ऑर्थोडॉक्स चर्च ऑर्थोडॉक्स चर्च काही पूर्णपणे पृथ्वीवर नाही...
अंकगणित आणि भौमितिक प्रगतीवरील उदाहरणेव्हॉलिन्स्की द्वारा प्रकाशित "अर्जदारांसाठी समस्यांचा संग्रह. गणित" मधून घेतले राज्य विद्यापीठ 2001 मध्ये लेस्या युक्रेन्का यांच्या नावावर ठेवले. उत्तरे काळजीपूर्वक वाचा आणि तुम्हाला सर्वात जास्त काय हवे आहे ते निवडा.
गट अ (पातळी 1)
उदाहरण 1. अंकगणित प्रगतीच्या सहाव्या पदाची गणना करा 21.3; 22.4; ...,
उपाय: प्रगतीचा फरक (चरण) शोधा
d=a 2 -a 1 =22.4-21.3=1.1.
पुढे, आपण अंकगणिताच्या प्रगतीच्या सहाव्या पदाची गणना करतो
a 6 =a 1 +(6-1)d=21.3+5*1.1=26.8.
उदाहरण 2. भौमितिक प्रगती 5 च्या सहाव्या पदाची गणना करा; 10; 20; ...
उपाय: भौमितिक प्रगतीचा भाजक शोधा
q=b 2 /b 1 =10/5=2.
भौमितिक प्रगतीच्या सहाव्या पदाची गणना करणे
b 6 =b 1 q 6-1 =5*25=5*32=160.
उदाहरण 3. अंकगणिताच्या प्रगतीमध्ये a 1 =2.1 a 10 =12.9. प्रगतीतील फरकाची गणना करा.
ऊत्तराची: प्रगतीची दहावी संज्ञा सूत्र म्हणून दर्शवू
a 10 =a 1 +(10-1)d = a 1 +9d .
ज्ञात मूल्ये बदलू आणि सोडवू
12.9=2.1+9d;
9d=12.9-2.1=10.8;
d=10.8/9=1.2.
उत्तर: प्रगती फरक d=1.2.
उदाहरण 4. भौमितिक प्रगतीमध्ये b 1 =2.56; b ४ = ४.४२३६८. प्रगतीच्या भाजकाची गणना करा.
उपाय: प्रगतीचा भाजक शोधा
q=b 2 /b 1 =4.42368/2.56=1.728.
आपण येथे कॅल्क्युलेटरशिवाय करू शकत नाही.
उत्तर: प्रगतीचा भाजक q=1.728 आहे.
उदाहरण 5. अंकगणित प्रगतीमध्ये a 1 =20.1, d=1.3. प्रगतीच्या पहिल्या आठ पदांच्या बेरजेची गणना करा.
उपाय: सूत्र वापरून आपण अंकगणिताच्या प्रगतीची बेरीज शोधतो
गणिते पार पाडणे
S 8 =(2*20.1+(8-1)*1.3)*8/2=197.2.
उत्तर: S 8 = 197.2.
उदाहरण 6. भौमितिक प्रगतीमध्ये b 1 =1.5; q=1.2. प्रगतीच्या पहिल्या चार पदांच्या बेरजेची गणना करा.
उपाय: आम्ही सूत्र वापरून भौमितिक प्रगतीची बेरीज काढतो
प्रगतीची बेरीज शोधत आहे 
उत्तर: S 8 = 8.052.
उदाहरण 7. अंकगणित प्रगतीमध्ये a 1 =1.35 d=-2.4. -25.05 च्या समान प्रगती पदाच्या संख्येची गणना करा.
ऊत्तराची: अंकगणिताच्या प्रगतीची संज्ञा सूत्र वापरून आढळते
a n =a 1 +(n-1)d.
दिलेल्या अटीनुसार, अनुक्रमांक वगळता सर्व काही ज्ञात आहे, चला ते शोधूया
-25.05=1.35+(n-1)(-2.4); 
उत्तर: n=12.
उदाहरण 8. प्रगतीच्या सातव्या टर्मची गणना करा 23.5; 24.82; 26.14; ...
ऊत्तराची: अट कोणती प्रगती निर्दिष्ट केली आहे हे निर्दिष्ट करत नसल्यामुळे, आपण प्रथम ते सेट करणे आवश्यक आहे. ते अंकगणित मिळवा
d=a 2 -a 1 =24.82-23.5=1.32;
d=a 3 -a 2 =26.14-24.82=1.32.
प्रगतीचा सातवा टर्म शोधणे
a 7 =a 1 +(7-1)d=23.5+6*1.32=31.42.
उत्तर: a 7 = 31.42.
उदाहरण 9. प्रगती 2,1 च्या टर्मची संख्या मोजा; 3.3; 4.5; ... 11.7 च्या समान.
उपाय: अंकगणिताची प्रगती दिली आहे हे सत्यापित करणे सोपे आहे. चला प्रगतीतील फरक शोधूया
d=a 2 -a 1 =3.3-2.1=1.2.
प्रगती पदाच्या सूत्रानुसार
a n =a 1 +(n-1)d
चला नंबर शोधूया
11.7=2.1+(n-1)*1.2; 
उत्तर: n = 9.
उदाहरण 10. प्रगतीच्या चौथ्या टर्मची गणना करा 1.5; 1.8; 2.16; ...
उपाय: न तपासता, आपण प्रगती भौमितीय आहे असे म्हणू शकतो. चला त्याचा भाजक शोधूया
q=b 2 /b 1 =1, 8/1.5=1.2.
सूत्र वापरून भौमितिक प्रगतीच्या 4थ्या पदाची गणना करू
b 4 =b 1 q 3 =1.5*1.2 3 =2.592.
उत्तर: b 4 = 2.592.
उदाहरण 11. प्रगती 1,2 च्या टर्मची संख्या मोजा; 1.8; 2.16; ... 4.05 च्या समान.
उपाय: आमची भौमितिक प्रगती आहे. प्रगतीचा भाजक शोधूया
q=b 2 /b 1 =1, 8/1.2=1.5.
अवलंबनातून प्रगती क्रमांक शोधू
b n =b 1 q n-1 .
४.०५=१.२*१.५ एन-१ ;
1.5 n-1 =4.05/1.2=3.375=1.5 3 ;
n-1=3; n=4.
उत्तर: n=4.
उदाहरण 12. अंकगणित प्रगतीमध्ये a 5 = 14.91 a 9 = 20.11. 1 ची गणना करा.
ऊत्तराची: प्रगतीची 9 वी संज्ञा 5 मध्ये व्यक्त करा
a 9 = a 5 +(9-5)d
आणि प्रगतीची पायरी शोधा
20.11=14.91+4d;
4d=5.2; d=5.2/4=1.3.
प्रगतीची 5वी संज्ञा 1 द्वारे व्यक्त करू आणि पहिली गणना करू
a 5 = a 1 +4d;
14.91= a 1 +5.2;
a 1 = 14.91-5.2 = 9.71.
उत्तर: a 1 =9.71.
उदाहरण 13. अंकगणित प्रगती मध्ये a 7 = 12.01; a 11 = 17.61. प्रगतीतील फरकाची गणना करा.
उपाय: प्रगतीची 11 वी संज्ञा 7 च्या संदर्भात व्यक्त करा
a 11 = a 7 +(11-7)d.
येथून आपण प्रगतीची पायरी मोजतो
17.61=12.01+4d;
4d=5.6; d=5.6/4=1.4.
उत्तर: d=1.4.
उदाहरण 14. भौमितिक प्रगतीमध्ये b 5 =64; b 8 = 1. b 3 ची गणना करा.
ऊत्तराची: प्रगतीची 8 वी संज्ञा 5 मध्ये व्यक्त करा
b 8 = b 5 q 8-5.
येथून आपल्याला प्रगतीचा भाजक सापडतो
1=64 q 3;
q ३ =१/६४=(१/४) ३ ;
q=1/4.
त्याचप्रमाणे आपण b 3 ते b 5 शोधतो
b 3 = b 5 /q 2 =64*4 2 =1024.
उत्तर: b 3 = 1024.
उदाहरण 15. अंकगणित प्रगतीमध्ये a 9 + a 15 = 14.8. 12 ची गणना करा
उपाय: या उदाहरणात, हे लक्षात घेतले पाहिजे की प्रगतीची 12 वी संज्ञा त्याच्या संख्या 9 आणि 15 मधील अर्धी आहे. म्हणून, प्रगतीच्या शेजारच्या संज्ञा (9, 15) खालीलप्रमाणे 12 च्या अटींमध्ये व्यक्त केल्या जाऊ शकतात.
a 9 = a 12 -(12-9)d;
a 15 = a 12 +(15-9)d;
a 9 = a 12 -3d;
a 15 = a 12 +3d.
प्रगतीच्या अत्यंत अटींचा सारांश घेऊ या
a 9 + a 15 = a 12 -3d+ a 12 +3d=2a 12.
येथून आपल्याला प्रगतीची 12 वी संज्ञा आढळते
a 12 =(a 9 +a 15)/2=14.8/2=7.4.
उत्तर: a 12 = 7.4.
उदाहरण 16. भौमितिक प्रगतीमध्ये b 10 * b 14 =289. प्रगतीच्या 12 व्या टर्मच्या मॉड्यूलसची गणना करा | b 12 |
उपाय: समस्येचे निराकरण करण्यासाठी अल्गोरिदम मागील उदाहरणामध्ये समाविष्ट आहे. भौमितिक प्रगतीच्या 10 व्या आणि 14 व्या अटी 12 च्या अटींमध्ये व्यक्त केल्या पाहिजेत. भौमितिक प्रगतीचे गुणधर्म वापरून, आपल्याला मिळते
b 10 = b 12 /q 2 ; b 14 = b 12 *q 2 .
हे लक्षात घेणे सोपे आहे की जेव्हा ते तयार केले जातात तेव्हा प्रगतीचे चिन्ह अदृश्य होते
b 10 * b 14 = (b 12) 2 =289=17 2 .
येथून आपल्याला मॉड्यूल सापडते | b 12 |
(b 12) 2 =289=17 2 -> | ब १२ |=१७.
उत्तर: | ब १२ |=१७.
उदाहरण 17. भौमितिक प्रगतीमध्ये b 8 =1.3. b 6 * b 10 ची गणना करा.
ऊत्तराची: गणना योजना मागील उदाहरणासारखीच आहे - आम्ही प्रगतीच्या 6 व्या आणि 10 व्या अटी 8 द्वारे व्यक्त करतो.
b 6 = b 8 /q 2 ; b 10 = b 8 *q 2 .
त्यांचा गुणाकार करताना, भाजक रद्द होतात आणि आपल्याला प्रगतीच्या ज्ञात पदाचा वर्ग मिळतो
b 6 *b 10 = (b 8) 2 =1.3 2 =1.69.
उत्तर: b 6 * b 10 = 1.69.
उदाहरण 18. अंकगणिताच्या प्रगतीमध्ये, 10 = 3.6: a 12 =8. 8 ची गणना करा
उपाय: a 8, a 10, a 12 या मालिकेतील प्रगतीच्या संज्ञा लिहू. त्यांच्यामध्ये समान पायरी आहे, चला ते शोधूया
a 12 = a 10 +2d;
2d= a 12 - a 10 =8-3.6=4.4.
त्याच पद्धतीचा वापर करून आपल्याला 8 सापडतो
a 10 = a 8 +2d;
a 8 = a 10 -2d=3.6-4.4=-0.8.
येथे काही सोपी गणना आहेत.
उत्तर: a 8 = -0.8.
उदाहरण 19. भौमितिक प्रगतीमध्ये b 14 =8; b १६ =२. b 12 ची गणना करा.
उपाय: वगळणे तपशीलवार स्पष्टीकरण, प्रगतीच्या 14 व्या आणि 16 व्या पदांचा गुणाकार लिहू
b 14 *b 16 =(b 12) 2 .
हे भौमितिक सरासरीच्या समतुल्य आहे. अटींच्या उत्पादनाचे मूळ शोधून, आम्ही इच्छित मूल्य प्राप्त करतो
(b 12) 2 =8*2=16; b १२ = ४.
उत्तर: b 12 = 4.
उदाहरण 20. अंकगणित प्रगतीमध्ये a 5 =3.4; a 11 = 6.9. 17 ची गणना करा.
ऊत्तराची: प्रगतीच्या 5,11 आणि 17 अटींमध्ये समान पायरी आहे आणि ती 6d च्या समान आहे. त्यामुळे अंतिम उपाय फॉर्ममध्ये लिहिता येईल
a 17 = a 11 +6d= a 11 +(a 11 - a 5)=2*6.9-3.4=10.4.
मला वाटते की ही नोंद का केली आहे हे तुम्हाला समजले आहे. नसल्यास, 5 द्वारे प्रगतीची 11 वी टर्म लिहिण्याचा प्रयत्न करा आणि 6d करा.
उत्तर: a 17 = 10.4.
उदाहरण 21. भौमितिक प्रगती 3 च्या 6 व्या पदाची गणना करा; १२;....
उपाय: प्रगतीचा भाजक शोधा
q=b 2 /b 1 =12/3=4.
भौमितिक प्रगतीच्या पदासाठी सामान्य सूत्र वापरू
b n = b 1 *q n-1 .
येथून आपल्याला मिळते
b 6 = b 1 *q 5 =b 2 *q 4 .
तुम्ही बघू शकता, नोटेशनमधील मुख्य गोष्ट अशी आहे की अनुक्रमणिका (2) आणि पदवी (4) ची बेरीज प्रगती सदस्याच्या क्रमिक संख्येशी संबंधित आहे (6). गणिते पार पाडणे
b 6 = 12*4 4 = 12*256=3072.
आम्हाला मोठी संख्या मिळाली, परंतु भौमितिक प्रगती वेगळी आहे की त्याचे सदस्य एकतर लवकर वाढतात किंवा अदृश्य होतात.
उत्तर: b 6 = 3072.
उदाहरण 22. अंकगणित प्रगतीमध्ये a 3 =48; a 5 = 42. 7 ची गणना करा.
ऊत्तराची: दिलेल्या अटी आणि इच्छित पदांमधील प्रगतीमधील फरक 2d च्या बरोबरीचा असल्याने, प्रगतीच्या 7 व्या पदाचे सूत्र असे दिसेल
a 7 = a 5 +2d = a 5 +(a 5 - a 3);
आणि ७ =२*४२-४८=३६.
उत्तर: a 7 = 36.
अंकगणित आणि भूमितीय प्रगती
सैद्धांतिक माहिती
सैद्धांतिक माहिती
अंकगणित प्रगती |
भौमितिक प्रगती |
|
व्याख्या |
अंकगणित प्रगती एक एनएक असा क्रम आहे ज्यामध्ये प्रत्येक सदस्य, दुसऱ्यापासून सुरू होणारा, त्याच संख्येमध्ये जोडलेल्या मागील सदस्याच्या समान असतो d (d- प्रगती फरक) |
भौमितिक प्रगती b nशून्य नसलेल्या संख्यांचा क्रम आहे, ज्यातील प्रत्येक पद, दुसऱ्यापासून सुरू होणारी, समान संख्येने गुणाकार केलेल्या मागील पदाच्या समान आहे q (q- प्रगतीचा भाजक) |
पुनरावृत्ती सूत्र |
कोणत्याही नैसर्गिक साठी n |
कोणत्याही नैसर्गिक साठी n |
सूत्र n व्या पद |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्म |  |
|
| पहिल्या n अटींची बेरीज |  |
 |
टिप्पण्यांसह कार्यांची उदाहरणे
व्यायाम १
अंकगणित प्रगतीमध्ये ( एक एन) a 1 = -6, a 2
नवव्या पदाच्या सूत्रानुसार:
एक 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ २१ दि
अटीनुसार:
a 1= -6, नंतर एक 22= -6 + 21 दि .
प्रगतीचा फरक शोधणे आवश्यक आहे:
d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
एक 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
उत्तर: एक 22 = -48.
कार्य २
भौमितिक प्रगतीचे पाचवे पद शोधा: -3; ६;....
पहिली पद्धत (n-टर्म सूत्र वापरून)
भौमितिक प्रगतीच्या nव्या पदाच्या सूत्रानुसार:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
कारण ब १ = -3,
दुसरी पद्धत (वारंवार सूत्र वापरून)
प्रगतीचा भाजक -2 (q = -2) असल्याने:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
उत्तर: b 5 = -48.
कार्य 3
अंकगणित प्रगतीमध्ये ( a n) a 74 = 34; एक 76= 156. या प्रगतीचे पंचाहत्तरवे पद शोधा.
अंकगणित प्रगतीसाठी, वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्माचे स्वरूप असते 
.
म्हणून:
.
चला डेटाला सूत्रामध्ये बदलू:
उत्तर: ९५.
कार्य 4
अंकगणित प्रगतीमध्ये ( a n ) a n= 3n - 4. पहिल्या सतरा संज्ञांची बेरीज शोधा.
अंकगणिताच्या प्रगतीच्या पहिल्या n पदांची बेरीज शोधण्यासाठी, दोन सूत्रे वापरली जातात:
.
या प्रकरणात वापरण्यासाठी त्यापैकी कोणते अधिक सोयीस्कर आहे?
स्थितीनुसार, मूळ प्रगतीच्या nव्या पदाचे सूत्र ज्ञात आहे ( एक एन) एक एन= 3n - 4. आपण लगेच शोधू शकता आणि a 1, आणि एक 16न शोधता डी. म्हणून, आम्ही प्रथम सूत्र वापरू.
उत्तर: ३६८.
कार्य 5
अंकगणित प्रगतीमध्ये ( एक एन) a 1 = -6; a 2= -8. प्रगतीचा बावीसवा टर्म शोधा.
नवव्या पदाच्या सूत्रानुसार:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ २१ दि.
अटीनुसार, जर a 1= -6, नंतर एक 22= -6 + 21d . प्रगतीचा फरक शोधणे आवश्यक आहे:
d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
एक 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
उत्तर: एक 22 = -48.
कार्य 6
भौमितिक प्रगतीच्या अनेक सलग संज्ञा लिहिल्या आहेत:
x ने दर्शविलेल्या प्रगतीची संज्ञा शोधा.
सोडवताना, आपण nव्या पदासाठी सूत्र वापरू b n = b 1 ∙ q n - 1भौमितिक प्रगतीसाठी. प्रगतीची पहिली टर्म. प्रगती q चा भाजक शोधण्यासाठी, तुम्हाला प्रगतीच्या दिलेल्या अटींपैकी कोणतीही अटी घ्याव्या लागतील आणि मागील एकाने भागा. आमच्या उदाहरणात, आपण घेऊ शकतो आणि भागाकार करू शकतो. आम्हाला ते q = 3 मिळते. n च्या ऐवजी, आम्ही सूत्रामध्ये 3 बदलतो, कारण दिलेल्या भूमितीय प्रगतीची तिसरी संज्ञा शोधणे आवश्यक आहे.
सापडलेल्या मूल्यांना सूत्रामध्ये बदलून, आम्हाला मिळते:
.
उत्तर :.
कार्य 7
नवव्या पदाच्या सूत्राने दिलेल्या अंकगणितीय प्रगतीमधून, ज्यासाठी अट पूर्ण होते ती निवडा. एक 27 > 9:
प्रगतीच्या 27 व्या टर्मसाठी दिलेली अट पूर्ण करणे आवश्यक असल्याने, आम्ही प्रत्येक चार प्रगतीमध्ये n ऐवजी 27 बदलतो. चौथ्या प्रगतीमध्ये आम्हाला मिळते:
.
उत्तर: ४.
कार्य 8
अंकगणित प्रगती मध्ये a 1= 3, d = -1.5. n चे सर्वात मोठे मूल्य निर्दिष्ट करा ज्यासाठी असमानता आहे एक एन > -6.
अंकगणित प्रगतीसंख्यांच्या क्रमाला नाव द्या (प्रगतीच्या अटी)
ज्यामध्ये प्रत्येक पुढील पद नवीन पदाद्वारे मागील एकापेक्षा भिन्न आहे, ज्याला देखील म्हणतात पाऊल किंवा प्रगती फरक.
अशा प्रकारे, प्रगतीची पायरी आणि त्याची पहिली टर्म निर्दिष्ट करून, तुम्ही सूत्र वापरून त्यातील कोणतेही घटक शोधू शकता.
अंकगणित प्रगतीचे गुणधर्म
1) अंकगणित प्रगतीचा प्रत्येक सदस्य, दुसऱ्या क्रमांकापासून सुरू होणारा, प्रगतीच्या मागील आणि पुढील सदस्यांचा अंकगणितीय सरासरी आहे.
संभाषण देखील खरे आहे. प्रगतीच्या समीप विषम (सम) पदांचा अंकगणितीय माध्य त्यांच्या दरम्यान उभ्या असलेल्या पदाच्या समान असेल, तर संख्यांचा हा क्रम अंकगणितीय प्रगती आहे. या विधानाचा वापर करून, कोणताही क्रम तपासणे खूप सोपे आहे.
तसेच, अंकगणिताच्या प्रगतीच्या गुणधर्मानुसार, वरील सूत्र खालीलप्रमाणे सामान्यीकृत केले जाऊ शकते
तुम्ही समान चिन्हाच्या उजवीकडे अटी लिहिल्यास हे सत्यापित करणे सोपे आहे
समस्यांमध्ये गणना सोपी करण्यासाठी प्रॅक्टिसमध्ये याचा वापर केला जातो.
2) अंकगणिताच्या प्रगतीच्या पहिल्या n पदांची बेरीज सूत्र वापरून काढली जाते
अंकगणिताच्या प्रगतीच्या बेरजेचे सूत्र चांगले लक्षात ठेवा; ते गणनेत अपरिहार्य आहे आणि बरेचदा साध्या जीवन परिस्थितीत आढळते.
३) जर तुम्हाला संपूर्ण बेरीज शोधायची नाही तर त्याच्या kth टर्मपासून सुरू होणाऱ्या क्रमाचा काही भाग शोधायचा असेल तर खालील बेरीज सूत्र तुमच्यासाठी उपयुक्त ठरेल.
4) kth क्रमांकापासून सुरू होणाऱ्या अंकगणिताच्या प्रगतीच्या n पदांची बेरीज शोधणे हे व्यावहारिक स्वारस्य आहे. हे करण्यासाठी, सूत्र वापरा
हे सैद्धांतिक साहित्याचा निष्कर्ष काढते आणि व्यवहारात सामान्य समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी पुढे जाते.
उदाहरण 1. अंकगणिताच्या प्रगतीचा चाळीसावा पद शोधा 4;7;...
उपाय:
आमच्याकडे असलेल्या अटीनुसार
चला प्रगतीची पायरी निश्चित करूया
एक सुप्रसिद्ध सूत्र वापरून, आपल्याला प्रगतीची चाळीसावी संज्ञा आढळते
उदाहरण २. अंकगणिताची प्रगती त्याच्या तिसऱ्या आणि सातव्या पदांद्वारे दिली जाते. प्रगतीची पहिली संज्ञा आणि दहाची बेरीज शोधा.
उपाय:
सूत्रांचा वापर करून प्रगतीचे दिलेले घटक लिहू
आम्ही दुसऱ्या समीकरणातून पहिले वजा करतो, परिणामी आम्हाला प्रगतीची पायरी सापडते
अंकगणिताच्या प्रगतीची पहिली संज्ञा शोधण्यासाठी आम्ही कोणत्याही समीकरणामध्ये सापडलेल्या मूल्याची जागा घेतो
आम्ही प्रगतीच्या पहिल्या दहा पदांच्या बेरजेची गणना करतो
जटिल गणना न वापरता, आम्हाला सर्व आवश्यक प्रमाणात आढळले.
उदाहरण 3. अंकगणितीय प्रगती भाजक आणि त्यातील एका पदाद्वारे दिली जाते. प्रगतीची पहिली संज्ञा, 50 पासून सुरू होणाऱ्या 50 पदांची बेरीज आणि पहिल्या 100 ची बेरीज शोधा.
उपाय:
प्रगतीच्या शंभरव्या घटकाचे सूत्र लिहू
आणि पहिला शोधा
पहिल्यावर आधारित, आम्हाला प्रगतीची 50 वी संज्ञा आढळते
प्रगतीच्या भागाची बेरीज शोधणे
आणि पहिल्या 100 ची बेरीज
प्रगती रक्कम 250 आहे.
उदाहरण ४.
अंकगणित प्रगतीच्या संज्ञांची संख्या शोधा जर:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
उपाय:
प्रथम पद आणि प्रगतीच्या पायरीच्या संदर्भात समीकरणे लिहू आणि ते निश्चित करू
बेरीजमधील पदांची संख्या निश्चित करण्यासाठी आम्ही प्राप्त मूल्ये बेरीज सूत्रामध्ये बदलतो
आम्ही सरलीकरण पार पाडतो
आणि द्विघात समीकरण सोडवा
सापडलेल्या दोन मूल्यांपैकी, फक्त 8 संख्या समस्या परिस्थितीशी जुळते. अशा प्रकारे, प्रगतीच्या पहिल्या आठ पदांची बेरीज 111 आहे.
उदाहरण ५.
समीकरण सोडवा
१+३+५+...x=३०७.
उपाय: हे समीकरण म्हणजे अंकगणिताच्या प्रगतीची बेरीज. चला त्याची पहिली संज्ञा लिहू आणि प्रगतीमधील फरक शोधू
काही लोक "प्रगती" या शब्दाला सावधगिरीने हाताळतात, विभागांमधील एक अतिशय जटिल संज्ञा म्हणून उच्च गणित. दरम्यान, सर्वात सोपी अंकगणित प्रगती टॅक्सी मीटरचे काम आहे (जेथे ते अद्याप अस्तित्वात आहेत). आणि काही प्राथमिक संकल्पनांचे विश्लेषण करून, अंकगणित क्रमाचे सार समजून घेणे (आणि गणितात "सार समजणे" पेक्षा महत्त्वाचे काहीही नाही) इतके अवघड नाही.
गणिती संख्या क्रम
संख्यात्मक क्रमाला सहसा संख्यांची मालिका म्हणतात, ज्यापैकी प्रत्येकाची स्वतःची संख्या असते.
a 1 हा अनुक्रमाचा पहिला सदस्य आहे;
आणि 2 ही अनुक्रमाची दुसरी संज्ञा आहे;
आणि 7 हा अनुक्रमाचा सातवा सदस्य आहे;
आणि n हा अनुक्रमाचा nवा सदस्य आहे;
तथापि, संख्या आणि संख्यांचा कोणताही अनियंत्रित संच आपल्याला स्वारस्य नाही. आम्ही आमचे लक्ष एका संख्यात्मक क्रमावर केंद्रित करू ज्यामध्ये nव्या पदाचे मूल्य त्याच्या क्रमिक संख्येशी अशा संबंधाने संबंधित आहे जे गणितीयदृष्ट्या स्पष्टपणे तयार केले जाऊ शकते. दुसऱ्या शब्दांत: nव्या क्रमांकाचे संख्यात्मक मूल्य हे n चे काही कार्य आहे.
a हे संख्यात्मक क्रमाच्या सदस्याचे मूल्य आहे;
n हा त्याचा अनुक्रमांक आहे;
f(n) हे एक फंक्शन आहे, जेथे संख्यात्मक अनुक्रम n मधील क्रमिक संख्या हा वितर्क आहे.
व्याख्या
अंकगणिताच्या प्रगतीला सामान्यतः संख्यात्मक क्रम म्हणतात ज्यामध्ये प्रत्येक पुढील पद समान संख्येने मागील एकापेक्षा जास्त (कमी) असते. अंकगणित क्रमाच्या nव्या पदाचे सूत्र खालीलप्रमाणे आहे:
a n - अंकगणित प्रगतीच्या वर्तमान सदस्याचे मूल्य;
n+1 - पुढील संख्येचे सूत्र;
d - फरक (विशिष्ट संख्या).
हे निश्चित करणे सोपे आहे की जर फरक सकारात्मक असेल (d>0), तर विचाराधीन मालिकेतील प्रत्येक त्यानंतरचा सदस्य मागील सदस्यापेक्षा जास्त असेल आणि अशी अंकगणित प्रगती वाढत जाईल.
खालील आलेखामध्ये संख्या क्रमाला “वाढ” का म्हटले जाते हे पाहणे सोपे आहे.
ज्या प्रकरणांमध्ये फरक नकारात्मक आहे (डी<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
निर्दिष्ट सदस्य मूल्य
काहीवेळा अंकगणितीय प्रगतीच्या कोणत्याही अनियंत्रित पद a n चे मूल्य निर्धारित करणे आवश्यक असते. अंकगणित प्रगतीच्या सर्व सदस्यांच्या मूल्यांची क्रमवार गणना करून, पहिल्यापासून इच्छित एकापर्यंत हे केले जाऊ शकते. तथापि, उदाहरणार्थ, पाच-हजारव्या किंवा आठ-दशलक्षव्या पदाचे मूल्य शोधणे आवश्यक असल्यास, हा मार्ग नेहमी स्वीकार्य नाही. पारंपारिक गणनेसाठी बराच वेळ लागेल. तथापि, विशिष्ट सूत्रे वापरून विशिष्ट अंकगणित प्रगतीचा अभ्यास केला जाऊ शकतो. nव्या पदासाठी एक सूत्र देखील आहे: अंकगणित प्रगतीच्या कोणत्याही पदाचे मूल्य प्रगतीच्या फरकासह प्रगतीच्या पहिल्या टर्मची बेरीज म्हणून निर्धारित केले जाऊ शकते, इच्छित पदाच्या संख्येने गुणाकार करून, कमी करून एक
प्रगती वाढवणे आणि कमी करणे हे सूत्र सार्वत्रिक आहे.
दिलेल्या पदाच्या मूल्याची गणना करण्याचे उदाहरण
अंकगणिताच्या प्रगतीच्या nव्या पदाचे मूल्य शोधण्याची खालील समस्या सोडवू.
अट: पॅरामीटर्ससह एक अंकगणित प्रगती आहे:
अनुक्रमाची पहिली संज्ञा 3 आहे;
संख्या मालिकेतील फरक 1.2 आहे.
कार्य: तुम्हाला 214 अटींचे मूल्य शोधण्याची आवश्यकता आहे
उपाय: दिलेल्या पदाचे मूल्य निश्चित करण्यासाठी, आम्ही सूत्र वापरतो:
a(n) = a1 + d(n-1)
समस्या विधानातील डेटा अभिव्यक्तीमध्ये बदलून, आमच्याकडे आहे:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6
उत्तर: अनुक्रमाचे 214 वे पद 258.6 च्या बरोबरीचे आहे.
गणनाच्या या पद्धतीचे फायदे स्पष्ट आहेत - संपूर्ण समाधान 2 पेक्षा जास्त ओळी घेत नाही.
दिलेल्या पदांच्या संख्येची बेरीज
बऱ्याचदा, दिलेल्या अंकगणित मालिकेत, त्याच्या काही विभागांच्या मूल्यांची बेरीज निश्चित करणे आवश्यक असते. हे करण्यासाठी, प्रत्येक पदाच्या मूल्यांची गणना करण्याची आणि नंतर त्यांना जोडण्याची देखील आवश्यकता नाही. ज्या पदांची बेरीज शोधायची आहे त्यांची संख्या कमी असल्यास ही पद्धत लागू होते. इतर बाबतीत, खालील सूत्र वापरणे अधिक सोयीस्कर आहे.
1 ते n पर्यंतच्या अंकगणित प्रगतीच्या पदांची बेरीज पहिल्या आणि nव्या पदांच्या बेरजेइतकी असते, n या संज्ञेच्या संख्येने गुणाकार केला जातो आणि दोनने भाग जातो. जर सूत्रात n व्या पदाचे मूल्य लेखाच्या मागील परिच्छेदातील अभिव्यक्तीने बदलले असेल तर आम्हाला मिळेल:
गणना उदाहरण
उदाहरणार्थ, खालील अटींसह समस्या सोडवूया:
अनुक्रमाची पहिली संज्ञा शून्य आहे;
फरक 0.5 आहे.
समस्येसाठी 56 ते 101 पर्यंत मालिकेच्या अटींची बेरीज निश्चित करणे आवश्यक आहे.
उपाय. प्रगतीचे प्रमाण निर्धारित करण्यासाठी सूत्र वापरू:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
प्रथम, आम्ही आमच्या समस्येच्या दिलेल्या अटी सूत्रामध्ये बदलून प्रगतीच्या 101 अटींच्या मूल्यांची बेरीज निश्चित करतो:
s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
अर्थात, 56 व्या ते 101 व्या प्रगतीच्या अटींची बेरीज शोधण्यासाठी, S 101 मधून S 55 वजा करणे आवश्यक आहे.
s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5
अशा प्रकारे, या उदाहरणासाठी अंकगणित प्रगतीची बेरीज आहे:
s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5
अंकगणित प्रगतीच्या व्यावहारिक अनुप्रयोगाचे उदाहरण
लेखाच्या शेवटी, पहिल्या परिच्छेदात दिलेल्या अंकगणित क्रमाच्या उदाहरणाकडे परत येऊ - टॅक्सीमीटर (टॅक्सी कार मीटर). या उदाहरणाचा विचार करूया.
टॅक्सी (ज्यामध्ये 3 किमी प्रवासाचा समावेश आहे) चढण्यासाठी 50 रूबल खर्च येतो. प्रत्येक त्यानंतरच्या किलोमीटरला 22 रूबल/किमी दराने पैसे दिले जातात. प्रवासाचे अंतर 30 किमी आहे. सहलीच्या खर्चाची गणना करा.
1. पहिले 3 किमी टाकून देऊ, ज्याची किंमत लँडिंगच्या खर्चामध्ये समाविष्ट आहे.
30 - 3 = 27 किमी.
2. पुढील गणना म्हणजे अंकगणित क्रमांक मालिका पार्स करण्यापेक्षा अधिक काही नाही.
सदस्य संख्या - प्रवास केलेल्या किलोमीटरची संख्या (पहिले तीन वजा).
सदस्याचे मूल्य ही बेरीज आहे.
या समस्येतील प्रथम टर्म 1 = 50 रूबलच्या समान असेल.
प्रगती फरक d = 22 r.
अंकगणिताच्या प्रगतीच्या (27+1)व्या पदाचे मूल्य आम्हाला स्वारस्य आहे - 27 व्या किलोमीटरच्या शेवटी मीटर रीडिंग 27.999... = 28 किमी आहे.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
अनियंत्रितपणे दीर्घ कालावधीसाठी कॅलेंडर डेटा गणना विशिष्ट संख्यात्मक अनुक्रमांचे वर्णन करणाऱ्या सूत्रांवर आधारित आहे. खगोलशास्त्रात, कक्षेची लांबी भौमितीयदृष्ट्या खगोलीय पिंडापासून ताऱ्यापर्यंतच्या अंतरावर अवलंबून असते. याशिवाय, संख्याशास्त्र आणि गणिताच्या इतर लागू क्षेत्रांमध्ये विविध संख्या मालिका यशस्वीरित्या वापरल्या जातात.
संख्या क्रमाचा दुसरा प्रकार म्हणजे भौमितिक
भूमितीय प्रगती अंकगणित प्रगतीच्या तुलनेत बदलाच्या मोठ्या दरांद्वारे दर्शविली जाते. हा योगायोग नाही की राजकारण, समाजशास्त्र आणि वैद्यकशास्त्रात, एखाद्या विशिष्ट घटनेच्या प्रसाराची उच्च गती दर्शविण्यासाठी, उदाहरणार्थ, महामारी दरम्यान एखादा रोग, ते म्हणतात की प्रक्रिया भौमितिक प्रगतीमध्ये विकसित होते.
भौमितिक संख्या मालिकेची Nवी संज्ञा मागील एकापेक्षा वेगळी आहे कारण ती काही स्थिर संख्येने गुणाकार केली जाते - भाजक, उदाहरणार्थ, पहिली संज्ञा 1 आहे, भाजक 2 च्या समान आहे, नंतर:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - भौमितिक प्रगतीच्या वर्तमान टर्मचे मूल्य;
b n+1 - भौमितिक प्रगतीच्या पुढील टर्मचे सूत्र;
q हा भौमितिक प्रगतीचा (एक स्थिर संख्या) भाजक आहे.
जर अंकगणित प्रगतीचा आलेख सरळ रेषा असेल, तर भौमितिक प्रगती थोडे वेगळे चित्र रंगवते:
अंकगणिताच्या बाबतीत, भौमितिक प्रगतीमध्ये अनियंत्रित पदाच्या मूल्यासाठी एक सूत्र आहे. भौमितिक प्रगतीची कोणतीही n वी संज्ञा पहिल्या पदाच्या गुणाकाराच्या बरोबरीची असते आणि n च्या घातापर्यंत प्रगतीचा भाजक एकाने कमी केला जातो:
उदाहरण. आमच्याकडे भौमितिक प्रगती आहे ज्याची पहिली संज्ञा 3 च्या बरोबरीची आहे आणि प्रगतीचा भाजक 1.5 च्या बरोबरीचा आहे. प्रगतीची 5वी संज्ञा शोधू
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875
विशिष्ट सूत्र वापरून दिलेल्या पदांच्या संख्येची बेरीज देखील मोजली जाते. भौमितिक प्रगतीच्या पहिल्या n पदांची बेरीज प्रगतीच्या nव्या पदाच्या गुणाकार आणि त्याचा भाजक आणि प्रगतीच्या पहिल्या पदाच्या गुणाकारातील फरकाच्या बरोबरीची आहे, ज्याला एकाने कमी केलेल्या भाजकाने भागले आहे:
वर चर्चा केलेल्या सूत्राचा वापर करून b n बदलल्यास, विचाराधीन संख्या मालिकेतील पहिल्या n अटींच्या बेरजेचे मूल्य असे स्वरूप घेईल:
उदाहरण. भौमितिक प्रगती 1 च्या बरोबरीच्या पहिल्या पदापासून सुरू होते. भाजक 3 वर सेट केला आहे. पहिल्या आठ संज्ञांची बेरीज शोधू या.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
अंकगणिताच्या प्रगतीवरील समस्या प्राचीन काळी आधीच अस्तित्वात होत्या. ते दिसले आणि त्यांनी उपायाची मागणी केली कारण त्यांना व्यावहारिक गरज होती.
अशा प्रकारे, गणितीय सामग्री असलेल्या प्राचीन इजिप्तच्या पपायरींपैकी एक, रिंड पॅपिरस (इ.स.पू. १९वे शतक) मध्ये खालील कार्य समाविष्ट आहे: दहा लोकांमध्ये दहा मापे भाकरीची विभागणी करा, बशर्ते की त्या प्रत्येकामध्ये फरक एक आठवा असेल. मोजमाप."
आणि प्राचीन ग्रीक लोकांच्या गणितीय कार्यांमध्ये अंकगणिताच्या प्रगतीशी संबंधित मोहक प्रमेये आहेत. अशाप्रकारे, अलेक्झांड्रियाचे हायप्सिकल्स (दुसरे शतक, ज्यांनी अनेक मनोरंजक समस्यांचे संकलन केले आणि युक्लिड्स एलिमेंट्समध्ये चौदावे पुस्तक जोडले), ही कल्पना तयार केली: “अंकगणितीय प्रगतीमध्ये ज्यामध्ये सम संख्या असलेल्या अटी आहेत, दुसऱ्या सहामाहीतील अटींची बेरीज सदस्यांच्या वर्ग 1/2 क्रमांकावरील 1 च्या अटींच्या बेरजेपेक्षा जास्त आहे."
क्रम a द्वारे दर्शविला जातो. अनुक्रमाच्या संख्यांना त्याचे सदस्य म्हणतात आणि सामान्यत: या सदस्याचा अनुक्रमांक दर्शविणाऱ्या निर्देशांकांसह अक्षरांद्वारे नियुक्त केले जातात (a1, a2, a3 ... वाचा: “a 1st”, “a 2रा”, “a 3rd” आणि असेच).
क्रम अनंत किंवा मर्यादित असू शकतो.
अंकगणित प्रगती म्हणजे काय? त्याद्वारे आमचा अर्थ d या समान संख्येसह मागील पद (n) जोडून मिळालेला आहे, जो प्रगतीचा फरक आहे.
जर डी<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, नंतर ही प्रगती वाढणारी मानली जाते.
अंकगणिताच्या प्रगतीला मर्यादित असे म्हटले जाते जर त्यातील पहिल्या काही संज्ञा विचारात घेतल्या गेल्या. मोठ्या संख्येने सदस्यांसह, ही आधीच एक अंतहीन प्रगती आहे.
कोणतीही अंकगणित प्रगती खालील सूत्राद्वारे परिभाषित केली जाते:
an =kn+b, तर b आणि k काही संख्या आहेत.
विरुद्ध विधान पूर्णपणे सत्य आहे: जर समान सूत्राने अनुक्रम दिलेला असेल, तर ती एक अंकगणितीय प्रगती आहे ज्यामध्ये गुणधर्म आहेत:
- प्रगतीचा प्रत्येक टर्म हा मागील टर्म आणि त्यानंतरच्या टर्मचा अंकगणितीय माध्य आहे.
- संभाषण: जर, 2 रा पासून सुरू होत असेल तर, प्रत्येक संज्ञा मागील टर्म आणि त्यानंतरच्या टर्मचा अंकगणितीय सरासरी असेल, म्हणजे. जर अट पूर्ण झाली, तर हा क्रम अंकगणितीय प्रगती आहे. ही समानता देखील प्रगतीचे लक्षण आहे, म्हणूनच याला सामान्यतः प्रगतीचा वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्म म्हटले जाते.
त्याच प्रकारे, हा गुणधर्म प्रतिबिंबित करणारा प्रमेय सत्य आहे: अनुक्रम ही अंकगणितीय प्रगती असते फक्त जर ही समानता 2 रा पासून सुरू होणाऱ्या अनुक्रमातील कोणत्याही अटींसाठी सत्य असेल.
अंकगणित प्रगतीच्या कोणत्याही चार संख्यांसाठी वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्म an + am = ak + al या सूत्राद्वारे व्यक्त केले जाऊ शकतात, जर n + m = k + l (m, n, k प्रगती संख्या असतील).
अंकगणिताच्या प्रगतीमध्ये, खालील सूत्र वापरून कोणतीही आवश्यक (Nth) संज्ञा शोधली जाऊ शकते:
उदाहरणार्थ: अंकगणिताच्या प्रगतीमध्ये पहिली संज्ञा (a1) दिली आहे आणि ती तीन आहे आणि फरक (d) चार आहे. तुम्हाला या प्रगतीचा पंचेचाळीसवा टर्म शोधण्याची गरज आहे. a45 = 1+4(45-1)=177
an = ak + d(n - k) हे सूत्र तुम्हाला अंकगणिताच्या प्रगतीची nवी संज्ञा त्याच्या kth संज्ञांद्वारे निर्धारित करण्यास अनुमती देते, जर ते ज्ञात असेल.
अंकगणित प्रगतीच्या अटींची बेरीज (म्हणजे मर्यादित प्रगतीच्या पहिल्या n अटी) खालीलप्रमाणे मोजली जाते:
Sn = (a1+an) n/2.
जर 1ली संज्ञा देखील ज्ञात असेल, तर गणनासाठी दुसरे सूत्र सोयीचे आहे:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
n संज्ञा असलेल्या अंकगणित प्रगतीची बेरीज खालीलप्रमाणे मोजली जाते:
गणनेसाठी सूत्रांची निवड समस्यांच्या परिस्थितीवर आणि प्रारंभिक डेटावर अवलंबून असते.
कोणत्याही संख्येची नैसर्गिक मालिका, जसे की 1,2,3,...,n,..., हे अंकगणिताच्या प्रगतीचे सर्वात सोपे उदाहरण आहे.
अंकगणित प्रगती व्यतिरिक्त, एक भौमितिक प्रगती देखील आहे, ज्याचे स्वतःचे गुणधर्म आणि वैशिष्ट्ये आहेत.
