใกล้กับศูนย์มากที่สุดเราจึงเขียนวิธีแก้ปัญหาดังนี้:

ให้เราทำเครื่องหมายจุดบนวงกลมที่มี abscissa เท่ากับ 0:

5.
ให้เราทำเครื่องหมายจุดเดียวบนวงกลมซึ่งมีจุด Abscissa เท่ากับ 1:

ให้เราทำเครื่องหมายจุดเดียวบนวงกลมซึ่งมีจุด Abscissa เท่ากับ -1:

และตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อย:

1.

ไซน์เท่ากับหนึ่งถ้าอาร์กิวเมนต์เท่ากับ

อาร์กิวเมนต์ของไซน์ของเราเท่ากัน ดังนั้นเราจึงได้:

ลองหารทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันด้วย 3:

คำตอบ:

2.

โคไซน์เป็นศูนย์ถ้าอาร์กิวเมนต์ของโคไซน์เป็น

อาร์กิวเมนต์ของโคไซน์ของเราเท่ากับ ดังนั้นเราจึงได้:

มาแสดงกัน เพื่อทำสิ่งนี้ก่อนอื่นเราย้ายไปทางขวาโดยมีเครื่องหมายตรงข้าม:

มาทำให้ด้านขวาง่ายขึ้น:

หารทั้งสองข้างด้วย -2:

โปรดทราบว่าเครื่องหมายหน้าเทอมจะไม่เปลี่ยนแปลง เนื่องจาก k สามารถรับค่าจำนวนเต็มใดๆ ก็ได้

คำตอบ:

และสุดท้าย ชมวิดีโอบทเรียน “การเลือกรากในสมการตรีโกณมิติโดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ”

นี่เป็นการสรุปการสนทนาของเราเกี่ยวกับการแก้สมการตรีโกณมิติอย่างง่าย คราวหน้าเราจะมาพูดถึงวิธีการตัดสินใจกัน

สมการตรีโกณมิติไม่ใช่เรื่องง่าย มีความหลากหลายมากเกินไป) ตัวอย่างเช่น:

บาป 2 x + cos3x = ctg5x

บาป(5x+π /4) = เตียงเด็ก(2x-π /3)

ซิน x + cos2x + tg3x = ctg4x

ฯลฯ...

แต่สัตว์ประหลาดเกี่ยวกับวิชาตรีโกณมิติเหล่านี้ (และอื่น ๆ ทั้งหมด) มีคุณสมบัติทั่วไปและบังคับสองประการ อย่างแรก - คุณจะไม่เชื่อ - มีฟังก์ชันตรีโกณมิติในสมการ) ประการที่สอง: พบนิพจน์ทั้งหมดที่มี x ภายในฟังก์ชันเดียวกันนี้และที่นั่นเท่านั้น! หาก X ปรากฏที่ไหนสักแห่ง ข้างนอก,ตัวอย่างเช่น, บาป2x + 3x = 3,นี่จะเป็นสมการแบบผสมอยู่แล้ว สมการดังกล่าวต้องใช้แนวทางเฉพาะบุคคล เราจะไม่พิจารณาพวกเขาที่นี่

เราจะไม่แก้สมการชั่วร้ายในบทเรียนนี้เช่นกัน) เราจะพูดถึงที่นี่ สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดทำไม ใช่เพราะว่าทางแก้ ใดๆสมการตรีโกณมิติประกอบด้วยสองขั้นตอน ในระยะแรก สมการชั่วร้ายจะลดลงเหลือเพียงสมการง่ายๆ ผ่านการเปลี่ยนแปลงต่างๆ ประการที่สอง สมการที่ง่ายที่สุดนี้ได้รับการแก้ไขแล้ว ไม่มีทางอื่น.

ดังนั้นหากคุณมีปัญหาในระยะที่สอง ระยะแรกก็ไม่ค่อยสมเหตุสมผลนัก)

สมการตรีโกณมิติเบื้องต้นมีหน้าตาเป็นอย่างไร?

บาป = ก

คอกซ์ = ก

tgx = ก

CTGX = ก

ที่นี่ ก ย่อมาจากตัวเลขใดๆ ใดๆ.

อย่างไรก็ตาม ภายในฟังก์ชันอาจไม่มี X บริสุทธิ์ แต่มีนิพจน์บางอย่าง เช่น:

คอส(3x+π /3) = 1/2

ฯลฯ สิ่งนี้ทำให้ชีวิตซับซ้อน แต่ไม่ส่งผลกระทบต่อวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ

จะแก้สมการตรีโกณมิติได้อย่างไร?

สมการตรีโกณมิติสามารถแก้ไขได้สองวิธี วิธีแรก: การใช้ตรรกะและวงกลมตรีโกณมิติ เราจะดูเส้นทางนี้ที่นี่ วิธีที่สอง - การใช้หน่วยความจำและสูตร - จะกล่าวถึงในบทถัดไป

วิธีแรกชัดเจน เชื่อถือได้ และลืมยาก) เหมาะสำหรับแก้สมการตรีโกณมิติ อสมการ และตัวอย่างที่ไม่ได้มาตรฐานที่ยุ่งยากทุกประเภท ลอจิกแข็งแกร่งกว่าหน่วยความจำ!)

การแก้สมการโดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ

เรารวมตรรกะเบื้องต้นและความสามารถในการใช้วงกลมตรีโกณมิติ คุณไม่ทราบวิธีการ? อย่างไรก็ตาม... คุณจะมีช่วงเวลาที่ยากลำบากในวิชาตรีโกณมิติ...) แต่มันก็ไม่สำคัญ มาดูบทเรียน "วงกลมตรีโกณมิติ...... คืออะไร" และ "การวัดมุมบนวงกลมตรีโกณมิติ" ทุกอย่างเรียบง่ายที่นั่น ต่างจากตำราเรียน...)

เอ๊ะ รู้ยัง!? แถมยังเชี่ยวชาญเรื่อง “การปฏิบัติจริงกับวงกลมตรีโกณมิติ” อีกด้วย!? ยินดีด้วย. หัวข้อนี้จะใกล้เคียงและเข้าใจสำหรับคุณ) สิ่งที่น่ายินดีเป็นพิเศษคือวงกลมตรีโกณมิติไม่สนใจว่าคุณจะแก้สมการใด ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์ - ทุกอย่างเหมือนกันสำหรับเขา มีหลักการแก้ปัญหาเพียงข้อเดียว

เราก็หาสมการตรีโกณมิติเบื้องต้นมา อย่างน้อยสิ่งนี้:

คอกซ์ = 0.5

เราจำเป็นต้องค้นหา X. คุณต้องพูดเป็นภาษามนุษย์ ค้นหามุม (x) ที่มีโคไซน์เท่ากับ 0.5

ก่อนหน้านี้เราใช้วงกลมอย่างไร? เราวาดมุมบนมัน เป็นองศาหรือเรเดียน และทันที เลื่อย ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมนี้ ทีนี้ลองทำตรงกันข้ามกัน ลองวาดโคไซน์บนวงกลมเท่ากับ 0.5 และทันที เราจะเห็น มุม. สิ่งที่เหลืออยู่คือจดคำตอบ) ใช่แล้ว!

วาดวงกลมและทำเครื่องหมายโคไซน์เท่ากับ 0.5 บนแกนโคไซน์แน่นอน แบบนี้:

ทีนี้ลองวาดมุมที่โคไซน์นี้ให้เราดู วางเมาส์เหนือรูปภาพ (หรือแตะรูปภาพบนแท็บเล็ต) และ คุณจะเห็นมุมนี้เอง เอ็กซ์

โคไซน์ของมุมใดคือ 0.5?

x = π /3

เพราะ 60°= cos( พาย /3) = 0,5

บางคนจะหัวเราะอย่างไม่เชื่อหู ใช่แล้ว... เช่น คุ้มไหมที่จะเป็นวงกลมเมื่อทุกอย่างชัดเจนแล้ว... คุณสามารถหัวเราะได้แน่นอน...) แต่ความจริงก็คือว่านี่เป็นคำตอบที่ผิดพลาด หรือค่อนข้างไม่เพียงพอ ผู้ชื่นชอบวงกลมเข้าใจว่ายังมีมุมอื่นๆ อีกมากที่นี่ที่ให้โคไซน์เป็น 0.5 เช่นกัน

หากหมุนด้านเคลื่อนที่ OA เลี้ยวเต็มจุด A จะกลับสู่ตำแหน่งเดิม โดยมีโคไซน์เท่ากันเท่ากับ 0.5 เหล่านั้น. มุมจะเปลี่ยนคูณ 360° หรือ 2π เรเดียน และ โคไซน์ - ไม่มุมใหม่ 60° + 360° = 420° จะเป็นคำตอบของสมการของเราด้วย เพราะ

การปฏิวัติที่สมบูรณ์นั้นสามารถเกิดขึ้นได้ไม่จำกัดจำนวน... และมุมใหม่ทั้งหมดนี้จะเป็นคำตอบของสมการตรีโกณมิติของเรา และพวกเขาทั้งหมดจำเป็นต้องเขียนลงไปเพื่อตอบโต้ ทั้งหมด.ไม่งั้นไม่นับรวมการตัดสินใจครับ...)

คณิตศาสตร์สามารถทำได้ง่ายและสวยงาม เขียนลงในคำตอบสั้นๆ คำตอบเดียว ชุดอนันต์การตัดสินใจ สมการของเรามีลักษณะดังนี้:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

ฉันจะถอดรหัสมัน ยังคงเขียน อย่างมีความหมายมันน่าสนุกมากกว่าการเขียนตัวอักษรลึกลับอย่างโง่เขลาใช่ไหม?)

พาย /3 - มุมนี้มุมเดียวกับเรา เลื่อยบนวงกลมและ มุ่งมั่นตามตารางโคไซน์

2π คือการปฏิวัติที่สมบูรณ์ในหน่วยเรเดียน

n - นี่คือจำนวนที่สมบูรณ์นั่นคือ ทั้งหมดรอบต่อนาที เป็นที่ชัดเจนว่า n สามารถเท่ากับ 0, ±1, ±2, ±3.... และอื่นๆ ตามที่ระบุโดยรายการสั้น:

n ∈ Z

n เป็นของ ( ∈ ) ชุดของจำนวนเต็ม ( ซี - โดยวิธีการแทนจดหมาย n สามารถใช้ตัวอักษรได้ดี เค ม ที ฯลฯ

สัญกรณ์นี้หมายความว่าคุณสามารถใช้จำนวนเต็มใดก็ได้ n - อย่างน้อย -3 อย่างน้อย 0 อย่างน้อย +55 สิ่งที่คุณต้องการ หากคุณแทนตัวเลขนี้เป็นคำตอบ คุณจะได้มุมเฉพาะ ซึ่งจะเป็นคำตอบของสมการที่รุนแรงของเราอย่างแน่นอน)

หรืออีกนัยหนึ่งคือ x = π /3 เป็นเพียงรากเดียวของเซตอนันต์ หากต้องการหารากอื่นๆ ทั้งหมด ก็เพียงพอที่จะเพิ่มจำนวนรอบการหมุนทั้งหมดให้กับ π /3 ( n ) เป็นเรเดียน เหล่านั้น. 2πn เรเดียน.

ทั้งหมด? เลขที่ ฉันจงใจยืดเวลาความสุขออกไป เพื่อจะได้จำได้ดีขึ้น) เราได้รับคำตอบของสมการเพียงบางส่วนเท่านั้น ฉันจะเขียนส่วนแรกของวิธีแก้ปัญหาดังนี้:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x1 - ไม่ใช่แค่รากเดียว แต่เป็นรากทั้งชุดที่เขียนในรูปแบบย่อ

แต่ก็มีมุมที่ให้โคไซน์เท่ากับ 0.5 ด้วย!

กลับไปที่รูปภาพที่เราจดคำตอบไว้ เธออยู่นี่:

วางเมาส์เหนือภาพและ ที่เราเห็นอีกมุมหนึ่งนั้น ให้โคไซน์เป็น 0.5 ด้วยคุณคิดว่ามันเท่ากับอะไร? สามเหลี่ยมก็เหมือนกัน...ใช่แล้ว! มันเท่ากับมุม เอ็กซ์ ล่าช้าไปในทิศทางลบเท่านั้น นี่คือมุม -เอ็กซ์ แต่เราคำนวณ x แล้ว π /3 หรือ 60° ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนได้อย่างปลอดภัย:

x 2 = - π /3

แน่นอน เราบวกมุมทั้งหมดที่ได้รับจากการปฏิวัติแบบเต็ม:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

เท่านี้ก็เรียบร้อย) เราอยู่บนวงกลมตรีโกณมิติ เลื่อย(ใครเข้าใจแน่นอน)) ทั้งหมดมุมที่ให้โคไซน์เท่ากับ 0.5 และเราเขียนมุมเหล่านี้ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์สั้นๆ คำตอบทำให้เกิดรากสองชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง

หวัง, หลักการทั่วไปในการแก้สมการตรีโกณมิติใช้วงกลมก็ชัดเจน เราทำเครื่องหมายโคไซน์ (ไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์) จากสมการที่กำหนดบนวงกลม วาดมุมที่สอดคล้องกับมันแล้วจดคำตอบแน่นอนว่าเราต้องรู้ว่าเราอยู่มุมไหน เลื่อยบนวงกลม บางครั้งมันก็ไม่ได้ชัดเจนนัก ฉันบอกว่าต้องใช้ตรรกะที่นี่)

ตัวอย่างเช่น ลองดูสมการตรีโกณมิติอื่น:

โปรดทราบว่าเลข 0.5 ไม่ใช่ตัวเลขเดียวที่เป็นไปได้ในสมการ!) ฉันเขียนมันได้สะดวกกว่ารากและเศษส่วน

เราทำงานตามหลักการทั่วไป เราวาดวงกลมทำเครื่องหมาย (บนแกนไซน์แน่นอน!) 0.5 เราวาดมุมทั้งหมดที่สอดคล้องกับไซน์นี้ทันที เราได้รับภาพนี้:

มาจัดการกับมุมกันก่อน เอ็กซ์ ในไตรมาสแรก เราจำตารางไซน์และกำหนดค่าของมุมนี้ มันเป็นเรื่องง่ายๆ:

x = π /6

เราจำได้ประมาณผลัดกันเต็มและเขียนคำตอบชุดแรกด้วยมโนธรรมที่ชัดเจน:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

งานเสร็จไปครึ่งหนึ่งแล้ว แต่ตอนนี้เราต้องตัดสินใจ มุมที่สอง...มันยากกว่าการใช้โคไซน์ ใช่แล้ว... แต่ตรรกะจะช่วยเราได้! วิธีการกำหนดมุมที่สอง ผ่าน x? ใช่ง่าย! สามเหลี่ยมในภาพเหมือนกันและมุมสีแดง เอ็กซ์ เท่ากับมุม เอ็กซ์ - นับจากมุม π ไปในทิศทางลบเท่านั้น นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงเป็นสีแดง) และสำหรับคำตอบ เราจำเป็นต้องมีมุมที่วัดได้อย่างถูกต้องจาก OX ครึ่งแกนบวก เช่น จากมุม 0 องศา

เราวางเคอร์เซอร์ไว้เหนือภาพวาดแล้วดูทุกอย่าง ฉันลบมุมแรกออกเพื่อไม่ให้ภาพซับซ้อน มุมที่เราสนใจ (วาดด้วยสีเขียว) จะเท่ากับ:

π - x

เอ็กซ์ เรารู้เรื่องนี้ พาย /6 - ดังนั้นมุมที่สองจะเป็น:

π - π /6 = 5π /6

เราจำอีกครั้งเกี่ยวกับการเพิ่มการปฏิวัติเต็มรูปแบบและเขียนคำตอบชุดที่สอง:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

นั่นคือทั้งหมดที่ คำตอบที่สมบูรณ์ประกอบด้วยรากสองชุด:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

สมการแทนเจนต์และโคแทนเจนต์สามารถแก้ได้อย่างง่ายดายโดยใช้หลักการทั่วไปเดียวกันในการแก้สมการตรีโกณมิติ แน่นอน หากคุณรู้วิธีวาดแทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติ

ในตัวอย่างข้างต้น ฉันใช้ค่าตารางของไซน์และโคไซน์: 0.5 เหล่านั้น. ความหมายหนึ่งที่นักเรียนรู้ ต้อง.ตอนนี้เรามาขยายขีดความสามารถของเราไปที่ ค่าอื่นๆ ทั้งหมดตัดสินใจแล้วตัดสินใจ!)

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้สมการตรีโกณมิตินี้:

ไม่มีค่าโคไซน์ดังกล่าวในตารางแบบสั้น เราเพิกเฉยต่อข้อเท็จจริงอันเลวร้ายนี้อย่างเย็นชา วาดวงกลม ทำเครื่องหมาย 2/3 บนแกนโคไซน์ แล้ววาดมุมที่สอดคล้องกัน เราได้ภาพนี้มา

มาดูมุมในไตรมาสแรกกันก่อน ถ้าเรารู้ว่า x เท่ากับอะไร เราก็จะเขียนคำตอบทันที! เราไม่รู้...ล้มเหลว!? เงียบสงบ! คณิตศาสตร์ไม่ทำให้คนเดือดร้อน! เธอคิดอาร์คโคไซน์สำหรับในกรณีนี้ได้ ไม่ทราบ? เปล่าประโยชน์. ค้นหาว่ามันง่ายกว่าที่คุณคิดมาก ลิงค์นี้ไม่มีคาถาซับซ้อนเกี่ยวกับ "ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน"... สิ่งนี้ไม่จำเป็นในหัวข้อนี้

หากคุณรู้อยู่แล้ว เพียงพูดกับตัวเองว่า “X คือมุมที่มีโคไซน์เท่ากับ 2/3” และในทันทีโดยนิยามของอาร์คโคไซน์ เราสามารถเขียนได้:

เราจำเกี่ยวกับการปฏิวัติเพิ่มเติมและเขียนรากชุดแรกของสมการตรีโกณมิติของเราอย่างใจเย็น:

x 1 = ส่วนโค้ง 2/3 + 2π n, n ∈ Z

รากชุดที่สองของมุมที่สองเกือบจะเขียนลงไปโดยอัตโนมัติ ทุกอย่างเหมือนกัน มีเพียง X (arccos 2/3) เท่านั้นที่จะมีเครื่องหมายลบ:

x 2 = - ส่วนโค้ง 2/3 + 2π n, n ∈ Z

แค่นั้นแหละ! นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง ง่ายกว่าด้วยค่าตาราง ไม่จำเป็นต้องจำอะไรเลย) อย่างไรก็ตาม ผู้ใส่ใจมากที่สุดจะสังเกตเห็นว่าภาพนี้แสดงคำตอบผ่านอาร์คโคไซน์ โดยพื้นฐานแล้วไม่ต่างจากในรูปของสมการ cosx = 0.5

อย่างแน่นอน! หลักการทั่วไปก็แค่นั้นแหละ! ฉันจงใจวาดภาพที่เกือบจะเหมือนกันสองภาพ วงกลมแสดงให้เราเห็นมุม เอ็กซ์ โดยโคไซน์ของมัน ไม่ว่ามันจะเป็นโคไซน์แบบตารางหรือไม่ก็ตามนั้นทุกคนไม่ทราบ มุมนี้เป็นมุมแบบไหน π /3 หรือส่วนโค้งโคไซน์เป็นเท่าใด ขึ้นอยู่กับเราที่จะตัดสินใจ

เพลงเดียวกันกับไซน์ ตัวอย่างเช่น:

วาดวงกลมอีกครั้ง ทำเครื่องหมายไซน์เท่ากับ 1/3 วาดมุม นี่คือภาพที่เราได้รับ:

และอีกครั้งที่ภาพเกือบจะเหมือนกับสมการ บาปx = 0.5อีกครั้งเราเริ่มจากมุมในควอเตอร์แรก X จะเท่ากับอะไรถ้าไซน์ของมันคือ 1/3? ไม่มีปัญหา!

ตอนนี้รูทชุดแรกพร้อมแล้ว:

x 1 = อาร์คซิน 1/3 + 2π n, n ∈ Z

มาจัดการกับมุมที่สองกันดีกว่า ในตัวอย่างที่มีค่าตาราง 0.5 จะเท่ากับ:

π - x

ที่นี่ก็จะเหมือนกันทุกประการ! ต่างกันแค่ x อาร์คซิน 1/3 แล้วไง!? คุณสามารถจดรากชุดที่สองได้อย่างปลอดภัย:

x 2 = π - ส่วนโค้ง 1/3 + 2π n, n ∈ Z

นี่เป็นคำตอบที่ถูกต้องสมบูรณ์ ถึงแม้จะดูไม่ค่อยคุ้นเคยก็ตาม แต่ฉันหวังว่ามันชัดเจน)

นี่คือวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติโดยใช้วงกลม เส้นทางนี้ชัดเจนและเข้าใจได้ เขาคือผู้ที่บันทึกสมการตรีโกณมิติด้วยการเลือกรากในช่วงเวลาที่กำหนดในอสมการตรีโกณมิติ - โดยทั่วไปแล้วจะแก้ไขเป็นวงกลมเกือบตลอดเวลา กล่าวโดยสรุปก็คือ ในงานใดก็ตามที่ยากกว่างานมาตรฐานเล็กน้อย

เรามาประยุกต์ความรู้ในทางปฏิบัติกันไหม?)

แก้สมการตรีโกณมิติ:

ขั้นแรก ง่ายกว่า ตรงจากบทเรียนนี้

ตอนนี้มันซับซ้อนมากขึ้น

คำแนะนำ: ที่นี่คุณจะต้องคิดถึงวงกลม ส่วนตัว.)

และตอนนี้ภายนอกก็เรียบง่าย... เรียกอีกอย่างว่ากรณีพิเศษ

บาป = 0

บาป = 1

คอกซ์ = 0

คอกซ์ = -1

คำแนะนำ: ในที่นี้ คุณต้องหาคำตอบในวงกลมว่ามีคำตอบสองชุดและมีคำตอบเดียว... และจะเขียนคำตอบเพียงชุดเดียวแทนคำตอบสองชุดได้อย่างไร ใช่ เพื่อไม่ให้สูญเสียรากเดียวจากจำนวนอนันต์!)

ง่ายมาก):

บาป = 0,3

คอกซ์ = π

ทีจีเอ็กซ์ = 1,2

ซีทีจีเอ็กซ์ = 3,7

คำแนะนำ: ที่นี่คุณต้องรู้ว่าอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์คืออะไร? อาร์กแทนเจนต์ อาร์กโคแทนเจนต์ คืออะไร? คำจำกัดความที่ง่ายที่สุด แต่คุณไม่จำเป็นต้องจำค่าตารางใดๆ เลย!)

แน่นอนว่าคำตอบคือความยุ่งเหยิง):

x1= ส่วนโค้งซิน0,3 + 2π n, n ∈ Z
x2= π - ส่วนโค้งซิน0.3 + 2

ทุกอย่างไม่ได้ผลใช่ไหม? เกิดขึ้น อ่านบทเรียนอีกครั้ง เท่านั้น รอบคอบ(มีคำล้าสมัยซะด้วย...) และตามลิงค์ครับ ลิงค์หลักเกี่ยวกับวงกลม หากไม่มีสิ่งนี้ ตรีโกณมิติก็เหมือนกับการปิดตาข้ามถนน บางครั้งก็ได้ผล)

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้