ऑर्थोडॉक्स चर्च ऑर्थोडॉक्स चर्च काही पूर्णपणे पृथ्वीवर नाही...
§ 1 वास्तविक परिस्थितीत समीकरणाच्या मुळांची निवड
चला या वास्तविक परिस्थितीचा विचार करूया:
मास्टर आणि शिकाऊ यांनी मिळून 400 सानुकूल भाग बनवले. शिवाय, मास्टरने 3 दिवस आणि विद्यार्थ्याने 2 दिवस काम केले. प्रत्येक व्यक्तीने किती भाग केले?
या परिस्थितीचे बीजगणितीय मॉडेल बनवू. मास्टरला 1 दिवसात भाग तयार करू द्या. आणि विद्यार्थी तपशीलात आहे. मग मास्टर 3 दिवसात 3 भाग करेल, आणि विद्यार्थी 2 दिवसात 2 भाग करेल. एकत्रितपणे ते 3 + 2 भाग तयार करतील. कारण, स्थितीनुसार, एकूण 400 भाग तयार केले गेले होते, आम्ही समीकरण प्राप्त करतो:
परिणामी समीकरणाला दोन चलांमधील रेखीय समीकरण म्हणतात. येथे आपल्याला x आणि y संख्यांची जोडी शोधावी लागेल ज्यासाठी समीकरण खऱ्या संख्यात्मक समानतेचे रूप घेईल. लक्षात घ्या की जर x = 90, y = 65, तर आपल्याला समानता मिळेल:
3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400
योग्य संख्यात्मक समानता प्राप्त झाली असल्याने, 90 आणि 65 संख्यांची जोडी या समीकरणाचे निराकरण होईल. पण सापडलेला उपाय हा एकमेव नाही. जर x = 96 आणि y = 56, तर आपल्याला समानता मिळेल:
96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400
ही देखील खरी संख्यात्मक समानता आहे, याचा अर्थ 96 आणि 56 संख्यांची जोडी देखील या समीकरणावर एक उपाय आहे. पण x = 73 आणि y = 23 संख्यांची जोडी या समीकरणाचे निराकरण होणार नाही. खरं तर, 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 आपल्याला चुकीची संख्यात्मक समानता 265 = 400 देईल. हे लक्षात घेतले पाहिजे की जर आपण या वास्तविक परिस्थितीशी संबंधित समीकरणाचा विचार केला तर संख्यांच्या जोड्या असतील, ज्या या समीकरणावर उपाय, समस्येचे निराकरण होणार नाही. उदाहरणार्थ, काही संख्या:
x = 200 आणि y = -100
हे समीकरणाचे निराकरण आहे, परंतु विद्यार्थी -100 भाग करू शकत नाही, आणि म्हणून अशा संख्येची जोडी समस्येच्या प्रश्नाचे उत्तर असू शकत नाही. अशा प्रकारे, प्रत्येक विशिष्ट वास्तविक परिस्थितीत समीकरणाची मुळे निवडण्यासाठी वाजवी दृष्टीकोन घेणे आवश्यक आहे.
चला प्रथम परिणाम सारांशित करूया:
ax + bу + c = 0 फॉर्मचे समीकरण, जेथे a, b, c कोणत्याही संख्या आहेत, त्याला दोन चलांसह एक रेखीय समीकरण म्हणतात.
दोन चलांमधील रेखीय समीकरणाचे समाधान म्हणजे x आणि y शी संबंधित संख्यांची जोडी, ज्यासाठी समीकरण खऱ्या संख्यात्मक समानतेमध्ये बदलते.
§ 2 रेखीय समीकरणाचा आलेख
जोडीचे (x;y) अगदी रेकॉर्डिंग आम्हाला ते समतल xy y सह बिंदू म्हणून चित्रित करण्याच्या शक्यतेबद्दल विचार करण्यास प्रवृत्त करते. याचा अर्थ आपण विशिष्ट परिस्थितीचे भौमितिक मॉडेल मिळवू शकतो. उदाहरणार्थ, समीकरण विचारात घ्या:
2x + y - 4 = 0
चला संख्यांच्या अनेक जोड्या निवडू या जे या समीकरणाचे निराकरण करतील आणि सापडलेल्या निर्देशांकांसह बिंदू तयार करू. हे मुद्दे असू द्या:
A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6).
लक्षात घ्या की सर्व बिंदू एकाच ओळीवर आहेत. या रेषेला दोन चलांमधील रेखीय समीकरणाचा आलेख म्हणतात. हे दिलेल्या समीकरणाचे ग्राफिकल (किंवा भौमितिक) मॉडेल आहे.
जर संख्यांची जोडी (x;y) समीकरणाचे समाधान असेल
ax + vy + c = 0, नंतर बिंदू M(x;y) समीकरणाच्या आलेखाशी संबंधित आहे. आपण याउलट म्हणू शकतो: जर बिंदू M(x;y) हा समीकरण ax + y + c = 0 च्या आलेखाशी संबंधित असेल, तर संख्यांची जोडी (x;y) हे या समीकरणाचे समाधान आहे.
भूमिती अभ्यासक्रमावरून आपल्याला माहित आहे:
सरळ रेषा तयार करण्यासाठी, आपल्याला 2 गुणांची आवश्यकता आहे, म्हणून दोन चलांसह रेखीय समीकरणाचा आलेख प्लॉट करण्यासाठी, फक्त 2 जोड्या समाधाने जाणून घेणे पुरेसे आहे. परंतु मुळांचा अंदाज लावणे ही नेहमीच सोयीस्कर किंवा तर्कशुद्ध प्रक्रिया नसते. आपण दुसर्या नियमानुसार कार्य करू शकता. बिंदूचा abscissa (व्हेरिएबल x) हा एक स्वतंत्र चल असल्यामुळे, तुम्ही त्याला कोणतेही सोयीस्कर मूल्य देऊ शकता. ही संख्या समीकरणात बदलून, आपल्याला y व्हेरिएबलचे मूल्य सापडते.
उदाहरणार्थ, समीकरण देऊ द्या:
x = 0 समजा, तर आपल्याला 0 - y + 1 = 0 किंवा y = 1 मिळेल. याचा अर्थ x = 0 असल्यास, y = 1. संख्यांची जोडी (0;1) हे या समीकरणाचे निराकरण आहे. चला x: x = 2 व्हेरिएबलसाठी दुसरे मूल्य सेट करू. मग आपल्याला 2 - y + 1 = 0 किंवा y = 3 मिळेल. संख्यांची जोडी (2;3) हे देखील या समीकरणाचे समाधान आहे. सापडलेल्या दोन बिंदूंचा वापर करून, x - y + 1 = 0 या समीकरणाचा आलेख तयार करणे आधीच शक्य आहे.
तुम्ही हे करू शकता: प्रथम y व्हेरिएबलला काही विशिष्ट मूल्य नियुक्त करा आणि त्यानंतरच x च्या मूल्याची गणना करा.
§ 3 समीकरणांची प्रणाली
दोन शोधा नैसर्गिक संख्या, ज्याची बेरीज 11 आहे आणि फरक 1 आहे.
या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, आम्ही प्रथम रचना करतो गणितीय मॉडेल(म्हणजे बीजगणितीय). पहिली संख्या x आणि दुसरी संख्या y असू द्या. नंतर संख्यांची बेरीज x + y = 11 आणि संख्यांची फरक x - y = 1. दोन्ही समीकरणे समान संख्यांशी संबंधित असल्याने, या अटी एकाच वेळी पूर्ण केल्या पाहिजेत. सहसा अशा प्रकरणांमध्ये एक विशेष रेकॉर्ड वापरला जातो. समीकरणे एकमेकांच्या खाली एक लिहिली जातात आणि कुरळे ब्रेससह एकत्र केली जातात.
अशा रेकॉर्डला समीकरण प्रणाली म्हणतात.
आता प्रत्येक समीकरणासाठी उपायांचे संच तयार करूया, उदा. प्रत्येक समीकरणाचे आलेख. पहिले समीकरण घेऊ:
जर x = 4, तर y = 7. जर x = 9, तर y = 2.
(४;७) आणि (९;२) बिंदूंमधून सरळ रेषा काढू.
दुसरे समीकरण x - y = 1 घेऊ. जर x = 5, तर y = 4. जर x = 7, तर y = 6. आपण (5;4) आणि (7;6) बिंदूंमधून एक सरळ रेषा देखील काढू. ). आम्हाला समस्येचे भौमितिक मॉडेल मिळाले. आम्हाला स्वारस्य असलेली संख्यांची जोडी (x;y) दोन्ही समीकरणांचे समाधान असणे आवश्यक आहे. आकृतीमध्ये आपल्याला एकच बिंदू दिसतो जो दोन्ही रेषांवर असतो; हा रेषांचा छेदनबिंदू आहे.
त्याचे निर्देशांक (6;5) आहेत. म्हणून, समस्येचे निराकरण होईल: प्रथम आवश्यक संख्या 6 आहे, दुसरी 5 आहे.
वापरलेल्या साहित्याची यादी:
- मॉर्डकोविच ए.जी., बीजगणित 7 वी इयत्ता 2 भागांमध्ये, भाग 1, पाठ्यपुस्तक शैक्षणिक संस्था/ ए.जी. मोर्डकोविच. - 10वी आवृत्ती, सुधारित - मॉस्को, "मेमोसिन", 2007
- मॉर्डकोविच ए.जी., 2 भागांमध्ये बीजगणित 7 वी श्रेणी, भाग 2, शैक्षणिक संस्थांसाठी समस्या पुस्तक / [ए.जी. मोर्डकोविच आणि इतर]; एजी द्वारा संपादित मॉर्डकोविच - 10वी आवृत्ती, सुधारित - मॉस्को, "मेमोसिन", 2007
- तिची. तुलचिन्स्काया, बीजगणित 7 वी इयत्ता. ब्लिट्झ सर्वेक्षण: सामान्य शिक्षण संस्थांच्या विद्यार्थ्यांसाठी एक पुस्तिका, 4थी आवृत्ती, सुधारित आणि विस्तारित, मॉस्को, "मनेमोसिन", 2008
- अलेक्झांड्रोव्हा एलए, बीजगणित 7 वी इयत्ता. मध्ये थीमॅटिक चाचणी कार्य नवीन फॉर्मसामान्य शिक्षण संस्थांच्या विद्यार्थ्यांसाठी, ए.जी. द्वारा संपादित मॉर्डकोविच, मॉस्को, "मेमोसिन", 2011
- अलेक्झांड्रोव्हा एल.ए. बीजगणित 7 वी इयत्ता. स्वतंत्र कामसामान्य शिक्षण संस्थांच्या विद्यार्थ्यांसाठी, ए.जी. द्वारा संपादित मॉर्डकोविच - 6 वी आवृत्ती, स्टिरियोटाइपिकल, मॉस्को, "मेमोसिन", 2010
समानता f(x; y) = 0दोन चलांसह समीकरण दर्शवते. अशा समीकरणाचे समाधान म्हणजे चल मूल्यांची जोडी जी दोन चलांसह समीकरणाला खऱ्या समानतेमध्ये बदलते.
जर आपल्याकडे दोन चलांसह समीकरण असेल, तर, परंपरेनुसार, आपण x ला पहिल्या स्थानावर आणि y दुसऱ्या स्थानावर ठेवले पाहिजे.
x – 3y = 10 या समीकरणाचा विचार करा. जोडी (10; 0), (16; 2), (-2; -4) हे विचाराधीन समीकरणाचे निराकरण आहेत, तर जोडी (1; 5) हे समाधान नाही.
या समीकरणाच्या इतर जोड्या शोधण्यासाठी, एक व्हेरिएबल दुसऱ्याच्या संदर्भात व्यक्त करणे आवश्यक आहे - उदाहरणार्थ, y च्या दृष्टीने x. परिणामी, आम्हाला समीकरण मिळते
x = 10 + 3y. चला x ची मूल्ये y ची अनियंत्रित मूल्ये निवडून काढू.
जर y = 7, तर x = 10 + 3 ∙ 7 = 10 + 21 = 31.
जर y = -2, तर x = 10 + 3 ∙ (-2) = 10 – 6 = 4.
अशा प्रकारे, जोड्या (31; 7), (4; -2) देखील दिलेल्या समीकरणाचे निराकरण आहेत.
जर दोन चल असलेल्या समीकरणांची मुळे समान असतील तर अशा समीकरणांना समतुल्य म्हणतात.
दोन चल असलेल्या समीकरणांसाठी, समीकरणांच्या समतुल्य परिवर्तनावरील प्रमेये वैध आहेत.
दोन चलांसह समीकरणाचा आलेख विचारात घ्या.
दोन चल असलेले समीकरण f(x; y) = 0 दिले आहे, त्याची सर्व सोल्यूशन समतल बिंदूंवरील बिंदूंद्वारे दर्शविली जाऊ शकतात. समतल बिंदूंच्या या संचाला f(x; y) = 0 या समीकरणाचा आलेख म्हणतात.
अशा प्रकारे, y – x 2 = 0 या समीकरणाचा आलेख पॅराबोला y = x 2 आहे; y – x = 0 समीकरणाचा आलेख ही सरळ रेषा आहे; y – 3 = 0 या समीकरणाचा आलेख ही x अक्षाला समांतर असलेली सरळ रेषा आहे.
ax + by = c या फॉर्मचे समीकरण, जेथे x आणि y चल आहेत आणि a, b आणि c संख्या आहेत, त्याला रेखीय म्हणतात; a, b या संख्यांना चलांचे गुणांक म्हणतात, c ही मुक्त संज्ञा आहे.
रेखीय समीकरण ax + by = c चा आलेख आहे:
2x – 3y = -6 हे समीकरण काढू.
1. कारण व्हेरिएबल्सचा कोणताही गुणांक शून्याच्या बरोबरीचा नाही, तर या समीकरणाचा आलेख सरळ रेषा असेल.
2. सरळ रेषा तयार करण्यासाठी, आपल्याला त्यातील किमान दोन बिंदू माहित असणे आवश्यक आहे. समीकरणांमध्ये x मूल्ये बदला आणि y मूल्ये मिळवा आणि त्याउलट:
जर x = 0, तर y = 2; (0 ∙ x – 3y = -6);
जर y = 0, तर x = -3; (2x – 3 ∙ 0 = -6). 
तर, आम्हाला आलेखावर दोन गुण मिळाले: (0; 2) आणि (-3; 0).
3. मिळवलेल्या बिंदूंमधून सरळ रेषा काढू आणि समीकरणाचा आलेख मिळवू
2x – 3y = -6.
जर रेखीय समीकरण ax + by = c चे रूप 0 ∙ x + 0 ∙ y = c असेल, तर आपण दोन प्रकरणांचा विचार केला पाहिजे:
1. c = 0. या प्रकरणात, कोणतीही जोडी (x; y) समीकरणाचे समाधान करते आणि म्हणून समीकरणाचा आलेख संपूर्ण समन्वय समतल आहे;
2. c ≠ 0. या प्रकरणात, समीकरणाला कोणतेही समाधान नाही, याचा अर्थ त्याच्या आलेखामध्ये एकही बिंदू नाही.
blog.site, पूर्ण किंवा अंशतः सामग्री कॉपी करताना, मूळ स्त्रोताची लिंक आवश्यक आहे.
7 व्या इयत्तेच्या गणिताच्या अभ्यासक्रमात, आम्ही प्रथमच भेटतो दोन चलांसह समीकरणे, परंतु त्यांचा अभ्यास केवळ दोन अज्ञात असलेल्या समीकरणांच्या प्रणालींच्या संदर्भात केला जातो. म्हणूनच समस्यांची एक संपूर्ण मालिका ज्यामध्ये समीकरणाच्या गुणांकांवर विशिष्ट अटी सादर केल्या जातात ज्यामुळे त्यांना मर्यादित केले जाते. याव्यतिरिक्त, "नैसर्गिक किंवा पूर्णांक संख्यांमध्ये समीकरण सोडवा" यासारख्या समस्या सोडवण्याच्या पद्धतींकडे दुर्लक्ष केले जाते, जरी युनिफाइड स्टेट परीक्षा साहित्यआणि प्रवेश परीक्षांमध्ये, अशा प्रकारच्या समस्या अधिकाधिक वेळा येतात.
कोणत्या समीकरणाला दोन चल असलेले समीकरण म्हटले जाईल?
तर, उदाहरणार्थ, समीकरण 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, किंवा xy = 12 ही दोन चलांमधील समीकरणे आहेत.
2x – y = 1 या समीकरणाचा विचार करा. ते x = 2 आणि y = 3 असताना खरे ठरते, त्यामुळे चल मूल्यांची ही जोडी प्रश्नातील समीकरणाचे निराकरण आहे.
अशा प्रकारे, दोन व्हेरिएबल्ससह कोणत्याही समीकरणाचे समाधान म्हणजे क्रमबद्ध जोड्यांचा संच (x; y), व्हेरिएबल्सची मूल्ये जी या समीकरणाला खऱ्या संख्यात्मक समानतेमध्ये बदलतात.
दोन अज्ञात असलेले समीकरण हे करू शकते:
अ) एक उपाय आहे.उदाहरणार्थ, समीकरण x 2 + 5y 2 = 0 मध्ये एक अद्वितीय समाधान आहे (0; 0);
ब) अनेक उपाय आहेत.उदाहरणार्थ, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 मध्ये 4 उपाय आहेत: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) कोणतेही उपाय नाहीत.उदाहरणार्थ, x 2 + y 2 + 1 = 0 या समीकरणाला कोणतेही उपाय नाहीत;
जी) अमर्यादपणे अनेक उपाय आहेत.उदाहरणार्थ, x + y = 3. या समीकरणाचे निराकरण अशा संख्या असतील ज्यांची बेरीज 3 असेल. या समीकरणाच्या सोल्यूशन्सचा संच (k; 3 – k) फॉर्ममध्ये लिहिला जाऊ शकतो, जेथे k ही वास्तविक आहे संख्या
दोन व्हेरिएबल्ससह समीकरणे सोडविण्याच्या मुख्य पद्धती म्हणजे गुणांकन अभिव्यक्तींवर आधारित पद्धती, पूर्ण वर्ग वेगळे करणे, द्विघात समीकरणाचे गुणधर्म, मर्यादित अभिव्यक्ती आणि अंदाज पद्धती वापरणे. समीकरण सामान्यत: एका फॉर्ममध्ये बदलले जाते ज्यामधून अज्ञात शोधण्यासाठी एक प्रणाली मिळवता येते.
फॅक्टरीकरण
उदाहरण १.
समीकरण सोडवा: xy – 2 = 2x – y.
उपाय.
फॅक्टरायझेशनच्या उद्देशाने आम्ही अटींचे गट करतो:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. प्रत्येक कंसातून आपण एक सामान्य घटक काढतो:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. आमच्याकडे आहे:
y = 2, x – कोणतीही वास्तविक संख्या किंवा x = -1, y – कोणतीही वास्तविक संख्या.
अशा प्रकारे, उत्तर फॉर्मच्या सर्व जोड्या आहेत (x; 2), x € R आणि (-1; y), y € R.
शून्याची बरोबरी नाही ऋण संख्या
उदाहरण २.
समीकरण सोडवा: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
उपाय.
गटबद्ध करणे:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. आता प्रत्येक कंस वर्ग फरक सूत्र वापरून दुमडला जाऊ शकतो.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
3x – 2 = 0 आणि 2y – 3 = 0 असेल तरच दोन गैर-नकारात्मक अभिव्यक्तींची बेरीज शून्य आहे.
याचा अर्थ x = 2/3 आणि y = 3/2.
उत्तर: (2/3; 3/2).
अंदाज पद्धत
उदाहरण ३.
समीकरण सोडवा: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
उपाय.
प्रत्येक ब्रॅकेटमध्ये आम्ही संपूर्ण चौरस निवडतो:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. चला अंदाज लावूया 
कंसातील अभिव्यक्तींचा अर्थ.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 आणि (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, नंतर समीकरणाची डावी बाजू नेहमी किमान 2 असते. समानता शक्य आहे जर:
(x + 1) 2 + 1 = 1 आणि (y – 2) 2 + 2 = 2, म्हणजे x = -1, y = 2.
उत्तर: (-1; 2).
दोन समीकरणे सोडवण्याची दुसरी पद्धत जाणून घेऊया व्हेरिएबल्स सेकंदअंश या पद्धतीमध्ये समीकरण असे मानले जाते काही व्हेरिएबलच्या संदर्भात चौरस.
उदाहरण ४.
समीकरण सोडवा: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
उपाय.
x साठी चतुर्भुज समीकरण म्हणून समीकरण सोडवू. चला भेदभाव शोधूया:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . समीकरणाला D = 0, म्हणजे y = 4 असल्यासच समाधान मिळेल. आपण मूळ समीकरणात y चे मूल्य बदलतो आणि ते x = 3 शोधतो.
उत्तर: (3; 4).
अनेकदा दोन अज्ञात असलेल्या समीकरणांमध्ये ते सूचित करतात व्हेरिएबल्सवरील निर्बंध.
उदाहरण ५.
समीकरण पूर्ण संख्यांमध्ये सोडवा: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
उपाय.
चला समीकरण x 2 = -5y 2 + 20x + 2 या फॉर्ममध्ये पुन्हा लिहू. 5 ने भागल्यावर परिणामी समीकरणाची उजवी बाजू 2 चा उरलेला भाग देते. म्हणून, x 2 ला 5 ने भाग जात नाही. परंतु a चा वर्ग 5 ने भाग न येणारी संख्या 1 किंवा 4 उरते. अशा प्रकारे, समानता अशक्य आहे आणि कोणतेही उपाय नाहीत.
उत्तर: मुळे नाहीत.
उदाहरण 6.
समीकरण सोडवा: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
उपाय.
चला प्रत्येक ब्रॅकेटमधील पूर्ण चौरस हायलाइट करूया:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. डावी बाजूसमीकरण नेहमी 3 पेक्षा मोठे किंवा समान असते. |x| या स्थितीत समानता शक्य आहे – 2 = 0 आणि y + 3 = 0. अशा प्रकारे, x = ± 2, y = -3.
उत्तर: (2; -3) आणि (-2; -3).
उदाहरण 7.
समीकरणाचे समाधान करणाऱ्या ऋण पूर्णांकांच्या (x;y) प्रत्येक जोडीसाठी
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, बेरीज (x + y) काढा. कृपया तुमच्या उत्तरात सर्वात लहान रक्कम दर्शवा.
उपाय.
चला पूर्ण चौरस निवडा:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x आणि y पूर्णांक असल्याने, त्यांचे वर्गही पूर्णांक आहेत. आपण 1 + 36 जोडल्यास दोन पूर्णांकांच्या वर्गांची बेरीज 37 इतकी मिळते. म्हणून:
(x – y) 2 = 36 आणि (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 आणि (y + 2) 2 = 36.
या प्रणालींचे निराकरण करून आणि x आणि y नकारात्मक आहेत हे लक्षात घेऊन, आम्हाला उपाय सापडतात: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
उत्तर:-17.
तुम्हाला दोन अज्ञात व्यक्तींसह समीकरणे सोडवण्यात अडचण येत असल्यास निराश होऊ नका. थोड्या सरावाने तुम्ही कोणतेही समीकरण हाताळू शकता.
अद्याप प्रश्न आहेत? दोन चलांमधील समीकरणे कशी सोडवायची हे माहित नाही?
शिक्षकाकडून मदत मिळवण्यासाठी, नोंदणी करा.
पहिला धडा विनामूल्य आहे!
वेबसाइट, सामग्रीची पूर्ण किंवा अंशतः कॉपी करताना, मूळ स्त्रोताची लिंक आवश्यक आहे.
पूर्णांकांमध्ये समीकरण सोडवणे हे सर्वात जुने समीकरण आहे गणितीय समस्या. आधीच 2 रा सहस्राब्दी बीसीच्या सुरूवातीस. e बॅबिलोनियन लोकांना अशा समीकरणांची दोन चलने कशी सोडवायची हे माहित होते. गणिताचे हे क्षेत्र २०१५ मध्ये सर्वाधिक भरभराटीला आले प्राचीन ग्रीस. आमच्यासाठी मुख्य स्त्रोत डायओफँटसचे अंकगणित आहे, ज्यामध्ये आहे विविध प्रकारसमीकरणे त्यात, डायओफँटस (त्याच्या नावावरून समीकरणांचे नाव डायओफँटाइन समीकरणे आहे) 2 र्या आणि 3 व्या अंशांच्या समीकरणांचा अभ्यास करण्यासाठी अनेक पद्धतींचा अंदाज लावतो, ज्या केवळ 19 व्या शतकात विकसित झाल्या.
सर्वात सोपी डायओफँटाइन समीकरणे ax + y = 1 (दोन चलांसह समीकरण, प्रथम अंश) x2 + y2 = z2 (तीन चलांसह समीकरण, द्वितीय अंश)
बहुतेक पूर्ण अभ्यास केला बीजगणितीय समीकरणे, त्यांचा निर्णय एक होता सर्वात महत्वाची कामे 16व्या-17व्या शतकातील बीजगणित.
19व्या शतकाच्या सुरूवातीस, पी. फर्मॅट, एल. यूलर, के. गॉस यांच्या कृतींनी फॉर्मचे डायओफँटाइन समीकरण तपासले: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, जेथे a, b, c , d, e, f ही संख्या आहेत; x, y अज्ञात चल.
हे दोन अज्ञातांसह 2रे अंशाचे समीकरण आहे.
के. गॉस यांनी बांधले सामान्य सिद्धांतचतुर्भुज फॉर्म, जे दोन व्हेरिएबल्स (डायोफँटाइन समीकरण) सह विशिष्ट प्रकारची समीकरणे सोडवण्याचा आधार आहे. मोठ्या संख्येने विशिष्ट डायओफॅन्टाइन समीकरणे आहेत जी प्राथमिक पद्धती वापरून सोडवता येतात.
सैद्धांतिक साहित्य.
कामाच्या या भागात, मूलभूत गणितीय संकल्पनांचे वर्णन केले जाईल, संज्ञा परिभाषित केल्या जातील आणि विस्तार प्रमेय अनिश्चित गुणांकांच्या पद्धतीचा वापर करून तयार केला जाईल, ज्याचा अभ्यास केला गेला आणि दोन चलांसह समीकरणे सोडवताना विचार केला गेला.
व्याख्या 1: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 या स्वरूपाचे समीकरण, जेथे a, b, c, d, e, f या संख्या आहेत; x, y अज्ञात चलांना दोन चलांसह द्वितीय अंश समीकरण म्हणतात.
शालेय गणिताच्या अभ्यासक्रमात, ax2+inx+c=0 या द्विघात समीकरणाचा अभ्यास केला जातो, जेथे a, b, c संख्या x व्हेरिएबल, एका व्हेरिएबलसह. हे समीकरण सोडवण्याचे अनेक मार्ग आहेत:
1. भेदभाव वापरून मुळे शोधणे;
2. (D1= नुसार) मध्ये सम गुणांकासाठी मुळे शोधणे;
3. व्हिएटाचे प्रमेय वापरून मुळे शोधणे;
4. द्विपदीचा परिपूर्ण वर्ग वेगळे करून मुळे शोधणे.
समीकरण सोडवणे म्हणजे त्याची सर्व मुळे शोधणे किंवा ते अस्तित्वात नाहीत हे सिद्ध करणे.
व्याख्या 2: समीकरणाचे मूळ ही एक संख्या असते जी समीकरणात बदलल्यावर खरी समानता बनते.
व्याख्या 3: दोन चल असलेल्या समीकरणाच्या समाधानाला संख्यांची जोडी (x, y) असे म्हणतात जेव्हा समीकरणामध्ये बदलले जाते तेव्हा ते खऱ्या समानतेमध्ये बदलते.
समीकरणाचे निराकरण शोधण्याच्या प्रक्रियेमध्ये सहसा समीकरणाच्या जागी समतुल्य समीकरण असते, परंतु ते सोडवणे सोपे असते. अशा समीकरणांना समतुल्य म्हणतात.
व्याख्या 4: जर एका समीकरणाचे प्रत्येक सोल्यूशन दुसऱ्या समीकरणाचे समाधान असेल आणि त्याउलट, आणि दोन्ही समीकरणे एकाच डोमेनमध्ये विचारात घेतली गेली तर दोन समीकरणे समतुल्य आहेत असे म्हटले जाते.
दोन चलांसह समीकरणे सोडवण्यासाठी, समीकरणाच्या विघटनावरील प्रमेय पूर्ण वर्गांच्या बेरीजमध्ये वापरा (अनिश्चित गुणांकांच्या पद्धतीनुसार).
दुसऱ्या क्रमाच्या समीकरणासाठी ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1), विस्तार a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2) होतो
दोन चलांच्या समीकरण (1) साठी विस्तार (2) कोणत्या स्थितीत होतो ते आपण तयार करू या.
प्रमेय: जर गुणांक a,b,c समीकरणे(1) a0 आणि 4ab – c20 अटी पूर्ण करा, नंतर विस्तार (2) एका अनोख्या पद्धतीने निर्धारित केला जातो.
दुसऱ्या शब्दांत, प्रमेयातील अटी पूर्ण झाल्यास अनिश्चित गुणांकांच्या पद्धतीचा वापर करून समीकरण (1) दोन चलांसह (2) तयार केले जाऊ शकते.
अनिश्चित गुणांकांची पद्धत कशी लागू केली जाते याचे उदाहरण पाहू.
पद्धत क्रमांक १. अनिर्धारित गुणांकांची पद्धत वापरून समीकरण सोडवा
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
1. प्रमेयाच्या अटींची पूर्तता तपासू, a=2, b=1, c=2, म्हणजे a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.
2. प्रमेयच्या अटी पूर्ण केल्या जातात; ते सूत्रानुसार विस्तारित केले जाऊ शकतात (2).
3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, प्रमेयाच्या अटींवर आधारित, ओळखीचे दोन्ही भाग समतुल्य आहेत. ओळखीची उजवी बाजू सोपी करूया.
4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =
2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =
2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =
X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).
5. आम्ही समान व्हेरिएबल्ससाठी गुणांक त्यांच्या अंशांसह समतुल्य करतो.
x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h
6. समीकरणांची एक प्रणाली घेऊ, ती सोडवू आणि गुणांकांची मूल्ये शोधू.
7. गुणांक (2) मध्ये बदला, नंतर समीकरण फॉर्म घेईल
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 +0
अशा प्रकारे, मूळ समीकरण समीकरणाच्या समतुल्य आहे
2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 = 0 (3), हे समीकरण दोन प्रणालीच्या समतुल्य आहे रेखीय समीकरणे.
उत्तर: (-1; 1).
तुम्ही विस्ताराच्या प्रकाराकडे लक्ष दिल्यास (3), तुमच्या लक्षात येईल की हे एका व्हेरिएबलसह चतुर्भुज समीकरणातून पूर्ण वर्ग वेगळे करण्यासारखे आहे: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.
दोन चलांसह समीकरण सोडवताना हे तंत्र लागू करू. प्रमेय वापरून आधीच सोडवलेले दोन चल असलेले द्विघात समीकरण पूर्ण वर्गाची निवड वापरून सोडवू.
पद्धत क्रमांक 2: 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 हे समीकरण सोडवा.
उपाय: 1. x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 या दोन पदांची बेरीज म्हणून 2x2 ची कल्पना करू.
2. पूर्ण चौरसाचे सूत्र वापरून संज्ञांचे वर्गीकरण करू या.
(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.
3. कंसातील अभिव्यक्तींमधून पूर्ण चौरस निवडा.
(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.
4. हे समीकरण रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीशी समतुल्य आहे.
उत्तर: (-1;1).
आपण परिणामांची तुलना केल्यास, आपण पाहू शकता की प्रमेय आणि अनिश्चित गुणांकांची पद्धत वापरून पद्धत क्रमांक 1 द्वारे सोडवलेले समीकरण आणि संपूर्ण वर्ग काढण्यासाठी पद्धत क्रमांक 2 द्वारे सोडवलेले समीकरण समान आहेत.
निष्कर्ष: दोन चल असलेले द्विघात समीकरण दोन प्रकारे वर्गांच्या बेरजेमध्ये विस्तारित केले जाऊ शकते:
➢ पहिली पद्धत ही अनिश्चित गुणांकांची पद्धत आहे, जी प्रमेय आणि विस्तारावर आधारित आहे (2).
➢ दुसरा मार्ग म्हणजे आयडेंटिटी ट्रान्स्फॉर्मेशन वापरणे जे तुम्हाला क्रमशः पूर्ण वर्ग निवडण्याची परवानगी देतात.
अर्थात, समस्या सोडवताना, दुसरी पद्धत श्रेयस्कर आहे, कारण त्याला विस्तार (2) आणि अटी लक्षात ठेवण्याची आवश्यकता नाही.
ही पद्धत तीन चलांसह द्विघात समीकरणांसाठी देखील वापरली जाऊ शकते. अशा समीकरणांमध्ये परिपूर्ण चौकोन वेगळे करणे अधिक श्रम-केंद्रित आहे. मी पुढच्या वर्षी या प्रकारचे परिवर्तन करणार आहे.
हे लक्षात घेणे मनोरंजक आहे की फॉर्म असलेल्या फंक्शनला f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f म्हणतात. चतुर्भुज कार्यदोन चल. गणिताच्या विविध शाखांमध्ये चतुर्भुज कार्ये महत्त्वाची भूमिका बजावतात:
गणितीय प्रोग्रामिंगमध्ये (चतुर्भुज प्रोग्रामिंग)
रेखीय बीजगणित आणि भूमिती (चतुर्भुज फॉर्म) मध्ये
विभेदक समीकरणांच्या सिद्धांतामध्ये (द्वितीय क्रमाच्या रेखीय समीकरणाला प्रमाणिक स्वरूपात कमी करणे).
या विविध समस्यांचे निराकरण करताना, एखाद्याला मूलत: द्विघात समीकरण (एक, दोन किंवा अधिक चल) पासून पूर्ण वर्ग वेगळे करण्याची पद्धत लागू करावी लागते.
रेषा ज्यांचे समीकरण वर्णन केले आहे चतुर्भुज समीकरणदोन चलांना द्वितीय-क्रम वक्र म्हणतात.
हे वर्तुळ, लंबवर्तुळ, हायपरबोला आहे.
या वक्रांचे आलेख तयार करताना, संपूर्ण चौरस अनुक्रमे विलग करण्याची पद्धत देखील वापरली जाते.
विशिष्ट उदाहरणे वापरून पूर्ण चौरस निवडण्याची पद्धत क्रमाने कशी कार्य करते ते पाहू.
व्यावहारिक भाग.
संपूर्ण वर्गाला क्रमवार विलग करण्याच्या पद्धतीचा वापर करून समीकरणे सोडवा.
1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;
(x +1)2 + (x + y)2 = 0;
उत्तर:(-1;1).
2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;
(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;
उत्तर:(०.५; - ०.५).
3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;
3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;
3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;
3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;
उत्तर:(-1;1).
समीकरणे सोडवा:
1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0
(फॉर्ममध्ये कमी करा: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)
उत्तर: (-3; -3)
2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0
(फॉर्ममध्ये कमी करा: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)
उत्तर: (-1; 1)
3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0
(फॉर्म कमी करा: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)
उत्तर: (७; -७)
निष्कर्ष.
यामध्ये दि वैज्ञानिक कार्यद्वितीय पदवीच्या दोन चलांसह समीकरणांचा अभ्यास केला गेला आणि त्यांचे निराकरण करण्याच्या पद्धतींचा विचार केला गेला. कार्य पूर्ण झाले आहे, पूर्ण चौरस वेगळे करून समीकरणाच्या जागी समीकरणाच्या समतुल्य प्रणालीवर आधारित, समाधानाची एक छोटी पद्धत तयार केली गेली आहे आणि वर्णन केली गेली आहे, परिणामी दोन चलांसह समीकरणाची मुळे शोधण्याची प्रक्रिया आहे. सरलीकृत केले आहे.
कार्याचा एक महत्त्वाचा मुद्दा असा आहे की विचाराधीन तंत्राचा उपयोग चतुर्भुज फंक्शनशी संबंधित विविध गणिती समस्या सोडवताना, द्वितीय-क्रम वक्र तयार करताना आणि अभिव्यक्तींचे सर्वात मोठे (सर्वात लहान) मूल्य शोधताना केले जाते.
अशा प्रकारे, दोन व्हेरिएबल्ससह द्वितीय क्रमाच्या समीकरणाचे वर्गांच्या बेरजेमध्ये विघटन करण्याच्या तंत्राचा गणितात सर्वाधिक उपयोग होतो.
दोन चलांमधील रेखीय समीकरण हे खालील स्वरूप असलेले कोणतेही समीकरण आहे: a*x + b*y =с.येथे x आणि y दोन चल आहेत, a,b,c काही संख्या आहेत.
खाली काही आहेत रेखीय समीकरणांची उदाहरणे.
1. 10*x + 25*y = 150;
एका अज्ञात असलेल्या समीकरणांप्रमाणे, दोन चलांसह (अज्ञात) रेखीय समीकरणाला देखील एक उपाय आहे. उदाहरणार्थ, रेखीय समीकरण x-y=5, x=8 आणि y=3 सह योग्य ओळख 8-3=5 मध्ये बदलते. या प्रकरणात, x=8 आणि y=3 संख्यांची जोडी x-y=5 या रेखीय समीकरणाचे समाधान आहे असे म्हटले जाते. तुम्ही असेही म्हणू शकता की x=8 आणि y=3 संख्यांची जोडी x-y=5 रेखीय समीकरण पूर्ण करते.
रेखीय समीकरण सोडवणे
अशाप्रकारे, a*x + b*y = c या रेखीय समीकरणाचे समाधान म्हणजे संख्यांची कोणतीही जोडी (x,y) जी या समीकरणाचे समाधान करते, म्हणजेच x आणि y व्हेरिएबल्ससह समीकरण योग्य संख्यात्मक समानतेमध्ये बदलते. येथे x आणि y संख्यांची जोडी कशी लिहिली आहे ते पहा. ही नोंद लहान आणि अधिक सोयीची आहे. तुम्हाला फक्त हे लक्षात ठेवण्याची गरज आहे की अशा रेकॉर्डमधील पहिले स्थान हे व्हेरिएबल x चे मूल्य आहे आणि दुसरे व्हेरिएबल y चे मूल्य आहे.
कृपया लक्षात घ्या की x=11 आणि y=8, x=205 आणि y=200 x= 4.5 आणि y= -0.5 हे रेखीय समीकरण x-y=5 देखील पूर्ण करतात आणि म्हणून या रेखीय समीकरणाचे निराकरण करतात.
दोन अज्ञातांसह एक रेखीय समीकरण सोडवणे एकमेव नाही.दोन अज्ञातांमधील प्रत्येक रेखीय समीकरणामध्ये अनेक भिन्न निराकरणे आहेत. आहे, आहे असीम अनेक भिन्नदोन संख्या x आणि y जे एका रेखीय समीकरणाला खऱ्या ओळखीत रूपांतरित करतात.
जर दोन चलांसह अनेक समीकरणांची समान समाधाने असतील तर अशा समीकरणांना समतुल्य समीकरणे म्हणतात. हे लक्षात घेतले पाहिजे की जर दोन अज्ञात असलेल्या समीकरणांमध्ये उपाय नसतील तर ते देखील समतुल्य मानले जातात.
दोन अज्ञात असलेल्या रेखीय समीकरणांचे मूलभूत गुणधर्म
1. समीकरणातील कोणतीही संज्ञा एका भागातून दुसऱ्या भागामध्ये हस्तांतरित केली जाऊ शकते, परंतु त्याचे चिन्ह विरुद्ध भागामध्ये बदलणे आवश्यक आहे. परिणामी समीकरण मूळ समतुल्य असेल.
2. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना शून्य नसलेल्या कोणत्याही संख्येने भागले जाऊ शकते. परिणामी, आम्हाला मूळ समतुल्य समीकरण मिळते.
