गणितीय प्रेरण उदाहरणांच्या पद्धतीद्वारे पुरावा. नैसर्गिक संख्यांच्या विभाज्यतेवरील समस्या सोडवण्यासाठी गणितीय प्रेरण पद्धतीचा वापर

या परिच्छेदात ज्या पुराव्याची चर्चा केली जाईल ती नैसर्गिक मालिकेच्या स्वयंसिद्धांपैकी एकावर आधारित आहे.

प्रेरणाचे स्वयंसिद्ध. व्हेरिएबलवर अवलंबून असलेले वाक्य दिले जाऊ द्या पी,त्याऐवजी तुम्ही कोणतीही नैसर्गिक संख्या बदलू शकता. चला ते सूचित करूया A(p).ऑफर देखील द्या एक्रमांक 1 साठी खरे आहे आणि त्यापासून एसंख्येसाठी खरे ला, त्याचे अनुसरण करते एसंख्येसाठी खरे k+ 1. नंतर ऑफर करा एसर्व नैसर्गिक मूल्यांसाठी सत्य पी.

स्वयंसिद्ध चे प्रतिकात्मक नोटेशन:

येथे शिखर-सेटनुसार चल नैसर्गिक संख्या. इंडक्शनच्या स्वयंसिद्धतेवरून आम्हाला खालील निष्कर्षांचे नियम प्राप्त होतात:

तर, वाक्याची सत्यता सिद्ध करण्यासाठी अ,तुम्ही प्रथम दोन विधाने सिद्ध करू शकता: विधानाचे सत्य अ( 1), तसेच एक परिणाम A(k) => A(k+ 1).

वरील गोष्टी लक्षात घेऊन, साराचे वर्णन करूया पद्धत

गणितीय प्रेरण.

तो प्रस्ताव सिद्ध करणे आवश्यक असू द्या A(n)सर्व नैसर्गिकांसाठी खरे पी.पुरावा दोन टप्प्यात विभागलेला आहे.

• पहिला टप्पा. इंडक्शन बेस.आम्ही मूल्य म्हणून घेतो पीसंख्या 1 आहे आणि ते तपासा अ( 1) एक सत्य विधान आहे.
• 2रा टप्पा. आगमनात्मक संक्रमण.आम्ही ते कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी सिद्ध करतो लातात्पर्य सत्य आहे: जर अ(के), ते A(k+ 1).

आगमनात्मक संक्रमण या शब्दांनी सुरू होते: “एक अनियंत्रित नैसर्गिक संख्या घ्या ते,असे की A(k)",किंवा “नैसर्गिक संख्येसाठी द्या लाबरोबर A(k).”“चल” या शब्दाऐवजी ते सहसा “समजा की...” म्हणतात.

या शब्दांनंतर पत्र लाएक निश्चित वस्तू दर्शवते ज्यासाठी संबंध धारण करतो A(k).पासून पुढे A(k)आम्ही परिणाम काढतो, म्हणजेच आम्ही वाक्यांची साखळी तयार करतो A(k) 9 R, पाई, ..., P„ = A(k+ 1), जेथे प्रत्येक वाक्य आर,सत्य विधान किंवा मागील वाक्यांचा परिणाम आहे. शेवटचे वाक्य आर"जुळणे आवश्यक आहे A(k+ 1). यावरून आम्ही निष्कर्ष काढतो: पासून A(k)पाहिजे A(k+).

प्रेरक संक्रमण करणे दोन क्रियांमध्ये विभागले जाऊ शकते:

• 1) प्रेरक गृहीतक. येथे आपण असे गृहीत धरतो ए लाचल n
• २) गृहीतकाच्या आधारे, आम्ही ते सिद्ध करतो एक्रमांकासाठी खरे?+1.

उदाहरण 5.5.1.आकडा सिद्ध करू p+pसर्व नैसर्गिक संख्यांसाठी सम आहे पी.

येथे A(n) = "p 2 + p- सम संख्या". ते सिद्ध करणे आवश्यक आहे अ -एकसारखे खरे predicate. चला गणितीय इंडक्शनची पद्धत लागू करूया.

इंडक्शन बेस. l=1 घेऊ. चला अभिव्यक्तीमध्ये बदलूया पी+//, आम्हाला मिळते n 2 +n= I 2 + 1 = 2 ही सम संख्या आहे, म्हणजेच /1(1) हे सत्य विधान आहे.

चला सूत्रबद्ध करू प्रेरक गृहितक A(k)= "संख्या k 2 + k -अगदी." तुम्ही असे म्हणू शकता: “एक अनियंत्रित नैसर्गिक संख्या घ्या लाअसे की k 2 + kएक सम संख्या आहे."

येथून विधान काढूया A(kA-)= "संख्या (k+ 1) 2 +(?+1) - अगदी."

चला ऑपरेशन्सच्या गुणधर्मांवर आधारित परिवर्तन करू:

परिणामी बेरजेची पहिली संज्ञा गृहीत धरून सम आहे, दुसरी व्याख्येनुसार सम आहे (कारण त्याचे फॉर्म 2 आहे. पी).याचा अर्थ बेरीज ही सम संख्या आहे. ऑफर A(k+ 1) सिद्ध.

गणितीय प्रेरण पद्धतीचा वापर करून, आम्ही निष्कर्ष काढतो: प्रस्ताव A(n)सर्व नैसर्गिकांसाठी खरे पी.

अर्थात, प्रत्येक वेळी पदनाम टाकण्याची गरज नाही A(p).तथापि, तरीही शिफारस केली जाते वेगळ्या ओळीवरएक प्रेरक गृहीतक तयार करा आणि त्यातून काय काढले जाणे आवश्यक आहे.

लक्षात घ्या की उदाहरण 5.5.1 मधील विधान गणितीय इंडक्शनची पद्धत न वापरता सिद्ध केले जाऊ शकते. हे करण्यासाठी, दोन प्रकरणांचा विचार करणे पुरेसे आहे: जेव्हा पीअगदी आणि कधी पीविषम

गणितीय इंडक्शन पद्धतीचा वापर करून अनेक विभाज्य समस्या सोडवल्या जातात. चला अधिक जटिल उदाहरण पाहू.

उदाहरण 5.5.2. 15 2i_| ही संख्या सिद्ध करू सर्व नैसर्गिकांसाठी +1 हा 8 ने भागता येतो पी.

बाचा इंडक्शन.चला /1=1 घेऊ. आमच्याकडे आहे: संख्या 15 2|_| +1 = 15+1 = 16 भागिले 8 संख्या.

ते काहींसाठी

नैसर्गिक संख्या ला 15 2 * +1 ही संख्या 8 ने निःशेष आहे.

चला सिद्ध करूयामग संख्या काय आहे ए= 15 2(VN +1 भागाकार 8.

संख्या रूपांतरित करू अ:

गृहीतकेनुसार, 15 2A1 +1 ही संख्या 8 ने निःशेष आहे, याचा अर्थ संपूर्ण पहिली संज्ञा 8 ने निःशेष आहे. दुसरी संज्ञा 224 = 8-28 देखील 8 ने निःशेष आहे. अशा प्रकारे, संख्या ए 8 च्या गुणाकार असलेल्या दोन संख्यांमधील फरक 8 ने कसा भागतो. आगमनात्मक संक्रमण न्याय्य आहे.

गणितीय इंडक्शनच्या पद्धतीवर आधारित, आम्ही असा निष्कर्ष काढतो की सर्व नैसर्गिकांसाठी पी 15 2 "-1 -*-1 ही संख्या 8 ने निःशेष आहे.

सोडवलेल्या समस्येवर काही टिप्पण्या करूया.

सिद्ध विधान थोडे वेगळ्या पद्धतीने तयार केले जाऊ शकते: "15"+1 हा अंक कोणत्याही विषम नैसर्गिक / आणि साठी 8 ने भाग जातो.

दुसरे म्हणजे, सिद्ध झालेल्या सामान्य विधानावरून एखादा विशिष्ट निष्कर्ष काढू शकतो, ज्याचा पुरावा एक स्वतंत्र समस्या म्हणून दिला जाऊ शकतो: संख्या 15 2015 +1 हा 8 ने भाग जातो. म्हणून, काहीवेळा एखाद्याला सूचित करून समस्येचे सामान्यीकरण करणे उपयुक्त ठरते. अक्षरासह विशिष्ट मूल्य, आणि नंतर पद्धत गणितीय इंडक्शन लागू करा.

त्याच्या सर्वात सामान्य अर्थाने, "इंडक्शन" या शब्दाचा अर्थ असा होतो की विशिष्ट उदाहरणांवर आधारित सामान्य निष्कर्ष काढले जातात. उदाहरणार्थ, 2+4=6, 2+8=10, 4+6=10, 8+12=20, 16+22=38 सम संख्यांच्या बेरजेची काही उदाहरणे विचारात घेतल्यावर आपण असा निष्कर्ष काढतो की कोणत्याही दोनची बेरीज सम संख्या म्हणजे सम संख्या.

सर्वसाधारणपणे, अशा प्रेरणामुळे चुकीचे निष्कर्ष निघू शकतात. अशा चुकीच्या तर्काचे उदाहरण देऊ.

उदाहरण 5.5.3. संख्या विचारात घ्या ए= /g+i+41 नैसर्गिक /? साठी.

चला मूल्ये शोधूया एकाही मूल्यांसाठी पी.

द्या n =मग मी a = 43 ही मूळ संख्या आहे.

चला /7=2. मग ए= 4+2+41 = 47 - अविभाज्य.

l = 3 द्या. मग ए= 9+3+41 = 53 - अविभाज्य.

चला /7=4. मग ए= 16+4+41 = 61 - अविभाज्य.

मूल्ये म्हणून घ्या पी 5, 6, 7 सारख्या चार नंतरच्या संख्या, आणि संख्या असल्याची खात्री करा एसोपे असेल.

आम्ही निष्कर्ष काढतो: “सर्व नैसर्गिक /? संख्या एसाधे असेल."

परिणामी खोटे विधान झाले. चला एक प्रति उदाहरण देऊ: /7=41. यासाठी याची खात्री करा पीसंख्या एसंमिश्र असेल.

"गणितीय प्रेरण" या शब्दाचा संकुचित अर्थ आहे, कारण या पद्धतीचा वापर केल्याने एखाद्याला योग्य निष्कर्ष काढता येतो.

उदाहरण 5.5.4. प्रेरक तर्काच्या आधारे, आम्ही सामान्य पदासाठी सूत्र प्राप्त करतो अंकगणित प्रगती. आपण लक्षात ठेवूया की अंकगणित व्यवसाय हा एक संख्यात्मक क्रम आहे, ज्याचा प्रत्येक सदस्य मागील एकापेक्षा समान संख्येने भिन्न असतो, ज्याला प्रगती फरक म्हणतात. अंकगणिताचा व्यवसाय अनन्यपणे निर्दिष्ट करण्यासाठी, तुम्हाला त्याचा पहिला सदस्य सूचित करणे आवश्यक आहे एआणि फरक d

तर, व्याख्येनुसार a n+ = a n + d,येथे n> 1.

शालेय गणिताच्या अभ्यासक्रमात, नियमानुसार, अंकगणित व्यवसायाच्या सामान्य टर्मचे सूत्र विशिष्ट उदाहरणांच्या आधारावर स्थापित केले जाते, म्हणजे, प्रेरणाद्वारे.

जर /7=1, नंतर सह७| = I|, तो I| = tf|+df(l -1).

जर /7=2, तर मी 2 आहे = a+d,ते आहे ए= I|+*/(2-1).

जर /7=3, तर i 3 = i 2 + = (a+d)+d = a+2d,म्हणजे, I 3 = I|+(3-1).

जर /7=4, तर i 4 = i 3 +*/ = ( a+2d)+d= R1+3, इ.

दिलेली विशिष्ट उदाहरणे आम्हाला एक गृहितक मांडण्याची परवानगी देतात: सामान्य शब्दाच्या सूत्राचे स्वरूप आहे अ" = a+(n-)dप्रत्येकासाठी 1.

हे सूत्र गणितीय प्रेरणाने सिद्ध करूया.

इंडक्शन बेसमागील चर्चेत सत्यापित.

द्या ते -असा नंबर ज्यावर मी* - a+(k-)d (प्रेरणात्मक गृहीतक).

चला सिद्ध करूया, की मी*+! = a+((k+)-)d,म्हणजे, I*+1 = a x + kd.

व्याख्येनुसार I*+1 = ab+d a ते= मी | +(k-1 )d, म्हणजे, ac+= i i +(A:-1)^/+c/ = i | +(A-1+1 )d= मी +kd, जे सिद्ध करणे आवश्यक होते (प्रेरणात्मक संक्रमणाचे औचित्य सिद्ध करण्यासाठी).

आता सूत्र i „ = a+(n-)dकोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी /; सिद्ध.

काही क्रम i ь i 2, i, „... (नाही

अपरिहार्यपणे अंकगणित किंवा भूमितीय प्रगती). प्रथम सारांशित करणे आवश्यक असते तेथे अनेकदा समस्या उद्भवतात पीया क्रमाचे सदस्य, म्हणजे, बेरीज R|+I 2 +...I आणि एक सूत्र निर्दिष्ट करा जे तुम्हाला अनुक्रमाच्या अटींची गणना न करता या बेरीजची मूल्ये शोधण्याची परवानगी देतात.

उदाहरण 5.5.5. पहिल्याची बेरीज सिद्ध करू पीनैसर्गिक संख्या समान आहे

/?(/7 + 1)

बेरीज 1+2+.../7 द्वारे दर्शवू एस एन.चला मूल्ये शोधूया एस एनकाहींसाठी /7.

टीप: बेरीज S 4 शोधण्यासाठी, तुम्ही 5 4 = 5 3 +4 पासून, पूर्वी मोजलेले मूल्य 5 3 वापरू शकता.

p(p +1)

जर आपण मानली गेलेली मूल्ये बदलली तर /? मुदतीत --- नंतर

आपल्याला अनुक्रमे 1, 3, 6, 10 समान बेरीज मिळतात. ही निरीक्षणे

. _ p(p + 1)

सूत्र सुचवा एस„=--- तेव्हा वापरता येईल

कोणतीही //. गणितीय प्रेरण पद्धती वापरून ही गृहितक सिद्ध करूया.

इंडक्शन बेससत्यापित. चला करूया आगमनात्मक संक्रमण.

समजाहे सूत्र काही नैसर्गिक संख्येसाठी खरे आहे

, k(k + 1)

k, नंतर नेटवर्क पहिल्याची बेरीज आहे लानैसर्गिक संख्या ---- च्या समान आहेत.

चला सिद्ध करूयाकी पहिल्या (?+1) नैसर्गिक संख्यांची बेरीज समान आहे

• (* + !)(* + 2)

चला व्यक्त करूया?*+1 द्वारे एस के.हे करण्यासाठी, बेरीज S*+i मध्ये आम्ही प्रथम गट करतो लाअटी आणि शेवटची संज्ञा स्वतंत्रपणे लिहा:

आगमनात्मक परिकल्पना करून S k =तर शोधण्यासाठी

पहिल्या (?+1) नैसर्गिक संख्यांची बेरीज आधीच मोजलेल्या संख्यांसाठी पुरेशी आहे

. „ k(k + 1) _ .. ..

पहिल्याची बेरीज ला--- च्या समान संख्या, एक पद जोडा (k+1).

प्रेरक संक्रमण न्याय्य आहे. अशा प्रकारे, सुरुवातीला मांडलेली गृहितक सिद्ध होते.

आम्ही सूत्राचा पुरावा दिला आहे S n = n^n+ पद्धत

गणितीय प्रेरण. अर्थात, इतर पुरावे आहेत. उदाहरणार्थ, तुम्ही रक्कम लिहू शकता एस,पदांच्या चढत्या क्रमाने, आणि नंतर पदांच्या उतरत्या क्रमाने:

एका स्तंभातील संज्ञांची बेरीज स्थिर असते (एका बेरजेमध्ये, प्रत्येक पुढील संज्ञा 1 ने कमी होते आणि दुसऱ्यामध्ये 1 ने वाढते) आणि (/r + 1) बरोबर असते. म्हणून, परिणामी बेरीज जोडल्यास, आपल्याकडे असेल पी(u+1) च्या समान अटी. त्यामुळे दुप्पट रक्कम S„च्या समान n(n+ 1).

सिद्ध सूत्र पहिल्याच्या बेरजेसाठी सूत्राचे विशेष प्रकरण म्हणून प्राप्त केले जाऊ शकते पीअंकगणित प्रगतीच्या अटी.

चला गणितीय इंडक्शनच्या पद्धतीकडे परत जाऊया. लक्षात घ्या की गणितीय इंडक्शनच्या पद्धतीचा पहिला टप्पा (प्रेरणाचा आधार) नेहमी आवश्यक असतो. ही पायरी चुकवल्यास चुकीचा निष्कर्ष निघू शकतो.

उदाहरण 5.5.6. चला वाक्य "सिद्ध" करूया: "संख्या 7"+1 कोणत्याही नैसर्गिक संख्या i साठी 3 ने निःशेष भाग जातो.

“समजा ते काही नैसर्गिक मूल्यासाठी लासंख्या 7*+1 हा 3 ने भाग जातो. 7 x +1 ही संख्या 3 ने निःभाज्य आहे हे सिद्ध करूया. परिवर्तने करा:

संख्या 6 हा स्पष्टपणे 3 ने भाग जातो. संख्या 1 ते +इंडक्टिव्ह हायपोथिसिस द्वारे 3 ने भाग जातो, याचा अर्थ असा की 7-(7* + 1) ही संख्या देखील 3 ने भाग जाते. म्हणून, 3 ने भाग जाणाऱ्या संख्यांचा फरक देखील 3 ने भाग जाईल.

प्रस्ताव सिद्ध झाला आहे.”

प्रेरक झेप योग्यरीत्या केली असली तरीही मूळ प्रस्तावाचा पुरावा चुकीचा आहे. खरंच, जेव्हा n =मी आम्ही क्रमांक 8, सह n=2 -संख्या 50, ... आहे आणि यापैकी कोणतीही संख्या 3 ने भाग जात नाही.

प्रेरक संक्रमण करताना नैसर्गिक संख्येच्या नोटेशनबद्दल एक महत्त्वाची नोंद घेऊ. प्रस्ताव तयार करताना A(n)पत्र पीआम्ही व्हेरिएबल दर्शवितो, त्याऐवजी कोणत्याही नैसर्गिक संख्या बदलल्या जाऊ शकतात. प्रेरक गृहीतक तयार करताना, आम्ही व्हेरिएबलचे मूल्य अक्षराद्वारे सूचित केले ला.तथापि, खूप वेळा त्याऐवजी नवीन पत्र लाव्हेरिएबल सारखेच अक्षर वापरा. प्रेरक संक्रमण करताना याचा कोणत्याही प्रकारे तर्काच्या रचनेवर परिणाम होत नाही.

गणितीय इंडक्शनच्या पद्धतीचा वापर करून सोडवता येणाऱ्या समस्यांची आणखी काही उदाहरणे पाहू.

उदाहरण 5.5.7. बेरीजचे मूल्य शोधू

कार्यामध्ये परिवर्तनशील पीदिसत नाही. तथापि, अटींचा क्रम विचारात घ्या:

चला सूचित करूया S, = a+a 2 +...a„.आम्ही शोधू एस" काहींसाठी पी.जर /1= 1, तर S, =а, =-.

तर n = 2. नंतर S, = अ, + ए? = - + - = - = -.

जर /?=3, तर S-, = a,+a 7+ i, = - + - + - = - + - = - = -.

3 1 - 3 2 6 12 3 12 12 4

आपण स्वतः मूल्यांची गणना करू शकता S„/7 = 4 वर; 5. उद्भवते

नैसर्गिक गृहीतक: एस एन= -- कोणत्याही नैसर्गिक /7 साठी. चला सिद्ध करूया

ही गणितीय इंडक्शनची पद्धत आहे.

इंडक्शन बेसवर तपासले.

चला करूया प्रेरक जंक्शन, अनियंत्रितपणे घेतलेला सूचित करणे

चल मूल्य पीत्याच अक्षराने, म्हणजेच आपण समानतेतून ते सिद्ध करू

0 /7 _ /7 +1

एस एन= - समानता खालील एस, =-.

/7+1 /7 + 2

समजासमानता खरी आहे एस=- पु -.

चला सारांश द्या S„+पहिला पीअटी:

प्रेरक गृहीतके लागू करून, आम्हाला मिळते:

(/7+1) अपूर्णांक कमी करून, आपल्याकडे समानता आहे एस n +1 - , एल

प्रेरक संक्रमण न्याय्य आहे.

यावरून पहिल्याची बेरीज सिद्ध होते पीअटी

• 1 1 1 /7 ^
• - +-+...- समान आहे -. आता मूळकडे वळू
• 1-2 2-3 /?(// +1) /7 + 1

कार्य त्याचे निराकरण करण्यासाठी, मूल्य म्हणून घेणे पुरेसे आहे पीक्रमांक ९९.

मग बेरीज -!- + -!- + -!- + ...--- ही संख्या ०.९९ च्या बरोबरीची असेल.

1-2 2-3 3-4 99100

ही रक्कम दुसऱ्या मार्गाने मोजण्याचा प्रयत्न करा.

उदाहरण 5.5.8. आपण हे सिद्ध करूया की भिन्न कार्यांच्या कोणत्याही मर्यादित संख्येच्या बेरीजची व्युत्पत्ती या फंक्शन्सच्या व्युत्पन्नांच्या बेरजेइतकी असते.

चल द्या /? या फंक्शन्सची संख्या दर्शवते. ज्या बाबतीत फक्त एक फंक्शन दिले जाते, बेरीज हे फंक्शन तंतोतंत समजले जाते. म्हणून, जर /7=1, तर विधान स्पष्टपणे सत्य आहे: /" = /".

समजा, विधानाच्या संचासाठी सत्य आहे पीफंक्शन्स (येथे पुन्हा अक्षराऐवजी लापत्र घेतले पी),म्हणजे, बेरीजचे व्युत्पन्न पीफंक्शन्स डेरिव्हेटिव्हच्या बेरजेइतके असतात.

चला सिद्ध करूयाफंक्शन्सच्या बेरीज (i+1) चे व्युत्पन्न डेरिव्हेटिव्हच्या बेरजेइतके आहे. यांचा समावेश असलेला एक अनियंत्रित संच घेऊ n+भिन्न कार्य: /1,/2, . या फंक्शन्सच्या बेरीजची कल्पना करूया

म्हणून g+f„+ 1, कुठे g=f +/g + ... +/ t -बेरीज पीकार्ये प्रेरक गृहीतके द्वारे, कार्याचे व्युत्पन्न gडेरिव्हेटिव्हच्या बेरजेइतके: g" = फूट + फूट + ... +फूटम्हणून, समानतेची खालील साखळी आहे:

आगमनात्मक संक्रमण पूर्ण झाले आहे.

अशा प्रकारे, कोणत्याही मर्यादित संख्येच्या फंक्शन्ससाठी मूळ प्रस्ताव सिद्ध होतो.

काही प्रकरणांमध्ये वाक्याची सत्यता सिद्ध करणे आवश्यक आहे A(n)सर्व नैसर्गिक स्वत: साठी, काही मूल्य पासून सुरू सह.अशा प्रकरणांमध्ये गणितीय इंडक्शनद्वारे पुरावा खालील योजनेनुसार चालविला जातो.

इंडक्शन बेस.आम्ही सिद्ध करतो की प्रस्ताव एमूल्यासाठी खरे पी,समान सह.

आगमनात्मक संक्रमण. 1) आम्ही असे गृहीत धरतो की ऑफर एकाही मूल्यासाठी खरे लाव्हेरिएबल /?, जे पेक्षा मोठे किंवा समान आहे सह.

2) आम्ही सिद्ध करतो की प्रस्ताव एसाठी खरे आहे/?

पत्राऐवजी पुन्हा लक्षात घ्या लाव्हेरिएबल पदनाम अनेकदा सोडले जाते पी.या प्रकरणात, प्रेरक संक्रमण या शब्दांनी सुरू होते: “समजा काही मूल्यासाठी p>sबरोबर A(p).मग ते खरे आहे हे सिद्ध करूया A(n+१)"

उदाहरण 5.5.9. चला ते सर्व नैसर्गिक सिद्ध करूया n> 5 असमानता 2” > आणि 2 सत्य आहे.

इंडक्शन बेस.द्या n =५. नंतर २ ५ = ३२, ५ २ = २५. असमानता 32>25 सत्य आहे.

आगमनात्मक संक्रमण. समजाअसमानता 2 धारण करते P > p 2काही नैसर्गिक संख्येसाठी n> 5. चला सिद्ध करूया, जे नंतर 2" +| > (n+1) 2 .

अंश 2” +| च्या गुणधर्मांनुसार = 2-2." पासून 2">I 2 (प्रेरणात्मक गृहीतकेनुसार), नंतर 2-2">2I 2 (I).

चला सिद्ध करूया की २ n 2(i+1) 2 पेक्षा मोठे. ते करता येते वेगळा मार्ग. चतुर्भुज असमानता सोडवण्यासाठी ते पुरेसे आहे २x २ >(x+) २वास्तविक संख्यांच्या संचामध्ये आणि पहा की 5 पेक्षा मोठ्या किंवा समान सर्व नैसर्गिक संख्या त्याचे निराकरण आहेत.

आम्ही खालीलप्रमाणे पुढे जाऊ. संख्या 2 चा फरक शोधू n 2आणि (i+1) 2:

पासून > 5, नंतर i+1 > 6, म्हणजे (i+1) 2 > 36. म्हणून, फरक 0 पेक्षा जास्त आहे. म्हणून, 2i 2 > (i+1) 2 (2).

(I) आणि (2) मधील असमानतेच्या गुणधर्मांनुसार, ते 2*2" > (i+1) 2 चे अनुसरण करते, जे प्रेरक संक्रमणाचे समर्थन करण्यासाठी सिद्ध करणे आवश्यक होते.

गणितीय इंडक्शनच्या पद्धतीवर आधारित, आम्ही असा निष्कर्ष काढतो की असमानता 2" > i 2 कोणत्याही नैसर्गिक संख्यांसाठी सत्य आहे i.

चला गणितीय प्रेरण पद्धतीचा आणखी एक प्रकार विचारात घेऊ. फरक प्रेरक संक्रमणामध्ये आहे. ते अंमलात आणण्यासाठी, आपल्याला दोन चरण पूर्ण करणे आवश्यक आहे:

• 1) प्रस्ताव गृहीत धरा A(n) i ठराविक संख्येपेक्षा कमी व्हेरिएबलच्या सर्व मूल्यांसाठी सत्य आर;
• 2) पुढे मांडलेल्या गृहीतकावरून, प्रस्तावाचा निष्कर्ष काढा A(n)संख्यांसाठी देखील खरे आर.

अशा प्रकारे, प्रेरक संक्रमणास परिणामाचा पुरावा आवश्यक आहे: [(Ui?) A(p)] => A(p).लक्षात घ्या की परिणाम पुढीलप्रमाणे पुन्हा लिहिला जाऊ शकतो: [(अप^p) A(p)] => A(p+ 1).

एक प्रस्ताव सिद्ध करताना गणितीय प्रेरण पद्धतीच्या मूळ फॉर्म्युलेशनमध्ये A(p)आम्ही फक्त "मागील" वाक्यावर अवलंबून होतो A(p- 1). येथे दिलेल्या पद्धतीचे सूत्रीकरण आपल्याला प्राप्त करण्यास अनुमती देते A(p),सर्व प्रस्ताव लक्षात घेऊन A(p),मी कुठे कमी आहे आर, खरे आहेत.

उदाहरण 5.5.10. चला प्रमेय सिद्ध करूया: “ बेरीज अंतर्गत कोपरेकोणताही i-gon 180°(i-2) च्या बरोबरीचा असतो.”

बहिर्वक्र बहुभुजासाठी, प्रमेय सिद्ध करणे सोपे आहे जर तुम्ही एका शिरोबिंदूवरून काढलेल्या कर्णांनी त्रिकोणांमध्ये विभागले तर. तथापि, नॉन-कन्व्हेक्स बहुभुजासाठी अशी प्रक्रिया शक्य होणार नाही.

गणितीय प्रेरण वापरून अनियंत्रित बहुभुजासाठी प्रमेय सिद्ध करूया. आपण असे गृहीत धरूया की खालील विधान ज्ञात आहे, ज्याला काटेकोरपणे सांगायचे तर, वेगळ्या पुराव्याची आवश्यकता आहे: "कोणत्याही //-गोनमध्ये एक कर्ण असतो जो संपूर्णपणे त्याच्या आतील भागात असतो."

व्हेरिएबलच्या ऐवजी // तुम्ही 3 पेक्षा मोठ्या किंवा समान असलेल्या कोणत्याही नैसर्गिक संख्या बदलू शकता. n=bप्रमेय सत्य आहे कारण त्रिकोणामध्ये कोनांची बेरीज 180° असते.

चला काही /7-gon घेऊ (p> 4) आणि गृहीत धरा की कोणत्याही //-गोनच्या कोनांची बेरीज, जिथे // p, 180°(//-2) च्या बरोबरीची आहे. //-gon च्या कोनांची बेरीज 180°(//-2) आहे हे सिद्ध करू.

आत पडलेल्या //-गोनचा कर्ण काढू. हे //-gon ला दोन बहुभुजांमध्ये विभाजित करेल. त्यापैकी एक असू द्या लाबाजू, इतर - ते 2बाजू मग k+k 2 -2 = p,कारण परिणामी बहुभुजांची एक सामान्य बाजू काढलेली कर्ण असते, जी मूळ //-gon ची बाजू नसते.

दोन्ही संख्या लाआणि ते 2कमी //. परिणामी बहुभुजांवर प्रेरक गृहीतक लागू करूया: A]-gon च्या कोनांची बेरीज 180°-(?i-2) आणि कोनांची बेरीज आहे? 2 -gon 180°- (Ar 2 -2) च्या बरोबरीचे आहे. मग //-गोनच्या कोनांची बेरीज या संख्यांच्या बेरजेइतकी असेल:

180°*(Ar|-2)-n 180°(Ar2-2) = 180 o (Ar, -bAr 2 -2-2) = 180°-(//-2).

प्रेरक संक्रमण न्याय्य आहे. गणितीय इंडक्शनच्या पद्धतीवर आधारित, प्रमेय कोणत्याही //-gon (//>3) साठी सिद्ध होतो.

गणितीय इंडक्शनची पद्धत वापरून, कोणत्याही नैसर्गिकसाठी ते सिद्ध करा nखालील समानता वैध आहेत:
अ) ;
ब) .

उपाय.

अ) केव्हा n= 1 समानता सत्य आहे. येथे समानतेची वैधता गृहीत धरून n, तेव्हाही त्याची वैधता दाखवूया n+ 1. खरंच,

Q.E.D.

ब) केव्हा n= 1 समानतेची वैधता स्पष्ट आहे. येथे त्याची वैधता गृहीत धरून nपाहिजे

समानता 1 + 2 + ... + दिले n = n(n+ 1)/2, आम्हाला मिळते

1 3 + 2 3 + ... + n 3 + (n + 1) 3 = (1 + 2 + ... + n + (n + 1)) 2 ,

म्हणजे विधान देखील सत्य आहे जेव्हा n + 1.

उदाहरण १.खालील समानता सिद्ध करा

कुठे nबद्दल एन.

उपाय.अ) केव्हा n= 1 समानता फॉर्म घेईल 1=1, म्हणून, पी(1) खरे आहे. ही समानता खरी आहे, म्हणजेच ती धारण करते, असे मानू या

. ते तपासणे (सिद्ध करणे) आवश्यक आहेपी(n+ 1), म्हणजे खरे. पासून (प्रेरण गृहीतक वापरून)आम्हाला समजले की, पी(n+ 1) हे खरे विधान आहे.

अशा प्रकारे, गणितीय इंडक्शनच्या पद्धतीनुसार, मूळ समानता कोणत्याही नैसर्गिकसाठी वैध आहे n.

टीप 2.हे उदाहरण वेगळ्या पद्धतीने सोडवता आले असते. खरंच, बेरीज 1 + 2 + 3 + ... + आहे nपहिल्याची बेरीज आहे nपहिल्या पदासह अंकगणिताच्या प्रगतीच्या अटी a 1 = 1 आणि फरक d= 1. सुप्रसिद्ध सूत्रानुसार , आम्हाला मिळते

ब) केव्हा n= 1 समानता फॉर्म घेईल: 2 1 - 1 = 1 2 किंवा 1=1, म्हणजे, पी(1) खरे आहे. आपण समता मानू या

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2 आणि ते घडते हे सिद्ध करापी(n + 1): 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2(n + 1) - 1) = (n+ 1) 2 किंवा 1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) + (2n + 1) = (n + 1) 2 .

प्रेरण गृहीतके वापरून, आम्ही प्राप्त करतो

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) = n 2 + (2n + 1) = (n + 1) 2 .

अशा प्रकारे, पी(n+ 1) सत्य आहे आणि म्हणून, आवश्यक समानता सिद्ध झाली आहे.

टीप 3.हे उदाहरण गणितीय इंडक्शन पद्धतीचा वापर न करता (मागील उदाहरणाप्रमाणे) सोडवता येते.

c) केव्हा n= 1 समानता सत्य आहे: 1=1. समता खरी आहे असे मानू या

आणि ते दाखवा म्हणजे सत्यपी(n) हे सत्य सूचित करतेपी(n+ 1). खरंच,आणि, 2 पासून n 2 + 7 n + 6 = (2 n + 3)(n+ 2), आम्हाला मिळते आणि, म्हणून, मूळ समानता कोणत्याही नैसर्गिकसाठी वैध आहेn.

ड) केव्हा n= 1 समानता सत्य आहे: 1=1. ते घडते असे मानू या

आणि आम्ही ते सिद्ध करू

खरंच,

e) मान्यता पी(१) सत्य: २=२. आपण समता मानू या

सत्य आहे, आणि आम्ही सिद्ध करू की ते समानता सूचित करतेखरंच,

परिणामी, मूळ समानता कोणत्याही नैसर्गिकतेसाठी असते n.

f) पी(१) खरे: १/३ = १/३. समानता असू द्या पी(n):

. आपण दाखवूया की शेवटची समानता खालील गोष्टी सूचित करते:

खरंच, याचा विचार करून पी(n) धरतो, आम्हाला मिळते

त्यामुळे समानता सिद्ध होते.

g) केव्हा n= 1 आमच्याकडे आहे a + b = b + aआणि म्हणून समानता न्याय्य आहे.

न्यूटनचे द्विपद सूत्र यासाठी वैध असू द्या n = k, ते आहे,

मग समानता वापरणेआम्हाला मिळते

उदाहरण २.असमानता सिद्ध करा

अ) बर्नौली असमानता: (1 + अ) n ≥ 1 + n a , a > -1, nबद्दल एन.

ब) x 1 + x 2 + ... + x n ≥ n, तर x 1 x 2 · ... · x n= 1 आणि x i > 0, .

c) अंकगणितीय माध्य आणि भौमितिक माध्य यांच्या संदर्भात कॉचीची असमानता कुठे x i > 0, , n ≥ 2.

ड) पाप 2 n a + cos 2 n a ≤ 1, nबद्दल एन.

e)

f) २ n > n 3 , nबद्दल एन, n ≥ 10.

उपाय.अ) केव्हा n= 1 आम्हाला खरी असमानता मिळते

1 + a ≥ 1 + a . असमानता आहे असे मानू या

(1 + अ) n ≥ 1 + n a

(1)

आणि आम्ही दाखवू की मग ते घडते आणि(1 + अ) n + 1 ≥ 1 + (n+ 1)अ.

खरंच, a > -1 चा अर्थ a + 1 > 0 असल्याने, असमानतेच्या (1) दोन्ही बाजूंना (a + 1) ने गुणाकार केल्यास, आपल्याला मिळते.

(1 + अ) n(1 + अ) ≥ (1 + n a )(1 + a ) किंवा (1 + a ) n + 1 ≥ 1 + (n+ 1)a + n a 2 पासून n a 2 ≥ 0, म्हणून(1 + अ) n + 1 ≥ 1 + (n+ 1)a + n a 2 ≥ 1 + ( n+ 1)अ.

अशा प्रकारे, जर पी(n) तर खरे आहे पी(n+ 1) सत्य आहे, म्हणून, गणितीय इंडक्शनच्या तत्त्वानुसार, बर्नौलीची असमानता सत्य आहे.

ब) केव्हा n= 1 आम्हाला मिळते x 1 = 1 आणि म्हणून x 1 ≥ 1 म्हणजे पी(1) एक न्याय्य विधान आहे. चला ते ढोंग करूया पी(n) सत्य आहे, म्हणजे, जर adica, x 1 ,x 2 ,...,x n - nधनात्मक संख्या ज्यांचे उत्पादन एक समान आहे, x 1 x२ ·...· x n= 1, आणि x 1 + x 2 + ... + x n ≥ n.

या वाक्यात खालील सत्याचा समावेश आहे हे दाखवूया: if x 1 ,x 2 ,...,x n ,x n+1 - (n+ 1) धन संख्या जसे की x 1 x२ ·...· x n · x n+1 = 1, नंतर x 1 + x 2 + ... + x n + x n + 1 ≥n + 1.

पुढील दोन प्रकरणांचा विचार करा:

1) x 1 = x 2 = ... = x n = x n+1 = 1. मग या संख्यांची बेरीज ( n+ 1), आणि आवश्यक असमानता समाधानी आहे;

2) किमान एक संख्या एकापेक्षा वेगळी आहे, उदाहरणार्थ, एकापेक्षा मोठी असू द्या. नंतर, पासून x 1 x 2 · ... · x n · x n+ 1 = 1, किमान एक आणखी संख्या एकापेक्षा वेगळी आहे (अधिक अचूकपणे, एकापेक्षा कमी). द्या x n+ 1 > 1 आणि x n < 1. Рассмотрим nसकारात्मक संख्या

x 1 ,x 2 ,...,x n-1 ,(x n · x n+1). या संख्यांचे उत्पादन एक समान आहे, आणि, गृहीतकानुसार, x 1 + x 2 + ... + x n-1 + x n x n + 1 ≥ n. शेवटची असमानता खालीलप्रमाणे पुन्हा लिहिली आहे: x 1 + x 2 + ... + x n-1 + x n x n+1 + x n + x n+1 ≥ n + x n + x n+1 किंवा x 1 + x 2 + ... + x n-1 + x n + x n+1 ≥ n + x n + x n+1 - x n x n+1 .

कारण द

(1 - x n)(x n+1 - 1) > 0, नंतर n + x n + x n+1 - x n x n+1 = n + 1 + x n+1 (1 - x n) - 1 + x n =
= n + 1 + x n+1 (1 - x n) - (1 - x n) = n + 1 + (1 - x n)(x n+1 - 1) ≥ n+ 1. म्हणून, x 1 + x 2 + ... + x n + x n+1 ≥ n+1, म्हणजे, जर पी(n) तर खरे आहेपी(n+ 1) गोरा. असमानता सिद्ध झाली आहे.

टीप 4.समान चिन्ह जर आणि फक्त असेल तर x 1 = x 2 = ... = x n = 1.

c) द्या x 1 ,x 2 ,...,x n- अनियंत्रित सकारात्मक संख्या. खालील गोष्टींचा विचार करा nसकारात्मक संख्या:

त्यांचे उत्पादन एक समान असल्याने: पूर्वी सिद्ध केलेल्या असमानतेनुसार b), ते त्याचे अनुसरण करतेकुठे

टीप 5.जर आणि फक्त जर समानता असेल x 1 = x 2 = ... = x n .

ड) पी(१) एक वाजवी विधान आहे: sin 2 a + cos 2 a = 1. आपण असे गृहीत धरूया की पी(n) हे खरे विधान आहे:

पाप 2 n a + cos 2 n a ≤ १ आणि काय होते ते दाखवापी(n+ 1). खरंच,पाप 2( n+ 1) a + cos 2( n+ 1) a = पाप 2 n a sin 2 a + cos 2 n a cos 2 a< sin 2n a + cos 2 n a ≤ 1 (जर पाप 2 a ≤ 1 असेल तर cos 2 a < 1, и обратно: если cos 2 a ≤ 1, नंतर sin 2 a < 1). Таким образом, для любого nबद्दल एनपाप 2 n a + cos 2 n ≤ 1 आणि समानता चिन्ह तेव्हाच प्राप्त होतेn = 1.

e) केव्हा n= 1 विधान सत्य आहे: 1< 3 / 2 .

असे गृहीत धरू आणि आम्ही ते सिद्ध करू

कारण द
विचारात घेऊन पी(n), आम्हाला मिळते

f) शेरा 1 लक्षात घेऊन, तपासूया पी(10): 2 10 > 10 3, 1024 > 1000, म्हणून, साठी n= 10 विधान सत्य आहे. असे गृहीत धरू की २ n > n 3 (n> 10) आणि सिद्ध करा पी(n+ 1), म्हणजे 2 n+1 > (n + 1) 3 .

तेव्हा पासून n> 10 आमच्याकडे आहे किंवा , त्याचे अनुसरण करते

2n 3 > n 3 + 3n 2 + 3n+ 1 किंवा n 3 > 3n 2 + 3n + 1. असमानता दिली (2 n > n 3 ), आम्हाला २ मिळतात n+1 = 2 n· २ = २ n + 2 n > n 3 + n 3 > n 3 + 3n 2 + 3n + 1 = (n + 1) 3 .

अशा प्रकारे, गणितीय इंडक्शनच्या पद्धतीनुसार, कोणत्याही नैसर्गिकसाठी nबद्दल एन, n≥ 10 आमच्याकडे 2 आहेत n > n 3 .

उदाहरण ३.ते कोणासाठीही सिद्ध करा nबद्दल एन

उपाय.अ) पी(1) हे सत्य विधान आहे (0 ला 6 ने भागले आहे). द्या पी(n) न्याय्य आहे, म्हणजे n(2n 2 - 3n + 1) = n(n - 1)(2n- 1) 6 ने भाग जातो. मग काय होते ते दाखवू पी(n+ 1), म्हणजे, ( n + 1)n(2n+ 1) हा 6 ने भाग जातो. खरंच, पासून

आणि कसे n(n - 1)(2 n- 1), आणि 6 n 2 6 ने भाग जातो, नंतर त्यांची बेरीज आहेn(n + 1)(2 n+ 1) 6 ने भाग जातो.

अशा प्रकारे, पी(n+ 1) एक वाजवी विधान आहे, आणि म्हणून n(2n 2 - 3n+ 1) कोणत्याहीसाठी 6 ने निःशेष भाग जातो nबद्दल एन.

b) चला तपासूया पी(1): 6 0 + 3 2 + 3 0 = 11, म्हणून, पी(1) एक वाजवी विधान आहे. हे सिद्ध केले पाहिजे की जर 6 2 n-2 + 3 n+1 + 3 n-1 ला 11 ने भागले आहे ( पी(n)), नंतर 6 2 n + 3 n+2 + 3 n 11 ने देखील विभाज्य ( पी(n+ 1)). खरंच, पासून

6 2n + 3 n+2 + 3 n = 6 2n-2+2 + 3 n+1+1 + 3 n-1+1 = = 6 2 6 2 n-2 + 3 3 n+1 + 3 3 n-1 = 3·(6 2 n-2 + 3 n+1 + 3 n-१) + ३३ ६ २ n-2 आणि 6 2 सारखे n-2 + 3 n+1 + 3 n-1 आणि 33 6 2 n-2 11 ने निःशेष भाग जातात, तर त्यांची बेरीज 6 आहे 2n + 3 n+2 + 3 n 11 ने भाग जातो. विधान सिद्ध झाले आहे. भूमिती मध्ये प्रेरण

उदाहरण ४.योग्य 2 ची बाजू मोजा n- त्रिज्येच्या वर्तुळात कोरलेला त्रिकोण आर.

अनेक गणिती गुणधर्म आणि विविध विधाने सिद्ध करण्यासाठी Peano च्या स्वयंसिद्ध 4 वर आधारित पुरावा पद्धत वापरली जाते. याचा आधार खालील प्रमेय आहे.

प्रमेय. विधान तर अ(n)नैसर्गिक व्हेरिएबलसह nसाठी खरे n = 1 आणि ते सत्य आहे की पासून n = k, ते खालील साठी खरे आहे पुढील तारीख n=k,नंतर विधान अ(n) n.

पुरावा. द्वारे सूचित करूया एमत्या आणि फक्त त्या नैसर्गिक संख्यांचा संच ज्यासाठी विधान आहे अ(n)खरे. मग प्रमेयाच्या अटींवरून आपल्याकडे: १) १ एम; 2) k Mkएम. येथून, स्वयंसिद्ध 4 च्या आधारे, आम्ही असा निष्कर्ष काढतो मी =एन, म्हणजे विधान अ(n)कोणत्याही नैसर्गिक साठी खरे n.

या प्रमेयावर आधारित पुरावा पद्धत म्हणतात गणितीय प्रेरण पद्धतीद्वारे,आणि स्वयंसिद्ध हा प्रेरणाचा स्वयंसिद्ध आहे. या पुराव्यात दोन भाग असतात:

1) विधान सिद्ध करा अ(n)साठी खरे n = A(1);

2) विधान गृहीत धरा अ(n)साठी खरे n = k, आणि, या गृहितकावर आधारित, विधान सिद्ध करा A(n)साठी खरे n = k + 1, i.e. की विधान सत्य आहे A(k) A(k + 1).

तर अ( 1) अ(k) A(k + 1) - सत्य विधान, नंतर ते विधान निष्कर्ष काढतात A(n)कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी सत्य n.

गणितीय इंडक्शनच्या पद्धतीद्वारे पुरावा केवळ विधानाच्या सत्याच्या पुष्टीसह सुरू होऊ शकत नाही n = 1, परंतु कोणत्याही नैसर्गिक संख्येवरून देखील मी. या प्रकरणात निवेदन अ(n)सर्व नैसर्गिक संख्यांसाठी सिद्ध होईल nm.

समस्या: कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी समानता 1 + 3 + 5 … + (2 n- 1) = n

उपाय.समानता 1 + 3 + 5 … + (2 n- 1) = nहे एक सूत्र आहे जे पहिल्या सलग विषम नैसर्गिक संख्यांची बेरीज शोधण्यासाठी वापरले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, 1 + 3 + 5 + 7 = 4= 16 (बेरजेमध्ये 4 संज्ञा आहेत), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6= 36 (बेरजेमध्ये 6 संज्ञा आहेत); जर या बेरीजमध्ये सूचित प्रकारच्या 20 अटी असतील तर ते 20 = 400 इ.च्या बरोबरीचे आहे. या समानतेचे सत्य सिद्ध केल्यावर, आम्ही सूत्र वापरून निर्दिष्ट प्रकारच्या कितीही संज्ञांची बेरीज शोधण्यात सक्षम होऊ.

१) या समानतेचे सत्य आपण पडताळून पाहू n = 1. केव्हा n = 1 समतेच्या डाव्या बाजूला 1 च्या बरोबरीचे एक पद आहे, उजवी बाजू 1 = 1 च्या बरोबरीची आहे. 1 = 1 पासून, नंतर साठी n = 1 ही समानता खरी आहे.

2) समजा की ही समानता सत्य आहे n = k, म्हणजे ते १ + ३ + ५ + … + (२ k- 1) = kया गृहितकाच्या आधारे, आम्ही सिद्ध करतो की ते सत्य आहे n = k + 1, i.e. १ + ३ + ५ + … + (२ k- 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1).

चला विचार करूया डावी बाजूशेवटची समानता.

गृहीत धरून, पहिल्याची बेरीज kच्या अटी समान आहेत kआणि म्हणून 1 + 3 + 5 + … + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k- 1) + (2k+ 1)=

= k+(2k + 1) = k+ 2k + 1. अभिव्यक्ती k+ 2k + 1 अभिव्यक्ती समान आहे ( k + 1).

त्यामुळे या समानतेचे सत्य n = k + 1 सिद्ध झाले आहे.

त्यामुळे ही समानता सत्य आहे n = 1 आणि त्याच्या सत्यापासून n = kसाठी खरे असले पाहिजे n = k + 1.

यावरून हे सिद्ध होते की ही समानता कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी सत्य आहे.

गणितीय इंडक्शनच्या पद्धतीचा वापर करून, तुम्ही केवळ समानतेचेच नव्हे तर असमानतेचेही सत्य सिद्ध करू शकता.

कार्य. ते सिद्ध करा, कुठे nN.

उपाय.येथे असमानतेचे सत्य तपासूया n = 1. आमच्याकडे आहे - खरी असमानता.

आपण असमानता साठी सत्य आहे असे मानू या n = k,त्या - खरी असमानता. या गृहितकाच्या आधारे आपण सिद्ध करूया की ते यासाठी देखील खरे आहे n = k + 1, i.e. (*).

हे लक्षात घेऊन असमानतेच्या डाव्या बाजूचे (*) रूपांतर करूया: .

परंतु , ज्याचा अर्थ होतो .

तर, ही असमानता सत्य आहे n = 1, आणि, असमानता काहींसाठी सत्य आहे या वस्तुस्थितीवरून n = k, आम्हाला आढळले की ते यासाठी देखील खरे आहे n = k + 1.

अशा प्रकारे, स्वयंसिद्ध 4 वापरून, आम्ही हे सिद्ध केले की ही असमानता कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी सत्य आहे.

इतर विधाने गणितीय प्रेरण पद्धती वापरून सिद्ध करता येतात.

कार्य. कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी विधान सत्य आहे हे सिद्ध करा.

उपाय. विधानाची सत्यता कधी तपासूया n =१:-सत्य विधान.

हे विधान यासाठी खरे आहे असे मानू या n = k: . हे वापरून दाखवू या, विधानाची सत्यता कधी n = k + 1: .

चला अभिव्यक्तीचे रूपांतर करूया: . चला फरक शोधूया kआणि k+ 1 सदस्य. जर असे दिसून आले की परिणामी फरक 7 चा गुणाकार आहे आणि गृहीत धरून सबट्राहेंड 7 ने भाग जात आहे, तर मिन्यूएंड देखील 7 चा गुणाकार आहे:

उत्पादन 7 चा गुणाकार आहे, म्हणून, आणि .

अशा प्रकारे, हे विधान सत्य आहे n = 1 आणि त्याच्या सत्यापासून n = kसाठी खरे असले पाहिजे n = k + 1.

यावरून हे विधान कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी खरे असल्याचे सिद्ध होते.

कार्य. कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी ते सिद्ध करा n 2 विधान (7-1)24 सत्य आहे.

उपाय. 1) विधानाची सत्यता कधी तपासू n= 2:- सत्य विधान.

इंडक्शन ही विशिष्ट निरीक्षणांमधून सामान्य विधान मिळविण्याची एक पद्धत आहे. जर गणितीय विधान मर्यादित संख्येच्या वस्तूंशी संबंधित असेल तर ते प्रत्येक वस्तूसाठी चाचणी करून सिद्ध केले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, विधान: “प्रत्येक दोन-अंकी सम संख्या ही दोन अविभाज्य संख्यांची बेरीज आहे,” असे विधान अनेक समानतेच्या मालिकेतून आले आहे जे स्थापित करणे शक्य आहे:

10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 . . . 92=3+89 94=5+89 96=7+89 98=19+79.

पुराव्याची एक पद्धत ज्यामध्ये सर्व शक्यता संपवणाऱ्या मर्यादित प्रकरणांसाठी विधान सत्यापित केले जाते त्याला पूर्ण इंडक्शन म्हणतात. ही पद्धत तुलनेने क्वचितच वापरली जाते, कारण गणितीय विधाने, एक नियम म्हणून, मर्यादित नसून वस्तूंच्या अमर्याद संचाशी संबंधित आहेत. उदाहरणार्थ, संपूर्ण इंडक्शनद्वारे वर सिद्ध केलेल्या सम दोन-अंकी संख्यांबद्दलचे विधान हे प्रमेयाचे केवळ एक विशेष प्रकरण आहे: "कोणतीही सम संख्या ही दोन मूळ संख्यांची बेरीज असते." हे प्रमेय अद्याप सिद्ध किंवा नाकारलेले नाही.

गणितीय इंडक्शन ही गणितीय इंडक्शनच्या तत्त्वावर आधारित कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी विशिष्ट विधान सिद्ध करण्याची एक पद्धत आहे: “जर विधान n=1 साठी सत्य असेल आणि n=k साठी त्याची वैधता n=k साठी या विधानाची वैधता सूचित करते. +1, तर ते सर्वांसाठी खरे आहे n " गणितीय इंडक्शनद्वारे पुराव्याची पद्धत खालीलप्रमाणे आहे:

1) इंडक्शनचा आधार: ते n=1 (कधीकधी n=0 किंवा n=n 0) साठी विधानाची वैधता सिद्ध करतात किंवा थेट तपासतात;

2) इंडक्शन स्टेप (संक्रमण): ते काही नैसर्गिक संख्येसाठी विधानाची वैधता गृहीत धरतात आणि, या गृहितकावर आधारित, n=k+1 साठी विधानाची वैधता सिद्ध करतात.

उपायांसह समस्या

1. कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी n, 3 2n+1 +2 n+2 ही संख्या 7 ने भाग जाते हे सिद्ध करा.

A(n)=3 2n+1 +2 n+2 दर्शवू.

इंडक्शन बेस. जर n=1 असेल, तर A(1)=3 3 +2 3 =35 आणि, स्पष्टपणे, 7 ने भाग जातो.

प्रेरण गृहीतक. A(k) ला 7 ने भाग जाऊ द्या.

प्रेरण संक्रमण. A(k+1) ला 7 ने भाग जातो हे सिद्ध करूया, म्हणजेच n=k च्या समस्येच्या विधानाची वैधता.

A(k+1)=3 2(k+1)+1 +2 (k+1)+2 =3 2k+1 ·3 2 +2 k+2 ·2 1 =3 2k+1 ·9+2 k+2 ·2=

3 2k+1 9+2 k+2 (9–7)=(3 2k+1 +2 k+2) 9–7 2 k+2 =9 A(k)–7 2 k +2.

शेवटची संख्या 7 ने निःशेष भाग जाते, कारण ती दोन पूर्णांकांचा 7 ने नि:शेष भाग जाते. म्हणून, 3 2n+1 +2 n+2 कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी 7 ने नि:शेष भाग जातो.

2. कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी n, 2 3 n +1 ही संख्या 3 n+1 ने निःशेष आहे आणि 3 n+2 ने भाग जात नाही हे सिद्ध करा.

चला नोटेशन ओळखू या: a i =2 3 i +1.

n=1 साठी आपल्याकडे आहे, आणि 1 =2 3 +1=9. तर, 1 ला 3 2 ने भाग जातो आणि 3 3 ने भाग जात नाही.

n=k साठी समजा a k हा 3 k+1 ने भाग जातो आणि 3 k+2 ने भाग जात नाही, म्हणजे k =2 3 k +1=3 k+1 m, जेथे m 3 ने भाग जात नाही.

आणि k+1 =2 3 k+1 +1=(2 3 k) 3 +1=(2 3 k +1)(2 3 k ·2 –2 3 k +1)=3 k+1 ·m· ((2 3 k +1) 2 –3·2 3 k)=3 k+1 ·m·((3 k+1 ·m) 2 –3·2 3 k)=

3 k+2 ·m·(3 2k+1 ·m 2 –2 3 k).

अर्थात, एक k+1 हा 3 k+2 ने भाग जातो आणि 3 k+3 ने भाग जात नाही.

त्यामुळे विधान कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी n सिद्ध होते.

3. हे ज्ञात आहे की x+1/x हा पूर्णांक आहे. x n +1/x n हे कोणत्याही पूर्णांक n साठी देखील पूर्णांक आहे हे सिद्ध करा.

चला नोटेशन ओळखू या: a i =х i +1/х i आणि लगेच लक्षात घ्या की a i =а –i, म्हणून आपण नैसर्गिक निर्देशांकांबद्दल बोलत राहू.

टीप: एक 1 हे नियमानुसार पूर्णांक आहे; आणि 2 हा पूर्णांक आहे, कारण 2 = (a 1) 2 –2; आणि 0 =2.

k हा n पेक्षा जास्त नसलेल्या कोणत्याही नैसर्गिक संख्येचा k पूर्णांक आहे असे समजू या. नंतर 1 ·a n पूर्णांक आहे, परंतु 1 ·a n =a n+1 +a n–1 आणि n+1 =a 1 ·a n –a n–1 . तथापि, n–1, इंडक्शन गृहीतकानुसार, एक पूर्णांक आहे. याचा अर्थ n+1 हा देखील पूर्णांक आहे. म्हणून, x n +1/x n हे कोणत्याही पूर्णांक n साठी पूर्णांक आहे, जे सिद्ध करणे आवश्यक आहे.

4. 1 पेक्षा जास्त कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी n ही दुहेरी असमानता सत्य आहे हे सिद्ध करा

5. नैसर्गिक n > 1 आणि |x| साठी सिद्ध करा

(1–x)n +(1+x)n

n=2 साठी असमानता सत्य आहे. खरंच,

(1–x) 2 +(1+x) 2 = 2+2 x 2

जर असमानता n=k साठी सत्य असेल, तर n=k+1 साठी आपल्याकडे आहे

(1–x) k+1 +(1+x) k+1

कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी n > 1 असमानता सिद्ध झाली आहे.

6. विमानात n वर्तुळे असतात. हे सिद्ध करा की या वर्तुळांच्या कोणत्याही व्यवस्थेसाठी, त्यांनी तयार केलेला नकाशा दोन रंगांनी योग्यरित्या रंगविला जाऊ शकतो.

चला गणितीय इंडक्शनची पद्धत वापरू.

n=1 साठी विधान स्पष्ट आहे.

n वर्तुळांनी बनवलेल्या कोणत्याही नकाशासाठी विधान सत्य आहे असे गृहीत धरू आणि समतल वर n+1 वर्तुळे असू द्या. यापैकी एक वर्तुळ काढून टाकल्याने, आम्हाला एक नकाशा मिळेल जो, केलेल्या गृहीतकामुळे, दोन रंगांनी योग्यरित्या रंगविला जाऊ शकतो (खालील पहिले चित्र पहा).

चला मग टाकून दिलेले वर्तुळ पुनर्संचयित करू आणि त्याच्या एका बाजूला, उदाहरणार्थ आत, प्रत्येक क्षेत्राचा रंग उलट बदलू (दुसरे चित्र पहा). हे पाहणे सोपे आहे की या प्रकरणात आम्हाला दोन रंगांनी योग्यरित्या रंगीत नकाशा मिळेल, परंतु आता फक्त n+1 मंडळांसाठी, जे सिद्ध करणे आवश्यक आहे.

7. जर खालील अटी पूर्ण झाल्या असतील तर आम्ही बहिर्वक्र बहुभुज "सुंदर" म्हणू:

1) त्याचे प्रत्येक शिरोबिंदू तीनपैकी एका रंगात रंगवलेले आहे;

2) कोणतेही दोन समीप शिरोबिंदू वेगवेगळ्या रंगात रंगवले जातात;

3) बहुभुजाचा किमान एक शिरोबिंदू प्रत्येक तीन रंगात रंगवला आहे.

सिद्ध करा की कोणतेही सुंदर एन-गॉन कर्ण विभक्त करून "सुंदर" त्रिकोणांमध्ये कापले जाऊ शकते.

चला गणितीय इंडक्शनची पद्धत वापरू.

इंडक्शन बेस. सर्वात लहान शक्य n=3 सह, समस्येचे विधान स्पष्ट आहे: "सुंदर" त्रिकोणाचे शिरोबिंदू तीन रंगीत आहेत विविध रंगआणि कोणत्याही कटांची आवश्यकता नाही.

प्रेरण गृहीतक. आपण असे गृहीत धरू की समस्येचे विधान कोणत्याही “सुंदर” एन-गॉनसाठी खरे आहे.

प्रेरण चरण. चला एका अनियंत्रित “सुंदर” (n+1)-गोनचा विचार करूया आणि इंडक्शन गृहितकाचा वापर करून सिद्ध करूया की ते काही कर्णांनी “सुंदर” त्रिकोणांमध्ये कापले जाऊ शकते. A 1, A 2, A 3, ... A n, A n+1 ने (n+1)-गोनचे अनुक्रमिक शिरोबिंदू दर्शवू. जर (n+1)-गोनचा फक्त एक शिरोबिंदू तीन रंगांपैकी कोणत्याही रंगात रंगला असेल, तर या शिरोबिंदूला कर्णरेषेने त्याला लागून नसलेल्या सर्व शिरोबिंदूंशी जोडून, ​​आपल्याला (n+1) चे आवश्यक विभाजन मिळते. )"सुंदर" त्रिकोणांमध्ये जा.

जर (n+1)-गोनचे किमान दोन शिरोबिंदू तीन रंगांपैकी प्रत्येक रंगात रंगवलेले असतील, तर आपण शिरोबिंदू A 1 चा रंग क्रमांक 1 आणि शिरोबिंदू A 2 चा रंग क्रमांक 2 द्वारे दर्शवू. k ही सर्वात लहान संख्या मानू या की शिरोबिंदू A k तिसऱ्या रंगात रंगला आहे. हे स्पष्ट आहे की k > 2. आपण त्रिकोण A k–2 A k–1 A k (n+1) -गोन पासून कर्ण A k–2 A k सह कापून टाकू. k क्रमांकाच्या निवडीनुसार, या त्रिकोणाचे सर्व शिरोबिंदू तीन वेगवेगळ्या रंगात रंगवलेले आहेत, म्हणजेच हा त्रिकोण “सुंदर” आहे. उत्तल n-gon A 1 A 2 ... A k–2 A k A k+1 ... A n+1 , जो उरतो, तो देखील, प्रेरक गृहीतकेच्या आधारे, "सुंदर" असेल, ज्याचा अर्थ हे "सुंदर" त्रिकोणांमध्ये विभागले गेले आहे, जे आणि सिद्ध करणे आवश्यक आहे.

8. सिद्ध करा की उत्तल n-gon मध्ये n कर्णांपेक्षा जास्त निवडणे अशक्य आहे जेणेकरून त्यापैकी कोणत्याही दोनमध्ये समान बिंदू असेल.

चला गणितीय इंडक्शन पद्धतीचा वापर करून पुरावा घेऊ.

एक अधिक सामान्य विधान सिद्ध करूया: उत्तल n-gon मध्ये n पेक्षा जास्त बाजू आणि कर्ण निवडणे अशक्य आहे जेणेकरून त्यांच्यापैकी कोणत्याही दोनचा समान बिंदू असेल. n = 3 साठी विधान स्पष्ट आहे. हे विधान अनियंत्रित n-gon साठी खरे आहे असे गृहीत धरू आणि, याचा वापर करून, आपण अनियंत्रित (n+1)-gon साठी त्याची वैधता सिद्ध करू.

हे विधान (n+1)-गोनसाठी खरे नाही असे गृहीत धरू. जर (n+1)-गोनच्या प्रत्येक शिरोबिंदूमधून दोनपेक्षा जास्त निवडलेल्या बाजू किंवा कर्ण बाहेर येत नसतील, तर त्यापैकी n+1 पेक्षा जास्त निवडले जाणार नाहीत. म्हणून, काही शिरोबिंदू A वरून किमान तीन निवडक बाजू किंवा कर्ण AB, AC, AD आहेत. AC ला AB आणि AD मध्ये असू द्या. बिंदू C आणि CA व्यतिरिक्त इतर कोणतीही बाजू किंवा कर्ण एकाच वेळी AB आणि AD ला छेदू शकत नसल्यामुळे, बिंदू C मधून फक्त एक निवडलेला कर्ण CA निघतो.

कर्ण CA सह बिंदू C टाकून दिल्यास, आपल्याला एक उत्तल n-gon प्राप्त होतो ज्यामध्ये n पेक्षा जास्त बाजू आणि कर्ण निवडले जातात, ज्यापैकी कोणत्याही दोनमध्ये समान बिंदू आहे. अशा प्रकारे, विधान एका अनियंत्रित बहिर्वक्र n-gon साठी सत्य आहे या गृहीतासह आपण विरोधाभासावर पोहोचतो.

तर, (n+1) साठी विधान सत्य आहे. गणितीय इंडक्शनच्या तत्त्वानुसार, विधान कोणत्याही उत्तल n-gon साठी सत्य आहे.

9. विमानात n सरळ रेषा आहेत, त्यापैकी दोन समांतर नाहीत आणि तीन एकाच बिंदूतून जात नाहीत. या रेषा विमानाला किती भागांमध्ये विभागतात?

प्राथमिक रेखाचित्रे वापरून, आपण सहजपणे सत्यापित करू शकता की एक सरळ रेषा विमानाला 2 भागांमध्ये, दोन सरळ रेषा 4 भागांमध्ये, तीन सरळ रेषा 7 भागांमध्ये आणि चार सरळ रेषा 11 भागांमध्ये विभाजित करते.

ज्या भागांमध्ये n सरळ रेषा समतल भाग करतात त्यांची संख्या N(n) ने दर्शवू. हे लक्षात येऊ शकते

N(2)=N(1)+2=2+2,

N(3)=N(2)+3=2+2+3,

N(4)=N(3)+4=2+2+3+4.

असे गृहीत धरणे स्वाभाविक आहे

N(n)=N(n–1)+n=2+2+3+4+5+…+n,

किंवा, अंकगणिताच्या प्रगतीच्या पहिल्या n अटींच्या बेरजेसाठी सूत्र वापरून, स्थापित करणे सोपे आहे,

N(n)=1+n(n+1)/2.

गणितीय इंडक्शन पद्धतीचा वापर करून या सूत्राची वैधता सिद्ध करूया.

n=1 साठी सूत्र आधीच तपासले गेले आहे.

इंडक्शन गृहीत धरल्यानंतर, आम्ही k+1 ओळींचा विचार करतो ज्या समस्येच्या अटी पूर्ण करतात. त्यांतील k सरळ रेषा अनियंत्रित पद्धतीने निवडू. इंडक्शन गृहीतकेनुसार, ते विमानाचे 1+ k(k+1)/2 भागांमध्ये विभाजन करतील. उर्वरित (k+1)वी सरळ रेषा निवडलेल्या k सरळ रेषेद्वारे k+1 भागांमध्ये विभागली जाईल आणि म्हणून, (k+1)व्या भागातून जाईल ज्यामध्ये विमान आधीच विभागले गेले आहे, आणि प्रत्येक या भागांपैकी 2 भागांमध्ये विभागले जाईल, म्हणजे, आणखी एक k+1 भाग जोडला जाईल. तर,

N(k+1)=N(k)+k+1=1+ k(k+1)/2+k+1=1+(k+1)(k+2)/2,

Q.E.D.

10. x 1: x 2: ... : x n या अभिव्यक्तीमध्ये, क्रियांचा क्रम दर्शवण्यासाठी कंस ठेवला जातो आणि परिणाम अपूर्णांक म्हणून लिहिला जातो:

(या प्रकरणात, प्रत्येक अक्षर x 1, x 2, ..., x n एकतर अपूर्णांकाच्या अंशात आहे किंवा भाजकात आहे). कंस ठेवण्याच्या सर्व संभाव्य मार्गांनी अशा प्रकारे किती भिन्न अभिव्यक्ती मिळवता येतील?

सर्व प्रथम, हे स्पष्ट आहे की परिणामी अपूर्णांकात x 1 अंशामध्ये असेल. हे जवळजवळ स्पष्ट आहे की x 2 हा कंस कसा ठेवला तरीही भाजकात असेल (x 2 समोरील भागाकार चिन्ह एकतर x 2 ला किंवा अंशातील x 2 असलेल्या काही अभिव्यक्तीला सूचित करते).

असे गृहीत धरले जाऊ शकते की इतर सर्व अक्षरे x 3, x 4, ..., x n पूर्णपणे अनियंत्रित पद्धतीने अंश किंवा भाजकात स्थित असू शकतात. हे खालीलप्रमाणे आहे की एकूण तुम्हाला 2 n–2 अपूर्णांक मिळू शकतात: प्रत्येक n–2 अक्षरे x 3, x 4, ..., x n अंश किंवा भाजकातील इतरांपेक्षा स्वतंत्रपणे दिसू शकतात.

हे विधान इंडक्शनद्वारे सिद्ध करूया.

n=3 सह तुम्हाला 2 अपूर्णांक मिळू शकतात:

त्यामुळे विधान खरे आहे.

ते n=k साठी खरे आहे असे गृहीत धरू आणि n=k+1 साठी ते सिद्ध करू.

x 1:x 2: ... :x k ही अभिव्यक्ती कंसाच्या काही स्थानानंतर एका विशिष्ट अपूर्णांकाच्या स्वरूपात लिहू द्या. जर या अभिव्यक्तीमध्ये x k च्या ऐवजी x k:x k+1 असेल तर x k होईल. अपूर्णांक Q मध्ये होता त्याच ठिकाणी, आणि x k+1 जेथे x k होता तेथे नसेल (जर x k भाजकात असेल, तर x k+1 अंशात असेल आणि त्याउलट).

आता आपण हे सिद्ध करू की जिथे x k आहे त्याच ठिकाणी x k+1 जोडू शकतो. अपूर्णांक Q मध्ये, कंस ठेवल्यानंतर, q:x k या फॉर्मची एक अभिव्यक्ती असणे आवश्यक आहे, जेथे q हे अक्षर x k–1 आहे किंवा कंसात काही अभिव्यक्ती आहे. q:x k ला अभिव्यक्ती (q:x k):x k+1 =q:(x k ·x k+1) ने बदलल्यास, आपल्याला स्पष्टपणे Q समान अपूर्णांक मिळेल, जेथे x k ऐवजी x k ·x k+1 आहे.

अशा प्रकारे, n=k+1 प्रकरणातील सर्व संभाव्य अपूर्णांकांची संख्या n=k प्रकरणापेक्षा 2 पट जास्त आहे आणि ती 2 k–2 ·2=2 (k+1)–2 च्या समान आहे. त्यामुळे विधान सिद्ध होते.

उत्तर: 2 n–2 अपूर्णांक.

उपायांशिवाय समस्या

1. कोणत्याही नैसर्गिक n साठी हे सिद्ध करा:

a) 5 n –3 n +2n ही संख्या 4 ने निःशेष आहे;

b) n 3 +11n ही संख्या 6 ने भाग जाते;

c) 7 n +3n–1 ही संख्या 9 ने निःशेष आहे;

d) संख्या 6 2n +19 n –2 n+1 ला 17 ने भाग जातो;

e) 7 n+1 +8 2n–1 ही संख्या 19 ने निःशेष आहे;

e) 2 2n–1 –9n 2 +21n–14 ही संख्या 27 ने निःशेष आहे.

2. सिद्ध करा की (n+1)·(n+2)· …·(n+n) = 2 n ·1·3·5·…·(2n–1).

3. असमानता सिद्ध करा |sin nx| n|पाप x| कोणत्याही नैसर्गिक n साठी.

4. नैसर्गिक संख्या a, b, c शोधा ज्यांना 10 ने भाग नाही आणि अशा कोणत्याही नैसर्गिक n साठी a n + b n आणि c n चे शेवटचे दोन अंक समान आहेत.

5. हे सिद्ध करा की जर n बिंदू एकाच रेषेवर नसतील, तर त्यांना जोडणाऱ्या रेषांमध्ये किमान n भिन्न आहेत.

गणितीय प्रेरण हा गणितीय पुराव्याच्या सर्वात सामान्य पद्धतींपैकी एकाचा आधार आहे. त्याच्या मदतीने, तुम्ही बहुतांश सूत्रे n सह नैसर्गिक संख्यांनी सिद्ध करू शकता, उदाहरणार्थ, प्रगतीच्या पहिल्या संज्ञांची बेरीज शोधण्याचे सूत्र S n = 2 a 1 + n - 1 d 2 · n, न्यूटनचे द्विपद सूत्र. a + b n = C n 0 · a n · C n 1 · a n - 1 · b + . . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n .

पहिल्या परिच्छेदात, आम्ही मूलभूत संकल्पनांचे विश्लेषण करू, नंतर पद्धतीच्या मूलभूत गोष्टींचा विचार करू, आणि नंतर समानता आणि असमानता सिद्ध करण्यासाठी ते कसे वापरावे ते सांगू.

Yandex.RTB R-A-339285-1

इंडक्शन आणि डिडक्शनच्या संकल्पना

प्रथम, सर्वसाधारणपणे इंडक्शन आणि डिडक्शन म्हणजे काय ते पाहू.

व्याख्या १

प्रेरणविशिष्ट पासून सामान्य मध्ये एक संक्रमण आहे, आणि वजावटत्याउलट - सामान्य पासून विशिष्ट पर्यंत.

उदाहरणार्थ, आमच्याकडे एक विधान आहे: 254 ला दोनने भागले जाऊ शकते. त्यातून आपण खरे आणि खोटे असे अनेक निष्कर्ष काढू शकतो. उदाहरणार्थ, 4 क्रमांकाने समाप्त होणाऱ्या सर्व पूर्णांकांना उरलेल्या भागाशिवाय दोनने भागले जाऊ शकते हे विधान सत्य आहे, परंतु तीन अंकांच्या कोणत्याही संख्येला 2 ने भाग जाणारे विधान चुकीचे आहे.

सर्वसाधारणपणे, असे म्हटले जाऊ शकते की प्रेरक तर्काच्या मदतीने, एकाच ज्ञात किंवा स्पष्ट तर्कातून अनेक निष्कर्ष काढले जाऊ शकतात. गणितीय इंडक्शन आम्हाला हे निष्कर्ष किती वैध आहेत हे निर्धारित करण्यास अनुमती देते.

समजा आपल्याकडे 1 1 2, 1 2 3, 1 3 4, 1 4 5, सारख्या संख्यांचा क्रम आहे. . . , 1 n (n + 1) , जिथे n काही नैसर्गिक संख्या दर्शवते. या प्रकरणात, अनुक्रमाचे पहिले घटक जोडताना, आम्हाला खालील गोष्टी मिळतात:

S 1 = 1 1 2 = 1 2, S 2 = 1 1 2 + 1 2 3 = 2 3, S 3 = 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 = 3 4, S 4 = 1 1 2 + 1 २ ३ + १ ३ ४ + १ ४ ५ = ४ ५, . . .

इंडक्शन वापरून, आपण S n = n n + 1 असा निष्कर्ष काढू शकतो. तिसऱ्या भागात आपण हे सूत्र सिद्ध करू.

गणितीय इंडक्शनची पद्धत काय आहे?

ही पद्धत त्याच नावाच्या तत्त्वावर आधारित आहे. हे असे तयार केले आहे:

व्याख्या २

एखादे विशिष्ट विधान नैसर्गिक मूल्य n साठी खरे असेल जेव्हा 1) ते n = 1 आणि 2 साठी खरे असेल) ही अभिव्यक्ती अनियंत्रित नैसर्गिक मूल्य n = k साठी वैध आहे या वस्तुस्थितीवरून, ते खालील साठी खरे असेल n = k + 1 .

गणितीय प्रेरण पद्धतीचा वापर 3 टप्प्यात केला जातो:

1. प्रथम, आम्ही n च्या अनियंत्रित नैसर्गिक मूल्याच्या बाबतीत मूळ विधानाची वैधता तपासतो (सामान्यतः तपासणी एकतेसाठी केली जाते).
2. यानंतर आपण वैधता तपासतो जेव्हा n = k.
3. आणि मग n = k + 1 असल्यास विधानाची वैधता आपण सिद्ध करतो.

असमानता आणि समीकरणे सोडवण्यासाठी गणितीय इंडक्शनची पद्धत कशी वापरायची

आपण आधी बोललेले उदाहरण घेऊ.

उदाहरण १

S n = 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + हे सूत्र सिद्ध करा. . . + 1 n (n + 1) = n n + 1 .

उपाय

आपल्याला आधीच माहित आहे की, गणितीय इंडक्शनची पद्धत लागू करण्यासाठी, तीन अनुक्रमिक पायऱ्या केल्या पाहिजेत.

1. प्रथम, ही समानता n बरोबर एक साठी वैध असेल का ते तपासतो. आपल्याला S 1 = 1 1 · 2 = 1 1 + 1 = 1 2 मिळतो. येथे सर्व काही बरोबर आहे.
2. पुढे, S k = k k + 1 हे सूत्र बरोबर आहे असे आपण गृहीत धरू.
3. तिसऱ्या चरणात, पूर्वीच्या समानतेच्या वैधतेवर आधारित S k + 1 = k + 1 k + 1 + 1 = k + 1 k + 2 हे सिद्ध करावे लागेल.

आपण k + 1 हे मूळ क्रमाच्या पहिल्या पदांची बेरीज आणि k + 1 दर्शवू शकतो:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2)

दुस-या क्रियेत आम्हाला S k = k k + 1 प्राप्त झाल्यामुळे, आम्ही खालील लिहू शकतो:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) .

आता आम्ही आवश्यक परिवर्तने करतो. आम्हाला अपूर्णांक एका सामान्य भाजकापर्यंत कमी करणे आवश्यक आहे, समान संज्ञा कमी करणे, संक्षिप्त गुणाकार सूत्र लागू करणे आणि आम्हाला जे मिळते ते कमी करणे आवश्यक आहे:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) = k k + 1 + 1 k + 1 (k + 2) = = k (k + 2) + 1 k + 1 (k + 2) = k 2 + 2 k + 1 k + 1 (k + 2) = (k + 1) 2 k + 1 (k + 2) = k + 1 k + 2

अशा प्रकारे, आम्ही गणितीय इंडक्शन पद्धतीच्या तीनही पायऱ्या पूर्ण करून तिसऱ्या बिंदूमध्ये समानता सिद्ध केली आहे.

उत्तर: S n = n n + 1 या सूत्राबद्दलची गृहीतकं बरोबर आहेत.

आणखी घेऊ अवघड कामत्रिकोणमितीय कार्यांसह.

उदाहरण २

ओळखीचा पुरावा द्या cos 2 α · cos 4 α · . . . · cos 2 n α = sin 2 n + 1 α 2 n sin 2 α .

उपाय

आम्हाला आठवते की, पहिली पायरी म्हणजे n समानतेची वैधता तपासणे. हे शोधण्यासाठी, आपल्याला मूलभूत त्रिकोणमितीय सूत्रे लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे.

cos 2 1 = cos 2 α sin 2 1 + 1 α 2 1 sin 2 α = sin 4 α 2 sin 2 α = 2 sin 2 α cos 2 α 2 sin 2 α = cos 2 α

म्हणून, n बरोबर एक, ओळख सत्य असेल.

आता त्याची वैधता n = k साठी सत्य राहते असे गृहीत धरू. cos 2 α · cos 4 α · हे खरे असेल. . . · cos 2 k α = sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α .

आम्ही समानता सिद्ध करतो cos 2 α · cos 4 α · . . . · cos 2 k + 1 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α केससाठी जेव्हा n = k + 1, आधार म्हणून मागील गृहीत धरून.

त्रिकोणमितीय सूत्रानुसार,

sin 2 k + 1 α cos 2 k + 1 α = = 1 2 (sin (2 k + 1 α + 2 k + 1 α) + sin (2 k + 1 α - 2 k + 1 α)) = = 1 2 sin (2 2 k + 1 α) + sin 0 = 1 2 sin 2 k + 2 α

त्यामुळे,

cos 2 α · cos 4 α · . . . · cos 2 k + 1 α = = cos 2 α · cos 4 α · . . . · cos 2 k α · cos 2 k + 1 α = = पाप 2 k + 1 α 2 k पाप 2 α · cos 2 k + 1 α = 1 2 · पाप 2 k + 1 α 2 k पाप 2 α = पाप 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α

या पद्धतीचा वापर करून असमानता सिद्ध करण्यासाठी समस्या सोडवण्याचे उदाहरण आम्ही कमीत कमी चौरस पद्धतीच्या लेखात दिले. परिच्छेद वाचा जेथे अंदाजे गुणांक शोधण्यासाठी सूत्रे काढली आहेत.

तुम्हाला मजकुरात त्रुटी आढळल्यास, कृपया ते हायलाइट करा आणि Ctrl+Enter दाबा