व्याख्यान 26. एका चलसह समीकरणे

1. एका व्हेरिएबलसह समीकरणाची संकल्पना

2. समतुल्य समीकरणे. समीकरणांच्या समतुल्यतेवर प्रमेये

3. एका चलने समीकरणे सोडवणे

एका चलसह समीकरणे

चला व्हेरिएबलसह दोन अभिव्यक्ती घेऊ: 4 एक्सआणि 5 एक्स+ 2. त्यांना समान चिन्हाने जोडणे, आम्हाला वाक्य मिळते 4x= 5एक्स+ 2. त्यात व्हेरिएबल असते आणि व्हेरिएबलची व्हॅल्यूज बदलताना स्टेटमेंटमध्ये बदलते. उदाहरणार्थ, जेव्हा x =-2 ऑफर 4x= 5एक्स+ 2 खऱ्या संख्यात्मक समानतेमध्ये बदलते 4 ·(-2) = 5 ·(-2) + 2, आणि केव्हा x = 1 - ते असत्य 4 1 = 5 1 + 2. म्हणून, वाक्य 4x = 5x + 2एक अभिव्यक्त स्वरूप आहे. ते तिला कॉल करतात एका व्हेरिएबलसह समीकरण.

IN सामान्य दृश्यएका व्हेरिएबलसह समीकरण खालीलप्रमाणे परिभाषित केले जाऊ शकते:

व्याख्या. f(x) आणि g(x) हे व्हेरिएबल x आणि व्याख्येचे क्षेत्र असलेले दोन अभिव्यक्ती असू द्या. नंतर f(x) = g(x) या स्वरूपाच्या अभिव्यक्ती स्वरूपाला एक चल असलेले समीकरण म्हणतात.

परिवर्तनीय मूल्य एक्सअनेकांकडून X,ज्या समीकरणाचे खऱ्या संख्यात्मक समानतेमध्ये रूपांतर होते त्याला म्हणतात समीकरणाचे मूळ(किंवा त्याचा निर्णय). समीकरण सोडवा -याचा अर्थ त्याची अनेक मुळे शोधणे.

तर, समीकरणाचे मूळ 4x = 5x+ 2, आम्ही सेटवर विचार केल्यास आरवास्तविक संख्यांची संख्या -2 आहे. या समीकरणाला दुसरे मूळ नाही. याचा अर्थ त्याच्या मुळांचा संच (-2) आहे.

वास्तविक संख्यांच्या संचाला समीकरण देऊ द्या ( एक्स - १)(x+ 2) = 0. त्याची दोन मुळे आहेत - संख्या 1 आणि -2. म्हणून, या समीकरणाच्या मुळांचा संच आहे: (-2,-1).

समीकरण (3x + 1)-2 = 6एक्स+ 2, वास्तविक संख्यांच्या संचावर परिभाषित, व्हेरिएबलच्या सर्व वास्तविक मूल्यांसाठी खरी संख्यात्मक समानता बनते एक्स: जर आपण डाव्या बाजूला कंस उघडला तर आपल्याला मिळेल 6x + 2 = 6x + 2.या प्रकरणात, आम्ही म्हणतो की त्याचे मूळ कोणतीही वास्तविक संख्या आहे आणि मुळांचा संच सर्व वास्तविक संख्यांचा संच आहे.

समीकरण (3x+ 1) 2 = 6 एक्स+ 1, वास्तविक संख्यांच्या संचावर परिभाषित केलेले, कोणत्याही वास्तविक मूल्यासाठी वास्तविक संख्यात्मक समानतेमध्ये बदलत नाही X:डाव्या बाजूला कंस उघडल्यानंतर आपल्याला ते 6 मिळेल एक्स + 2 = 6x + 1, जे कोणत्याहीसह अशक्य आहे एक्स.या प्रकरणात, आम्ही म्हणतो की दिलेल्या समीकरणाला मुळ नाही आणि त्याच्या मुळांचा संच रिक्त आहे.

कोणतेही समीकरण सोडवण्यासाठी, प्रथम त्याचे रूपांतर केले जाते, त्याच्या जागी दुसरे, सोपे असते; परिणामी समीकरण पुन्हा रूपांतरित केले जाते, त्यास एका सोप्यासह बदलणे इ. ज्याची मुळे शोधता येतील असे समीकरण मिळेपर्यंत ही प्रक्रिया चालू राहते ज्ञात मार्गाने. परंतु ही मुळे दिलेल्या समीकरणाची मुळे असण्यासाठी, परिवर्तन प्रक्रियेतून समीकरणे तयार करणे आवश्यक आहे ज्यांच्या मुळांचे संच एकरूप होतात. अशी समीकरणे म्हणतात समतुल्य

शाळेत रशियन शिकताना, अनेकांना आश्चर्य वाटले: हा शब्द का? साधा द्वारे लिहिले ए , कारण चाचणी शब्द गुळगुळीत द्वारे लिहिले ओ ? खरे तर उत्तर सोपे आहे. शेवटी, मैदानाला असे म्हणतात कारण त्याचे सर्व बिंदू स्थित आहेत समान अटींवर अंतर (समुद्र सपाटीपासून) आणि त्यासाठी चाचणी शब्द - समान.

बद्दल व्याख्या: व्हेरिएबल x असलेले समीकरण हे A(x)=B(x) फॉर्मची समानता आहे, जिथे A(x) आणि B(x) x साठी अभिव्यक्ती आहेत. चा गठ्ठा, चा गुच्छ, चा घडखरी संख्यात्मक समानता प्राप्त करण्यासाठी समीकरणामध्ये बदलल्यास x ची T मूल्ये म्हणतात. सत्य सेटदिलेले समीकरण किंवा निर्णयया समीकरणाचे, आणि प्रत्येक असे मूल्यचल - समीकरणाचे मूळ.

त्यामुळे हे स्पष्ट होते कोणत्याही समीकरणाचा आधार समानता आहेओत्याचे दोन भाग. आणि जेव्हा, समीकरणे सोडवताना, एखादी व्यक्ती त्याच्या भागांवर कार्य करते, तेव्हा ही समानता नेहमी पाळली पाहिजे.

एका चलने समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती

सोडवण्यासाठी मोठ्या प्रमाणात विविध प्रकारची समीकरणे वापरली जातात वेगळा मार्ग. परंतु समीकरणे सहजपणे सोडवण्यासाठी तुम्हाला तीन मूलभूत पद्धती माहित असणे आवश्यक आहे:

समीकरणांचे समान परिवर्तन

अभिव्यक्ती निर्माण करणे

एक नवीन व्हेरिएबल सादर करत आहे

समीकरणांची समान परिवर्तने

सर्वात सोपा आणि त्याच वेळी समीकरणे सोडवण्याचा सर्वात सामान्य मार्ग म्हणजे ओळख परिवर्तनाची पद्धत. IN कोणतीही समीकरणेअज्ञात शोधण्यासाठी, तुम्हाला मूळ उदाहरणाचे रूपांतर आणि सोपे करणे आवश्यक आहे. आणि म्हणून बदलताना देखावा समीकरणाचे सार बदललेले नाही.अशा परिवर्तनांना म्हणतात एकसारखेकिंवा समतुल्य. बीजगणितीय अभिव्यक्तींच्या समान परिवर्तनाच्या मुख्य पद्धतींचा विचार करूया.

ओळख परिवर्तनाची उदाहरणे आणि सूत्रे:

प्रथम ओळख परिवर्तन: तुम्ही कोणत्याही समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना जोडू शकता (वजाबाकी). कोणतेही(परंतु एक आणि समान!) संख्या किंवा अभिव्यक्ती (अज्ञात अभिव्यक्तीसह!). यामुळे समीकरणाचे सार बदलत नाही.

उदाहरण: ९ x 2 + 12x+ 10 = 15x+ 10 → दोन्ही बाजूंमधून दहा वजा करा → 9 x 2 + 12x = 15x

दुसरे ओळख परिवर्तन: विरुद्ध चिन्हांसह समीकरणाच्या अटी एका बाजूकडून दुसरीकडे हस्तांतरित करणे.

उदाहरण: ९ x 2 + 12x = 15x→ 15x डावीकडे हलवा → 9 x 2 + 12x — 15x =0.सरलीकरणानंतर आम्हाला मिळते: 9 x 2 - 3x =0

तिसरे ओळख परिवर्तन: समीकरणाच्या दोन्ही बाजू एकाच गोष्टीने गुणाकार (भागून) केल्या जाऊ शकतात शून्य नसलेलेसंख्या किंवा अभिव्यक्ती. येथे एक समजण्यायोग्य मर्यादा आधीच दिसून येते: शून्याने गुणाकार करणे मूर्खपणाचे आहे आणि भागणे पूर्णपणे अशक्य आहे.

उदाहरण: ९ x 2 - 3x =0 →समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना तीनने विभाजित करा → 3x 2 - x =0

चौथे ओळख परिवर्तन: करू शकतो समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना विषम बळावर वाढवाकिंवा अर्कसमीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचे विषम मूळ. हे लक्षात ठेवले पाहिजे की:

अ) मध्ये बांधकाम अगदीहोऊ शकते खरेदी करण्यासाठीबाह्य मुळे;
ब) चुकीचेकाढणे अगदी रूटहोऊ शकते मुळांचे नुकसान.

उदाहरण: ४९ x 2 = 1225 → दोन्ही भागांचे वर्गमूळ घ्या → | ७ x| = 35

अभिव्यक्ती निर्माण करणे

आता आपण बहुपदी गुणांकन करण्याच्या काही सर्वात सामान्य तंत्रांची यादी करू या, सर्वात सोपी बीजगणितीय म्हणून.

सामान्य घटक कंसातून बाहेर काढणे

जेव्हा बहुपदीच्या सर्व संज्ञांमध्ये समान सामान्य घटक असतो, तेव्हा तो कंसातून बाहेर काढला जाऊ शकतो, ज्यामुळे बहुपदीचा विस्तार होतो.
उदाहरण: बहुपदी x 5 – 2x 3 + x 2 चा घटक करा.
उपाय: या बहुपदीच्या प्रत्येक पदामध्ये x 2 हा घटक असतो. चला ते कंसातून बाहेर काढू आणि उत्तर मिळवूया:

x 5 – 2x 3 + x 2 = x 2 (x 3 – 2x + 1).

संक्षिप्त गुणाकार सूत्रांचा वापर

बहुपदी गुणांकन करताना संक्षेप प्रभावीपणे वापरले जातात. खालील सूत्रे लक्षात ठेवणे उपयुक्त आहे:

1. दोन परिमाणांच्या बेरजेचा वर्ग हा पहिल्या अधिकच्या वर्गाच्या गुणाकाराच्या दुप्पट आणि दुसऱ्याच्या गुणाकाराच्या दुप्पट असतो.

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

2. दोन परिमाणांमधील फरकाचा वर्ग पहिल्या वजा पहिल्याच्या गुणाकाराच्या दुप्पट आणि दुसरा अधिक दुसऱ्याच्या वर्गाच्या वर्गाइतका आहे.

(a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2

3. दोन प्रमाणांची बेरीज आणि त्यांच्यातील फरकाचा गुणाकार त्यांच्या वर्गांच्या फरकाइतका आहे.

(a+b)(a-b)=a 2 -b 2

4. दोन परिमाणांच्या बेरजेचा घन हा पहिल्याच्या घनाच्या बरोबरीचा असतो आणि पहिल्याच्या वर्गाच्या गुणाकाराच्या तिप्पट असतो आणि दुसऱ्याच्या वर्गाच्या गुणाकाराच्या तिप्पट असतो आणि दुसऱ्याच्या वर्गाच्या गुणाकाराच्या तिप्पट असतो. .

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

5. दोन परिमाणांमधील फरकाचा घन पहिल्याच्या घनाच्या बरोबरीचा आहे वजा पहिल्याच्या वर्गाचा तिप्पट गुणाकार आणि दुसऱ्याच्या चौरसाच्या तिप्पट गुणाकाराच्या वजा दुसऱ्याच्या वर्गाने पहिल्याचा तिप्पट गुणाकार वजा दुसऱ्याचा घन .

(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3

6. दोन प्रमाणांच्या बेरजेचे गुणाकार आणि फरकाचा आंशिक वर्ग त्यांच्या घनांच्या बेरजेइतका आहे.

(a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3 +b 3

7. बेरीजच्या आंशिक वर्गाने दोन परिमाणांच्या फरकाचा गुणाकार त्यांच्या घनांच्या फरकाइतका असतो.

(a-b)(a 2 +ab+b 2)=a 3 -b 3

उदाहरण: (3x+5) 2 =9x 2 +30x+25=0

उपाय: सूत्र (१) वापरून 9x 2 +30x+25=(३x+५) २

पूर्ण चौरस निवड लागू करणे

अतिशयोक्ती न करता, आम्ही असे म्हणू शकतो की संपूर्ण चौरस वेगळे करण्याची पद्धत सर्वात जास्त आहे प्रभावी पद्धतीउत्तीर्ण करताना घटकीकरण वापरले जाते आणि

परिवर्तनीय मूल्य एक्सअनेकांकडून एक्स, ज्यावर समीकरण खऱ्या संख्यात्मक समानतेमध्ये बदलते त्याला म्हणतात समीकरणाचे मूळ (किंवा त्याचा निर्णय). समीकरण सोडवा - याचा अर्थ त्याची अनेक मुळे शोधणे.

व्हेरिएबलच्या मूल्यांचा संच ज्यासाठी अभिव्यक्ती f(x)आणि g(x)अर्थ घ्या, त्याला म्हणतात समीकरणाच्या व्याख्येचे क्षेत्र
f(x) = g(x). समीकरणावरील उपायांचा संच हा त्याच्या परिभाषेच्या डोमेनचा उपसंच असतो.

कोणतेही समीकरण सोडवण्यासाठी, प्रथम त्याचे रूपांतर केले जाते, त्याच्या जागी दुसरे, सोपे असते; परिणामी समीकरण पुन्हा रूपांतरित केले जाते, त्यास एका सोप्यासह बदलणे इ. एक समीकरण प्राप्त होईपर्यंत ही प्रक्रिया चालू ठेवली जाते ज्याची मुळे ज्ञात पद्धतीने शोधली जाऊ शकतात. परंतु ही मुळे दिलेल्या समीकरणाची मुळे असण्यासाठी, परिवर्तन प्रक्रियेतून समीकरणे तयार करणे आवश्यक आहे ज्यांच्या मुळांचे संच एकरूप होतात. अशा समीकरणांना समतुल्य म्हणतात.

समीकरणाच्या जागी समतुल्य समीकरण म्हणतात परिवर्तन

समतुल्य समीकरणे प्राप्त करण्यास अनुमती देणारी परिवर्तने खालीलप्रमाणे असू शकतात:

1. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना असल्यास f(x) = g(x), सेट वर परिभाषित एक्स, समान अभिव्यक्ती जोडा h(x), जे सेटवर अर्थपूर्ण आहे एक्स, नंतर आपल्याला समीकरण मिळेल f(x) + h(x) = g(x) + h(x), याच्या समतुल्य.

या विधानावरून पुढे येते परिणाम , जे समीकरणे सोडवण्यासाठी वापरले जातात:

1) जर आपण समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान संख्या जोडली तर आपल्याला दिलेल्या समीकरणाचे समीकरण मिळेल.

2) जर कोणतीही संज्ञा (किंवा व्हेरिएबल असलेली अभिव्यक्ती) समीकरणाच्या एका भागातून दुसऱ्या भागामध्ये हस्तांतरित केली गेली असेल, संज्ञाचे चिन्ह विरुद्ध बदलले असेल, तर आपल्याला दिलेल्या समतुल्य समीकरण मिळते.

2. समीकरणाच्या दोन्ही बाजू असल्यास f(x) = g(x), सेट वर परिभाषित एक्स, समान अभिव्यक्तीने गुणाकार करा h(x), जे सेटवर अर्थपूर्ण आहे एक्सआणि त्यावर नाहीसे होत नाही, तर आपल्याला समीकरण मिळते f(x)× h(x) = g(x)× h(x), याच्या समतुल्य.

या विधानावरून पुढे येते परिणाम:

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना शून्याव्यतिरिक्त समान संख्येने गुणाकार केल्यास, तुम्हाला दिलेल्या समीकरणाचे समीकरण मिळेल.

कार्य.वास्तविक संख्यांच्या संचावर खालीलपैकी कोणती समीकरणे समतुल्य आहेत ते ठरवा:

अ) एक्स 2 - 9 = 0 आणि (2 एक्स + 6)(एक्स - 3) = 0;

ब) (३ एक्स+ १) × २ = ६ एक्स+ 1 आणि एक्स 2 + 1 = 0;

V) एक्स 2 - एक्स- 2 = 0 आणि ( एक्स - 1)(एक्स + 2) = 0;

उपाय.अ) समीकरणे समतुल्य आहेत, कारण दोन्हीची मुळे 3 आणि -3 संख्या आहेत; ब) समीकरणे समतुल्य आहेत, कारण दोघांना मुळीच नाही, म्हणजे. त्यांचे समाधान संच एकसारखे; c) समीकरणे समतुल्य नाहीत, कारण पहिल्या समीकरणाची मुळे -1 आणि 2 आहेत आणि दुसऱ्याची मुळे 1 आणि -2 आहेत.

कार्य.समीकरण सोडवा आणि सोल्यूशन प्रक्रियेदरम्यान होणारी सर्व परिवर्तने समायोजित करा.

उपाय.

हे समीकरण सोडवताना आपण केलेली सर्व परिवर्तने समतुल्य असल्याने, 2 हे या समीकरणाचे मूळ आहे असे आपण म्हणू शकतो.

जर, समीकरण सोडवण्याच्या प्रक्रियेत, प्रमेय 1 आणि 2 च्या अटींची पूर्तता झाली नाही, तर मुळे नष्ट होऊ शकतात किंवा बाह्य मुळे दिसू शकतात. म्हणून, समीकरण बदलताना, एक सोपे प्राप्त करण्यासाठी, ते दिलेल्या समतुल्य समीकरणाकडे नेतात याची खात्री करणे महत्वाचे आहे.

उदाहरणार्थ, समीकरणाचा विचार करा एक्स (एक्स - 1) = 2एक्स, एक्सओ आर. चला दोन्ही भागांची विभागणी करू एक्स, आम्हाला समीकरण मिळते एक्स- 1 = 2, कुठून एक्स= 3, i.e. या समीकरणाचे एकच मूळ आहे - संख्या 3. पण हे खरे आहे का? हे पाहणे सोपे आहे की जर या समीकरणात व्हेरिएबल ऐवजी
एक्स 0 च्या जागी, ती खरी संख्यात्मक समानता बनते
0 × (0 - 1) = 2 × 0. याचा अर्थ 0 हे या समीकरणाचे मूळ आहे, जे आपण परिवर्तन करताना गमावले. चला त्यांचे विश्लेषण करूया. आम्ही पहिली गोष्ट केली की समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना द्वारे विभाजित केले एक्स, म्हणजे, अभिव्यक्तीने गुणाकार, परंतु सह एक्स= 0 याचा अर्थ नाही. परिणामी, आम्ही प्रमेय 2 ची अट पूर्ण केली नाही, ज्यामुळे रूटचे नुकसान झाले.

या समीकरणाच्या मुळांच्या संचामध्ये 0 आणि 3 या दोन संख्यांचा समावेश आहे याची खात्री करण्यासाठी, आम्ही दुसरा उपाय सादर करतो. चला अभिव्यक्ती 2 हलवू एक्सउजवीकडून डावीकडे: एक्स (एक्स - 1) - 2एक्स= 0. समीकरणाच्या डाव्या बाजूला असलेल्या कंसातून बाहेर काढू एक्सआणि तत्सम अटी द्या:
एक्स (एक्स- 3) = 0. दोन घटकांचे गुणाकार शून्याच्या बरोबरीचे असतील आणि जर त्यापैकी किमान एक शून्य असेल तरच, म्हणून एक्स= 0 किंवा एक्स- 3 = 0. येथून आपण पाहतो की या समीकरणाची मुळे 0 आणि 3 आहेत.

गणिताच्या सुरुवातीच्या अभ्यासक्रमात सैद्धांतिक आधारसमीकरण सोडवणे म्हणजे घटक आणि क्रियांचे परिणाम यांच्यातील संबंध.

कार्य.समीकरण सोडवा ( एक्स× 9) : 24 = 3, घटक आणि क्रियांचे परिणाम यांच्यातील संबंध वापरून.

उपाय.अज्ञात लाभांशामध्ये असल्याने, लाभांश शोधण्यासाठी, तुम्हाला भागाकाराने भागाकार गुणाकार करणे आवश्यक आहे: एक्स× 9 = 24 × 3, किंवा एक्स× 9 = 72. अज्ञात घटक शोधण्यासाठी, तुम्हाला ज्ञात घटकाद्वारे उत्पादनाचे विभाजन करणे आवश्यक आहे: एक्स= 72:9, किंवा एक्स= 8, म्हणून, या समीकरणाचे मूळ क्रमांक 8 आहे.

स्वतंत्र कामासाठी व्यायाम

1. समीकरण 2 एक्स 4 + 4एक्स 2 - 6 = 0 सेटवर परिभाषित नैसर्गिक संख्या. संख्या 1 या समीकरणाचे मूळ का आहे हे स्पष्ट करा, परंतु 2 आणि -1 हे त्याचे मूळ नाही.

2. सेटवर खालीलपैकी कोणती समीकरणे समतुल्य आहेत ते ठरवा आर:

अ) ३ + ७ एक्स= -4 आणि 2(3 + 7 एक्स) = -8; c) 3 + 7 एक्स= -4 आणि एक्स + 2 = 0.

b) 3 + 7 एक्स= -4 आणि 6 + 7 एक्स = -1;

3. समीकरणे सोडवा आणि त्यांना सरलीकृत करण्याच्या प्रक्रियेत केलेल्या सर्व परिवर्तनांचे समर्थन करा:

अ) ; ब) ; 2 वाजता - एक्स) × २ - एक्स (एक्स + 1,5) = 4.

4. घटक आणि क्रियांचे परिणाम यांच्यातील संबंध वापरून समीकरणे सोडवा:

अ) ( एक्स+ 70) × 4 = 328; c) (८५ एक्स + 765) : 170 = 98;

b) 560: ( एक्स+ 9) = 56; जी) ( एक्स - 13581) : 709 = 306.

चला व्हेरिएबलसह दोन अभिव्यक्ती घेऊ: 4x आणि 5x + 2. त्यांना समान चिन्हासह जोडल्यास, आपल्याला 4x = 5x + 2 हे वाक्य मिळते. त्यात एक व्हेरिएबल असते आणि व्हेरिएबलची मूल्ये बदलताना, एक मध्ये बदलते. विधान.

उदाहरणार्थ,जेव्हा x = -2, वाक्य 4x = 5x + 2 खऱ्या संख्यात्मक समानतेमध्ये 4-(-2) = 5-(-2) + 2 मध्ये बदलते आणि जेव्हा x = 1 - खोट्या 4-1 = 5- मध्ये बदलते 1+2. म्हणून, 4x = 5x + 2 हे वाक्य एक अभिव्यक्त स्वरूप आहे. ते तिला कॉल करतात एका व्हेरिएबलसह समीकरण.

सर्वसाधारणपणे, एक चल असलेले समीकरण खालीलप्रमाणे परिभाषित केले जाऊ शकते:

व्याख्या.f(x) आणि q(x) हे व्हेरिएबल x आणि व्याख्येचे डोमेन X सह दोन अभिव्यक्ती असू द्या. नंतर f(x) फॉर्मचे एक अभिव्यक्त रूप =q(x) ला एक चल असलेले समीकरण म्हणतात.

परिवर्तनीय मूल्य एक्सअनेकांकडून X,ज्या समीकरणाचे खऱ्या संख्यात्मक समानतेमध्ये रूपांतर होते त्याला म्हणतात समीकरणाचे मूळ (किंवा त्याचा निर्णय). समीकरण सोडवणे म्हणजे त्याची अनेक मुळे शोधणे. .

अशा प्रकारे, समीकरणाचे मूळ 4x = 5x + 2, जर आपण त्याचा सेटवर विचार केला तर आरवास्तविक संख्यांची संख्या -2 आहे. या समीकरणाला दुसरे मूळ नाही. याचा अर्थ त्याच्या मुळांचा संच (-2) आहे.

वास्तविक संख्यांच्या संचावर (x-1)(x+2)=0 हे समीकरण देऊ. त्याची दोन मुळे आहेत - संख्या 1 आणि -2. म्हणून, या समीकरणाच्या मुळांचा संच आहे: (-2,- 1).

वास्तविक संख्यांच्या संचावर दिलेले समीकरण (3x + 1) × 2 = 6x + 2, x व्हेरिएबलच्या सर्व वास्तविक मूल्यांसाठी खऱ्या संख्यात्मक समानतेमध्ये बदलते: जर आपण डाव्या बाजूचे कंस उघडले तर आपण 6x + 2 = 6 मिळवा एक्स+ 2. या प्रकरणात, आम्ही म्हणतो की त्याचे मूळ कोणतीही वास्तविक संख्या आहे आणि मुळांचा संच सर्व वास्तविक संख्यांचा संच आहे.

वास्तविक संख्यांच्या संचावर दिलेले समीकरण (3x + 1)-2 = 6x + 1, x च्या कोणत्याही वास्तविक मूल्यासाठी खऱ्या संख्यात्मक समानतेमध्ये बदलत नाही: डाव्या बाजूला कंस उघडल्यानंतर, आपल्याला ते 6x मिळते. + 2 = 6x + 1, जे कोणत्याही x साठी अशक्य आहे. या प्रकरणात, आम्ही म्हणतो की दिलेल्या समीकरणाला मुळ नाही आणि त्याच्या मुळांचा संच रिक्त आहे.

कोणतेही समीकरण सोडवण्यासाठी, प्रथम त्याचे रूपांतर केले जाते, त्याच्या जागी दुसरे, सोपे असते; परिणामी समीकरण पुन्हा रूपांतरित केले जाते, त्यास एका सोप्यासह बदलणे इ. एक समीकरण प्राप्त होईपर्यंत ही प्रक्रिया चालू ठेवली जाते ज्याची मुळे ज्ञात पद्धतीने शोधली जाऊ शकतात. परंतु ही मुळे दिलेल्या समीकरणाची मुळे होण्यासाठी, परिवर्तन प्रक्रियेमुळे समीकरणे तयार करणे आवश्यक आहे ज्यांचे मूळ संच एकरूप होतात. अशी समीकरणे म्हणतात समतुल्य

व्याख्या.दोन समीकरणे f 1 (x) =q 1 (x) आणि f 2 (x) =q 2 (x) यांना समतुल्य म्हटले जाते जर त्यांच्या मुळांचे संच एकरूप होतात.

उदाहरणार्थ,समीकरण x 2 - 9 = 0 आणि (2x + 6)(x - 3) = 0 दोन्हीची मुळे 3 आणि -3 मध्ये असल्याने समतुल्य आहेत. समीकरणे (3x + 1)-2 = 6x + 1 आणि x 2 + 1 देखील समतुल्य आहेत = 0, कारण दोघांनाही मुळे नाहीत, म्हणजे त्यांच्या मुळांचे संच जुळतात.

व्याख्या. समीकरणाच्या जागी समतुल्य समीकरणाला समतुल्य परिवर्तन म्हणतात.

आता कोणते परिवर्तन आपल्याला समतुल्य समीकरणे प्राप्त करण्यास अनुमती देतात ते शोधूया.

प्रमेय १. समीकरण f(x) = q(x) हे संचावर परिभाषित करू आणि h(x) हे त्याच संचावर परिभाषित केलेले अभिव्यक्ती असू द्या. मग समीकरण f(x) = q(x) (1) आणि f(x) + h(x) = q(x) + h(x) (2) समतुल्य आहेत.

पुरावा. T 1 द्वारे समीकरण (1) च्या सोल्यूशनचा संच आणि T 2 ने समीकरण (2) च्या सोल्यूशनचा संच दर्शवू. नंतर समीकरणे (1) आणि (2) समतुल्य असतील तर T 1 = T 2. हे सत्यापित करण्यासाठी, T 1 चे कोणतेही मूळ समीकरण (2) चे मूळ आहे आणि याउलट, T 2 चे कोणतेही मूळ समीकरण (1) चे मूळ आहे हे दर्शविणे आवश्यक आहे.

संख्या a समीकरणाचे मूळ असू द्या (1). नंतर a О Т 1, आणि समीकरण (1) मध्ये बदलताना ते खऱ्या संख्यात्मक समानतेमध्ये बदलते f(a) = q(a), आणि अभिव्यक्ती h(x) मध्ये बदलते संख्यात्मक अभिव्यक्ती h(a) ज्याचा संच X वर अर्थ आहे. खऱ्या समानतेच्या दोन्ही बाजू f(a) = q(a) h(a) ही संख्यात्मक अभिव्यक्ती जोडू. खऱ्या संख्यात्मक समानतेच्या गुणधर्मांनुसार, खरी संख्यात्मक समानता f(a) + h(a) = q(a) + h(a) प्राप्त होते, जी संख्या a हे समीकरणाचे मूळ असल्याचे दर्शवते (2) .

तर, हे सिद्ध झाले आहे की समीकरणाचे प्रत्येक मूळ (1) देखील समीकरणाचे मूळ आहे (2), म्हणजे. Т 1 М Т 2.

आता समीकरणाचे मूळ असू द्या (2). नंतर एक О Т 2, आणि समीकरण (2) मध्ये बदलल्यास ते खऱ्या संख्यात्मक समानतेमध्ये बदलते f(a) + h(a) = q(a) + h(a). या समानतेच्या दोन्ही बाजूंना संख्यात्मक अभिव्यक्ती जोडू - h(a). आम्हाला खरी संख्यात्मक समानता f(a) = q(a) मिळते, की संख्या a समीकरणाचे मूळ आहे (1).

तर, हे सिद्ध झाले आहे की समीकरणाचे प्रत्येक मूळ (2) देखील समीकरणाचे मूळ आहे (1), म्हणजे. टी २ एम टी १ .

T 1 Ì T 2 आणि T 2 Ì T 1 असल्याने, नंतर समान संचांच्या व्याख्येनुसार T 1 = T 2, म्हणजे समीकरणे (1) आणि (2) समतुल्य आहेत.

हे प्रमेय 1 वेगळ्या पद्धतीने तयार केले जाऊ शकते: जर आपण समान अभिव्यक्ती एका व्हेरिएबलसह, समान संचावर परिभाषित केलेल्या X च्या डोमेनसह समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना जोडली, तर आपल्याला दिलेल्या समतुल्य नवीन समीकरण प्राप्त होईल.

या प्रमेयावरून समीकरणे सोडवताना वापरल्या जाणाऱ्या परिणामांचे अनुसरण करा:

1. जर आपण समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान संख्या जोडली तर आपल्याला दिलेल्या समीकरणाचे समीकरण मिळेल.

2. जर कोणतीही संज्ञा (संख्यात्मक अभिव्यक्ती किंवा व्हेरिएबल असलेली अभिव्यक्ती) समीकरणाच्या एका भागातून दुसऱ्या भागामध्ये हस्तांतरित केली गेली, तर संज्ञाचे चिन्ह विरुद्धमध्ये बदलले, तर आपल्याला दिलेल्या समतुल्य समीकरण मिळते.

प्रमेय 2.समीकरण f(x) = q(x) संच X वर परिभाषित करू द्या आणि h(x) ही एक अभिव्यक्ती असू द्या जी त्याच संचावर परिभाषित केली आहे आणि X संचातील x च्या कोणत्याही मूल्यांसाठी नाहीशी होणार नाही. नंतर f(x) = q(x) आणि f(x) × h(x) = q(x) × h(x) ही समीकरणे समतुल्य आहेत.

या प्रमेयाचा पुरावा प्रमेय 1 च्या पुराव्यासारखाच आहे.

प्रमेय 2 वेगळ्या प्रकारे तयार केला जाऊ शकतो: जर समीकरणाच्या दोन्ही बाजू X या व्याख्येच्या डोमेनसह समान अभिव्यक्तीने गुणाकार केल्या गेल्या असतील, जे त्याच संचावर परिभाषित केले आहे आणि त्यावर नाहीसे होत नाही, तर आपल्याला दिलेल्या समतुल्य नवीन समीकरण प्राप्त होईल.

या प्रमेयातून एक परिणाम खालीलप्रमाणे आहे: समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना शून्याव्यतिरिक्त समान संख्येने गुणाकार (किंवा भागाकार) केल्यास, आपल्याला दिलेल्या समीकरणाचे समीकरण मिळते.

चला समीकरण सोडवू या, x О R, आणि आपण समाधान प्रक्रियेत होणारी सर्व परिवर्तने समायोजित करू.

व्याख्यान 26. एका चलसह समीकरणे

1. एका व्हेरिएबलसह समीकरणाची संकल्पना

2. समतुल्य समीकरणे. समीकरणांच्या समतुल्यतेवर प्रमेये

3. एका चलने समीकरणे सोडवणे

चला व्हेरिएबलसह दोन अभिव्यक्ती घेऊ: 4 एक्सआणि 5 एक्स+ 2. त्यांना समान चिन्हाने जोडणे, आम्हाला वाक्य मिळते 4x= 5एक्स+ 2. त्यात व्हेरिएबल असते आणि व्हेरिएबलची व्हॅल्यूज बदलताना स्टेटमेंटमध्ये बदलते. उदाहरणार्थ, जेव्हा x =-2 ऑफर 4x= 5एक्स+ 2 खऱ्या संख्यात्मक समानतेमध्ये बदलते 4 ·(-2) = 5 ·(-2) + 2, आणि केव्हा x = 1 - ते असत्य 4 1 = 5 1 + 2. म्हणून, वाक्य 4x = 5x + 2एक अभिव्यक्त स्वरूप आहे. ते तिला कॉल करतात एका व्हेरिएबलसह समीकरण.

सर्वसाधारणपणे, एक चल असलेले समीकरण खालीलप्रमाणे परिभाषित केले जाऊ शकते:

व्याख्या. f(x) आणि g(x) हे व्हेरिएबल x आणि व्याख्येचे क्षेत्र असलेले दोन अभिव्यक्ती असू द्या. नंतर f(x) = g(x) या स्वरूपाच्या अभिव्यक्ती स्वरूपाला एक चल असलेले समीकरण म्हणतात.

परिवर्तनीय मूल्य एक्सअनेकांकडून X,ज्या समीकरणाचे खऱ्या संख्यात्मक समानतेमध्ये रूपांतर होते त्याला म्हणतात समीकरणाचे मूळ(किंवा त्याचा निर्णय). समीकरण सोडवा -याचा अर्थ त्याची अनेक मुळे शोधणे.

तर, समीकरणाचे मूळ 4x = 5x+ 2, आम्ही सेटवर विचार केल्यास आरवास्तविक संख्यांची संख्या -2 आहे. या समीकरणाला दुसरे मूळ नाही. याचा अर्थ त्याच्या मुळांचा संच (-2) आहे.

वास्तविक संख्यांच्या संचाला समीकरण देऊ द्या ( एक्स - १)(x+ 2) = 0. त्याची दोन मुळे आहेत - संख्या 1 आणि -2. म्हणून, या समीकरणाच्या मुळांचा संच आहे: (-2,-1).

समीकरण (3x + 1)-2 = 6एक्स+ 2, वास्तविक संख्यांच्या संचावर परिभाषित, व्हेरिएबलच्या सर्व वास्तविक मूल्यांसाठी खरी संख्यात्मक समानता बनते एक्स: जर आपण डाव्या बाजूला कंस उघडला तर आपल्याला मिळेल 6x + 2 = 6x + 2.या प्रकरणात, आम्ही म्हणतो की त्याचे मूळ कोणतीही वास्तविक संख्या आहे आणि मुळांचा संच सर्व वास्तविक संख्यांचा संच आहे.

समीकरण (3x+ 1) 2 = 6 एक्स+ 1, वास्तविक संख्यांच्या संचावर परिभाषित केलेले, कोणत्याही वास्तविक मूल्यासाठी वास्तविक संख्यात्मक समानतेमध्ये बदलत नाही X:डाव्या बाजूला कंस उघडल्यानंतर आपल्याला ते 6 मिळेल एक्स + 2 = 6x + 1, जे कोणत्याहीसह अशक्य आहे एक्स.या प्रकरणात, आम्ही म्हणतो की दिलेल्या समीकरणाला मुळ नाही आणि त्याच्या मुळांचा संच रिक्त आहे.

कोणतेही समीकरण सोडवण्यासाठी, प्रथम त्याचे रूपांतर केले जाते, त्याच्या जागी दुसरे, सोपे असते; परिणामी समीकरण पुन्हा रूपांतरित केले जाते, त्यास एका सोप्यासह बदलणे इ. एक समीकरण प्राप्त होईपर्यंत ही प्रक्रिया चालू ठेवली जाते ज्याची मुळे ज्ञात पद्धतीने शोधली जाऊ शकतात. परंतु ही मुळे दिलेल्या समीकरणाची मुळे असण्यासाठी, परिवर्तन प्रक्रियेतून समीकरणे तयार करणे आवश्यक आहे ज्यांच्या मुळांचे संच एकरूप होतात. अशी समीकरणे म्हणतात समतुल्य