मॉड्यूलससह असमानता डाव्या बाजूला समायोजित केली जाते. मॉड्यूलससह समीकरणे आणि असमानता

संख्यांचे मॉड्यूलसही संख्या नॉन-ऋणात्मक असल्यास त्यालाच म्हटले जाते, किंवा विरुद्ध चिन्ह असलेली समान संख्या जर ती ऋणात्मक असेल तर.

उदाहरणार्थ, क्रमांक 6 चा मापांक 6 आहे आणि -6 क्रमांकाचा मापांक देखील 6 आहे.

म्हणजेच, संख्येचे मॉड्यूलस हे त्याचे चिन्ह विचारात न घेता या संख्येचे निरपेक्ष मूल्य, निरपेक्ष मूल्य समजले जाते.

हे खालीलप्रमाणे नियुक्त केले आहे: |6|, | एक्स|, |ए| इ.

("नंबर मॉड्यूल" विभागात अधिक तपशील).

मॉड्यूलससह समीकरणे.

उदाहरण १ . समीकरण सोडवा|10 एक्स - 5| = 15.

उपाय.

नियमानुसार, समीकरण दोन समीकरणांच्या संयोजनासारखे आहे:

10एक्स - 5 = 15
10एक्स - 5 = -15

आम्ही ठरवतो:

10एक्स = 15 + 5 = 20
10एक्स = -15 + 5 = -10

एक्स = 20: 10
एक्स = -10: 10

एक्स = 2
एक्स = -1

उत्तर द्या: एक्स 1 = 2, एक्स 2 = -1.

उदाहरण २ . समीकरण सोडवा|2 एक्स + 1| = एक्स + 2.

उपाय.

मोड्यूलस एक नॉन-ऋणात्मक संख्या असल्याने, नंतर एक्स+ 2 ≥ 0. त्यानुसार:

एक्स ≥ -2.

चला दोन समीकरणे बनवू:

2एक्स + 1 = एक्स + 2
2एक्स + 1 = -(एक्स + 2)

आम्ही ठरवतो:

2एक्स + 1 = एक्स + 2
2एक्स + 1 = -एक्स - 2

2एक्स - एक्स = 2 - 1
2एक्स + एक्स = -2 - 1

एक्स = 1
एक्स = -1

दोन्ही संख्या -2 पेक्षा जास्त आहेत. त्यामुळे दोन्ही समीकरणाची मुळे आहेत.

उत्तर द्या: एक्स 1 = -1, एक्स 2 = 1.

उदाहरण ३ . समीकरण सोडवा

|एक्स + 3| - 1
————— = 4
एक्स - 1

उपाय.

भाजक शून्य नसल्यास समीकरणाला अर्थ प्राप्त होतो - म्हणजे जर एक्स≠ 1. ही अट विचारात घेऊ. आमची पहिली कृती सोपी आहे - आम्ही फक्त अपूर्णांक काढून टाकत नाही, तर मॉड्यूल त्याच्या शुद्ध स्वरूपात मिळवण्यासाठी त्याचे रूपांतर करतो:

|एक्स+ 3| - 1 = 4 · ( एक्स - 1),

|एक्स + 3| - 1 = 4एक्स - 4,

|एक्स + 3| = 4एक्स - 4 + 1,

|एक्स + 3| = 4एक्स - 3.

आता आपल्याकडे समीकरणाच्या डाव्या बाजूला मॉड्यूलस अंतर्गत फक्त एक अभिव्यक्ती आहे. पुढे जा.
संख्येचे मॉड्यूलस ही एक नॉन-ऋणात्मक संख्या आहे - म्हणजेच ती शून्यापेक्षा मोठी किंवा शून्याच्या समान असणे आवश्यक आहे. त्यानुसार, आम्ही असमानता सोडवतो:

4एक्स - 3 ≥ 0

4एक्स ≥ 3

एक्स ≥ 3/4

अशा प्रकारे, आमच्याकडे दुसरी अट आहे: समीकरणाचे मूळ किमान 3/4 असणे आवश्यक आहे.

नियमानुसार, आम्ही दोन समीकरणांचा संच तयार करतो आणि त्यांचे निराकरण करतो:

एक्स + 3 = 4एक्स - 3
एक्स + 3 = -(4एक्स - 3)

एक्स + 3 = 4एक्स - 3
एक्स + 3 = -4एक्स + 3

एक्स - 4एक्स = -3 - 3
एक्स + 4एक्स = 3 - 3

एक्स = 2
एक्स = 0

आम्हाला दोन उत्तरे मिळाली. ते मूळ समीकरणाचे मूळ आहेत का ते तपासू.

आमच्याकडे दोन अटी होत्या: समीकरणाचे मूळ 1 बरोबर असू शकत नाही आणि ते किमान 3/4 असले पाहिजे. ते आहे एक्स ≠ 1, एक्स≥ ३/४. या दोन्ही अटी प्राप्त झालेल्या दोन उत्तरांपैकी फक्त एकाशी संबंधित आहेत - क्रमांक 2. याचा अर्थ फक्त हेच मूळ समीकरणाचे मूळ आहे.

उत्तर द्या: एक्स = 2.

मॉड्यूलससह असमानता.

उदाहरण १ . विषमता सोडवा| एक्स - 3| < 4

उपाय.

मॉड्यूल नियम सांगतो:

|ए| = ए, तर ए ≥ 0.

|ए| = -ए, तर ए < 0.

मॉड्यूलमध्ये नकारात्मक आणि ऋणात्मक दोन्ही संख्या असू शकतात. म्हणून आपण दोन्ही प्रकरणांचा विचार केला पाहिजे: एक्स- 3 ≥ 0 आणि एक्स - 3 < 0.

1) केव्हा एक्स- 3 ≥ 0 आमची मूळ असमानता तशीच राहते, केवळ मापांक चिन्हाशिवाय:
एक्स - 3 < 4.

2) केव्हा एक्स - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(एक्स - 3) < 4.

कंस उघडून, आम्हाला मिळते:

-एक्स + 3 < 4.

अशा प्रकारे, या दोन परिस्थितींमधून आम्ही असमानतेच्या दोन प्रणालींच्या एकत्रीकरणाकडे आलो:

एक्स - 3 ≥ 0
एक्स - 3 < 4

एक्स - 3 < 0
-एक्स + 3 < 4

चला त्यांचे निराकरण करूया:

एक्स ≥ 3
एक्स < 7

एक्स < 3
एक्स > -1

तर, आमचे उत्तर म्हणजे दोन संचाचे संघटन:

3 ≤ एक्स < 7 U -1 < एक्स < 3.

सर्वात लहान आणि सर्वात मोठी मूल्ये निश्चित करा. हे आहेत -1 आणि 7. शिवाय एक्स-1 पेक्षा जास्त परंतु 7 पेक्षा कमी.
याशिवाय, एक्स≥ 3. याचा अर्थ असमानतेचे निराकरण म्हणजे -1 ते 7 पर्यंतच्या संख्यांचा संपूर्ण संच, या अत्यंत संख्यांना वगळून.

उत्तर द्या: -1 < एक्स < 7.

किंवा: एक्स ∈ (-1; 7).

ॲड-ऑन.

1) आपली असमानता सोडवण्याचा एक सोपा आणि छोटा मार्ग आहे - ग्राफिक पद्धतीने. हे करण्यासाठी, आपल्याला क्षैतिज अक्ष (चित्र 1) काढण्याची आवश्यकता आहे.

अभिव्यक्ती | एक्स - 3| < 4 означает, что расстояние от точки एक्सपॉइंट 3 ते चार एककांपेक्षा कमी आहे. आम्ही अक्षावर क्रमांक 3 चिन्हांकित करतो आणि डावीकडे आणि उजवीकडे 4 विभाग मोजतो. डावीकडे आपण बिंदू -1 वर, उजवीकडे - बिंदू 7 वर येऊ. अशा प्रकारे, बिंदू एक्सआम्ही त्यांची गणना न करता फक्त त्यांना पाहिले.

शिवाय, असमानतेच्या स्थितीनुसार, -1 आणि 7 स्वतःच सोल्यूशनच्या सेटमध्ये समाविष्ट केलेले नाहीत. अशा प्रकारे, आम्हाला उत्तर मिळते:

1 < एक्स < 7.

२) पण आणखी एक उपाय आहे जो ग्राफिकल पद्धतीपेक्षाही सोपा आहे. हे करण्यासाठी, आमची असमानता खालील स्वरूपात सादर करणे आवश्यक आहे:

4 < एक्स - 3 < 4.

शेवटी, मॉड्यूलस नियमानुसार हे असे आहे. गैर-ऋण संख्या 4 आणि समान ऋण संख्या -4 असमानता सोडवण्याच्या सीमा आहेत.

4 + 3 < एक्स < 4 + 3

1 < एक्स < 7.

उदाहरण २ . विषमता सोडवा| एक्स - 2| ≥ 5

उपाय.

हे उदाहरण मागील उदाहरणापेक्षा लक्षणीय भिन्न आहे. डावी बाजू 5 पेक्षा मोठी किंवा 5 च्या बरोबरीची आहे. भौमितिक दृष्टिकोनातून, असमानतेचे समाधान म्हणजे बिंदू 2 (चित्र 2) पासून 5 एकके किंवा त्याहून अधिक अंतरावर असलेल्या सर्व संख्या. आलेख दर्शवितो की या सर्व संख्या आहेत ज्या -3 पेक्षा कमी किंवा समान आहेत आणि 7 पेक्षा जास्त आहेत. याचा अर्थ आम्हाला आधीच उत्तर मिळाले आहे.

उत्तर द्या: -3 ≥ एक्स ≥ 7.

वाटेत, आम्ही मुक्त पदाची डावीकडे आणि उजवीकडे विरुद्ध चिन्हासह पुनर्रचना करून समान असमानता सोडवतो:

5 ≥ एक्स - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ एक्स ≥ 5 + 2

उत्तर एकच आहे: -3 ≥ एक्स ≥ 7.

किंवा: एक्स ∈ [-3; 7]

उदाहरण सोडवले आहे.

उदाहरण ३ . विषमता सोडवा 6 एक्स 2 - | एक्स| - 2 ≤ 0

उपाय.

क्रमांक एक्ससकारात्मक संख्या, ऋण संख्या किंवा शून्य असू शकते. म्हणून, आपण तिन्ही परिस्थिती विचारात घेणे आवश्यक आहे. आपल्याला माहिती आहे की, ते दोन असमानतेमध्ये विचारात घेतले जातात: एक्स≥ ० आणि एक्स < 0. При एक्स≥ 0 आम्ही आमची मूळ असमानता फक्त मोड्युलस चिन्हाशिवाय पुन्हा लिहितो:

6x 2 - एक्स - 2 ≤ 0.

आता दुसऱ्या केसबद्दल: जर एक्स < 0. Модулем ऋण संख्याविरुद्ध चिन्हासह समान संख्या आहे. म्हणजेच, आम्ही मोड्यूलस अंतर्गत संख्या विरुद्ध चिन्हासह लिहितो आणि पुन्हा स्वतःला मॉड्यूलस चिन्हापासून मुक्त करतो:

6एक्स 2 - (-एक्स) - 2 ≤ 0.

कंसाचा विस्तार करणे:

6एक्स 2 + एक्स - 2 ≤ 0.

अशा प्रकारे, आम्हाला समीकरणांच्या दोन प्रणाली प्राप्त झाल्या:

6एक्स 2 - एक्स - 2 ≤ 0
एक्स ≥ 0

6एक्स 2 + एक्स - 2 ≤ 0
एक्स < 0

आपल्याला सिस्टीममधील असमानता सोडवण्याची गरज आहे - आणि याचा अर्थ आपल्याला दोनची मुळे शोधण्याची आवश्यकता आहे चतुर्भुज समीकरणे. हे करण्यासाठी, आम्ही असमानतेच्या डाव्या बाजूंना शून्याशी समतुल्य करतो.

चला पहिल्यापासून सुरुवात करूया:

6एक्स 2 - एक्स - 2 = 0.

द्विघात समीकरण कसे सोडवायचे - "चतुर्भुज समीकरण" हा विभाग पहा. आम्ही त्वरित उत्तराचे नाव देऊ:

एक्स 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

असमानतेच्या पहिल्या सिस्टीममधून आपण असे प्राप्त करतो की मूळ असमानतेचे समाधान म्हणजे -1/2 ते 2/3 पर्यंतच्या संख्यांचा संपूर्ण संच आहे. आम्ही येथे उपायांचे संघ लिहितो एक्स ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

आता दुसरे चतुर्भुज समीकरण सोडवू.

6एक्स 2 + एक्स - 2 = 0.

त्याची मुळे:

एक्स 1 = -2/3, एक्स 2 = 1/2.

निष्कर्ष: केव्हा एक्स < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

चला दोन उत्तरे एकत्र करू आणि अंतिम उत्तर मिळवा: उपाय म्हणजे -2/3 ते 2/3 पर्यंतच्या संख्यांचा संपूर्ण संच आहे, ज्यामध्ये या अत्यंत संख्यांचा समावेश आहे.

उत्तर द्या: -2/3 ≤ एक्स ≤ 2/3.

किंवा: एक्स ∈ [-2/3; 2/3].

मॉड्यूल्ससह असमानता प्रकट करण्याच्या पद्धती (नियम) मध्ये सबमॉड्युलर फंक्शन्सच्या स्थिर चिन्हाचा मध्यांतर वापरून मॉड्यूल्सचे अनुक्रमिक प्रकटीकरण समाविष्ट आहे. अंतिम आवृत्तीमध्ये, अनेक असमानता प्राप्त केली जातात ज्यामधून मध्यांतर किंवा मध्यांतरे आढळतात जी समस्येच्या अटी पूर्ण करतात.

सरावातील सामान्य उदाहरणे सोडवण्याकडे वळूया.

मोड्युलीसह रेखीय असमानता

रेखीय म्हणजे समीकरणे ज्यामध्ये व्हेरिएबल समीकरणात रेखीयरित्या प्रवेश करते.

उदाहरण 1. असमानतेवर उपाय शोधा

उपाय:
समस्येच्या परिस्थितीवरून असे दिसून येते की मॉड्यूल x=-1 आणि x=-2 वर शून्यावर वळतात. हे बिंदू संख्यारेषेला मध्यांतरांमध्ये विभाजित करतात

या प्रत्येक अंतरामध्ये आपण दिलेली असमानता सोडवतो. हे करण्यासाठी, सर्व प्रथम, आम्ही सबमॉड्युलर फंक्शन्सच्या स्थिर चिन्हाच्या क्षेत्रांची ग्राफिकल रेखाचित्रे काढतो. ते प्रत्येक फंक्शनच्या चिन्हासह क्षेत्र म्हणून दर्शविले गेले आहेत

किंवा सर्व फंक्शन्सच्या चिन्हांसह मध्यांतर.

पहिल्या अंतराने आम्ही मॉड्यूल्स विस्तृत करतो

आम्ही दोन्ही बाजूंना वजा एक ने गुणाकार करतो आणि असमानतेतील चिन्ह उलट बदलेल. हा नियम अंगवळणी पडणे आपल्यासाठी कठीण असल्यास, आपण वजापासून मुक्त होण्यासाठी चिन्हाच्या मागे प्रत्येक भाग हलवू शकता. शेवटी तुम्हाला प्राप्त होईल

x>-3 या संचाचे क्षेत्रफळ ज्या क्षेत्रावर समीकरणे सोडवली आहेत ते अंतराल (-3;-2) असेल. ज्यांना उपाय शोधणे सोपे वाटते त्यांच्यासाठी तुम्ही या क्षेत्रांचे छेदनबिंदू ग्राफिकरित्या काढू शकता

क्षेत्रांचा सामान्य छेदनबिंदू हा उपाय असेल. काटेकोरपणे असमान असल्यास, कडा समाविष्ट नाहीत. कठोर नसल्यास, प्रतिस्थापनाद्वारे तपासा.

दुस-या अंतरावर आपल्याला मिळते

क्रॉस सेक्शन मध्यांतर (-2;-5/3) असेल. ग्राफिकली उपाय असे दिसेल

तिसऱ्या अंतरावर आपल्याला मिळते

ही स्थिती इच्छित प्रदेशात उपाय प्रदान करत नाही.

x=-2 बिंदूवर (-3;-2) आणि (-2;-5/3) सीमा दोन सोल्यूशन्स सापडल्यामुळे, आम्ही ते देखील तपासतो.

अशा प्रकारे बिंदू x=-2 हे समाधान आहे. सामान्य निर्णयहे लक्षात घेऊन ते असे दिसेल (-3;5/3).

उदाहरण 2. असमानतेवर उपाय शोधा
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

उपाय:
सबमॉड्युलर फंक्शन्सचे शून्य हे बिंदू x=2, x=3, x=4 असतील. या बिंदूंपेक्षा कमी वितर्क मूल्यांसाठी, सबमॉड्युलर फंक्शन्स नकारात्मक आहेत आणि मोठ्या मूल्यांसाठी, ते सकारात्मक आहेत.

बिंदू वास्तविक अक्ष चार मध्यांतरांमध्ये विभाजित करतात. आम्ही स्थिर चिन्हाच्या अंतरांनुसार मॉड्यूल्सचा विस्तार करतो आणि असमानता सोडवतो.

1) पहिल्या मध्यांतरात, सर्व सबमॉड्युलर फंक्शन्स नकारात्मक असतात, म्हणून मॉड्यूल्सचा विस्तार करताना, आम्ही चिन्ह विरुद्ध बदलतो.

समजलेल्या मध्यांतरासह सापडलेल्या x मूल्यांचे छेदनबिंदू बिंदूंचा संच असेल

2) बिंदू x=2 आणि x=3 मधील मध्यांतरावर, पहिले सबमॉड्युलर फंक्शन सकारात्मक आहे, दुसरे आणि तिसरे ऋण आहे. मॉड्यूल्सचा विस्तार केल्याने आम्हाला मिळते

एक असमानता जी, जेव्हा आपण सोडवत असलेल्या मध्यांतराला छेदतो तेव्हा एक समाधान मिळते – x=3.

3) बिंदू x=3 आणि x=4 मधील मध्यांतरावर, पहिली आणि दुसरी सबमॉड्युलर फंक्शन्स सकारात्मक आहेत आणि तिसरी ऋणात्मक आहेत. याच्या आधारे आम्हाला मिळते

ही स्थिती दर्शवते की संपूर्ण मध्यांतर मोड्युलीसह असमानता पूर्ण करेल.

4) x>4 च्या मूल्यांसाठी सर्व फंक्शन्समध्ये सकारात्मक चिन्हे आहेत. मॉड्यूल्सचा विस्तार करताना, आम्ही त्यांचे चिन्ह बदलत नाही.

मध्यांतरासह छेदनबिंदूवर आढळलेली स्थिती खालील उपायांचा संच देते

असमानता सर्व अंतराने सोडवली जात असल्याने, x च्या सर्व सापडलेल्या मूल्यांचे समान मूल्य शोधणे बाकी आहे. उपाय दोन अंतराल असेल

हे उदाहरण संपवते.

उदाहरण 3. असमानतेवर उपाय शोधा
||x-1|-5|>3-2x

उपाय:
आमच्याकडे मोड्यूलसमधून मॉड्यूलसमध्ये असमानता आहे. मॉड्यूल्स नेस्टेड केल्यामुळे अशा असमानता उघड होतात, ज्याची सुरुवात खोलवर असते.

सबमॉड्युलर फंक्शन x-1 x=1 वर शून्यात रूपांतरित केले जाते. 1 च्या पलीकडे असलेल्या लहान मूल्यांसाठी ते x>1 साठी ऋण आणि सकारात्मक आहे. याच्या आधारे, आम्ही अंतर्गत मॉड्यूल विस्तृत करतो आणि प्रत्येक मध्यांतरावर असमानतेचा विचार करतो.

प्रथम, वजा अनंत ते एक पर्यंतचे अंतर विचारात घ्या

सबमॉड्युलर फंक्शन x=-4 वर शून्य आहे. लहान मूल्यांवर ते सकारात्मक असते, मोठ्या मूल्यांवर ते नकारात्मक असते. x साठी मॉड्यूल विस्तृत करू<-4:

आम्ही ज्या क्षेत्राचा विचार करत आहोत त्या छेदनबिंदूवर, आम्ही उपायांचा एक संच प्राप्त करतो

पुढील पायरी म्हणजे मध्यांतर (-4;1) वर मॉड्यूल विस्तृत करणे

मॉड्यूलचे विस्तार क्षेत्र लक्षात घेऊन, आम्ही सोल्यूशन मध्यांतर प्राप्त करतो

लक्षात ठेवा: जर मॉड्यूल्सच्या अशा अनियमिततांमध्ये तुम्हाला सामान्य बिंदूच्या सीमेवर दोन अंतराल मिळत असतील तर, नियम म्हणून, हे देखील एक उपाय आहे.

हे करण्यासाठी, आपल्याला फक्त तपासण्याची आवश्यकता आहे.

या प्रकरणात, आपण x=-4 बिंदू बदलतो.

तर x=-4 हा उपाय आहे.
x>1 साठी अंतर्गत मॉड्यूल विस्तृत करू

x साठी सबमॉड्युलर फंक्शन नकारात्मक<6.
आम्हाला मिळालेले मॉड्यूल विस्तृत करत आहे

मध्यांतर (1;6) सह विभागातील ही स्थिती समाधानांचा रिक्त संच देते.

x>6 साठी आपल्याला असमानता मिळते

तसेच सोडवताना आम्हाला रिकामा संच मिळाला.
वरील सर्व गोष्टी लक्षात घेऊन, मॉड्यूल्ससह असमानतेचा एकमेव उपाय खालील मध्यांतर असेल.

चतुर्भुज समीकरणे असलेल्या मोड्युलीसह असमानता

उदाहरण 4. असमानतेवर उपाय शोधा
|x^2+3x|>=2-x^2

उपाय:
सबमॉड्युलर फंक्शन x=0, x=-3 बिंदूंवर अदृश्य होते. वजा एक ची साधी बदली

आम्ही ती स्थापित करतो शून्यापेक्षा कमीमध्यांतरावर (-3;0) आणि त्याच्या पलीकडे सकारात्मक.
सबमॉड्युलर फंक्शन पॉझिटिव्ह असलेल्या भागात मॉड्यूलचा विस्तार करूया

स्क्वेअर फंक्शन पॉझिटिव्ह आहे ते क्षेत्र निश्चित करणे बाकी आहे. हे करण्यासाठी, आम्ही चतुर्भुज समीकरणाची मुळे निश्चित करतो

सोयीसाठी, आम्ही बिंदू x=0 बदलतो, जो मध्यांतराशी संबंधित आहे (-2;1/2). या मध्यांतरात फंक्शन नकारात्मक आहे, याचा अर्थ खालील संच x असेल

येथे सोल्यूशन्ससह क्षेत्रांच्या कडा कंसाने दर्शविल्या आहेत, हे खालील नियम लक्षात घेऊन जाणीवपूर्वक केले गेले आहे;

लक्षात ठेवा: जर मोड्युलीसह असमानता किंवा साधी असमानता कठोर असेल, तर सापडलेल्या भागांच्या कडा समाधान नसतात, परंतु असमानता कठोर नसतील तर कडा (चौकोनी कंसाने दर्शविले जातात).

हा नियम बऱ्याच शिक्षकांद्वारे वापरला जातो: जर कठोर असमानता दिली गेली आणि गणनेदरम्यान तुम्ही सोल्यूशनमध्ये चौरस कंस ([,]) लिहिला, तर ते आपोआप हे चुकीचे उत्तर मानतील. तसेच, चाचणी करताना, जर मॉड्यूल्ससह कठोर नसलेली असमानता दिली असेल, तर सोल्यूशनमधील चौरस कंस असलेले क्षेत्र पहा.

मध्यांतरावर (-3;0), मॉड्यूलचा विस्तार करून, आपण फंक्शनचे चिन्ह विरुद्ध चिन्हावर बदलतो.

असमानता प्रकटीकरणाचे क्षेत्र लक्षात घेऊन, समाधानाचे स्वरूप असेल

मागील क्षेत्रासह हे दोन अर्ध-मांतर देईल

उदाहरण 5. असमानतेवर उपाय शोधा
9x^2-|x-3|>=9x-2

उपाय:
एक कठोर नसलेली असमानता दिली जाते ज्याचे सबमॉड्युलर फंक्शन x=3 बिंदूवर शून्य असते. लहान मूल्यांसाठी ते नकारात्मक आहे, मोठ्या मूल्यांसाठी ते सकारात्मक आहे. मध्यांतर x वर मॉड्यूल विस्तृत करा<3.

समीकरणाचा भेद शोधणे

आणि मुळे

बिंदू शून्य बदलून, आम्हाला कळते की मध्यांतर [-1/9;1] वर चतुर्भुज कार्य ऋण आहे, म्हणून मध्यांतर हे एक समाधान आहे. पुढे आपण मॉड्यूल x>3 वर विस्तृत करू

कसे जास्त लोकसमजते, समजून घेण्याची त्याची तीव्र इच्छा

थॉमस ऍक्विनास

मध्यांतर पद्धत आपल्याला मॉड्यूलस असलेली कोणतीही समीकरणे सोडविण्यास अनुमती देते. या पद्धतीचे सार म्हणजे संख्या अक्ष अनेक विभागांमध्ये (अंतराल) विभाजित करणे आणि मॉड्यूलमधील अभिव्यक्तींच्या शून्याने अक्ष विभाजित करणे आवश्यक आहे. त्यानंतर, प्रत्येक परिणामी विभागांवर, प्रत्येक सबमॉड्युलर अभिव्यक्ती एकतर सकारात्मक किंवा नकारात्मक असते. म्हणून, प्रत्येक मॉड्यूल एकतर वजा चिन्हाने किंवा अधिक चिन्हासह उघडले जाऊ शकते. या क्रियांनंतर, प्राप्त झालेल्या प्रत्येकाचे निराकरण करणे बाकी आहे साधी समीकरणेविचाराधीन अंतरावर आणि प्राप्त उत्तरे एकत्र करा.

चला विचार करूया ही पद्धतएका विशिष्ट उदाहरणावर.

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x - 6.

1) मोड्यूल्समधील एक्सप्रेशन्सचे शून्य शोधू. हे करण्यासाठी, आपण त्यांना शून्यावर समान करणे आणि परिणामी समीकरणे सोडवणे आवश्यक आहे.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) परिणामी बिंदू समन्वय रेषेवर आवश्यक क्रमाने ठेवा. ते संपूर्ण अक्ष चार विभागांमध्ये विभाजित करतील.

३) मॉड्युलमधील अभिव्यक्तींची चिन्हे प्रत्येक परिणामी विभागांवर ठरवू. हे करण्यासाठी, आम्ही त्यांच्यामध्ये आम्हाला स्वारस्यच्या अंतरालमधून कोणतीही संख्या बदलतो. जर गणनेचा परिणाम सकारात्मक संख्या असेल तर आम्ही टेबलमध्ये “+” ठेवतो आणि जर संख्या ऋणात्मक असेल तर आपण “–” ठेवतो. हे असे चित्रित केले जाऊ शकते:

4) आता आपण सारणीमध्ये दर्शविलेल्या चिन्हांसह मॉड्यूल्स प्रकट करून, प्रत्येक चार मध्यांतरावरील समीकरण सोडवू. तर, पहिला मध्यांतर पाहू:

I मध्यांतर (-∞; -3). त्यावर, सर्व मॉड्यूल “–” चिन्हाने उघडले जातात. आम्हाला खालील समीकरण मिळते:

-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. चला समान संज्ञा सादर करू, प्रथम परिणामी समीकरणातील कंस उघडू:

X – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6

मिळालेले उत्तर विचाराधीन मध्यांतरात समाविष्ट केलेले नाही, त्यामुळे ते अंतिम उत्तरात लिहिण्याची गरज नाही.

II मध्यांतर [-3; -1). टेबलमध्ये या अंतराने “–”, “–”, “+” चिन्हे आहेत. आपण मूळ समीकरणाचे मॉड्यूल कसे उघडतो:

-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. कंस उघडून सोपे करूया:

X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. परिणामी समीकरणात सारखेच सादर करूया:

x = 6/5. परिणामी संख्या विचाराधीन अंतराशी संबंधित नाही, म्हणून ती मूळ समीकरणाचे मूळ नाही.

III मध्यांतर [-1; 2). आकृतीमधील तिसऱ्या स्तंभात दिसणाऱ्या चिन्हांसह आम्ही मूळ समीकरणाचे मॉड्यूल्स विस्तृत करतो. आम्हाला मिळते:

(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. चला कंस काढून टाकूया आणि x हे व्हेरिएबल असलेल्या संज्ञा समीकरणाच्या डाव्या बाजूला हलवू आणि ज्यामध्ये x नाही. अधिकार आहे:

x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6

विचाराधीन अंतरामध्ये क्रमांक 2 समाविष्ट केलेला नाही.

IV मध्यांतर U

उदाहरण २.

असमानता सोडवा ||x+2| – ३| ≤ 2.

उपाय.

ही असमानता खालील व्यवस्थेशी समतुल्य आहे.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ ५.

प्रणालीची पहिली असमानता स्वतंत्रपणे सोडवू. हे खालील संचाच्या समतुल्य आहे:

U[-1; 3].

2) मॉड्यूलसची व्याख्या वापरून असमानता सोडवणे.

मी तुम्हाला आधी आठवण करून देतो मॉड्यूल व्याख्या.

|a| = a जर a ≥ 0 आणि |a| = -अ जर अ< 0.

उदाहरणार्थ, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

उदाहरण १.

असमानता 3|x – 1| सोडवा ≤ x+3.

उपाय.

मॉड्यूल व्याख्या वापरून आम्हाला दोन प्रणाली मिळतात:

(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3

(x - 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3.

प्रथम आणि द्वितीय प्रणाली स्वतंत्रपणे सोडवून, आम्ही प्राप्त करतो:

(x ≥ १
(x ≤ ३,

(x< 1
(x ≥ ०.

मूळ असमानतेचे निराकरण हे पहिल्या प्रणालीचे सर्व उपाय आणि दुसऱ्या प्रणालीचे सर्व उपाय असतील.

उत्तर: x € .

3) वर्गीकरण करून असमानता सोडवणे.

उदाहरण १.

विषमता सोडवा |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

उपाय.

आपण असमानतेच्या दोन्ही बाजूंना चौरस करू या. मला लक्षात घ्या की तुम्ही असमानतेच्या दोन्ही बाजूंचे वर्गीकरण करू शकता फक्त जर ते दोन्ही सकारात्मक असतील. या प्रकरणात, आमच्याकडे डावीकडे आणि उजवीकडे दोन्ही मॉड्यूल्स आहेत, म्हणून आम्ही हे करू शकतो.

(x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

आता वापरुया खालील मालमत्तामॉड्यूलस: (|x|) 2 = x 2 .

(x 2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.

(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,

(x – 2)(2x 2 – x)< 0,

x(x – 2)(2x – 1)< 0.

आम्ही मध्यांतर पद्धत वापरून निराकरण करतो.

उत्तर: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) चल बदलून असमानता सोडवणे.

उदाहरण.

असमानता (2x + 3) 2 – |2x + 3| सोडवा ≤ 30.

उपाय.

लक्षात ठेवा (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . मग आपल्याला असमानता मिळते

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ ३०.

चला बदल करूया y = |2x + 3|.

प्रतिस्थापन लक्षात घेऊन आपली असमानता पुन्हा लिहू.

y 2 – y ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0.

चला डावीकडील चतुर्भुज त्रिपदाचे गुणांकन करू.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 – 11) / 2,

(y – 6)(y + 5) ≤ 0.

इंटरव्हल पद्धत वापरून सोडवू आणि मिळवा:

चला बदलीकडे परत जाऊया:

5 ≤ |2x + 3| ≤ ६.

ही दुहेरी असमानता असमानतेच्या व्यवस्थेशी समतुल्य आहे:

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

चला प्रत्येक असमानता स्वतंत्रपणे सोडवू.

प्रथम प्रणालीच्या समतुल्य आहे

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

ते सोडवू.

(x ≤ १.५
(x ≥ -4.5.

दुसरी असमानता स्पष्टपणे सर्व x साठी असते, कारण मापांक, व्याख्येनुसार, एक सकारात्मक संख्या आहे. सिस्टीमचे सोल्युशन हे सर्व x असल्याने प्रणालीच्या पहिल्या आणि दुसऱ्या असमानता एकाच वेळी पूर्ण करतात, नंतर उपाय मूळ प्रणालीत्याच्या पहिल्या दुहेरी असमानतेचे समाधान असेल (अखेर, दुसरा सर्व x साठी सत्य आहे).

उत्तर: x € [-4.5; 1.5].

blog.site, पूर्ण किंवा अंशतः सामग्री कॉपी करताना, मूळ स्त्रोताची लिंक आवश्यक आहे.

महापालिका शैक्षणिक संस्था "ख्वास्तोविची माध्यमिक शाळा"

"एकाधिक मॉड्यूलसह ​​समीकरणे आणि असमानता सोडवण्यासाठी मध्यांतर पद्धत"

गणितातील संशोधन पेपर

केले:

दहावीचा विद्यार्थी

गोलिशेवा इव्हगेनिया

पर्यवेक्षक:

गणिताचे शिक्षक

शापेन्स्काया ई.एन.

परिचय………………………………………………………………………………………….३ धडा 1. अनेक मॉड्यूल्ससह समस्या सोडवण्याच्या पद्धती…… ………………………………4 1.1.मॉड्युलची व्याख्या. व्याख्येनुसार सोल्यूशन.........4 1.2 इंटरव्हल पद्धत वापरून अनेक मॉड्यूल्ससह समीकरणे सोडवणे......5 1.3. एकाधिक मॉड्यूलसह ​​समस्या. उपाय पद्धती ……………………………….७ १.४. मॉड्यूल्समधील समस्यांमधील मध्यांतरांची पद्धत ………………………………………………9 धडा 2. समीकरणे आणि मॉड्यूल्स असलेली असमानता…………………………. . 11 2.1 मध्यांतर पद्धती वापरून अनेक मॉड्यूल्ससह समीकरणे सोडवणे.. ….11 2.2 मध्यांतर पद्धती वापरून अनेक मॉड्यूल्ससह असमानता सोडवणे.…13 निष्कर्ष……………………………………… …………………………….१५ साहित्य………………………………………………………………………………. ....१६

परिचय

निरपेक्ष मूल्याची संकल्पना ही वास्तविक आणि जटिल संख्यांच्या क्षेत्रात, संख्येच्या सर्वात महत्वाच्या वैशिष्ट्यांपैकी एक आहे. ही संकल्पना केवळ शालेय गणित अभ्यासक्रमाच्या विविध विभागांमध्येच नव्हे तर अभ्यासक्रमांमध्येही वापरली जाते उच्च गणित, विद्यापीठांमध्ये भौतिकशास्त्र आणि तांत्रिक विज्ञानांचा अभ्यास केला जातो. निरपेक्ष मूल्यांशी संबंधित समस्या बहुतेक वेळा गणितीय ऑलिम्पियाड, विद्यापीठाच्या प्रवेश परीक्षा आणि युनिफाइड स्टेट परीक्षेत आढळतात.

विषय:"मध्यांतर पद्धतीद्वारे एकाधिक मॉड्यूलसह ​​समीकरणे आणि असमानता सोडवण्यासाठी मध्यांतर पद्धत."

उद्दिष्ट क्षेत्र:गणित

अभ्यासाचा उद्देश:मॉड्यूलससह समीकरणे आणि असमानता सोडवणे.

अभ्यासाचा विषय:अनेक मॉड्यूल्ससह निराकरण करण्यासाठी मध्यांतर पद्धत.

अभ्यासाचा उद्देश:मध्यांतर पद्धत वापरून समीकरणे आणि असमानता सोडवण्याची परिणामकारकता अनेक मॉड्यूल्ससह ओळखा.

गृहीतक:तुम्ही अनेक मॉड्यूल्ससह असमानता आणि समीकरणे सोडवण्यासाठी मध्यांतर पद्धत वापरल्यास, तुम्ही तुमचे काम लक्षणीयरीत्या सुलभ करू शकता.

कामाच्या पद्धती:माहितीचे संकलन आणि त्याचे विश्लेषण.

कार्ये:

या विषयावरील साहित्याचा अभ्यास करा.

एकाधिक मॉड्यूल्ससह असमानता आणि समीकरणांवर उपाय विचारात घ्या.

सर्वात जास्त ओळखा प्रभावी पद्धतउपाय.

प्रकल्पाचा व्यावहारिक फोकस:

हे कामम्हणून वापरले जाऊ शकते अध्यापन मदतविद्यार्थ्यांसाठी आणि पद्धतशीर मॅन्युअलशिक्षकासाठी.

धडा १.

1.1.मॉड्यूलची व्याख्या. व्याख्येनुसार उपाय.

व्याख्येनुसार, नॉन-ऋणात्मक संख्येचे मापांक, किंवा निरपेक्ष मूल्य, संख्याशीच एकरूप होते आणि ऋण संख्येचे मापांक समान असते विरुद्ध संख्या, म्हणजे - अ:

संख्येचे मापांक नेहमी नकारात्मक नसतात. चला उदाहरणे पाहू.

उदाहरण १.समीकरण सोडवा |–x| = –3.

येथे प्रकरणांचे विश्लेषण करण्याची आवश्यकता नाही, कारण संख्येचे निरपेक्ष मूल्य नेहमीच नकारात्मक नसते आणि याचा अर्थ असा होतो की या समीकरणाला कोणतेही निराकरण नाही.

या सोप्या समीकरणांवर उपाय लिहूया सामान्य दृश्य:

उदाहरण २.समीकरण सोडवा |x| = 2 – x.

उपाय. x 0 वर आपल्याकडे x = 2 – x हे समीकरण आहे, म्हणजे. x = 1. 1 0 पासून, x = 1 हे मूळ समीकरणाचे मूळ आहे. दुसऱ्या प्रकरणात (x

उत्तर: x = 1.

उदाहरण ३. 3|x – 3| समीकरण सोडवा + x = –1.

उपाय. येथे प्रकरणांमध्ये विभागणी x – 3 या अभिव्यक्तीच्या चिन्हाद्वारे निर्धारित केली जाते. x – 3 ³ 0 साठी आपल्याकडे 3x – 9 + x = –1 Û x = 2 आहे. परंतु 2 – 3 0.

उत्तर: समीकरणाला मुळ नाही.

उदाहरण ४.समीकरण सोडवा |x – 1| = 1 – x.

उपाय. 1 – x = – (x – 1) पासून, हे थेट मॉड्यूलसच्या व्याख्येवरून असे समजते की समीकरण फक्त त्या x द्वारे समाधानी आहे ज्यासाठी x – 1 0. हे समीकरण असमानतेमध्ये कमी केले गेले आहे, आणि उत्तर संपूर्ण अंतराल (किरण) आहे.

उत्तरः x १.

१.२. प्रणाली वापरून मॉड्यूलससह समीकरणे सोडवणे.

आधी चर्चा केलेली उदाहरणे आम्हाला समीकरणे मोड्यूलस चिन्ह काढून टाकण्यासाठी नियम तयार करण्यास अनुमती देतात. फॉर्मच्या समीकरणांसाठी |f(x)| = g(x) असे दोन नियम आहेत:

पहिला नियम: |f(x)| = g(x) Û (1)
दुसरा नियम: |f(x)| = g(x) Û (2)

येथे वापरलेली नोटेशन स्पष्ट करू. कुरळे कंस सिस्टीमचे प्रतिनिधित्व करतात आणि चौरस कंस समुच्चयांचे प्रतिनिधित्व करतात.

समीकरणांच्या प्रणालीची निराकरणे ही व्हेरिएबलची मूल्ये आहेत जी एकाच वेळी सिस्टमची सर्व समीकरणे पूर्ण करतात.

समीकरणांच्या संचाची निराकरणे ही व्हेरिएबलची सर्व मूल्ये आहेत, त्यापैकी प्रत्येक संचातील किमान एका समीकरणाचे मूळ आहे.

दोन समीकरणे समतुल्य आहेत जर त्यांपैकी प्रत्येकाचे कोणतेही सोल्यूशन देखील दुसऱ्याचे समाधान असेल, दुसऱ्या शब्दात, त्यांच्या सोल्यूशनचे संच जुळत असतील तर.

जर समीकरणामध्ये अनेक मॉड्यूल्स असतील, तर तुम्ही दिलेल्या नियमांचा वापर करून एक एक करून त्यांची सुटका करू शकता. परंतु सहसा लहान मार्ग असतात. आपण त्यांना नंतर जाणून घेऊ, परंतु आता या समीकरणांपैकी सर्वात सोपी समस्या सोडवूया:

|f(x)| = |g(x)| Û

ही समतुल्यता या स्पष्ट वस्तुस्थितीवरून येते की जर दोन संख्यांची निरपेक्ष मूल्ये समान असतील, तर संख्या स्वतः समान किंवा विरुद्ध आहेत.

उदाहरण १. समीकरण सोडवा |x 2 – 7x + 11| = x + 1.
उपाय. वर वर्णन केलेल्या दोन प्रकारे मॉड्यूलपासून मुक्त होऊ या:

पहिला मार्ग: दुसरा मार्ग:

तुम्ही बघू शकता, दोन्ही प्रकरणांमध्ये आपल्याला समान दोन द्विघातीय समीकरणे सोडवावी लागतील, परंतु पहिल्या प्रकरणात ते चतुर्भुज असमानतेसह आहेत आणि दुसऱ्यामध्ये रेखीय समीकरणे आहेत. म्हणून, या समीकरणाची दुसरी पद्धत सोपी आहे. चतुर्भुज समीकरणे सोडवताना, आम्हाला पहिल्याची मुळे सापडतात, दोन्ही मुळे असमानता पूर्ण करतात. दुसऱ्या समीकरणाचा भेदभाव नकारात्मक आहे, म्हणून समीकरणाला मूळ नाही.

उत्तर:.
उदाहरण २. समीकरण सोडवा |x 2 – x – 6| = |2x 2 + x – 1|.

उपाय. आम्हाला आधीच माहित आहे की येथे मॉड्यूल्स अंतर्गत अभिव्यक्तींच्या चिन्हांच्या वितरणाच्या (4) रूपांचा विचार करण्याची आवश्यकता नाही: हे समीकरण कोणत्याही अतिरिक्त असमानतेशिवाय दोन चतुर्भुज समीकरणांच्या समतुल्य आहे: जे समतुल्य आहे: समाधानाच्या संचाच्या पहिल्या समीकरणात (त्याचा भेदभाव ऋणात्मक आहे) नाही, दुसरे समीकरण दोन मुळे आहेत.

१.३. एकाधिक मॉड्यूलसह ​​समस्या. उपाय पद्धती.

मॉड्यूल्सचा अनुक्रमिक विस्तार.

समीकरणे आणि असमानता सोडवण्यासाठी दोन मुख्य पध्दती आहेत ज्यात एकाधिक मॉड्यूल आहेत. आपण त्यांना "सिरियल" आणि "समांतर" म्हणू शकतो. आता त्यापैकी पहिल्याशी परिचित होऊ या.

त्याची कल्पना अशी आहे की प्रथम मॉड्यूल्सपैकी एक समीकरणाच्या (किंवा असमानता) एका भागात वेगळे केले जाते आणि आधी वर्णन केलेल्या पद्धतींपैकी एकाद्वारे प्रकट केले जाते. मग मॉड्यूल्ससह प्रत्येक परिणामी समीकरणांसह समान गोष्ट पुनरावृत्ती केली जाते आणि आपण सर्व मॉड्यूल्सपासून मुक्त होईपर्यंत असेच चालू ठेवतो.

उदाहरण १.समीकरण सोडवा: +

उपाय. चला दुसरे मॉड्यूल वेगळे करू आणि पहिल्या पद्धतीचा वापर करून त्याचा विस्तार करू, म्हणजे फक्त परिपूर्ण मूल्य निश्चित करणे:

परिणामी दोन समीकरणांवर आम्ही मॉड्यूल काढण्याची दुसरी पद्धत लागू करतो:

शेवटी, आम्ही परिणामी चार सोडवतो रेखीय समीकरणेआणि संबंधित असमानता पूर्ण करणारी मुळे निवडा. परिणामी, फक्त दोन मूल्ये शिल्लक आहेत: x = –1 आणि .

उत्तर:-1; .

मॉड्यूल्सचा समांतर विस्तार.

तुम्ही समीकरणातील सर्व मॉड्यूल्स किंवा असमानता एकाच वेळी काढून टाकू शकता आणि सबमॉड्युलर अभिव्यक्तीच्या चिन्हांचे सर्व संभाव्य संयोजन लिहू शकता. समीकरणात n मॉड्यूल असल्यास, 2 n पर्याय असतील, कारण मॉड्यूलच्या अंतर्गत प्रत्येक n अभिव्यक्ती, मॉड्यूल काढून टाकताना, दोनपैकी एक चिन्ह प्राप्त करू शकतात - अधिक किंवा वजा. तत्वतः, आपण सर्व 2 n समीकरणे (किंवा असमानता) सोडवणे आवश्यक आहे, मोड्युलीपासून मुक्त. परंतु त्यांचे निराकरण देखील मूळ समस्येचे निराकरण असेल तरच ते ज्या प्रदेशात संबंधित समीकरण (असमानता) मूळ समस्यांशी जुळतात. हे क्षेत्र मॉड्यूल्सच्या खाली असलेल्या अभिव्यक्तीच्या चिन्हांद्वारे परिभाषित केले जातात. आम्ही खालील असमानतेचे आधीच निराकरण केले आहे, त्यामुळे तुम्ही ते सोडवण्यासाठी वेगवेगळ्या पद्धतींची तुलना करू शकता.

उदाहरण २.+
उपाय.

मॉड्युल अंतर्गत अभिव्यक्तीसाठी चिन्हांच्या 4 संभाव्य संचांचा विचार करूया.

यापैकी फक्त पहिली आणि तिसरी मुळे संबंधित असमानता पूर्ण करतात आणि म्हणूनच मूळ समीकरण.

उत्तर:-1; .

त्याचप्रमाणे, आपण अनेक मॉड्यूलसह ​​कोणतीही समस्या सोडवू शकता. परंतु, कोणत्याही सार्वत्रिक पद्धतीप्रमाणे, हे समाधान नेहमीच इष्टतम नसते. खाली आपण ते कसे सुधारता येईल ते पाहू.

१.४. मॉड्यूल्समधील समस्यांमध्ये मध्यांतर पद्धत

परिभाषित करणाऱ्या परिस्थितींचा जवळून आढावा घेणे भिन्न रूपेमागील सोल्युशनमध्ये सबमॉड्युलर अभिव्यक्तींच्या चिन्हांचे वितरण, आपण पाहू की त्यापैकी एक, 1 - 3x

अशी कल्पना करा की आपण एक समीकरण सोडवत आहोत ज्यामध्ये रेखीय अभिव्यक्तींचे तीन मॉड्यूल समाविष्ट आहेत; उदाहरणार्थ, |x – a| + |x – b| + |x – c| = मी.

पहिले मॉड्यूल x – a साठी x ³ a आणि a – x ​​x b आणि x साठी समान आहे

ते चार जागा तयार करतात. त्या प्रत्येकावर, मॉड्यूल्सच्या अंतर्गत प्रत्येक अभिव्यक्ती त्याचे चिन्ह टिकवून ठेवते, म्हणून, मॉड्यूल्सचा विस्तार केल्यानंतर संपूर्ण समीकरण प्रत्येक मध्यांतरावर समान स्वरूपाचे असते. तर, मॉड्यूल्स उघडण्यासाठी 8 सैद्धांतिकदृष्ट्या संभाव्य पर्यायांपैकी, फक्त 4 आमच्यासाठी पुरेसे ठरले!

आपण अनेक मॉड्यूलसह ​​कोणतीही समस्या सोडवू शकता. म्हणजे, संख्यात्मक अक्ष हे मॉड्यूल्स अंतर्गत सर्व अभिव्यक्तींच्या स्थिर चिन्हाच्या मध्यांतरांमध्ये विभागले गेले आहे आणि नंतर त्या प्रत्येकावर समीकरण किंवा असमानता ज्यामध्ये या मध्यांतरावर समस्या बदलते त्यामध्ये निराकरण केले जाते. विशेषतः, जर मॉड्यूल्स अंतर्गत सर्व अभिव्यक्ती तर्कसंगत असतील, तर त्यांची मुळे अक्षावर, तसेच बिंदू जेथे ते परिभाषित केलेले नाहीत, म्हणजेच त्यांच्या भाजकांची मुळे चिन्हांकित करणे पुरेसे आहे. चिन्हांकित बिंदू स्थिर चिन्हाचे आवश्यक अंतराल परिभाषित करतात. मध्यांतर पद्धत वापरून तर्कसंगत असमानता सोडवताना आपण त्याच प्रकारे कार्य करतो. आणि आम्ही मॉड्यूलसह ​​समस्या सोडवण्यासाठी वर्णन केलेल्या पद्धतीचे नाव समान आहे.

उदाहरण १. समीकरण सोडवा.

उपाय. फंक्शनचे शून्य कोठून शोधू. आम्ही प्रत्येक अंतराने समस्येचे निराकरण करतो:

त्यामुळे या समीकरणाला काही उपाय नाही.

उदाहरण २. समीकरण सोडवा.

उपाय. फंक्शनचे शून्य शोधू. आम्ही प्रत्येक अंतराने समस्येचे निराकरण करतो:

1) (उपाय नाहीत);

उदाहरण ३. समीकरण सोडवा.

उपाय. निरपेक्ष मूल्य चिन्हाखालील अभिव्यक्ती येथे गायब होतात. त्यानुसार, आम्हाला तीन प्रकरणांचा विचार करणे आवश्यक आहे:

2) - समीकरणाचे मूळ;

3) या समीकरणाचे मूळ आहे.

धडा 2. समीकरणे आणि मॉड्यूल्स असलेली असमानता.

2.1 मध्यांतर पद्धत वापरून अनेक मॉड्यूलसह ​​समीकरणे सोडवणे.

उदाहरण १.

समीकरण सोडवा:

|x+2| = |x-1|+x-3

-(x+2) = -(x-1) + x-3

X-2=-x+1+x-3

x=2 – समाधान देत नाही

स्थिती x

उपाय नाहीत

2. जर -2≤x

x+2 = -(x-1)+x-3

समाधानी

अट -2

3. जर x≥1, तर

उत्तर: x=6

उदाहरण २.

समीकरण सोडवा:

1) सबमॉड्युलर अभिव्यक्तींचे शून्य शोधा

सबमॉड्युलर एक्स्प्रेशन्सचे शून्य संख्येच्या अक्षाचे अनेक अंतरांमध्ये विभाजन करतात. आम्ही या मध्यांतरांवर सबमॉड्युलर अभिव्यक्तीची चिन्हे व्यवस्था करतो.

प्रत्येक अंतराने आम्ही मॉड्यूल्स उघडतो आणि परिणामी समीकरण सोडवतो. रूट शोधल्यानंतर, आम्ही तपासतो की ते आपण ज्या अंतरालवर आहोत त्याच्याशी संबंधित आहे हा क्षणआम्ही काम करत आहोत.

1. :

- फिट.

2. :

- बसत नाही.

3. :

– बसते

4. :

- बसत नाही. उत्तर:

2.2 मध्यांतर पद्धत वापरून अनेक मॉड्यूलसह ​​असमानता सोडवणे.

उदाहरण १.

असमानता सोडवा:

|x-1| + |x-3| 4

-(x-1) - (x-3) 4

2. जर 1≤х

x-1– (x-3) 4

24 बरोबर नाही

उपाय नाहीत

3. जर x≥3, तर

उत्तर: xЄ (-∞;0) U (4;+∞)

उदाहरण २.

चला विषमता सोडवू

उपाय. बिंदू आणि (मॉड्यूल अंतर्गत अभिव्यक्तींची मुळे) संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष तीन मध्यांतरांमध्ये विभाजित करतात, ज्यापैकी प्रत्येक मॉड्यूल्सचा विस्तार केला पाहिजे.

1) जेव्हा, आणि असमानतेचे स्वरूप असते, म्हणजे. या प्रकरणात उत्तर आहे.

2) जेव्हा, असमानतेचे स्वरूप असते, म्हणजे. ही असमानता व्हेरिएबलच्या कोणत्याही मूल्यांसाठी सत्य आहे आणि, आम्ही ते सेटवर सोडवतो हे लक्षात घेऊन, आम्हाला दुसऱ्या प्रकरणात उत्तर मिळेल.

3) जेव्हा , असमानतेचे रूपांतर , आणि या प्रकरणात समाधान आहे. असमानतेवर सामान्य उपाय --- संघतीन प्रतिसाद मिळाले.

अशा प्रकारे, अनेक मॉड्यूल्स असलेली समीकरणे आणि असमानता सोडवण्यासाठी, मध्यांतर पद्धत वापरणे सोयीचे आहे. हे करण्यासाठी, तुम्हाला सर्व सबमॉड्युलर फंक्शन्सचे शून्य शोधणे आवश्यक आहे आणि त्यांना समीकरणे आणि असमानतेच्या ODZ वर नियुक्त करणे आवश्यक आहे.

निष्कर्ष

IN अलीकडेगणितामध्ये, समस्यांचे निराकरण सुलभ करण्यासाठी पद्धतींचा मोठ्या प्रमाणावर वापर केला जातो, विशेषत: मध्यांतर पद्धत, ज्यामुळे गणनांना लक्षणीय गती मिळू शकते. म्हणून, अनेक मॉड्यूल्ससह समीकरणे आणि असमानता सोडवण्यासाठी मध्यांतर पद्धतीचा अभ्यास प्रासंगिक आहे.

"मध्यांतर पद्धतीचा वापर करून मॉड्यूलस चिन्हाखाली अज्ञात असलेली समीकरणे आणि असमानता सोडवणे" या विषयावर काम करण्याच्या प्रक्रियेत, मी: या विषयावरील साहित्याचा अभ्यास केला, समीकरणे आणि असमानता सोडवण्याच्या बीजगणितीय आणि ग्राफिकल दृष्टिकोनाशी परिचित झालो. मॉड्यूलस चिन्हाखाली अज्ञात, आणि निष्कर्षापर्यंत पोहोचलो:

काही प्रकरणांमध्ये, मॉड्यूलससह समीकरणे सोडवताना, नियमांनुसार समीकरणे सोडवणे शक्य होते आणि काहीवेळा मध्यांतर पद्धत वापरणे अधिक सोयीचे असते.

मॉड्यूलस असलेली समीकरणे आणि असमानता सोडवताना, मध्यांतर पद्धत अधिक दृश्यमान आणि तुलनेने सोपी असते.

लेखन दरम्यान संशोधन कार्यइंटरव्हल पद्धतीचा वापर करून सोडवता येतील अशा अनेक समस्या मी शोधल्या आहेत. बहुतेक महत्वाचे कार्यअनेक मॉड्यूल्ससह समीकरण आणि असमानता यांचे समाधान आहे.

मध्यांतर पद्धतीचा वापर करून असमानता आणि समीकरणे सोडवण्याच्या माझ्या कामाच्या दरम्यान, मला आढळले की समस्या सोडवण्याची गती दुप्पट झाली आहे. हे आपल्याला कामाच्या प्रक्रियेत लक्षणीय गती वाढविण्यास आणि वेळ खर्च कमी करण्यास अनुमती देते. अशा प्रकारे, माझे गृहितक "जर तुम्ही अनेक मॉड्यूल्ससह असमानता आणि समीकरणे सोडवण्यासाठी मध्यांतर पद्धत वापरत असाल, तर तुम्ही तुमचे कार्य लक्षणीयरीत्या सुलभ करू शकता" याची पुष्टी झाली. संशोधनावर काम करत असताना, मला एकाधिक मॉड्यूल्ससह समीकरणे आणि असमानता सोडवण्याचा अनुभव मिळाला. मला वाटते की मी घेतलेले ज्ञान मला निर्णय घेताना चुका टाळण्यास अनुमती देईल.

साहित्य

http://padabum.com

1. http://yukhym.com

   http://www.tutoronline.ru

   http://fizmat.by

   http://diffur.kemsu.ru

   http://solverbook.com

   झेलेन्स्की ए.एस., पॅनफिलोव्ह. मॉड्यूल I.I सह समीकरणे आणि असमानता सोडवणे. एम.: फॅक्टोरियल पब्लिशिंग हाऊस, 2009. - 112 पी.

   ओलेहनिक एस.एन. पोटापोव्ह एमके समीकरणे आणि असमानता. गैर-मानक उपाय पद्धती. एम.: फॅक्टोरियल पब्लिशिंग हाऊस, 1997. - 219 पी.

   सेव्रीयुकोव्ह पी.एफ., स्मोल्याकोव्ह ए.एन. मोड्युलीसह समीकरणे आणि असमानता आणि त्यांचे निराकरण करण्याच्या पद्धती. एम.: पब्लिशिंग हाऊस एनलाइटनमेंट 2005. - 112 पी.

   Sadovnichy Yu.V. युनिफाइड स्टेट परीक्षा. गणित विषयात कार्यशाळा. समीकरणे आणि असमानता सोडवणे. बीजगणितीय अभिव्यक्ती रूपांतरित करणे. एम.: लीजन पब्लिशिंग हाऊस 2015 - 128 पी.

   शेवकिन A.V. चतुर्भुज असमानता. मध्यांतर पद्धत. एम.: LLC" रशियन शब्द – शैक्षणिक पुस्तक", 2003. - 32 p.