สมการตรรกยะ สมการเหตุผลเจ็ดประเภทที่ลดขนาดเป็นสมการกำลังสอง สมการตรรกยะเศษส่วน อัลกอริธึมโซลูชัน

ก่อนอื่น เพื่อที่จะเรียนรู้วิธีทำงานกับเศษส่วนตรรกยะโดยไม่มีข้อผิดพลาด คุณจำเป็นต้องเรียนรู้สูตรการคูณแบบย่อ และการเรียนรู้ไม่ใช่เรื่องง่าย - จำเป็นต้องจดจำแม้ว่าบทบาทของคำศัพท์จะเป็นไซน์ ลอการิทึม และรากก็ตาม

อย่างไรก็ตาม เครื่องมือหลักยังคงเป็นการแยกตัวประกอบของเศษและส่วนของเศษส่วนตรรกยะ สามารถทำได้สามวิธี:

1. จริงๆ แล้ว ตามสูตรการคูณแบบย่อ: มันทำให้คุณสามารถยุบพหุนามให้เป็นตัวประกอบหนึ่งตัวหรือมากกว่านั้นได้
2. การใช้การแยกตัวประกอบของตรีโกณมิติกำลังสองผ่านการแยกแยะ วิธีการเดียวกันนี้ทำให้สามารถยืนยันได้ว่าไม่สามารถแยกตัวประกอบตรีโกณมิติใดๆ ได้เลย
3. วิธีการจัดกลุ่มเป็นส่วนใหญ่ เครื่องมือที่ซับซ้อน, แต่นี่ วิธีเดียวเท่านั้นซึ่งใช้งานได้หากสองรายการก่อนหน้าไม่ทำงาน

ตามที่คุณอาจเดาได้จากชื่อวิดีโอนี้ เราจะพูดถึงเศษส่วนตรรกยะอีกครั้ง เมื่อไม่กี่นาทีที่แล้ว ฉันเรียนบทเรียนกับนักเรียนเกรด 11 จบ และเราได้วิเคราะห์สำนวนเหล่านี้อย่างชัดเจนที่นั่น ดังนั้นบทเรียนนี้จึงมีไว้สำหรับนักเรียนมัธยมปลายโดยเฉพาะ

ตอนนี้หลายคนคงมีคำถาม: “ทำไมนักเรียนเกรด 10-11 จึงควรศึกษาเรื่องง่ายๆ เช่น เศษส่วนตรรกยะ เพราะสิ่งนี้สอนในเกรด 8” แต่ปัญหาคือคนส่วนใหญ่ "ผ่าน" หัวข้อนี้ ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10-11 พวกเขาจำไม่ได้อีกต่อไปว่าจะคูณ หาร ลบ และบวกเศษส่วนตรรกยะจากชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ได้อย่างไร แต่เป็นความรู้ง่ายๆ นี้ที่เพิ่มเติม การออกแบบที่ซับซ้อนเพื่อเป็นคำตอบของลอการิทึม สมการตรีโกณมิติและสำนวนที่ซับซ้อนอื่นๆ อีกมากมาย ดังนั้นในโรงเรียนมัธยมปลายจึงแทบจะทำอะไรไม่ได้เลยหากไม่มีเศษส่วนตรรกยะ

สูตรการแก้ปัญหา

มาทำธุรกิจกันเถอะ ก่อนอื่น เราต้องการข้อเท็จจริงสองข้อ - สูตรสองชุด ก่อนอื่น คุณต้องรู้สูตรการคูณแบบย่อ:

• $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — ผลต่างของกำลังสอง;
• $((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$ — กำลังสองของผลรวมหรือผลต่าง;
• $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ คือผลรวมของลูกบาศก์
• $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ คือผลต่างของลูกบาศก์

ไม่พบพวกมันในรูปแบบที่บริสุทธิ์ในตัวอย่างใด ๆ หรือในการแสดงออกที่จริงจังอย่างแท้จริง ดังนั้น งานของเราคือการเรียนรู้ที่จะเห็นโครงสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้นภายใต้ตัวอักษร $a$ และ $b$ เช่น ลอการิทึม ราก ไซน์ ฯลฯ คุณสามารถเรียนรู้ที่จะเห็นสิ่งนี้ได้ผ่านการฝึกฝนอย่างต่อเนื่องเท่านั้น นี่คือเหตุผลว่าทำไมการแก้เศษส่วนตรรกยะจึงมีความจำเป็นอย่างยิ่ง

สูตรที่สองที่ชัดเจนโดยสิ้นเชิงคือการแยกตัวประกอบของตรีโกณมิติกำลังสอง:

$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ เป็นราก

เราได้จัดการกับส่วนทางทฤษฎีแล้ว แต่จะแก้เศษส่วนตรรกยะจริงซึ่งครอบคลุมอยู่ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ได้อย่างไร? ตอนนี้เราจะฝึก

ภารกิจที่ 1

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

ลองใช้สูตรข้างต้นเพื่อแก้เศษส่วนตรรกยะ ก่อนอื่น ผมอยากอธิบายว่าเหตุใดจึงต้องแยกตัวประกอบเลย ความจริงก็คือเมื่อมองแวบแรกในส่วนแรกของงาน คุณต้องการลดลูกบาศก์ด้วยกำลังสอง แต่สิ่งนี้เป็นสิ่งต้องห้ามอย่างเคร่งครัด เนื่องจากเป็นเงื่อนไขในตัวเศษและตัวส่วน แต่ไม่ว่าในกรณีใดจะเป็นปัจจัย

ย่อมาจากอะไรกันแน่? การลดลงคือการใช้กฎพื้นฐานในการทำงานกับนิพจน์ดังกล่าว คุณสมบัติหลักของเศษส่วนคือเราสามารถคูณทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกันนอกเหนือจาก "ศูนย์" ในกรณีนี้ เมื่อเราลด ในทางกลับกัน เราก็หารด้วยจำนวนเดียวกัน ซึ่งต่างจาก "ศูนย์" อย่างไรก็ตาม เราต้องหารพจน์ทั้งหมดในตัวส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน คุณไม่สามารถทำอย่างนั้นได้ และเรามีสิทธิ์ลดตัวเศษด้วยตัวส่วนก็ต่อเมื่อแยกตัวประกอบทั้งคู่แล้ว. ลงมือทำกันเถอะ.

ตอนนี้คุณต้องดูว่ามีกี่พจน์ในองค์ประกอบหนึ่งๆ แล้วดูว่าจะใช้สูตรใด

มาแปลงแต่ละนิพจน์ให้เป็นคิวบ์ที่แน่นอน:

ลองเขียนตัวเศษใหม่:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\ซ้าย (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

มาดูตัวส่วนกัน. ลองขยายมันโดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง:

\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \ ขวา)\]

ตอนนี้เรามาดูส่วนที่สองของนิพจน์กัน:

เศษ:

มันยังคงต้องหาตัวส่วน:

\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right))^(2))\]

มาเขียนโครงสร้างทั้งหมดใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงข้างต้น:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

ความแตกต่างของการคูณเศษส่วนตรรกยะ

ข้อสรุปที่สำคัญจากการก่อสร้างเหล่านี้คือ:

• ไม่ใช่ทุกพหุนามที่สามารถแยกตัวประกอบได้
• แม้ว่าจะสลายตัวไปแล้ว แต่คุณต้องดูอย่างละเอียดว่าสูตรการคูณแบบย่อคืออะไร

ในการทำเช่นนี้ ขั้นแรก เราต้องประมาณว่ามีพจน์อยู่กี่พจน์ (หากมีสองพจน์ สิ่งที่เราทำได้คือขยายพจน์ด้วยผลรวมของผลต่างของกำลังสอง หรือด้วยผลรวมหรือผลต่างของลูกบาศก์ และถ้า มีสามค่า ดังนั้นนี่ โดยไม่ซ้ำกัน ไม่ว่าจะเป็นกำลังสองของผลรวมหรือกำลังสองของผลต่าง) มันมักจะเกิดขึ้นที่ตัวเศษหรือตัวส่วนไม่จำเป็นต้องแยกตัวประกอบเลย อาจเป็นเส้นตรง หรือตัวแบ่งแยกของมันจะเป็นลบ

ปัญหาหมายเลข 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

โดยทั่วไปแผนการแก้ปัญหานี้ไม่แตกต่างจากครั้งก่อน - จะมีการดำเนินการมากขึ้นและจะมีความหลากหลายมากขึ้น

เริ่มจากเศษส่วนแรกกันก่อน: ดูตัวเศษแล้วทำการแปลงที่เป็นไปได้:

ตอนนี้เรามาดูตัวส่วนกัน:

ด้วยเศษส่วนที่สอง: ไม่สามารถทำอะไรได้เลยในตัวเศษ เนื่องจากมันเป็นนิพจน์เชิงเส้น และเป็นไปไม่ได้ที่จะลบตัวประกอบใดๆ ออกจากมัน ลองดูตัวส่วน:

\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\left(x-2 \right ))^(2))\]

ไปที่เศษส่วนที่สามกัน. เศษ:

ลองดูตัวส่วนของเศษส่วนสุดท้าย:

มาเขียนนิพจน์ใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงข้างต้น:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+4 \right))\cdot \frac(2x+1)((( \left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(-3)(2\left(2-x \right))=-\frac(3)(2\left(2-x \right))=\frac(3)(2\left (x-2 \ขวา))\]

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

อย่างที่คุณเห็น ไม่ใช่ทุกอย่างและไม่ได้ขึ้นอยู่กับสูตรการคูณแบบย่อเสมอไป - บางครั้งก็เพียงพอที่จะใส่ค่าคงที่หรือตัวแปรออกจากวงเล็บ อย่างไรก็ตาม สถานการณ์ตรงกันข้ามก็เกิดขึ้นเช่นกัน เมื่อมีคำศัพท์มากมายหรือถูกสร้างขึ้นในลักษณะที่ทำให้สูตรการคูณแบบย่อเป็นไปไม่ได้ ในกรณีนี้เราใช้เครื่องมือสากลมาช่วย กล่าวคือ วิธีการจัดกลุ่ม นี่คือสิ่งที่เราจะนำไปใช้ในปัญหาถัดไป

ภารกิจที่ 3

\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a) )^(2))-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

มาดูส่วนแรกกัน:

\[((a)^(2))+ab=a\left(a+b \right)\]

\[=5\left(a-b \right)-\left(a-b \right)\left(a+b \right)=\left(a-b \right)\left(5-1\left(a+b \right) )\ขวา)=\]

\[=\left(a-b \right)\left(5-a-b \right)\]

มาเขียนนิพจน์ดั้งเดิมใหม่:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(((a)^(2))-( (ข)^(2))+25-10a)(((ก)^(2))-((b)^(2)))\]

ตอนนี้เรามาดูวงเล็บที่สอง:

\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \right)-((b)^(2))=\]

\[=((\left(a-5 \right))^(2))-((b)^(2))=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \ขวา)\]

เนื่องจากไม่สามารถจัดกลุ่มสององค์ประกอบได้ เราจึงจัดกลุ่มสามรายการ สิ่งที่เหลืออยู่คือการหาตัวส่วนของเศษส่วนสุดท้าย:

\[((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)\]

ตอนนี้เรามาเขียนโครงสร้างทั้งหมดของเราใหม่:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(\left(a-5-b \right) \left(a-5+b \right))(\left(a-b \right)\left(a+b \right))=\frac(a\left(b-a+5 \right))((( \left(a-b \right))^(2)))\]

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว และไม่มีอะไรสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ที่นี่

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

เราหาการจัดกลุ่มได้และได้รับเครื่องมืออันทรงพลังอีกอย่างหนึ่งที่ขยายขีดความสามารถของการแยกตัวประกอบ แต่ปัญหาอยู่ที่ว่าใน ชีวิตจริงไม่มีใครยกตัวอย่างที่ละเอียดกว่านี้ให้เราได้ โดยที่มีเศษส่วนหลายตัวที่คุณต้องแยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน แล้วถ้าเป็นไปได้ ให้ลดขนาดลง การแสดงออกที่แท้จริงจะซับซ้อนกว่านี้มาก

เป็นไปได้มากว่านอกเหนือจากการคูณและการหารแล้วจะมีการลบและการบวกวงเล็บทุกประเภทโดยทั่วไปคุณจะต้องคำนึงถึงลำดับของการกระทำด้วย แต่ที่แย่ที่สุดคือเวลาลบบวกเศษส่วนด้วย ตัวส่วนที่แตกต่างกันพวกเขาจะต้องถูกลดทอนให้เหลือสิ่งเดียวทั่วไป ในการทำเช่นนี้ แต่ละรายการจะต้องถูกแยกตัวประกอบ จากนั้นจึงแปลงเศษส่วนเหล่านี้: ให้เศษส่วนที่คล้ายกันและอีกมากมาย ทำอย่างไรให้ถูกต้อง รวดเร็ว และในขณะเดียวกันก็ได้คำตอบที่ถูกต้องชัดเจน? นี่คือสิ่งที่เราจะพูดถึงตอนนี้โดยใช้โครงสร้างต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง

ปัญหาหมายเลข 4

\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \right)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \ขวา)\]

ลองเขียนเศษส่วนแรกแล้วลองแยกกัน:

\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]

\[=\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\]

มาดูอันที่สองกันดีกว่า มาคำนวณการแบ่งแยกของตัวส่วนทันที:

ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ดังนั้นเราจึงเขียนดังนี้:

\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right)) \]

เราจะเขียนตัวเศษแยกกัน:

\[((x)^(2))-2x+12=0\]

ด้วยเหตุนี้ พหุนามนี้จึงไม่สามารถแยกตัวประกอบได้

เราได้ทำเต็มที่เท่าที่เราจะทำได้และย่อยสลายแล้ว

ดังนั้นเราจึงเขียนโครงสร้างเดิมของเราใหม่และได้รับ:

\[\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]

แค่นั้นแหละ ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

พูดตามตรงมันไม่ได้ยอดเยี่ยมขนาดนั้น งานที่ยากลำบาก: ทุกอย่างถูกแยกตัวประกอบอย่างง่ายดาย เงื่อนไขที่คล้ายกันลดลงอย่างรวดเร็ว และทุกสิ่งก็ลดลงอย่างสวยงาม ตอนนี้เรามาลองแก้ปัญหาที่ร้ายแรงกว่านี้กันดีกว่า

ปัญหาหมายเลข 5

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

ก่อนอื่นมาจัดการกับวงเล็บแรกกันก่อน จากจุดเริ่มต้น เราจะแยกตัวประกอบของเศษส่วนที่สองออกจากกัน:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \ขวา)\]

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]

\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\ ซ้าย(((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(2))+8-\left(((x)^(2))+2x+4 \right))( \left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)) =\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

ตอนนี้เรามาทำงานกับเศษส่วนที่สองกันดีกว่า:

\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2 )))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ ซ้าย(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]

เรากลับไปสู่การออกแบบดั้งเดิมของเราและเขียนว่า:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

ประเด็นสำคัญ

ข้อเท็จจริงสำคัญของบทเรียนวิดีโอวันนี้อีกครั้ง:

1. คุณจำเป็นต้องรู้สูตรการคูณแบบย่อด้วยใจจริง ไม่ใช่แค่รู้ แต่ต้องสามารถเห็นสำนวนที่คุณจะพบในปัญหาจริงด้วย กฎที่ยอดเยี่ยมสามารถช่วยเราได้: หากมีพจน์สองพจน์ แสดงว่าเป็นผลต่างของกำลังสอง หรือผลต่างหรือผลรวมของลูกบาศก์ หากเป็นสาม ก็จะเป็นเพียงกำลังสองของผลรวมหรือผลต่างเท่านั้น
2. ถ้าโครงสร้างใดๆ ไม่สามารถขยายโดยใช้สูตรคูณแบบย่อได้ เราก็จะใช้สูตรมาตรฐานสำหรับการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติหรือวิธีจัดกลุ่มก็ได้
3. หากมีบางอย่างไม่ได้ผล ให้ดูที่นิพจน์ต้นฉบับอย่างละเอียดเพื่อดูว่าจำเป็นต้องมีการแปลงใดๆ หรือไม่ บางทีแค่เอาตัวประกอบออกจากวงเล็บก็เพียงพอแล้ว และนี่มักจะเป็นเพียงค่าคงที่
4. ในนิพจน์ที่ซับซ้อนที่คุณต้องดำเนินการหลายอย่างติดต่อกัน อย่าลืมลดให้เหลือตัวส่วนร่วม และหลังจากนั้น เมื่อเศษส่วนทั้งหมดลดลงแล้ว ต้องแน่ใจว่าได้นำค่าเดียวกันในตัวเศษใหม่ แล้วแยกตัวเศษใหม่อีกครั้ง - เป็นไปได้ว่าบางสิ่งจะลดลง

นั่นคือทั้งหมดที่ผมอยากบอกคุณวันนี้เกี่ยวกับเศษส่วนตรรกยะ หากบางอย่างไม่ชัดเจน ก็ยังมีวิดีโอบทช่วยสอนมากมายบนเว็บไซต์ รวมถึงงานอื่นๆ มากมาย การตัดสินใจที่เป็นอิสระ- ดังนั้นคอยติดตาม!

ตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดจะใช้เพื่อทำให้สมการนี้ง่ายขึ้นวิธีการนี้ใช้เมื่อคุณไม่สามารถเขียนสมการที่กำหนดด้วยนิพจน์ตรรกยะหนึ่งนิพจน์ในแต่ละด้านของสมการได้ (และใช้วิธีการคูณแบบกากบาด) วิธีการนี้ใช้เมื่อคุณได้รับสมการตรรกยะที่มีเศษส่วนตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป (ในกรณีที่มีเศษส่วนสองส่วน ควรใช้การคูณแบบไขว้จะดีกว่า)

สมการที่มีเศษส่วนนั้นไม่ใช่เรื่องยากและน่าสนใจมาก มาดูประเภทของสมการเศษส่วนและวิธีแก้ปัญหากัน

วิธีแก้สมการด้วยเศษส่วน - x ในตัวเศษ

หากให้สมการเศษส่วนโดยที่ไม่ทราบค่าอยู่ในตัวเศษ การแก้ปัญหาไม่ต้องการเงื่อนไขเพิ่มเติมและแก้ไขได้โดยไม่ต้อง ความยุ่งยากที่ไม่จำเป็น. แบบฟอร์มทั่วไปสมการดังกล่าวคือ x/a + b = c โดยที่ x คือไม่ทราบค่า a, b และ c เป็นตัวเลขธรรมดา

หา x: x/5 + 10 = 70

ในการแก้สมการ คุณต้องกำจัดเศษส่วนออก คูณแต่ละพจน์ในสมการด้วย 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5 5x และ 5 ถูกยกเลิก 10 และ 70 คูณด้วย 5 และเราได้รับ: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300

หา x: x/5 + x/10 = 90

ตัวอย่างนี้เป็นเวอร์ชันแรกที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อย มีวิธีแก้ไขที่เป็นไปได้สองวิธีที่นี่

• ตัวเลือกที่ 1: เรากำจัดเศษส่วนโดยการคูณเงื่อนไขทั้งหมดของสมการด้วยตัวส่วนที่มากกว่า นั่นคือด้วย 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
• ตัวเลือกที่ 2: พับ ด้านซ้ายสมการ x/5 + x/10 = 90 ตัวส่วนร่วมคือ 10 หาร 10 ด้วย 5 คูณด้วย x เราจะได้ 2x หาร 10 ด้วย 10 คูณด้วย x เราจะได้ x: 2x+x/10 = 90 ดังนั้น 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300

เรามักจะพบสมการเศษส่วนโดยที่ x อยู่ด้านตรงข้ามของเครื่องหมายเท่ากับ ในสถานการณ์เช่นนี้ จำเป็นต้องย้ายเศษส่วนทั้งหมดที่มีเครื่องหมาย X ไปด้านหนึ่งและย้ายตัวเลขไปอีกด้านหนึ่ง

• หา x: 3x/5 = 130 – 2x/5
• เลื่อน 2x/5 ไปทางขวาโดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130
• เราลด 5x/5 แล้วได้: x = 130

วิธีแก้สมการด้วยเศษส่วน - x ในตัวส่วน

สมการเศษส่วนประเภทนี้จำเป็นต้องเขียนเงื่อนไขเพิ่มเติม การบ่งชี้เงื่อนไขเหล่านี้เป็นส่วนบังคับและสำคัญของ การตัดสินใจที่ถูกต้อง- การไม่เพิ่มจะถือว่าคุณเสี่ยง เนื่องจากคำตอบ (แม้ว่าจะถูกต้องก็ตาม) อาจไม่นับรวม

รูปแบบทั่วไปของสมการเศษส่วน โดยที่ x อยู่ในตัวส่วน คือ: a/x + b = c โดยที่ x คือค่าที่ไม่รู้จัก a, b, c เป็นจำนวนสามัญ โปรดทราบว่า x อาจไม่ใช่ตัวเลขใดๆ ตัวอย่างเช่น x ไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ เนื่องจากไม่สามารถหารด้วย 0 ได้ นี่เป็นเงื่อนไขเพิ่มเติมที่เราต้องระบุอย่างชัดเจน ซึ่งเรียกว่าช่วงของค่าที่อนุญาต เรียกโดยย่อว่า OA

หา x: 15/x + 18 = 21

เราเขียน ODZ ทันทีสำหรับ x: x ≠ 0 เมื่อระบุ ODZ แล้ว เราจะแก้สมการโดยใช้ โครงการมาตรฐาน, กำจัดเศษส่วน. เราคูณพจน์ทั้งหมดของสมการด้วย x 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5

มักจะมีสมการที่ตัวส่วนไม่เพียงมี x เท่านั้น แต่ยังมีการดำเนินการอื่นๆ ด้วย เช่น การบวกหรือการลบ

หา x: 15/(x-3) + 18 = 21

เรารู้อยู่แล้วว่าตัวส่วนไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ ซึ่งหมายความว่า x-3 ≠ 0 เราย้าย -3 ไปทางด้านขวา เปลี่ยนเครื่องหมาย "-" เป็น "+" แล้วเราจะได้ x ≠ 3 ดังกล่าว ODZ คือ ระบุไว้

เราแก้สมการ โดยคูณทุกอย่างด้วย x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63

เลื่อน X ไปทางขวา ตัวเลขไปทางซ้าย: 24 = 3x => x = 8

พูดง่ายๆ ก็คือสมการเหล่านี้ซึ่งมีตัวแปรในตัวส่วนอย่างน้อยหนึ่งตัว

ตัวอย่างเช่น:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

ตัวอย่าง ไม่เศษส่วน สมการตรรกยะ:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

สมการตรรกยะเศษส่วนแก้ได้อย่างไร?

สิ่งสำคัญที่ต้องจำเกี่ยวกับสมการตรรกยะเศษส่วนคือคุณต้องเขียนลงไป และหลังจากค้นหารากแล้ว อย่าลืมตรวจสอบเพื่อยอมรับได้ มิฉะนั้นอาจเกิดรากที่ไม่เกี่ยวข้องและการตัดสินใจทั้งหมดจะถือว่าไม่ถูกต้อง

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน:

จดบันทึกและ “แก้ไข” ODZ

คูณแต่ละพจน์ในสมการด้วยตัวส่วนร่วมแล้วลบเศษส่วนที่ได้ ตัวส่วนจะหายไป

เขียนสมการโดยไม่ต้องเปิดวงเล็บ

แก้สมการผลลัพธ์

ตรวจสอบรากที่พบด้วย ODZ

เขียนคำตอบของคุณถึงรากที่ผ่านการทดสอบในขั้นตอนที่ 7

ไม่ต้องจำอัลกอริธึม สมการที่แก้ได้ 3-5 ข้อแล้วมันจะจำเอง

ตัวอย่าง - แก้สมการตรรกยะเศษส่วน \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

สารละลาย:

คำตอบ: \(3\).

ตัวอย่าง - ค้นหารากของสมการเศษส่วน \(=0\)

สารละลาย:

คำตอบ: \(\frac(1)(2)\)

นิพจน์จำนวนเต็มเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยตัวเลขและตัวแปรตามตัวอักษรโดยใช้การดำเนินการบวก การลบ และการคูณ จำนวนเต็มยังรวมถึงนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับการหารด้วยตัวเลขใดๆ ก็ตามที่ไม่ใช่ศูนย์

แนวคิดของนิพจน์เชิงตรรกยะแบบเศษส่วน

นิพจน์เศษส่วนเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่นอกเหนือจากการดำเนินการบวก การลบ และการคูณด้วยตัวเลขและตัวแปรตัวอักษร รวมถึงการหารด้วยตัวเลขที่ไม่เท่ากับศูนย์แล้ว ยังมีการหารเป็นนิพจน์ด้วยตัวแปรตัวอักษรด้วย

นิพจน์เหตุผลเป็นนิพจน์ทั้งหมดและเศษส่วน สมการตรรกยะคือสมการที่ด้านซ้ายและด้านขวาเป็นนิพจน์ตรรกยะ ถ้าในสมการตรรกยะด้านซ้ายและด้านขวาเป็นนิพจน์จำนวนเต็ม สมการตรรกยะดังกล่าวจะเรียกว่าจำนวนเต็ม

ถ้าในสมการตรรกยะด้านซ้ายหรือด้านขวาเป็น นิพจน์เศษส่วนจากนั้นสมการตรรกยะดังกล่าวเรียกว่าเศษส่วน

ตัวอย่างของนิพจน์เชิงตรรกยะเศษส่วน

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

โครงการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน

1. ค้นหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการ

2. คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวส่วนร่วม

3. แก้สมการผลลัพธ์ทั้งหมด

4. ตรวจสอบรากและไม่รวมรากที่ทำให้ตัวส่วนร่วมหายไป

เนื่องจากเรากำลังแก้สมการตรรกยะเศษส่วน จึงจะมีตัวแปรในตัวส่วนของเศษส่วน ซึ่งหมายความว่าพวกมันจะเป็นตัวส่วนร่วม. และในจุดที่สองของอัลกอริทึมเราคูณด้วยตัวส่วนร่วมจากนั้นรากที่ไม่เกี่ยวข้องอาจปรากฏขึ้น โดยที่ตัวส่วนร่วมจะเท่ากับศูนย์ซึ่งหมายความว่าการคูณจะไม่มีความหมาย ดังนั้นในตอนท้ายจึงจำเป็นต้องตรวจสอบรากที่ได้รับ

ลองดูตัวอย่าง:

แก้สมการเศษส่วน: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

เราจะยึดติด โครงการทั่วไป: ก่อนอื่นมาหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนทั้งหมดกันก่อน เราได้ x*(x-5)

ลองคูณเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวส่วนร่วมแล้วเขียนสมการทั้งหมดที่ได้

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

ให้เราลดความซับซ้อนของสมการผลลัพธ์ เราได้รับ:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

เราก็ได้ลดแบบง่ายๆ สมการกำลังสอง- เราแก้มันด้วยอันใดอันหนึ่ง วิธีการที่ทราบเราได้ราก x=-2 และ x=5

ตอนนี้เราตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาที่ได้รับ:

แทนตัวเลข -2 และ 5 ลงในตัวส่วนร่วม. ที่ x=-2 ตัวส่วนร่วม x*(x-5) จะไม่หายไป -2*(-2-5)=14 ซึ่งหมายความว่าตัวเลข -2 จะเป็นรากของสมการตรรกยะเศษส่วนดั้งเดิม

ที่ x=5 ตัวส่วนร่วม x*(x-5) จะกลายเป็นศูนย์ ดังนั้น จำนวนนี้จึงไม่ใช่รากของสมการเศษส่วนดั้งเดิม เนื่องจากจะมีการหารด้วยศูนย์