द पद्धतशीर साहित्यकेवळ संदर्भासाठी आहे आणि विषयांच्या विस्तृत श्रेणीवर लागू होते. लेख मूलभूत प्राथमिक कार्यांच्या आलेखांचे विहंगावलोकन प्रदान करतो आणि सर्वात महत्वाच्या समस्येचा विचार करतो - आलेख योग्यरित्या आणि द्रुतपणे कसा तयार करायचा. अभ्यासादरम्यान उच्च गणितमूलभूत प्राथमिक फंक्शन्सचे आलेख जाणून घेतल्याशिवाय, हे कठीण होईल, म्हणून पॅराबोला, हायपरबोला, साइन, कोसाइन इ.चे आलेख कसे दिसतात हे लक्षात ठेवणे आणि काही फंक्शन व्हॅल्यूज लक्षात ठेवणे फार महत्वाचे आहे. आम्ही मुख्य फंक्शन्सच्या काही गुणधर्मांबद्दल देखील बोलू.

मी सामग्रीच्या पूर्णतेचा आणि वैज्ञानिक परिपूर्णतेचा दावा करत नाही, सर्व प्रथम, सरावावर - त्या गोष्टींवर जोर दिला जाईल; उच्च गणिताच्या कोणत्याही विषयात प्रत्येक टप्प्यावर अक्षरशः सामना होतो. डमीसाठी चार्ट? असे तुम्हीही म्हणू शकता.

वाचकांच्या असंख्य विनंत्यांमुळे क्लिक करण्यायोग्य सामग्री सारणी:

याव्यतिरिक्त, विषयावर एक सुपर-शॉर्ट सारांश आहे
- सहा पृष्ठांचा अभ्यास करून 16 प्रकारच्या तक्त्यांवर प्रभुत्व मिळवा!

गंभीरपणे, सहा, मलाही आश्चर्य वाटले. या सारांशात सुधारित ग्राफिक्स आहेत आणि नाममात्र शुल्कासाठी उपलब्ध आहे, डेमो आवृत्ती पाहिली जाऊ शकते. फाईल मुद्रित करणे सोयीचे आहे जेणेकरून आलेख नेहमी हातात असतील. प्रकल्पाला पाठिंबा दिल्याबद्दल धन्यवाद!

आणि लगेच सुरू करूया:

समन्वय अक्ष योग्यरित्या कसे तयार करावे?

प्रॅक्टिसमध्ये, चाचण्या जवळजवळ नेहमीच विद्यार्थ्यांकडून एका चौकोनात वेगळ्या नोटबुकमध्ये पूर्ण केल्या जातात. तुम्हाला चेकर्ड मार्किंगची गरज का आहे? सर्व केल्यानंतर, काम, तत्त्वतः, A4 शीटवर केले जाऊ शकते. आणि पिंजरा फक्त रेखांकनांच्या उच्च-गुणवत्तेच्या आणि अचूक डिझाइनसाठी आवश्यक आहे.

फंक्शन आलेखाचे कोणतेही रेखाचित्र समन्वय अक्षांसह सुरू होते.

रेखाचित्रे द्विमितीय किंवा त्रिमितीय असू शकतात.

प्रथम द्विमितीय केसचा विचार करूया कार्टेशियन आयताकृती समन्वय प्रणाली:

1) समन्वय अक्ष काढा. अक्ष म्हणतात x-अक्ष , आणि अक्ष आहे y-अक्ष . आम्ही नेहमी त्यांना रेखाटण्याचा प्रयत्न करतो व्यवस्थित आणि वाकडा नाही. बाण देखील पापा कार्लोच्या दाढीसारखे नसावेत.

२) आम्ही अक्षांवर "X" आणि "Y" मोठ्या अक्षरांनी स्वाक्षरी करतो. अक्षांना लेबल करण्यास विसरू नका.

3) अक्षांसह स्केल सेट करा: एक शून्य आणि दोन काढा. रेखाचित्र तयार करताना, सर्वात सोयीस्कर आणि वारंवार वापरले जाणारे स्केल आहे: 1 युनिट = 2 सेल (डावीकडे रेखाचित्र) - शक्य असल्यास, त्यास चिकटवा. तथापि, वेळोवेळी असे घडते की रेखाचित्र नोटबुक शीटवर बसत नाही - मग आम्ही स्केल कमी करतो: 1 युनिट = 1 सेल (उजवीकडे रेखाचित्र). हे दुर्मिळ आहे, परंतु असे घडते की रेखांकनाचे प्रमाण आणखी कमी (किंवा वाढवणे) करावे लागेल

"मशीनगन" ची गरज नाही …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….समन्वय विमान डेकार्टेसचे स्मारक नाही आणि विद्यार्थी कबूतर नाही. आम्ही ठेवले शून्यआणि अक्षांसह दोन युनिट्स. कधी कधी ऐवजीयुनिट्स, इतर मूल्यांना "चिन्हांकित" करणे सोयीचे आहे, उदाहरणार्थ, ॲब्सिसा अक्षावर "दोन" आणि ऑर्डिनेट अक्षावर "तीन" - आणि ही प्रणाली (0, 2 आणि 3) देखील समन्वय ग्रिडची विशिष्टपणे व्याख्या करेल.

रेखाचित्र तयार करण्यापूर्वी रेखांकनाच्या अंदाजे परिमाणांचा अंदाज घेणे चांगले आहे. म्हणून, उदाहरणार्थ, कार्यासाठी शिरोबिंदू , , सह त्रिकोण काढणे आवश्यक असल्यास, हे पूर्णपणे स्पष्ट आहे की 1 युनिट = 2 सेलचे लोकप्रिय स्केल कार्य करणार नाही. का? चला मुद्दा पाहू - येथे तुम्हाला पंधरा सेंटीमीटर खाली मोजावे लागेल आणि स्पष्टपणे, रेखाचित्र नोटबुकच्या शीटवर बसणार नाही (किंवा अगदीच फिट होणार नाही). म्हणून, आम्ही त्वरित एक लहान स्केल निवडतो: 1 युनिट = 1 सेल.

तसे, सुमारे सेंटीमीटर आणि नोटबुक सेल. 30 नोटबुक सेलमध्ये 15 सेंटीमीटर असतात हे खरे आहे का? गंमत म्हणून, आपल्या नोटबुकमध्ये शासकाने 15 सेंटीमीटर मोजा. यूएसएसआरमध्ये, हे खरे असेल... हे लक्षात घेणे मनोरंजक आहे की जर तुम्ही हे समान सेंटीमीटर क्षैतिज आणि अनुलंब मोजले तर परिणाम (सेलमध्ये) भिन्न असतील! काटेकोरपणे सांगायचे तर, आधुनिक नोटबुक चेकर्ड नसून आयताकृती आहेत. हे मूर्खपणाचे वाटू शकते, परंतु अशा परिस्थितीत होकायंत्रासह वर्तुळ काढणे खूप गैरसोयीचे आहे. खरे सांगायचे तर, अशा क्षणी तुम्ही कॉम्रेड स्टॅलिनच्या अचूकतेबद्दल विचार करू शकता, ज्यांना उत्पादनातील हॅक वर्कसाठी शिबिरांमध्ये पाठवले गेले होते, घरगुती ऑटोमोबाईल उद्योग, पडणारी विमाने किंवा स्फोट होणारे पॉवर प्लांट यांचा उल्लेख करू नका.

गुणवत्तेबद्दल बोलणे, किंवा संक्षिप्त शिफारसस्टेशनरी साठी. आज, विक्रीवर असलेल्या बहुतेक नोटबुक, कमीत कमी म्हणायचे तर, पूर्ण बकवास आहेत. ते ओले होतात या कारणास्तव, आणि केवळ जेल पेनमधूनच नाही तर बॉलपॉईंट पेनमधून देखील! ते कागदावर पैसे वाचवतात. चाचण्या पूर्ण करण्यासाठी, मी अर्खंगेल्स्क पल्प आणि पेपर मिल (18 शीट्स, स्क्वेअर) किंवा "प्याटेरोचका" मधील नोटबुक वापरण्याची शिफारस करतो, जरी ते अधिक महाग आहे. जेल पेन निवडण्याचा सल्ला दिला जातो, अगदी स्वस्त चायनीज जेल रिफिल बॉलपॉईंट पेनपेक्षा खूप चांगले आहे, जे एकतर कागदावर डाग पाडते किंवा फाडते. एरिच क्रॉस ही एकमेव “स्पर्धात्मक” बॉलपॉईंट पेन मला आठवते. ती स्पष्टपणे, सुंदरपणे आणि सातत्यपूर्णपणे लिहिते – मग ते पूर्ण गाभ्यासह किंवा जवळजवळ रिकामे लिहिते.

याव्यतिरिक्त: विश्लेषणात्मक भूमितीच्या डोळ्यांद्वारे आयताकृती समन्वय प्रणालीची दृष्टी लेखात समाविष्ट केली आहे वेक्टर्सचे रेखीय (गैर) अवलंबित्व. वेक्टरचा आधार, कोऑर्डिनेट क्वार्टरबद्दल तपशीलवार माहिती धड्याच्या दुसऱ्या परिच्छेदामध्ये आढळू शकते रेखीय असमानता.

3D केस

इथेही जवळपास सारखेच आहे.

1) समन्वय अक्ष काढा. मानक: अक्ष लागू - वर दिग्दर्शित, अक्ष - उजवीकडे निर्देशित, अक्ष - खाली डावीकडे निर्देशित काटेकोरपणे 45 अंशांच्या कोनात.

२) अक्षांना लेबल लावा.

3) अक्षांसह स्केल सेट करा. अक्षावरील स्केल इतर अक्षांच्या बाजूच्या स्केलपेक्षा दोन पट लहान आहे. हे देखील लक्षात घ्या की योग्य रेखांकनात मी अक्षाच्या बाजूने एक नॉन-स्टँडर्ड "नॉच" वापरला आहे (ही शक्यता आधीच वर नमूद केली आहे). माझ्या दृष्टिकोनातून, हे अधिक अचूक, वेगवान आणि सौंदर्यदृष्ट्या आनंददायक आहे - सूक्ष्मदर्शकाखाली सेलच्या मध्यभागी शोधण्याची आणि निर्देशांकांच्या उत्पत्तीच्या जवळ एक युनिट "शिल्प" करण्याची आवश्यकता नाही.

3D रेखाचित्र बनवताना, पुन्हा, स्केलला प्राधान्य द्या
1 युनिट = 2 सेल (डावीकडे रेखाचित्र).

हे सर्व नियम कशासाठी आहेत? नियम तोडण्यासाठी बनवले जातात. मी आता तेच करेन. वस्तुस्थिती अशी आहे की लेखाची पुढील रेखाचित्रे माझ्याद्वारे एक्सेलमध्ये तयार केली जातील आणि समन्वय अक्ष दृष्टिकोनातून चुकीचे दिसतील. योग्य डिझाइन. मी सर्व आलेख हाताने काढू शकतो, परंतु ते काढणे खरोखर भीतीदायक आहे कारण एक्सेल ते अधिक अचूकपणे काढण्यास नाखूष आहे.

आलेख आणि प्राथमिक कार्यांचे मूलभूत गुणधर्म

समीकरणाद्वारे एक रेखीय कार्य दिले जाते. रेखीय कार्यांचा आलेख आहे थेट. सरळ रेषा तयार करण्यासाठी, दोन बिंदू जाणून घेणे पुरेसे आहे.

उदाहरण १

फंक्शनचा आलेख तयार करा. चला दोन मुद्दे शोधूया. गुणांपैकी एक म्हणून शून्य निवडणे फायदेशीर आहे.

जर तर

चला दुसरा मुद्दा घेऊ, उदाहरणार्थ, १.

जर तर

कार्ये पूर्ण करताना, बिंदूंचे निर्देशांक सहसा सारणीमध्ये सारांशित केले जातात:

आणि मूल्ये तोंडी किंवा मसुद्यावर, कॅल्क्युलेटरवर मोजली जातात.

दोन गुण सापडले आहेत, चला रेखाचित्र बनवूया:

रेखाचित्र तयार करताना, आम्ही नेहमी ग्राफिक्सवर स्वाक्षरी करतो.

रेखीय कार्याची विशेष प्रकरणे लक्षात ठेवणे उपयुक्त ठरेल:

मी स्वाक्षऱ्या कशा ठेवल्या याकडे लक्ष द्या, रेखांकनाचा अभ्यास करताना स्वाक्षऱ्यांमध्ये विसंगती येऊ देऊ नये. या प्रकरणात, ओळींच्या छेदनबिंदूच्या पुढे किंवा आलेखांच्या दरम्यान उजवीकडे तळाशी स्वाक्षरी ठेवणे अत्यंत अवांछित होते.

1) फॉर्म () च्या रेखीय कार्यास थेट आनुपातिकता म्हणतात. उदाहरणार्थ, . थेट आनुपातिकता आलेख नेहमी मूळमधून जातो. अशा प्रकारे, सरळ रेषा बांधणे सोपे आहे - फक्त एक बिंदू शोधणे पुरेसे आहे.

2) फॉर्मचे समीकरण अक्षाच्या समांतर सरळ रेषा निर्दिष्ट करते, विशेषतः, अक्ष स्वतः समीकरणाद्वारे दिलेला असतो. फंक्शनचा आलेख कोणतेही बिंदू न शोधता लगेच प्लॉट केला जातो. म्हणजेच, एंट्री खालीलप्रमाणे समजली पाहिजे: "x च्या कोणत्याही मूल्यासाठी, y नेहमी -4 च्या समान असते."

3) फॉर्मचे समीकरण अक्षाच्या समांतर सरळ रेषा निर्दिष्ट करते, विशेषतः, अक्ष स्वतः समीकरणाद्वारे दिलेला असतो. फंक्शनचा आलेख देखील लगेच प्लॉट केला जातो. एंट्री खालीलप्रमाणे समजली पाहिजे: "x हे नेहमी, y च्या कोणत्याही मूल्यासाठी, 1 च्या बरोबरीचे असते."

काहीजण विचारतील, सहावी इयत्ता का आठवते?! हे असेच आहे, कदाचित तसे असेल, परंतु सरावाच्या अनेक वर्षांमध्ये मी एक चांगले डझन विद्यार्थी भेटले आहेत जे किंवा यासारखे आलेख तयार करण्याच्या कार्याने हैराण झाले होते.

रेखाचित्रे तयार करताना सरळ रेषा बांधणे ही सर्वात सामान्य क्रिया आहे.

विश्लेषणात्मक भूमितीच्या कोर्समध्ये सरळ रेषेवर तपशीलवार चर्चा केली आहे आणि ज्यांना स्वारस्य आहे ते लेखाचा संदर्भ घेऊ शकतात. विमानावरील सरळ रेषेचे समीकरण.

चतुर्भुज, घन कार्याचा आलेख, बहुपदीचा आलेख

पॅराबोला. चतुर्भुज कार्याचा आलेख () पॅराबोला दर्शवते. प्रसिद्ध प्रकरणाचा विचार करा:

फंक्शनचे काही गुणधर्म लक्षात घेऊ.

तर, आपल्या समीकरणाचे निराकरण: - या टप्प्यावर पॅराबोलाचा शिरोबिंदू स्थित आहे. हे असे का आहे हे व्युत्पन्नावरील सैद्धांतिक लेखात आणि कार्याच्या टोकावरील धड्यात आढळू शकते. यादरम्यान, “Y” च्या संबंधित मूल्याची गणना करूया:

अशा प्रकारे, शिरोबिंदू बिंदूवर आहे

पॅराबोलाची सममिती निर्लज्जपणे वापरताना आता आपल्याला इतर बिंदू सापडतात. हे कार्य लक्षात घेतले पाहिजे – समान नाही, परंतु, तरीही, कोणीही पॅराबोलाची सममिती रद्द केली नाही.

उर्वरित गुण कोणत्या क्रमाने शोधायचे, मला वाटते की ते अंतिम सारणीवरून स्पष्ट होईल:

या बांधकाम अल्गोरिदमला लाक्षणिकरित्या "शटल" किंवा अनफिसा चेखोवासह "पुढे आणि पुढे" तत्त्व म्हटले जाऊ शकते.

चला रेखाचित्र बनवूया:

तपासलेल्या आलेखांवरून, आणखी एक उपयुक्त वैशिष्ट्य लक्षात येते:

चतुर्भुज कार्यासाठी () खालील सत्य आहे:

जर , तर पॅराबोलाच्या फांद्या वरच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात.

जर , तर पॅराबोलाच्या फांद्या खालच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात.

हायपरबोला आणि पॅराबोला या धड्यातून वक्र बद्दल सखोल ज्ञान मिळवता येते.

क्यूबिक पॅराबोला फंक्शनद्वारे दिले जाते. येथे शाळेपासून परिचित असलेले रेखाचित्र आहे:

फंक्शनच्या मुख्य गुणधर्मांची यादी करू

फंक्शनचा आलेख

हे पॅराबोलाच्या एका शाखेचे प्रतिनिधित्व करते. चला रेखाचित्र बनवूया:

फंक्शनचे मुख्य गुणधर्म:

या प्रकरणात, अक्ष आहे अनुलंब लक्षण येथे हायपरबोलाच्या आलेखासाठी.

रेखाचित्र काढताना, तुम्ही बेफिकीरपणे आलेखाला ॲसिम्प्टोटने छेदू दिल्यास, ही एक घोर चूक असेल.

तसेच एकतर्फी मर्यादा आपल्याला सांगतात की हायपरबोला वरून मर्यादित नाहीआणि खाली पासून मर्यादित नाही.

चला अनंतावरील फंक्शनचे परीक्षण करूया: म्हणजे, जर आपण अक्षाच्या बाजूने डावीकडे (किंवा उजवीकडे) अनंताकडे जाऊ लागलो, तर “गेम्स” सुव्यवस्थित चरणात असतील. असीम जवळशून्याकडे जा, आणि त्यानुसार, हायपरबोलाच्या शाखा असीम जवळअक्षाकडे जा.

तर अक्ष आहे क्षैतिज लक्षण फंक्शनच्या आलेखासाठी, जर “x” हा प्लस किंवा मायनस अनंताकडे झुकत असेल.

फंक्शन आहे विषम, आणि, म्हणून, हायपरबोला मूळ बद्दल सममितीय आहे. हे तथ्य रेखाचित्रातून स्पष्ट आहे, याव्यतिरिक्त, ते विश्लेषणात्मकपणे सहजपणे सत्यापित केले जाते: .

फॉर्म () च्या फंक्शनचा आलेख हायपरबोलाच्या दोन शाखा दर्शवतो.

जर , तर हायपरबोला पहिल्या आणि तिसऱ्या समन्वय तिमाहीत स्थित आहे(वरील चित्र पहा).

जर , तर हायपरबोला दुसऱ्या आणि चौथ्या कोऑर्डिनेट क्वार्टरमध्ये स्थित आहे.

आलेखांच्या भौमितिक परिवर्तनाच्या दृष्टिकोनातून हायपरबोला निवासस्थानाच्या सूचित पॅटर्नचे विश्लेषण करणे सोपे आहे.

उदाहरण ३

हायपरबोलाची उजवी शाखा तयार करा

आम्ही बिंदू-निहाय बांधकाम पद्धत वापरतो आणि मूल्ये निवडणे फायदेशीर आहे जेणेकरून ते संपूर्णपणे विभाज्य होतील:

चला रेखाचित्र बनवूया:

हायपरबोलाची डाव्या शाखा तयार करणे कठीण होणार नाही; फंक्शनची विचित्रता येथे मदत करेल. ढोबळमानाने सांगायचे तर, बिंदूनिहाय बांधकामाच्या तक्त्यामध्ये, आपण मानसिकदृष्ट्या प्रत्येक संख्येत एक वजा जोडतो, संबंधित बिंदू ठेवतो आणि दुसरी शाखा काढतो.

विचारात घेतलेल्या रेषेबद्दल तपशीलवार भूमितीय माहिती हायपरबोला आणि पॅराबोला या लेखात आढळू शकते.

घातांकीय कार्याचा आलेख

या विभागात, मी ताबडतोब घातांक कार्याचा विचार करेन, कारण 95% प्रकरणांमध्ये उच्च गणिताच्या समस्यांमध्ये ते घातांक दिसून येते.

मी तुम्हाला आठवण करून देतो की ही एक अपरिमेय संख्या आहे: , आलेख तयार करताना हे आवश्यक असेल, जे खरं तर, मी समारंभाशिवाय तयार करेन. तीन गुण कदाचित पुरेसे आहेत:

फंक्शनचा आलेख आत्तासाठी सोडूया, त्यावर नंतर अधिक.

फंक्शनचे मुख्य गुणधर्म:

फंक्शन आलेख इत्यादी मूलभूतपणे सारखेच दिसतात.

मला असे म्हणायचे आहे की दुसरी केस व्यवहारात कमी वेळा येते, परंतु ती घडते, म्हणून मी या लेखात ते समाविष्ट करणे आवश्यक मानले.

लॉगरिदमिक फंक्शनचा आलेख

नैसर्गिक लॉगरिथमसह फंक्शन विचारात घ्या.
चला बिंदू-दर-बिंदू रेखाचित्र बनवू:

लॉगरिदम म्हणजे काय हे तुम्ही विसरला असल्यास, कृपया तुमच्या शालेय पाठ्यपुस्तकांचा संदर्भ घ्या.

फंक्शनचे मुख्य गुणधर्म:

डोमेन:

मूल्यांची श्रेणी: .

फंक्शन वरून मर्यादित नाही: , जरी हळूहळू, परंतु लॉगरिदमची शाखा अनंतापर्यंत जाते.
उजवीकडील शून्य जवळ फंक्शनचे वर्तन तपासूया: . तर अक्ष आहे अनुलंब लक्षण फंक्शनच्या आलेखासाठी “x” उजवीकडून शून्याकडे झुकतो.

लॉगरिदमचे विशिष्ट मूल्य जाणून घेणे आणि लक्षात ठेवणे अत्यावश्यक आहे: .

तत्त्वानुसार, लॉगरिदमचा बेसचा आलेख सारखाच दिसतो: , , (बेस 10 ला दशांश लॉगरिदम), इ. त्याच वेळी, पेक्षा मोठा आधार, आलेख जितका सपाट असेल.

आम्ही केसचा विचार करणार नाही; मला आठवत नाही की मी अशा आधारावर आलेख तयार केला होता. आणि उच्च गणिताच्या समस्यांमध्ये लॉगरिदम हा एक अत्यंत दुर्मिळ पाहुणा असल्याचे दिसते.

या परिच्छेदाच्या शेवटी मी आणखी एक तथ्य सांगेन: घातांकीय कार्य आणि लॉगरिदमिक कार्य - दोघे परस्पर आहेत व्यस्त कार्ये . तुम्ही लॉगरिदमच्या आलेखाकडे बारकाईने पाहिल्यास, तुम्ही पाहू शकता की हा एकच घातांक आहे, तो थोडा वेगळा आहे.

त्रिकोणमितीय कार्यांचे आलेख

शाळेत त्रिकोणमितीय यातना कोठे सुरू होतात? बरोबर. साइन पासून

फंक्शन प्लॉट करू

या ओळीला म्हणतात सायनसॉइड.

मी तुम्हाला आठवण करून देतो की "pi" ही अपरिमेय संख्या आहे: , आणि त्रिकोणमितीमध्ये ते तुमचे डोळे चकचकीत करते.

फंक्शनचे मुख्य गुणधर्म:

हे कार्य आहे नियतकालिककालावधी सह. याचा अर्थ काय? चला विभाग पाहू. त्याच्या डावीकडे आणि उजवीकडे, आलेखाचा तोच तुकडा अविरतपणे पुनरावृत्ती होतो.

डोमेन: , म्हणजे, “x” च्या कोणत्याही मूल्यासाठी साइन मूल्य असते.

मूल्यांची श्रेणी: . फंक्शन आहे मर्यादित: , म्हणजे, सर्व "खेळाडू" विभागात काटेकोरपणे बसतात.
हे घडत नाही: किंवा, अधिक तंतोतंत, ते घडते, परंतु या समीकरणांना उपाय नाही.

तुमची गोपनीयता राखणे आमच्यासाठी महत्त्वाचे आहे. या कारणास्तव, आम्ही एक गोपनीयता धोरण विकसित केले आहे जे आम्ही तुमची माहिती कशी वापरतो आणि संचयित करतो याचे वर्णन करते. कृपया आमच्या गोपनीयता पद्धतींचे पुनरावलोकन करा आणि तुम्हाला काही प्रश्न असल्यास आम्हाला कळवा.

वैयक्तिक माहितीचे संकलन आणि वापर

वैयक्तिक माहिती डेटाचा संदर्भ देते ज्याचा वापर एखाद्या विशिष्ट व्यक्तीला ओळखण्यासाठी किंवा त्याच्याशी संपर्क साधण्यासाठी केला जाऊ शकतो.

तुम्ही आमच्याशी संपर्क साधता तेव्हा तुम्हाला तुमची वैयक्तिक माहिती देण्यास सांगितले जाऊ शकते.

खाली आम्ही एकत्रित केलेल्या वैयक्तिक माहितीच्या प्रकारांची आणि आम्ही अशी माहिती कशी वापरू शकतो याची काही उदाहरणे दिली आहेत.

आम्ही कोणती वैयक्तिक माहिती गोळा करतो:

• तुम्ही साइटवर अर्ज सबमिट करता तेव्हा, आम्ही तुमचे नाव, दूरध्वनी क्रमांक, पत्ता यासह विविध माहिती गोळा करू शकतो ईमेलइ.

आम्ही तुमची वैयक्तिक माहिती कशी वापरतो:

• आमच्याद्वारे गोळा केले वैयक्तिक माहितीआम्हाला तुमच्याशी संपर्क साधण्याची आणि तुम्हाला अनन्य ऑफर, जाहिराती आणि इतर इव्हेंट्स आणि आगामी कार्यक्रमांबद्दल माहिती देण्यास अनुमती देते.
• वेळोवेळी, आम्ही महत्त्वाच्या सूचना आणि संप्रेषणे पाठवण्यासाठी तुमची वैयक्तिक माहिती वापरू शकतो.
• आम्ही प्रदान करत असल्या सेवा सुधारण्यासाठी आणि तुम्हाला आमच्या सेवांसंबंधी शिफारशी प्रदान करण्यासाठी ऑडिट, डेटा विश्लेषण आणि विविध संशोधन करण्यासाठी आम्ही अंतर्गत उद्देशांसाठी वैयक्तिक माहिती देखील वापरू शकतो.
• तुम्ही बक्षीस सोडत, स्पर्धा किंवा तत्सम जाहिरातींमध्ये भाग घेतल्यास, आम्ही अशा कार्यक्रमांचे व्यवस्थापन करण्यासाठी तुम्ही प्रदान केलेली माहिती वापरू शकतो.

तृतीय पक्षांना माहितीचे प्रकटीकरण

तुमच्याकडून मिळालेली माहिती आम्ही तृतीय पक्षांना उघड करत नाही.

अपवाद:

• आवश्यक असल्यास - कायद्यानुसार, न्यायिक प्रक्रिया, कायदेशीर कार्यवाही आणि/किंवा सार्वजनिक विनंत्या किंवा विनंत्यांच्या आधारावर सरकारी संस्थारशियन फेडरेशनच्या प्रदेशावर - आपली वैयक्तिक माहिती उघड करा. सुरक्षा, कायद्याची अंमलबजावणी किंवा इतर सार्वजनिक महत्त्वाच्या उद्देशांसाठी असे प्रकटीकरण आवश्यक किंवा योग्य आहे हे आम्ही निर्धारित केल्यास आम्ही तुमच्याबद्दलची माहिती देखील उघड करू शकतो.
• पुनर्रचना, विलीनीकरण किंवा विक्री झाल्यास, आम्ही संकलित केलेली वैयक्तिक माहिती लागू उत्तराधिकारी तृतीय पक्षाकडे हस्तांतरित करू शकतो.

वैयक्तिक माहितीचे संरक्षण

तुमच्या वैयक्तिक माहितीचे नुकसान, चोरी आणि गैरवापर, तसेच अनधिकृत प्रवेश, प्रकटीकरण, बदल आणि विनाश यापासून संरक्षण करण्यासाठी आम्ही - प्रशासकीय, तांत्रिक आणि भौतिक यासह - खबरदारी घेतो.

कंपनी स्तरावर तुमच्या गोपनीयतेचा आदर करणे

तुमची वैयक्तिक माहिती सुरक्षित असल्याची खात्री करण्यासाठी, आम्ही आमच्या कर्मचाऱ्यांना गोपनीयता आणि सुरक्षा मानके संप्रेषण करतो आणि गोपनीयता पद्धतींची काटेकोरपणे अंमलबजावणी करतो.

पॅराबोला कसा बनवायचा? चतुर्भुज कार्याचा आलेख काढण्याचे अनेक मार्ग आहेत. त्यांच्यापैकी प्रत्येकाचे त्याचे फायदे आणि तोटे आहेत. चला दोन मार्गांचा विचार करूया.

चला y=x²+bx+c आणि y= -x²+bx+c या फॉर्मचे चतुर्भुज फंक्शन प्लॉट करून सुरुवात करूया.

उदाहरण.

y=x²+2x-3 फंक्शनचा आलेख काढा.

उपाय:

y=x²+2x-3 — चतुर्भुज कार्य. आलेख हा एक पॅराबोला आहे ज्याच्या फांद्या वर आहेत. पॅराबोला शिरोबिंदू समन्वय

शिरोबिंदू (-1;-4) पासून आपण पॅराबोला y=x² (निर्देशांकांच्या उत्पत्तीप्रमाणे. (0;0) च्या ऐवजी - शिरोबिंदू (-1;-4) चा आलेख तयार करतो. (-1; -4) आम्ही 1 युनिटने उजवीकडे जातो, नंतर 1 ने डावीकडे आणि 1 ने वर जातो: 2 - उजवीकडे, 4 - वर, 2 - डावीकडे, 3 - 9 - वर, 3 -; डावीकडे, 9 - वर जर हे 7 गुण पुरेसे नाहीत, तर 4 उजवीकडे, 16 शीर्षस्थानी इ.).

y= -x²+bx+c या चतुर्भुज कार्याचा आलेख हा पॅराबोला आहे, ज्याच्या फांद्या खालच्या दिशेने निर्देशित केल्या आहेत. आलेख तयार करण्यासाठी, आपण शिरोबिंदूचे निर्देशांक शोधतो आणि त्यावरून आपण पॅराबोला y= -x² तयार करतो.

उदाहरण.

y= -x²+2x+8 फंक्शनचा आलेख काढा.

उपाय:

y= -x²+2x+8 हे चतुर्भुज कार्य आहे. आलेख खाली शाखा असलेला पॅराबोला आहे. पॅराबोला शिरोबिंदू समन्वय

वरून आम्ही पॅराबोला y= -x² (1 - उजवीकडे, 1- खाली; 1 - डावीकडे, 1 - खाली; 2 - उजवीकडे, 4 - खाली; 2 - डावीकडे, 4 - खाली इ.) तयार करतो.

ही पद्धत तुम्हाला त्वरीत पॅराबोला तयार करण्यास अनुमती देते आणि तुम्हाला y=x² आणि y= -x² फंक्शन्सचा आलेख कसा करायचा हे माहित असल्यास अडचणी येत नाहीत. गैरसोय: जर शिरोबिंदूचे निर्देशांक अंशात्मक संख्या असतील तर आलेख तयार करणे फारसे सोयीचे नाही. जर तुम्हाला ऑक्स अक्षासह आलेखाच्या छेदनबिंदूच्या बिंदूंची अचूक मूल्ये जाणून घ्यायची असतील, तर तुम्हाला x²+bx+c=0 (किंवा -x²+bx+c=0) हे समीकरण सोडवावे लागेल. जरी हे बिंदू रेखाचित्रातून थेट निर्धारित केले जाऊ शकतात.

पॅराबोला तयार करण्याचा आणखी एक मार्ग म्हणजे बिंदूंद्वारे, म्हणजे, आपण आलेखावर अनेक बिंदू शोधू शकता आणि त्यांच्याद्वारे पॅराबोला काढू शकता (हे लक्षात घेऊन की x=xₒ ही रेषा सममितीचा अक्ष आहे). सहसा यासाठी ते पॅराबोलाचा शिरोबिंदू, निर्देशांक अक्षांसह आलेखाचे छेदनबिंदू आणि 1-2 अतिरिक्त बिंदू घेतात.

y=x²+5x+4 फंक्शनचा आलेख काढा.

उपाय:

y=x²+5x+4 हे चतुर्भुज कार्य आहे. आलेख हा एक पॅराबोला आहे ज्याच्या फांद्या वर आहेत. पॅराबोला शिरोबिंदू समन्वय

म्हणजेच, पॅराबोलाचा वरचा बिंदू (-2.5; -2.25) आहे.

शोधत आहेत. ऑक्स अक्षाच्या छेदनबिंदूवर y=0: x²+5x+4=0. मुळं चतुर्भुज समीकरण x1=-1, x2=-4, म्हणजेच आपल्याला आलेखावर दोन गुण मिळाले (-1; 0) आणि (-4; 0).

Oy अक्ष x=0: y=0²+5∙0+4=4 सह आलेखाच्या छेदनबिंदूवर. आम्हाला बिंदू मिळाला (0; 4).

आलेख स्पष्ट करण्यासाठी, आपण अतिरिक्त बिंदू शोधू शकता. चला x=1 घेऊ, नंतर y=1²+5∙1+4=10, म्हणजेच आलेखावरील दुसरा बिंदू (1; 10) आहे. आम्ही हे बिंदू समन्वय समतल वर चिन्हांकित करतो. त्याच्या शिरोबिंदूमधून जाणाऱ्या सरळ रेषेच्या सापेक्ष पॅराबोलाची सममिती लक्षात घेऊन, आम्ही आणखी दोन बिंदू चिन्हांकित करतो: (-5; 6) आणि (-6; 10) आणि त्यांच्याद्वारे पॅराबोला काढतो:

y= -x²-3x फंक्शनचा आलेख काढा.

उपाय:

y= -x²-3x हे चतुर्भुज कार्य आहे. आलेख खाली शाखा असलेला पॅराबोला आहे. पॅराबोला शिरोबिंदू समन्वय

शिरोबिंदू (-1.5; 2.25) हा पॅराबोलाचा पहिला बिंदू आहे.

abscissa अक्ष y=0 सह आलेखाच्या छेदनबिंदूवर, म्हणजेच आपण -x²-3x=0 हे समीकरण सोडवतो. त्याची मुळे x=0 आणि x=-3 आहेत, म्हणजे (0;0) आणि (-3;0) - आलेखावरील आणखी दोन बिंदू. बिंदू (o; 0) हा पॅराबोलाचा ऑर्डिनेट अक्षासह छेदनबिंदू देखील आहे.

x=1 y=-1²-3∙1=-4 वर, म्हणजेच (1; -4) हा प्लॉटिंगसाठी अतिरिक्त बिंदू आहे.

बिंदूंपासून पॅराबोला तयार करणे ही पहिल्या पद्धतीच्या तुलनेत अधिक श्रम-केंद्रित पद्धत आहे. जर पॅराबोला ऑक्स अक्षाला छेदत नसेल तर, अधिक अतिरिक्त बिंदू आवश्यक असतील.

y=ax²+bx+c या फॉर्मच्या चतुर्भुज फंक्शन्सचे आलेख बनवण्याआधी, भौमितिक परिवर्तनाचा वापर करून फंक्शन्सच्या आलेखांच्या बांधणीचा विचार करूया. y=x²+c फॉर्मच्या फंक्शन्सचे आलेख तयार करणे देखील सर्वात सोयीचे आहे यापैकी एका परिवर्तनाचा वापर करून - समांतर भाषांतर.

वर्ग: |

सराव दर्शविल्याप्रमाणे, चतुर्भुज फंक्शनचे गुणधर्म आणि आलेखांवरील कार्ये गंभीर अडचणी निर्माण करतात. हे अगदी विचित्र आहे, कारण ते 8 व्या इयत्तेत चतुर्भुज कार्याचा अभ्यास करतात आणि नंतर 9 व्या वर्गाच्या पहिल्या तिमाहीत ते पॅराबोलाच्या गुणधर्मांना "पीडा" देतात आणि विविध पॅरामीटर्ससाठी त्याचे आलेख तयार करतात.

हे या वस्तुस्थितीमुळे आहे की विद्यार्थ्यांना पॅराबोला तयार करण्यास भाग पाडताना, ते आलेख "वाचन" करण्यासाठी व्यावहारिकपणे वेळ घालवत नाहीत, म्हणजेच ते चित्रातून मिळालेली माहिती समजून घेण्याचा सराव करत नाहीत. वरवर पाहता, असे गृहीत धरले जाते की, एक डझन किंवा दोन आलेख तयार केल्यानंतर, एक हुशार विद्यार्थी स्वतः सूत्रातील गुणांकांमधील संबंध शोधेल आणि तयार करेल. देखावाग्राफिक कला. व्यवहारात हे काम करत नाही. अशा सामान्यीकरणासाठी, गणिताच्या लघु-संशोधनाचा गंभीर अनुभव आवश्यक आहे, जो बहुतेक नववी-इयत्तेकडे अर्थातच नाही. दरम्यान, राज्य निरीक्षकांनी शेड्यूल वापरून गुणांकांची चिन्हे निश्चित करण्याचा प्रस्ताव दिला आहे.

आम्ही शाळकरी मुलांकडून अशक्य गोष्टीची मागणी करणार नाही आणि अशा समस्या सोडवण्यासाठी फक्त एक अल्गोरिदम देऊ.

तर, फॉर्मचे कार्य y = ax 2 + bx + cचतुर्भुज म्हणतात, त्याचा आलेख पॅराबोला आहे. नावाप्रमाणेच मुख्य पद आहे कुर्हाड २. ते आहे एशून्याच्या बरोबरीचे नसावे, उर्वरित गुणांक ( bआणि सह) शून्य बरोबर असू शकते.

त्याच्या गुणांकांची चिन्हे पॅराबोलाच्या स्वरूपावर कसा परिणाम करतात ते पाहू या.

गुणांकासाठी सर्वात सोपी अवलंबित्व ए. बहुतेक शाळकरी मुले आत्मविश्वासाने उत्तर देतात: “जर ए> 0, नंतर पॅराबोलाच्या शाखा वरच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात आणि जर ए < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой ए > 0.

y = 0.5x 2 - 3x + 1

या प्रकरणात ए = 0,5

आणि आता साठी ए < 0:

y = - 0.5x2 - 3x + 1

या प्रकरणात ए = - 0,5

गुणांकाचा प्रभाव सहहे अनुसरण करणे देखील खूप सोपे आहे. चला कल्पना करूया की आपल्याला एका बिंदूवर फंक्शनचे मूल्य शोधायचे आहे एक्स= 0. सूत्रामध्ये शून्याची जागा घ्या:

y = a 0 2 + b 0 + c = c. ते बाहेर वळते y = c. ते आहे सह y-अक्षासह पॅराबोलाच्या छेदनबिंदूचा क्रम आहे. सामान्यतः, हा बिंदू आलेखावर शोधणे सोपे आहे. आणि ते शून्याच्या वर किंवा खाली आहे हे निर्धारित करा. ते आहे सह> 0 किंवा सह < 0.

सह > 0:

y = x 2 + 4x + 3

सह < 0

y = x 2 + 4x - 3

त्यानुसार, जर सह= 0, नंतर पॅराबोला अनिवार्यपणे मूळमधून जाईल:

y = x 2 + 4x

पॅरामीटरसह अधिक कठीण b. ज्या बिंदूवर आपण ते शोधू त्यावर अवलंबून नाही bपण पासून देखील ए. हा पॅराबोलाचा वरचा भाग आहे. त्याचा abscissa (अक्ष समन्वय एक्स) सूत्रानुसार आढळते x in = - b/(2a). अशा प्रकारे, b = - 2ax in. म्हणजेच, आम्ही खालीलप्रमाणे पुढे जाऊ: आम्हाला आलेखावर पॅराबोलाचा शिरोबिंदू सापडतो, त्याचे ॲब्सिसिसाचे चिन्ह निश्चित करतो, म्हणजेच आम्ही शून्याच्या उजवीकडे पाहतो ( x मध्ये> 0) किंवा डावीकडे ( x मध्ये < 0) она лежит.

तथापि, ते सर्व नाही. आपल्याला गुणांकाच्या चिन्हाकडे देखील लक्ष देणे आवश्यक आहे ए. म्हणजेच, पॅराबोलाच्या फांद्या कोठे निर्देशित केल्या आहेत ते पहा. आणि त्यानंतरच, सूत्रानुसार b = - 2ax inचिन्ह निश्चित करा b.

चला एक उदाहरण पाहू:

शाखा वरच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात, याचा अर्थ ए> 0, पॅराबोला अक्षाला छेदतो येथेशून्याच्या खाली म्हणजे सह < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x मध्ये> 0. तर b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: ए > 0, b < 0, सह < 0.

अनेक समस्यांसाठी चतुर्भुज फंक्शनचे कमाल किंवा किमान मूल्य मोजणे आवश्यक असते. मूळ फंक्शन लिहिले असल्यास कमाल किंवा किमान आढळू शकते मानक फॉर्म: किंवा पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूच्या निर्देशांकांद्वारे: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). शिवाय, कोणत्याही चतुर्भुज कार्याची कमाल किंवा किमान गणितीय क्रिया वापरून गणना केली जाऊ शकते.

पायऱ्या

चतुर्भुज फंक्शन मानक स्वरूपात लिहिलेले आहे

फंक्शन मानक स्वरूपात लिहा.चतुर्भुज फंक्शन हे एक फंक्शन आहे ज्याच्या समीकरणामध्ये व्हेरिएबल समाविष्ट आहे x 2 (\displaystyle x^(2)). समीकरणामध्ये व्हेरिएबल समाविष्ट असू शकते किंवा नसू शकते x (\displaystyle x). जर समीकरणामध्ये 2 पेक्षा जास्त घातांक असलेले चल समाविष्ट असेल, तर ते चतुर्भुज कार्याचे वर्णन करत नाही. आवश्यक असल्यास, समान अटी प्रदान करा आणि फंक्शन मानक स्वरूपात लिहिण्यासाठी त्यांची पुनर्रचना करा.

• उदाहरणार्थ, फंक्शन दिले f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). व्हेरिएबलसह अटी जोडा x 2 (\displaystyle x^(2))आणि व्हेरिएबल असलेले सदस्य x (\displaystyle x)मानक स्वरूपात समीकरण लिहिण्यासाठी:
  • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. चतुर्भुज कार्याचा आलेख पॅराबोला आहे. पॅराबोलाच्या फांद्या वर किंवा खाली निर्देशित केल्या जातात. गुणांक असल्यास a (\displaystyle a)व्हेरिएबल सह x 2 (\displaystyle x^(2)) a (\displaystyle a)

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). येथे a = 2 (\displaystyle a=2)
   • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). येथे, म्हणून, पॅराबोला खालच्या दिशेने निर्देशित केला आहे.
   • f (x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). येथे a = 1 (\displaystyle a=1), म्हणून पॅराबोला वरच्या दिशेने निर्देशित केला जातो.
   • जर पॅराबोला वरच्या दिशेने निर्देशित केला असेल, तर तुम्हाला त्याचे किमान शोधणे आवश्यक आहे. पॅराबोला खाली निर्देशित करत असल्यास, त्याची कमाल पहा.

2. गणना -b/2a.अर्थ − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a)))समन्वय आहे x (\displaystyle x)पॅराबोलाचे शिरोबिंदू. जर चतुर्भुज फंक्शन मानक स्वरूपात लिहिले असेल a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), साठी गुणांक वापरा x (\displaystyle x)आणि x 2 (\displaystyle x^(2))खालील प्रकारे:

   • कार्य गुणांक मध्ये a = 1 (\displaystyle a=1)आणि b = 10 (\displaystyle b=10)
     • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
     • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • दुसरे उदाहरण म्हणून, फंक्शनचा विचार करा. येथे a = − 3 (\displaystyle a=-3)आणि b = 6 (\displaystyle b=6). म्हणून, पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूच्या "x" समन्वयाची खालीलप्रमाणे गणना करा:
     • x = − b 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • x = 1 (\displaystyle x=1)

3. f(x) चे संबंधित मूल्य शोधा. f(x) चे संबंधित मूल्य शोधण्यासाठी मूळ फंक्शनमध्ये “x” चे आढळलेले मूल्य प्लग करा. अशा प्रकारे तुम्हाला किमान किंवा कमाल फंक्शन सापडेल.

   • पहिल्या उदाहरणात f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)तुम्ही मोजले आहे की पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूचा x समन्वय आहे x = − 5 (\displaystyle x=-5). मूळ कार्यात, ऐवजी x (\displaystyle x)पर्याय − 5 (\displaystyle -5)
     • f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f (x) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
     • f(x) = − 26 (\displaystyle f(x)=-26)
   • दुसऱ्या उदाहरणात f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)तुम्हाला आढळले की पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूचा x समन्वय आहे x = 1 (\displaystyle x=1). मूळ कार्यात, ऐवजी x (\displaystyle x)पर्याय 1 (\ प्रदर्शन शैली 1)तिला शोधण्यासाठी कमाल मूल्य:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f (x) = − 3 + 6 − 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
     • f (x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)

4. तुमचे उत्तर लिहा.समस्या विधान पुन्हा वाचा. तुम्हाला पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूचे निर्देशांक शोधायचे असल्यास, तुमच्या उत्तरात दोन्ही मूल्ये लिहा x (\displaystyle x)आणि y (\डिस्प्लेस्टाइल y)(किंवा f(x) (\displaystyle f(x))). तुम्हाला फंक्शनची कमाल किंवा किमान गणना करायची असल्यास, तुमच्या उत्तरात फक्त मूल्य लिहा y (\डिस्प्लेस्टाइल y)(किंवा f(x) (\displaystyle f(x))). गुणांकाचे चिन्ह पुन्हा पहा a (\displaystyle a)तुम्ही कमाल की किमान गणना केली आहे हे तपासण्यासाठी.

   • पहिल्या उदाहरणात f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)अर्थ a (\displaystyle a)सकारात्मक, म्हणून तुम्ही किमान गणना केली आहे. पॅराबोलाचा शिरोबिंदू निर्देशांकांसह बिंदूवर असतो (− 5 , − 26) (\displaystyle (-5,-26)), आणि फंक्शनचे किमान मूल्य आहे − २६ (\डिस्प्लेस्टाइल -२६).
   • दुसऱ्या उदाहरणात f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)अर्थ a (\displaystyle a)नकारात्मक, म्हणून तुम्हाला कमाल आढळली आहे. पॅराबोलाचा शिरोबिंदू निर्देशांकांसह बिंदूवर असतो (1 , − 1) (\displaystyle (1,-1)), आणि फंक्शनचे कमाल मूल्य आहे − 1 (\displaystyle -1).

5. पॅराबोलाची दिशा निश्चित करा.हे करण्यासाठी, गुणांकाचे चिन्ह पहा a (\displaystyle a). गुणांक असल्यास a (\displaystyle a)सकारात्मक, पॅराबोला वरच्या दिशेने निर्देशित केला जातो. गुणांक असल्यास a (\displaystyle a)नकारात्मक, पॅराबोला खालच्या दिशेने निर्देशित केला जातो. उदाहरणार्थ:

   • . येथे a = 2 (\displaystyle a=2), म्हणजे, गुणांक सकारात्मक आहे, म्हणून पॅराबोला वरच्या दिशेने निर्देशित केला जातो.
   • . येथे a = − 3 (\displaystyle a=-3), म्हणजे, गुणांक ऋण आहे, म्हणून पॅराबोला खालच्या दिशेने निर्देशित केला जातो.
   • जर पॅराबोला वरच्या दिशेने निर्देशित केले असेल, तर तुम्हाला फंक्शनचे किमान मूल्य मोजावे लागेल. पॅराबोला खालच्या दिशेने निर्देशित केले असल्यास, आपल्याला फंक्शनचे कमाल मूल्य शोधणे आवश्यक आहे.

6. फंक्शनचे किमान किंवा कमाल मूल्य शोधा.पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूच्या निर्देशांकांद्वारे फंक्शन लिहिल्यास, किमान किंवा कमाल गुणांकाच्या मूल्याप्रमाणे असते. k (\ displaystyle k). वरील उदाहरणांमध्ये:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). येथे k = − 4 (\displaystyle k=-4). हे फंक्शनचे किमान मूल्य आहे कारण पॅराबोला वरच्या दिशेने निर्देशित केला जातो.
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). येथे k = 2 (\ displaystyle k=2). हे फंक्शनचे कमाल मूल्य आहे कारण पॅराबोला खालच्या दिशेने निर्देशित केले जाते.

7. पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूचे निर्देशांक शोधा.समस्येसाठी पॅराबोलाचा शिरोबिंदू शोधणे आवश्यक असल्यास, त्याचे निर्देशांक आहेत (h, k) (\ प्रदर्शन शैली (h, k)). कृपया लक्षात घ्या की जेव्हा पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूच्या निर्देशांकांद्वारे चतुर्भुज फंक्शन लिहीले जाते, तेव्हा वजाबाकीची क्रिया कंसात बंद करणे आवश्यक आहे. (x − h) (\ प्रदर्शन शैली (x-h)), त्यामुळे मूल्य h (\ displaystyle h)विरुद्ध चिन्हासह घेतले जाते.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). येथे जोडणीची क्रिया (x+1) कंसात बंद केली आहे, जी खालीलप्रमाणे पुन्हा लिहिली जाऊ शकते: (x-(-1)). अशा प्रकारे, h = − 1 (\displaystyle h=-1). म्हणून, या फंक्शनच्या पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूचे समन्वय समान आहेत (− 1 , − 4) (\displaystyle (-1,-4)).
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). येथे कंसात (x-2) अभिव्यक्ती आहे. त्यामुळे, h = 2 (\displaystyle h=2). शिरोबिंदूचे निर्देशांक (2,2) आहेत.

गणित ऑपरेशन्स वापरून किमान किंवा कमाल कसे मोजायचे

1. प्रथम, समीकरणाचे मानक स्वरूप पाहू.चतुर्भुज फंक्शन मानक स्वरूपात लिहा: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). आवश्यक असल्यास, समान अटी जोडा आणि मानक समीकरण प्राप्त करण्यासाठी त्यांची पुनर्रचना करा.

   • उदाहरणार्थ: .

2. प्रथम व्युत्पन्न शोधा.चतुर्भुज फंक्शनचे पहिले व्युत्पन्न, जे मानक स्वरूपात लिहिलेले असते, ते समान असते f′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   • f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). या फंक्शनचे पहिले व्युत्पन्न खालीलप्रमाणे मोजले जाते:
     • f′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)

3. व्युत्पन्न शून्याशी समीकरण करा.लक्षात ठेवा की फंक्शनचे व्युत्पन्न एका विशिष्ट बिंदूवर फंक्शनच्या उताराइतके असते. किमान किंवा कमाल, उतार शून्य आहे. म्हणून, फंक्शनचे किमान किंवा कमाल मूल्य शोधण्यासाठी, व्युत्पन्न शून्यावर सेट करणे आवश्यक आहे. आमच्या उदाहरणात.