रेखीय समीकरणदोन चलांसह - खालील फॉर्म असलेले कोणतेही समीकरण: a*x + b*y =с.येथे x आणि y दोन चल आहेत, a,b,c काही संख्या आहेत.

खाली काही आहेत रेखीय समीकरणांची उदाहरणे.

1. 10*x + 25*y = 150;

एका अज्ञात असलेल्या समीकरणांप्रमाणे, दोन चलांसह (अज्ञात) रेखीय समीकरणाला देखील एक उपाय आहे. उदाहरणार्थ, रेखीय समीकरण x-y=5, x=8 आणि y=3 सह, योग्य ओळख 8-3=5 मध्ये बदलते. या प्रकरणात, x=8 आणि y=3 संख्यांची जोडी x-y=5 या रेखीय समीकरणाचे समाधान आहे असे म्हटले जाते. तुम्ही असेही म्हणू शकता की x=8 आणि y=3 संख्यांची जोडी x-y=5 रेखीय समीकरण पूर्ण करते.

रेखीय समीकरण सोडवणे

अशाप्रकारे, a*x + b*y = c या रेखीय समीकरणाचे समाधान म्हणजे संख्यांची कोणतीही जोडी (x,y) जी या समीकरणाचे समाधान करते, म्हणजेच x आणि y व्हेरिएबल्ससह समीकरण योग्य संख्यात्मक समानतेमध्ये बदलते. येथे x आणि y संख्यांची जोडी कशी लिहिली आहे ते पहा. ही नोंद लहान आणि अधिक सोयीची आहे. तुम्हाला फक्त हे लक्षात ठेवण्याची गरज आहे की अशा रेकॉर्डमधील पहिले स्थान हे व्हेरिएबल x चे मूल्य आहे आणि दुसरे व्हेरिएबल y चे मूल्य आहे.

कृपया लक्षात घ्या की x=11 आणि y=8, x=205 आणि y=200 x= 4.5 आणि y= -0.5 हे रेखीय समीकरण x-y=5 देखील पूर्ण करतात आणि म्हणून या रेखीय समीकरणाचे निराकरण करतात.

दोन अज्ञातांसह एक रेखीय समीकरण सोडवणे एकमेव नाही.दोन अज्ञातांमधील प्रत्येक रेखीय समीकरणामध्ये अनेक भिन्न निराकरणे आहेत. आहे, आहे असीम अनेक भिन्नदोन संख्या x आणि y जे एका रेखीय समीकरणाला खऱ्या ओळखीत रूपांतरित करतात.

जर दोन चलांसह अनेक समीकरणांची समान समाधाने असतील तर अशा समीकरणांना समतुल्य समीकरणे म्हणतात. हे लक्षात घेतले पाहिजे की जर दोन अज्ञात असलेल्या समीकरणांमध्ये उपाय नसतील तर ते देखील समतुल्य मानले जातात.

दोन अज्ञात असलेल्या रेखीय समीकरणांचे मूलभूत गुणधर्म

1. समीकरणातील कोणतीही संज्ञा एका भागातून दुसऱ्या भागामध्ये हस्तांतरित केली जाऊ शकते, परंतु त्याचे चिन्ह विरुद्ध भागामध्ये बदलणे आवश्यक आहे. परिणामी समीकरण मूळ समतुल्य असेल.

2. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना शून्य नसलेल्या कोणत्याही संख्येने भागले जाऊ शकते. परिणामी, आम्हाला मूळ समतुल्य समीकरण मिळते.

§ 1 वास्तविक परिस्थितीत समीकरणाच्या मुळांची निवड

चला या वास्तविक परिस्थितीचा विचार करूया:

मास्टर आणि शिकाऊंनी मिळून 400 सानुकूल भाग बनवले. शिवाय, मास्टरने 3 दिवस आणि विद्यार्थ्याने 2 दिवस काम केले. प्रत्येक व्यक्तीने किती भाग केले?

या परिस्थितीचे बीजगणितीय मॉडेल बनवू. मास्टरला 1 दिवसात भाग तयार करू द्या. आणि विद्यार्थी तपशीलावर आहे. मग मास्टर 3 दिवसात 3 भाग करेल, आणि विद्यार्थी 2 दिवसात 2 भाग करेल. एकत्रितपणे ते 3 + 2 भाग तयार करतील. कारण, स्थितीनुसार, एकूण 400 भाग तयार केले गेले होते, आम्ही समीकरण प्राप्त करतो:

परिणामी समीकरणाला दोन चलांमधील रेखीय समीकरण म्हणतात. येथे आपल्याला x आणि y संख्यांची जोडी शोधावी लागेल ज्यासाठी समीकरण खऱ्या संख्यात्मक समानतेचे रूप घेईल. लक्षात घ्या की जर x = 90, y = 65, तर आपल्याला समानता मिळेल:

3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400

योग्य संख्यात्मक समानता प्राप्त झाली असल्याने, 90 आणि 65 संख्यांची जोडी या समीकरणाचे निराकरण होईल. पण सापडलेला उपाय हा एकमेव नाही. जर x = 96 आणि y = 56, तर आपल्याला समानता मिळेल:

96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400

ही देखील एक खरी संख्यात्मक समानता आहे, याचा अर्थ 96 आणि 56 संख्यांची जोडी देखील या समीकरणाचे निराकरण आहे. पण x = 73 आणि y = 23 संख्यांची जोडी या समीकरणाचे निराकरण होणार नाही. खरं तर, 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 आपल्याला चुकीची संख्यात्मक समानता 265 = 400 देईल. हे लक्षात घेतले पाहिजे की जर आपण या वास्तविक परिस्थितीशी संबंधित समीकरणाचा विचार केला, तर संख्यांच्या जोड्या असतील, ज्या या समीकरणावर उपाय, समस्येचे निराकरण होणार नाही. उदाहरणार्थ, काही संख्या:

x = 200 आणि y = -100

समीकरणाचे निराकरण आहे, परंतु विद्यार्थी -100 भाग करू शकत नाही, आणि म्हणून अशा संख्येची जोडी समस्येच्या प्रश्नाचे उत्तर असू शकत नाही. अशा प्रकारे, प्रत्येक विशिष्ट वास्तविक परिस्थितीत समीकरणाच्या मुळांच्या निवडीसाठी वाजवी दृष्टीकोन घेणे आवश्यक आहे.

चला प्रथम परिणाम सारांशित करूया:

ax + bу + c = 0 फॉर्मचे समीकरण, जेथे a, b, c कोणत्याही संख्या आहेत, त्याला दोन चलांसह एक रेखीय समीकरण म्हणतात.

दोन चलांमधील रेखीय समीकरणाचे समाधान म्हणजे x आणि y शी संबंधित संख्यांची जोडी, ज्यासाठी समीकरण खऱ्या संख्यात्मक समानतेमध्ये बदलते.

§ 2 रेखीय समीकरणाचा आलेख

जोडीचे (x;y) अगदी रेकॉर्डिंग आपल्याला विमानावरील xy y सह बिंदू म्हणून चित्रित करण्याच्या शक्यतेबद्दल विचार करण्यास प्रवृत्त करते. याचा अर्थ आपण विशिष्ट परिस्थितीचे भौमितिक मॉडेल मिळवू शकतो. उदाहरणार्थ, समीकरण विचारात घ्या:

2x + y - 4 = 0

चला संख्यांच्या अनेक जोड्या निवडू या जे या समीकरणाचे निराकरण करतील आणि सापडलेल्या निर्देशांकांसह बिंदू तयार करू. हे मुद्दे असू द्या:

A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6).

लक्षात घ्या की सर्व बिंदू एकाच ओळीवर आहेत. या रेषेला दोन चलांमधील रेखीय समीकरणाचा आलेख म्हणतात. हे दिलेल्या समीकरणाचे ग्राफिकल (किंवा भौमितिक) मॉडेल आहे.

जर संख्यांची जोडी (x;y) समीकरणाचे समाधान असेल

ax + vy + c = 0, नंतर बिंदू M(x;y) समीकरणाच्या आलेखाशी संबंधित आहे. आपण याउलट म्हणू शकतो: जर बिंदू M(x;y) हा समीकरण ax + y + c = 0 च्या आलेखाशी संबंधित असेल, तर संख्यांची जोडी (x;y) हे या समीकरणाचे समाधान आहे.

भूमिती अभ्यासक्रमावरून आपल्याला माहित आहे:

सरळ रेषा तयार करण्यासाठी, आपल्याला 2 गुणांची आवश्यकता आहे, म्हणून दोन चलांसह रेखीय समीकरणाचा आलेख प्लॉट करण्यासाठी, फक्त 2 जोड्या समाधाने जाणून घेणे पुरेसे आहे. परंतु मुळांचा अंदाज लावणे ही नेहमीच सोयीस्कर किंवा तर्कशुद्ध प्रक्रिया नसते. आपण दुसर्या नियमानुसार कार्य करू शकता. बिंदूचा abscissa (व्हेरिएबल x) हा एक स्वतंत्र चल असल्यामुळे, तुम्ही त्याला कोणतेही सोयीस्कर मूल्य देऊ शकता. ही संख्या समीकरणात बदलून, आपल्याला y व्हेरिएबलचे मूल्य सापडते.

उदाहरणार्थ, समीकरण देऊ द्या:

x = 0 समजा, तर आपल्याला 0 - y + 1 = 0 किंवा y = 1 मिळेल. याचा अर्थ x = 0 असल्यास, y = 1. संख्यांची जोडी (0;1) हे या समीकरणाचे निराकरण आहे. चला x: x = 2 व्हेरिएबलसाठी दुसरे मूल्य सेट करूया. मग आपल्याला 2 - y + 1 = 0 किंवा y = 3 मिळेल. संख्यांची जोडी (2;3) हे देखील या समीकरणाचे समाधान आहे. सापडलेल्या दोन बिंदूंचा वापर करून, x - y + 1 = 0 या समीकरणाचा आलेख तयार करणे आधीच शक्य आहे.

तुम्ही हे करू शकता: प्रथम y व्हेरिएबलला काही विशिष्ट मूल्य नियुक्त करा आणि त्यानंतरच x च्या मूल्याची गणना करा.

§ 3 समीकरणांची प्रणाली

दोन शोधा नैसर्गिक संख्या, ज्याची बेरीज 11 आहे आणि फरक 1 आहे.

या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, आम्ही प्रथम रचना करतो गणितीय मॉडेल(म्हणजे बीजगणितीय). पहिली संख्या x आणि दुसरी संख्या y असू द्या. नंतर संख्यांची बेरीज x + y = 11 आणि संख्यांची फरक x - y = 1. दोन्ही समीकरणे समान संख्यांशी संबंधित असल्याने, या अटी एकाच वेळी पूर्ण केल्या पाहिजेत. सहसा अशा प्रकरणांमध्ये एक विशेष रेकॉर्ड वापरला जातो. समीकरणे एकमेकांच्या खाली लिहिली जातात आणि कुरळे ब्रेससह एकत्र केली जातात.

अशा रेकॉर्डला समीकरण प्रणाली म्हणतात.

आता प्रत्येक समीकरणासाठी उपायांचे संच तयार करूया, उदा. प्रत्येक समीकरणाचे आलेख. पहिले समीकरण घेऊ:

जर x = 4, तर y = 7. जर x = 9, तर y = 2.

(४;७) आणि (९;२) बिंदूंमधून सरळ रेषा काढू.

दुसरे समीकरण x - y = 1 घेऊ. जर x = 5, तर y = 4. जर x = 7, तर y = 6. आपण (5;4) आणि (7;6) बिंदूंमधून एक सरळ रेषा देखील काढू. ). आम्हाला समस्येचे भौमितिक मॉडेल मिळाले. आम्हाला स्वारस्य असलेली संख्यांची जोडी (x;y) दोन्ही समीकरणांचे समाधान असणे आवश्यक आहे. आकृतीमध्ये आपल्याला एकच बिंदू दिसतो जो दोन्ही रेषांवर असतो; हा रेषांचा छेदनबिंदू आहे.

त्याचे निर्देशांक (6;5) आहेत. म्हणून, समस्येचे निराकरण होईल: प्रथम आवश्यक संख्या 6 आहे, दुसरी 5 आहे.

वापरलेल्या साहित्याची यादी:

1. मॉर्डकोविच ए.जी., बीजगणित 7 वी इयत्ता 2 भागांमध्ये, भाग 1, पाठ्यपुस्तक शैक्षणिक संस्था/ ए.जी. मोर्डकोविच. - 10वी आवृत्ती, सुधारित - मॉस्को, "मेमोसिन", 2007
2. मॉर्डकोविच ए.जी., 2 भागांमध्ये बीजगणित 7 वी श्रेणी, भाग 2, शैक्षणिक संस्थांसाठी समस्या पुस्तक / [ए.जी. मोर्डकोविच आणि इतर]; ए.जी. द्वारा संपादित मॉर्डकोविच - 10वी आवृत्ती, सुधारित - मॉस्को, "मेमोसिन", 2007
3. तिची. तुलचिन्स्काया, बीजगणित 7 वी इयत्ता. ब्लिट्झ सर्वेक्षण: सामान्य शिक्षण संस्थांच्या विद्यार्थ्यांसाठी एक पुस्तिका, 4थी आवृत्ती, सुधारित आणि विस्तारित, मॉस्को, "मनेमोसिन", 2008
4. अलेक्झांड्रोव्हा एल.ए., बीजगणित 7 वी इयत्ता. मध्ये थीमॅटिक चाचणी कार्य नवीन फॉर्मसामान्य शिक्षण संस्थांच्या विद्यार्थ्यांसाठी, ए.जी. द्वारा संपादित मॉर्डकोविच, मॉस्को, "मेमोसिन", 2011
5. अलेक्झांड्रोव्हा एल.ए. बीजगणित 7 वी इयत्ता. स्वतंत्र कामसामान्य शिक्षण संस्थांच्या विद्यार्थ्यांसाठी, ए.जी. द्वारा संपादित मॉर्डकोविच - 6 वी आवृत्ती, स्टिरियोटाइपिकल, मॉस्को, "मेमोसिन", 2010

विषय:रेखीय कार्य

धडा:दोन चलांमधील रेखीय समीकरण आणि त्याचा आलेख

आम्ही समन्वय अक्ष आणि समन्वय समतल या संकल्पनांशी परिचित झालो. आम्हाला माहित आहे की समतल प्रत्येक बिंदू अनन्यपणे संख्यांच्या जोडीला (x; y) परिभाषित करतो, ज्यामध्ये पहिली संख्या बिंदूचा abscissa आहे आणि दुसरा ordinate आहे.

आपण बऱ्याचदा दोन व्हेरिएबल्समध्ये एक रेखीय समीकरण पाहतो, ज्याचे समाधान म्हणजे संख्यांची एक जोडी आहे जी समन्वय समतलावर दर्शविली जाऊ शकते.

फॉर्मचे समीकरण:

जेथे a, b, c संख्या आहेत, आणि

त्याला x आणि y या दोन चलांसह रेखीय समीकरण म्हणतात. अशा समीकरणाचे समाधान x आणि y संख्यांची अशी कोणतीही जोडी असेल, ज्याच्या जागी समीकरणामध्ये आपल्याला योग्य संख्यात्मक समानता मिळेल.

अंकांच्या जोडीला समन्वय समतल बिंदू म्हणून चित्रित केले जाईल.

अशा समीकरणांसाठी आपण अनेक उपाय पाहणार आहोत, म्हणजे संख्यांच्या अनेक जोड्या आणि सर्व संबंधित बिंदू एकाच सरळ रेषेत असतील.

चला एक उदाहरण पाहू:

या समीकरणावर उपाय शोधण्यासाठी, तुम्हाला x आणि y संख्यांच्या संबंधित जोड्या निवडण्याची आवश्यकता आहे:

चला, मग मूळ समीकरण अज्ञात असलेल्या समीकरणात बदलते:

,

म्हणजेच, दिलेल्या समीकरणाचे निराकरण करणाऱ्या संख्यांची पहिली जोडी (0; 3). आम्हाला पॉइंट A(0; 3) मिळाला

द्या . आम्हाला एका व्हेरिएबलसह मूळ समीकरण मिळते: , येथून, आम्हाला बिंदू B(3; 0) मिळाला

चला टेबलमध्ये संख्यांच्या जोड्या ठेवूया:

चला आलेखावर बिंदू प्लॉट करू आणि सरळ रेषा काढू:

लक्षात ठेवा की दिलेल्या रेषेवरील कोणताही बिंदू दिलेल्या समीकरणाचे निराकरण होईल. चला तपासू - एका समन्वयासह एक बिंदू घ्या आणि त्याचा दुसरा समन्वय शोधण्यासाठी आलेख वापरा. या टप्प्यावर हे उघड आहे. या संख्यांच्या जोडीला समीकरणात बदलू. आपल्याला 0=0 मिळते - एक योग्य संख्यात्मक समानता, म्हणजे रेषेवर पडलेला बिंदू हा एक उपाय आहे.

आत्तासाठी, आम्ही हे सिद्ध करू शकत नाही की तयार केलेल्या रेषेवर पडलेला कोणताही बिंदू हा समीकरणाचा उपाय आहे, म्हणून आम्ही हे सत्य म्हणून स्वीकारतो आणि नंतर ते सिद्ध करू.

उदाहरण २ - समीकरणाचा आलेख काढा:

चला एक सारणी बनवूया, सरळ रेषा तयार करण्यासाठी आम्हाला फक्त दोन गुणांची आवश्यकता आहे, परंतु आम्ही नियंत्रणासाठी तिसरा घेऊ:

पहिल्या स्तंभात आम्ही एक सोयीस्कर घेतला, आम्ही ते यावरून शोधू:

, ,

दुसऱ्या स्तंभात आपण एक सोयीस्कर घेतला, चला x शोधूया:

, , ,

चला तपासू आणि शोधू:

, ,

चला एक आलेख तयार करूया:

दिलेले समीकरण दोनने गुणाकार करू.

अशा परिवर्तनातून, उपायांचा संच बदलणार नाही आणि आलेख सारखाच राहील.

निष्कर्ष: आपण दोन चलांसह समीकरणे सोडवायला शिकलो आणि त्यांचे आलेख बनवायला शिकलो, आपण शिकलो की अशा समीकरणाचा आलेख सरळ रेषा आहे आणि या रेषेवरील कोणताही बिंदू समीकरणाचे निराकरण आहे.

1. डोरोफीव जी.व्ही., सुवेरोवा एस.बी., बुनिमोविच ई.ए. आणि इतर बीजगणित 7. 6वी आवृत्ती. एम.: ज्ञान. 2010

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. बीजगणित 7. M.: VENTANA-GRAF

3. कोल्यागिन यु.एम., ताकाचेवा एम.व्ही., फेडोरोवा एन.ई. आणि इतर बीजगणित 7.M.: ज्ञान. 2006

2. कुटुंब पाहण्यासाठी पोर्टल ().

कार्य 1: मर्झल्याक ए.जी., पोलोन्स्की व्ही.बी., याकिर एम.एस. बीजगणित 7, क्रमांक 960, कला 210;

कार्य 2: मर्झल्याक ए.जी., पोलोन्स्की व्ही.बी., याकिर एम.एस. बीजगणित 7, क्रमांक 961, कला 210;

कार्य 3: मर्झल्याक ए.जी., पोलोन्स्की व्ही.बी., याकिर एम.एस. बीजगणित 7, क्रमांक 962, कला 210;

सूचना

प्रतिस्थापन पद्धत एक्सप्रेस एक व्हेरिएबल आणि त्यास दुस-या समीकरणात बदला. आपण आपल्या विवेकबुद्धीनुसार कोणतेही चल व्यक्त करू शकता. उदाहरणार्थ, दुसऱ्या समीकरणातून y व्यक्त करा:
x-y=2 => y=x-2 नंतर प्रत्येक गोष्टीला पहिल्या समीकरणात बदला:
2x+(x-2)=10 “x” शिवाय सर्व काही उजव्या बाजूला हलवा आणि गणना करा:
2x+x=10+2
3x=12 पुढे, x मिळविण्यासाठी, समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने विभाजित करा:
x=4 तर, तुम्हाला “x. शोधा "y. हे करण्यासाठी, ज्या समीकरणातून तुम्ही "y" व्यक्त केले त्यामध्ये "x" ला बदला:
y=x-2=4-2=2
y=2.

एक चेक करा. हे करण्यासाठी, समीकरणांमध्ये परिणामी मूल्ये बदला:
2*4+2=10
4-2=2
अज्ञात बरोबर सापडले आहेत!

समीकरणे जोडण्याचा किंवा वजा करण्याचा मार्ग कोणत्याही व्हेरिएबलपासून लगेच मुक्त व्हा. आमच्या बाबतीत, हे करणे सोपे आहे “y.
“y” मध्ये “+” चिन्ह आहे आणि दुसऱ्यामध्ये “-” आहे, नंतर आपण अतिरिक्त ऑपरेशन करू शकता, म्हणजे. डावी बाजूते डावीकडे जोडा आणि उजवीकडे उजवीकडे जोडा:
2x+y+(x-y)=10+2 रूपांतर:
2x+y+x-y=10+2
३x=१२
x=4कोणत्याही समीकरणामध्ये “x” ची जागा घ्या आणि “y” शोधा:
2*4+y=10
८+y=१०
y=10-8
y=2पहिल्या पद्धतीनुसार तुम्ही पाहू शकता की ते योग्यरित्या सापडले आहेत.

जर स्पष्टपणे परिभाषित व्हेरिएबल्स नसतील, तर समीकरणांचे किंचित रूपांतर करणे आवश्यक आहे.
पहिल्या समीकरणात आपल्याकडे "2x" आहे आणि दुसऱ्या समीकरणात फक्त "x" आहे. बेरीज करताना x कमी होण्यासाठी, दुसरे समीकरण 2 ने गुणा:
x-y=2
2x-2y=4 नंतर पहिल्या समीकरणातून दुसरे वजा करा:
2x+y-(2x-2y)=10-4 लक्षात घ्या की जर कंसाच्या आधी उणे असेल, तर उघडल्यानंतर, ते उलट करा:
2x+y-2x+2y=6
3u = 6
कोणत्याही समीकरणातून व्यक्त करून y=2x शोधा, उदा.
x=4

विषयावरील व्हिडिओ

टीप 2: दोन चलांमध्ये एक रेखीय समीकरण कसे सोडवायचे

समीकरण, सामान्य रूपात ax+bу+c=0 मध्ये लिहिलेले, दोन सह रेखीय समीकरण म्हणतात चल. अशा समीकरणात स्वतःच असंख्य निराकरणे असतात, म्हणून समस्यांमध्ये ते नेहमी एखाद्या गोष्टीसह पूरक असते - दुसरे समीकरण किंवा मर्यादित परिस्थिती. समस्येद्वारे प्रदान केलेल्या परिस्थितीनुसार, दोनसह एक रेषीय समीकरण सोडवा चलपाहिजे वेगळा मार्ग.

तुला गरज पडेल

• - दोन चलांसह रेखीय समीकरण;
• - दुसरे समीकरण किंवा अतिरिक्त अटी.

सूचना

दोन रेखीय समीकरणांची प्रणाली दिल्यास ते खालीलप्रमाणे सोडवा. ज्या समीकरणांमध्ये गुणांक आहेत त्यापैकी एक निवडा चलव्हेरिएबल्सपैकी एक लहान आणि व्यक्त करा, उदाहरणार्थ, x. नंतर दुसऱ्या समीकरणामध्ये y असलेले हे मूल्य बदला. परिणामी समीकरणात फक्त एक व्हेरिएबल y असेल, y सह सर्व भाग डावीकडे हलवा आणि मुक्त भाग उजवीकडे हलवा. x शोधण्यासाठी कोणत्याही मूळ समीकरणामध्ये y शोधा आणि त्याऐवजी बदला.

दोन समीकरणांची प्रणाली सोडवण्याचा आणखी एक मार्ग आहे. एका समीकरणाचा एका संख्येने गुणाकार करा म्हणजे x सारख्या चलांपैकी एकाचा गुणांक दोन्ही समीकरणांमध्ये समान असेल. नंतर इतर समीकरणांपैकी एक वजा करा (जर उजवीकडील बाजू 0 च्या बरोबरीची नसेल, तर त्याच प्रकारे उजवीकडील बाजू वजा करण्याचे लक्षात ठेवा). तुम्हाला दिसेल की x व्हेरिएबल नाहीसे झाले आहे आणि फक्त एक y व्हेरिएबल शिल्लक आहे. परिणामी समीकरण सोडवा आणि y चे आढळलेले मूल्य कोणत्याही मूळ समानतेमध्ये बदला. x शोधा.

दोन रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवण्याचा तिसरा मार्ग म्हणजे ग्राफिकल. एक समन्वय प्रणाली काढा आणि दोन सरळ रेषांचा आलेख काढा ज्यांची समीकरणे तुमच्या प्रणालीमध्ये दिली आहेत. हे करण्यासाठी, समीकरणामध्ये कोणतीही दोन x मूल्ये बदला आणि संबंधित y शोधा - हे रेषेशी संबंधित असलेल्या बिंदूंचे समन्वय असतील. समन्वय अक्षांसह छेदनबिंदू शोधण्याचा सर्वात सोयीस्कर मार्ग म्हणजे x=0 आणि y=0 ही मूल्ये बदलणे. या दोन ओळींच्या छेदनबिंदूचे समन्वय ही कार्ये असतील.

जर समस्या परिस्थितीत फक्त एक रेखीय समीकरण असेल, तर तुम्हाला अतिरिक्त अटी देण्यात आल्या आहेत ज्याद्वारे तुम्ही उपाय शोधू शकता. या अटी शोधण्यासाठी समस्या काळजीपूर्वक वाचा. तर चल x आणि y अंतर, वेग, वजन दर्शवतात - x≥0 आणि y≥0 मर्यादा सेट करण्यास मोकळ्या मनाने. हे शक्य आहे की x किंवा y सफरचंदांची संख्या लपवते इ. - मग मूल्ये फक्त असू शकतात. जर x मुलाचे वय असेल, तर हे स्पष्ट आहे की तो त्याच्या वडिलांपेक्षा मोठा असू शकत नाही, म्हणून समस्येच्या परिस्थितीत हे सूचित करा.

स्रोत:

• एका व्हेरिएबलसह समीकरण कसे सोडवायचे

आपोआप समीकरणतीन सह अज्ञातअनेक उपाय आहेत, म्हणून बहुतेकदा ते आणखी दोन समीकरणे किंवा परिस्थितींनी पूरक असते. प्रारंभिक डेटा काय आहे यावर अवलंबून, निर्णयाचा मार्ग मोठ्या प्रमाणात अवलंबून असेल.

तुला गरज पडेल

• - तीन अज्ञातांसह तीन समीकरणांची प्रणाली.

सूचना

जर तीनपैकी दोन प्रणालींमध्ये तीनपैकी फक्त दोन अज्ञात असतील, तर काही चल इतरांच्या संदर्भात व्यक्त करण्याचा प्रयत्न करा आणि त्यांना बदला समीकरणतीन सह अज्ञात. या प्रकरणात आपले ध्येय ते सामान्य बनवणे आहे समीकरणअज्ञात व्यक्तीसोबत. असे असल्यास, पुढील उपाय अगदी सोपा आहे - सापडलेल्या मूल्याला इतर समीकरणांमध्ये बदला आणि इतर सर्व अज्ञात शोधा.

समीकरणांच्या काही प्रणाली एका समीकरणातून दुसऱ्या समीकरणाने वजा केल्या जाऊ शकतात. एक किंवा व्हेरिएबलचा गुणाकार करणे शक्य आहे का ते पहा जेणेकरून दोन अज्ञात एकाच वेळी रद्द केले जातील. अशी संधी असल्यास, बहुधा त्याचा फायदा घ्या, त्यानंतरचे समाधान कठीण होणार नाही. लक्षात ठेवा की एका संख्येने गुणाकार करताना, आपण डावी बाजू आणि उजवी बाजू दोन्ही गुणाकार करणे आवश्यक आहे. त्याचप्रमाणे, समीकरण वजा करताना, आपण हे लक्षात ठेवले पाहिजे की उजवीकडील बाजू देखील वजा करणे आवश्यक आहे.

मागील पद्धतींनी मदत न केल्यास, तीनसह कोणतीही समीकरणे सोडवण्याची सामान्य पद्धत वापरा अज्ञात. हे करण्यासाठी, समीकरणे a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 या स्वरूपात पुन्हा लिहा. आता x (A) साठी गुणांकांचे मॅट्रिक्स, अज्ञातांचे मॅट्रिक्स (X) आणि फ्री व्हेरिएबल्सचे मॅट्रिक्स (B) तयार करा. कृपया लक्षात घ्या की गुणांकांच्या मॅट्रिक्सचा अज्ञातांच्या मॅट्रिक्सने गुणाकार केल्यास, तुम्हाला मुक्त संज्ञांचे मॅट्रिक्स मिळेल, म्हणजेच A*X=B.

प्रथम शोधून मॅट्रिक्स A ते घात (-1) शोधा, लक्षात घ्या की ते शून्याच्या बरोबरीचे नसावे. यानंतर, परिणामी मॅट्रिक्सला मॅट्रिक्स बी ने गुणाकार करा, परिणामी तुम्हाला इच्छित मॅट्रिक्स X मिळेल, सर्व मूल्ये दर्शवितात.

क्रेमरच्या पद्धतीचा वापर करून तुम्ही तीन समीकरणांच्या प्रणालीचे निराकरण देखील शोधू शकता. हे करण्यासाठी, सिस्टम मॅट्रिक्सशी संबंधित तृतीय-क्रम निर्धारक ∆ शोधा. त्यानंतर संबंधित स्तंभांच्या मूल्यांऐवजी मुक्त संज्ञांची मूल्ये बदलून ∆1, ∆2 आणि ∆3 आणखी तीन निर्धारक शोधा. आता शोधा x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

स्रोत:

• तीन अज्ञात असलेल्या समीकरणांचे निराकरण

समीकरणांची प्रणाली सोडवणे आव्हानात्मक आणि रोमांचक आहे. कसे अधिक जटिल प्रणाली, ते सोडवणे अधिक मनोरंजक आहे. बहुतेकदा हायस्कूल गणितामध्ये दोन अज्ञात समीकरणांची प्रणाली असते, परंतु मध्ये उच्च गणितआणखी व्हेरिएबल्स असू शकतात. प्रणाली अनेक पद्धती वापरून निराकरण केले जाऊ शकते.

सूचना

समीकरणांची प्रणाली सोडवण्याची सर्वात सामान्य पद्धत म्हणजे प्रतिस्थापन. हे करण्यासाठी, तुम्हाला एक व्हेरिएबल दुसऱ्याच्या संदर्भात व्यक्त करणे आणि दुसऱ्यामध्ये बदलणे आवश्यक आहे समीकरणप्रणाली, अशा प्रकारे अग्रगण्य समीकरणएका व्हेरिएबलला. उदाहरणार्थ, खालील समीकरणे दिली आहेत: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

दुस-या अभिव्यक्तीमधून व्हेरिएबल्सपैकी एक व्यक्त करणे सोयीचे आहे, बाकी सर्व काही अभिव्यक्तीच्या उजव्या बाजूला हलवून, गुणांकाचे चिन्ह बदलण्यास विसरू नका: x = 3-y.

कंस उघडा: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 आम्ही परिणामी मूल्य y ला अभिव्यक्तीमध्ये बदलतो: x=3-y;x=3-1;x=2. .

पहिल्या अभिव्यक्तीमध्ये, सर्व संज्ञा 2 आहेत, तुम्ही कंसातील 2 गुणाकाराच्या वितरण गुणधर्मासाठी घेऊ शकता: 2*(2x-y-3)=0. आता अभिव्यक्तीचे दोन्ही भाग या संख्येने कमी केले जाऊ शकतात, आणि नंतर y म्हणून व्यक्त केले जाऊ शकतात, कारण त्यासाठीचे मॉड्यूलस गुणांक एक समान आहे: -y = 3-2x किंवा y = 2x-3.

पहिल्या प्रकरणात जसे, आम्ही या अभिव्यक्तीला दुसऱ्यामध्ये बदलतो समीकरणआणि आम्हाला मिळते: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 परिणामी मूल्य अभिव्यक्तीमध्ये बदला: y=2x -3;y=4-3=1.

आम्ही पाहतो की y साठी गुणांक समान आहे, परंतु चिन्हात भिन्न आहे, म्हणून, जर आपण ही समीकरणे जोडली, तर आपण y पासून पूर्णपणे मुक्त होऊ: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0; x=2 चे मूल्य प्रणालीच्या कोणत्याही दोन समीकरणांमध्ये बदला आणि y=1 मिळवा.

विषयावरील व्हिडिओ

द्विचक्र समीकरणप्रतिनिधित्व करते समीकरणचौथी पदवी, सामान्य फॉर्मजे ax^4 + bx^2 + c = 0 या अभिव्यक्तीद्वारे दर्शविले जाते. त्याचे समाधान अज्ञातांच्या प्रतिस्थापन पद्धतीच्या वापरावर आधारित आहे. या प्रकरणात, x^2 दुसर्या व्हेरिएबलने बदलले आहे. अशा प्रकारे, परिणाम एक सामान्य चौरस आहे समीकरण, ज्याचे निराकरण करणे आवश्यक आहे.

सूचना

द्विघात सोडवा समीकरण, प्रतिस्थापन परिणामी. हे करण्यासाठी, प्रथम सूत्रानुसार मूल्याची गणना करा: D = b^2? 4ac. या प्रकरणात, चल a, b, c हे आपल्या समीकरणाचे गुणांक आहेत.

द्विचक्र समीकरणाची मुळे शोधा. हे करण्यासाठी, मिळालेल्या उपायांचे वर्गमूळ घ्या. जर एक उपाय असेल, तर दोन असतील - वर्गमूळाचे सकारात्मक आणि ऋण मूल्य. जर दोन निराकरणे असतील तर, द्विचक्र समीकरणाला चार मुळे असतील.

विषयावरील व्हिडिओ

रेखीय समीकरणांच्या प्रणाली सोडवण्याच्या शास्त्रीय पद्धतींपैकी एक म्हणजे गॉस पद्धत. यात व्हेरिएबल्सच्या अनुक्रमिक निर्मूलनाचा समावेश होतो, जेव्हा साध्या परिवर्तनांचा वापर करून समीकरणांची प्रणाली चरणबद्ध प्रणालीमध्ये रूपांतरित केली जाते, ज्यामधून शेवटच्यापासून सुरू होणारी सर्व चल क्रमवार आढळतात.

सूचना

प्रथम, समीकरणांची प्रणाली एका फॉर्ममध्ये आणा जिथे सर्व अज्ञात गोष्टी काटेकोरपणे परिभाषित क्रमाने असतील. उदाहरणार्थ, सर्व अज्ञात X प्रत्येक ओळीवर प्रथम दिसतील, सर्व Y's X च्या नंतर येतील, सर्व Z's Y च्या नंतर येतील, इत्यादी. प्रत्येक समीकरणाच्या उजव्या बाजूला अज्ञात नसावे. प्रत्येक अज्ञात समोरील गुणांक तसेच प्रत्येक समीकरणाच्या उजव्या बाजूला असलेले गुणांक मानसिकदृष्ट्या निश्चित करा.

या गणितीय कार्यक्रमाद्वारे तुम्ही दोन रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवू शकता परिवर्तनीय पद्धतप्रतिस्थापन आणि जोडण्याची पद्धत.

प्रोग्राम केवळ समस्येचे उत्तर देत नाही, तर दोन प्रकारे निराकरणाच्या चरणांचे स्पष्टीकरण देऊन तपशीलवार समाधान देखील प्रदान करतो: प्रतिस्थापन पद्धत आणि जोडण्याची पद्धत.

हा कार्यक्रम हायस्कूलच्या विद्यार्थ्यांसाठी उपयुक्त ठरू शकतो माध्यमिक शाळाचाचण्या आणि परीक्षांच्या तयारीसाठी, युनिफाइड स्टेट परीक्षेपूर्वी ज्ञानाची चाचणी करताना, पालकांना गणित आणि बीजगणितातील अनेक समस्यांचे निराकरण नियंत्रित करण्यासाठी. किंवा कदाचित तुमच्यासाठी ट्यूटर घेणे किंवा नवीन पाठ्यपुस्तके खरेदी करणे खूप महाग आहे? किंवा आपण ते शक्य तितक्या लवकर पूर्ण करू इच्छिता? गृहपाठगणितात की बीजगणितात? या प्रकरणात, आपण तपशीलवार उपायांसह आमचे प्रोग्राम देखील वापरू शकता.

अशाप्रकारे, तुम्ही तुमचे स्वतःचे प्रशिक्षण आणि/किंवा तुमच्या लहान भाऊ किंवा बहिणींचे प्रशिक्षण घेऊ शकता, त्याचवेळी समस्या सोडवण्याच्या क्षेत्रात शिक्षणाची पातळी वाढते.

समीकरणे प्रविष्ट करण्याचे नियम

कोणतेही लॅटिन अक्षर व्हेरिएबल म्हणून काम करू शकते.
उदाहरणार्थ: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), इ.

समीकरणे प्रविष्ट करताना तुम्ही कंस वापरू शकता. या प्रकरणात, समीकरणे प्रथम सरलीकृत आहेत. सरलीकरणानंतरची समीकरणे रेखीय असणे आवश्यक आहे, उदा. घटकांच्या क्रमाच्या अचूकतेसह ax+by+c=0 फॉर्मचा.
उदाहरणार्थ: 6x+1 = 5(x+y)+2

समीकरणांमध्ये, आपण केवळ पूर्ण संख्याच नाही तर दशांश आणि सामान्य अपूर्णांकांच्या स्वरूपात अपूर्णांक देखील वापरू शकता.

दशांश अपूर्णांक प्रविष्ट करण्याचे नियम.
दशांश अपूर्णांकांमधील पूर्णांक आणि अपूर्णांक भाग एकतर पूर्णविराम किंवा स्वल्पविरामाने वेगळे केले जाऊ शकतात.
उदाहरणार्थ: 2.1n + 3.5m = 55

सामान्य अपूर्णांक प्रविष्ट करण्याचे नियम.
अपूर्णांकाचा अंश, भाजक आणि पूर्णांक भाग म्हणून केवळ पूर्ण संख्याच कार्य करू शकते.
भाजक ऋणात्मक असू शकत नाही.
प्रवेश करताना संख्यात्मक अपूर्णांकभागाकार चिन्हाद्वारे अंश विभक्त केला जातो: /
संपूर्ण भागअँपरसँडने अंशापासून वेगळे केले: &

उदाहरणे.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

समीकरणांची प्रणाली सोडवा

या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या काही स्क्रिप्ट लोड केल्या गेल्या नसल्याचा शोध लागला आणि प्रोग्राम कार्य करू शकत नाही.
तुम्ही AdBlock सक्षम केले असावे.
या प्रकरणात, ते अक्षम करा आणि पृष्ठ रीफ्रेश करा.

तुमच्या ब्राउझरमध्ये JavaScript अक्षम केले आहे.
समाधान दिसण्यासाठी, तुम्हाला JavaScript सक्षम करणे आवश्यक आहे.
तुमच्या ब्राउझरमध्ये JavaScript कसे सक्षम करावे यावरील सूचना येथे आहेत.

कारण समस्या सोडवण्यासाठी खूप लोक इच्छुक आहेत, तुमची विनंती रांगेत आहे.
काही सेकंदात उपाय खाली दिसेल.
कृपया थांबा सेकंद...

जर तू समाधानामध्ये त्रुटी लक्षात आली, नंतर तुम्ही फीडबॅक फॉर्ममध्ये याबद्दल लिहू शकता.
विसरू नको कोणते कार्य सूचित करातुम्ही ठरवा काय फील्ड मध्ये प्रविष्ट करा.

आमचे खेळ, कोडी, अनुकरणकर्ते:

थोडा सिद्धांत.

रेखीय समीकरणांचे निराकरण करणारी प्रणाली. प्रतिस्थापन पद्धत

प्रतिस्थापन पद्धत वापरून रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवताना क्रियांचा क्रम:
1) प्रणालीच्या काही समीकरणातून एक व्हेरिएबल दुसऱ्याच्या दृष्टीने व्यक्त करा;
2) परिणामी अभिव्यक्तीला या व्हेरिएबलऐवजी सिस्टमच्या दुसऱ्या समीकरणात बदला;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(ॲरे) \right. $$

पहिल्या समीकरणातून x च्या संदर्भात y व्यक्त करू: y = 7-3x. y च्या ऐवजी दुसऱ्या समीकरणामध्ये 7-3x अभिव्यक्ती बदलून, आम्हाला प्रणाली मिळते:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(ॲरे) \right. $$

हे दर्शविणे सोपे आहे की प्रथम आणि द्वितीय प्रणालीमध्ये समान उपाय आहेत. दुसऱ्या सिस्टीममध्ये, दुसऱ्या समीकरणामध्ये फक्त एक व्हेरिएबल आहे. चला हे समीकरण सोडवू:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

x ऐवजी 1 ही संख्या y=7-3x या समानतेमध्ये बदलल्यास, आपल्याला y चे संबंधित मूल्य सापडते:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

जोडी (1;4) - प्रणालीचे समाधान

समान सोल्युशन असलेल्या दोन चलांमधील समीकरणांच्या प्रणाली म्हणतात समतुल्य. ज्या सिस्टीममध्ये उपाय नसतात त्यांना देखील समतुल्य मानले जाते.

बेरीज करून रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवणे

रेखीय समीकरणांच्या प्रणालींचे निराकरण करण्याचा दुसरा मार्ग विचारात घेऊया - जोड पद्धत. या पद्धतीचा वापर करून प्रणाली सोडवताना, तसेच प्रतिस्थापन पद्धती वापरून सोडवताना, आम्ही दिलेल्या सिस्टीममधून दुसऱ्या, समतुल्य प्रणालीकडे जातो, ज्यामध्ये एका समीकरणामध्ये फक्त एक चल असते.

जोड पद्धत वापरून रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवताना क्रियांचा क्रम:
1) सिस्टीम टर्मची समीकरणे टर्मने गुणाकार करा, घटक निवडा जेणेकरून व्हेरिएबल्सपैकी एकाचे गुणांक बनतील विरुद्ध संख्या;
2) टर्मनुसार सिस्टम समीकरण टर्मच्या डाव्या आणि उजव्या बाजू जोडा;
3) परिणामी समीकरण एका व्हेरिएबलसह सोडवा;
4) दुसऱ्या व्हेरिएबलचे संबंधित मूल्य शोधा.

उदाहरण. चला समीकरणांची प्रणाली सोडवू:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(ॲरे) \right. $$

या प्रणालीच्या समीकरणांमध्ये, y चे गुणांक विरुद्ध संख्या आहेत. टर्मनुसार समीकरण पदाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजू जोडून, ​​आम्हाला 3x=33 एक चल असलेले समीकरण मिळते. चला सिस्टीमचे एक समीकरण बदलू, उदाहरणार्थ पहिले एक, 3x=33 या समीकरणाने. चला सिस्टम मिळवूया
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

3x=33 या समीकरणावरून आपल्याला x=11 असे आढळते. या x मूल्याला \(x-3y=38\) समीकरणामध्ये बदलल्यास आपल्याला y: \(11-3y=38\) व्हेरिएबलसह एक समीकरण मिळेल. चला हे समीकरण सोडवू:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

अशा प्रकारे, आम्ही समीकरणांच्या प्रणालीचे समाधान जोडून शोधले: \(x=11; y=-9\) किंवा \((11;-9)\)

सिस्टीमच्या समीकरणांमध्ये y चे गुणांक विरुद्ध संख्या आहेत या वस्तुस्थितीचा फायदा घेऊन, आम्ही त्याचे समाधान समतुल्य प्रणालीच्या सोल्युशनमध्ये कमी केले (मूळ प्रणालीच्या प्रत्येक समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंची बेरीज करून), ज्यामध्ये एक समीकरणांमध्ये फक्त एक व्हेरिएबल आहे.

पुस्तके (पाठ्यपुस्तके) युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशन आणि युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशन चाचण्यांचे गोषवारे ऑनलाइन गेम, कोडे फंक्शन्सचे प्लॉटिंग आलेख रशियन भाषेतील स्पेलिंग डिक्शनरी ऑफ युथ स्लँग रशियन शाळांचा कॅटलॉग रशियाच्या माध्यमिक शैक्षणिक संस्थांचा कॅटलॉग रशियन विद्यापीठांची सूची कार्ये