2.3. OCTÁLOVÁ ČÍSLA

Osmičková notace, stejně jako hexadecimální, se používá k reprezentaci binárních čísel. Osmičková soustava obsahuje 8 číslic od 0 do 7 a je tedy soustavou se základem 8. V tabulce. 2.7 uvádí několik desítkových, osmičkových a binárních čísel.

Převeďme binární číslo 11111000100 na jeho osmičkový ekvivalent. Postup je v tomto případě následující. Počínaje MB binárního čísla je rozdělíme do skupin po 3 bitech. Poté pomocí tabulky. 2.7 převedeme každou trojici (skupinu 3 bitů) na ekvivalentní osmičkovou číslici. Nahradíme tedy binární číslo 11111000100 jeho osmičkovým ekvivalentem 37048:

Binární číslo 011 111 000 100

Osmičkové číslo 3 7 0 4

Pojďme nyní převést osmičkové číslo 6521 na jeho binární ekvivalent. Každá osmičková číslice je nahrazena binární trojicí a ukáže se, že 65218 = 110101010001 2".

Osmičkové číslo 2357 zapišme v desítkovém tvaru. Klasický postup se provádí podle tabulky. 2.8. Zde jsou 512, 64, 8 a 1 váhy prvních čtyř osmičkových pozic. Všimněte si, že tento příklad obsahuje 7 jedniček, 5 osmiček, 4 64 a dvě 521, sečteme je a dostaneme výsledek: 1024+192+40+7= 1263 10.

Nakonec převedeme desetinné číslo 3336 na jeho osmičkový ekvivalent. Postup je znázorněn na Obr. 2.3. Nejprve je 3336 děleno 8, což dává kvocient 417 a zbytek 0 10, přičemž 0 10=08, osmičková 0 se stává MP hodnoty osmičkového čísla. První podíl (417) se stává dělitelným a je opět dělen 8 (druhý řádek), čímž je získán podíl 52 a zbytek 110=18, který se stává druhou číslicí osmičkového čísla. Ve třetím řádku se podíl (52) stane dělitelným a jeho dělením 8 dostaneme podíl 6 a zbytek 4 10=48. Ve čtvrtém řádku je poslední podíl 6 dělen 8 s podílem 0 a zbytkem 6 10=68.

Nyní je počítání ukončeno s posledním kvocientem 0. Číslice 68 se stává CP hodnotou osmičkového čísla a na Obr. 2.3, což je 3336yu=64108.

Většina mikroprocesorů a mikropočítačů zpracovává skupiny 4, 8 nebo 16 bitů. Z toho vyplývá, že hexadecimální zápis se obvykle používá častěji než osmičkový. Osmičková notace je však výhodnější, když jsou skupiny bitů dělitelné 3 (například skupiny po 12 bitech).

Cvičení

2.18. K reprezentaci binárních čísel používá text dokumentace 8bitového mikroprocesoru _

(hexadecimální, osmičková) soustava.

2.19. Jiný název pro osmičkovou soustavu je

2.20. Napište následující osmičková čísla v binárním kódu: a) 3; b) 7; c) 0; d) 7642; e) 1036; e) 2105.

2.21. Napište následující binární čísla v osmičkovém kódu: a) 101; b) 110; c) 010; d) 111000101010; e) 1011000111; e) 100110100101.

2.22. 67248=_____10.

2.23. 2648 10=____8.

2.18. Hexadecimální, ve kterém je vhodné reprezentovat binární číslo ve dvou 4bitových skupinách. 2.19. Systém se základnou 8. 2.20. a) 38=0112; b) 78=1112; c) 08 = 0002; d) 76428= 1111101000102;

e) 10368= 10000111102; f) 21058= 100010001012. 2.21. a) 1012 = 58; b) 1102 = 68; c) 0102=28; d) 1110001010102 = 70528; e) 10110001112= 13078;

f) 1001101001012 = 46458. 2.22. Podle tabulky postupu. 2,8: 67248= = (512X6) + (64x7) + (8x2) + (1X4)=3540 10. 2.23. Podle postupu na Obr. 2.3:

2648 10: 8 = 331, zbytek 0 (MP); 331: 8= 41, zbytek 3; 41: 8= 5, zbytek 1; 5: 8 = 0, zbytek 5 (CP); 2648 10=51308.

Účel služby. Služba je navržena tak, aby převáděla čísla z jednoho číselného systému do druhého režim online. Chcete-li to provést, vyberte základ systému, ze kterého chcete číslo převést. Můžete zadat jak celá čísla, tak čísla s čárkami.

Můžete zadat jak celá čísla, například 34, tak zlomková čísla, například 637.333. U zlomkových čísel je uvedena přesnost překladu za desetinnou čárkou.

S touto kalkulačkou se také používají následující:

Způsoby reprezentace čísel

Binární (binární) čísla - každá číslice znamená hodnotu jednoho bitu (0 nebo 1), nejvýznamnější bit se píše vždy vlevo, za číslem se umísťuje písmeno „b“. Pro snadnější vnímání lze sešity oddělit mezerami. Například 1010 0101b.
Hexadecimální (hexadecimální) čísla - každá tetráda je reprezentována jedním symbolem 0...9, A, B, ..., F. Toto znázornění lze označit různými způsoby, pouze za poslední hexadecimální je použit symbol „h“. číslice. Například A5h. V programových textech může být stejné číslo označeno buď jako 0xA5 nebo 0A5h, v závislosti na syntaxi programovacího jazyka. Nalevo od nejvýznamnější hexadecimální číslice reprezentované písmenem se přidá úvodní nula (0), aby bylo možné rozlišit čísla a symbolické názvy.
Desetinný (desetinná) čísla - každý bajt (slovo, dvojslovo) je reprezentován běžným číslem a znak desetinného zobrazení (písmeno „d“) se obvykle vynechává. Bajt v předchozích příkladech má desítkovou hodnotu 165. Na rozdíl od binárního a hexadecimálního zápisu je u desítkové soustavy obtížné mentálně určit hodnotu každého bitu, což je někdy nutné.
Osmičková (osmičková) čísla - každá trojice bitů (dělení začíná od nejméně významného) se zapisuje jako číslo 0–7 s „o“ na konci. Stejné číslo by bylo zapsáno jako 245o. Osmičková soustava je nepohodlná, protože bajt nelze rovnoměrně rozdělit.

Algoritmus pro převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé

Převod celých desetinných čísel na jakoukoli jinou číselnou soustavu se provádí dělením čísla základem nové číselné soustavy, dokud zbytek nezůstane číslem menším, než je základ nové číselné soustavy. Nové číslo se zapíše jako zbytek po dělení, počínaje posledním.
Převod běžného desetinného zlomku na jiný PSS se provádí násobením pouze zlomkové části čísla základem nové číselné soustavy, dokud všechny nuly nezůstanou ve zlomkové části nebo dokud není dosaženo zadané přesnosti překladu. V důsledku každé operace násobení se vytvoří jedna číslice nového čísla, počínaje nejvyšším.
Překlad nepravý zlomek se provádí podle pravidel 1 a 2. Celá a zlomková část se píší dohromady, oddělené čárkou.

Příklad č. 1.



Převod z 2 na 8 na 16 číselný systém.
Tyto systémy jsou násobky dvou, proto se překlad provádí pomocí korespondenční tabulky (viz níže).

Pro převod čísla z dvojkové číselné soustavy do osmičkové (šestnáctkové) číselné soustavy je nutné rozdělit dvojkové číslo z desetinné čárky doprava a doleva do skupin po třech (u šestnáctkové soustavy čtyř) a doplnit tak vnější skupiny. v případě potřeby s nulami. Každá skupina je nahrazena odpovídající osmičkovou nebo hexadecimální číslicí.

Příklad č. 2. 1010111010,1011 = 1,010,111,010,101,1 = 1272,51 8
zde 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101 = 5; 001=1

Při převodu do šestnáctkové soustavy musíte číslo rozdělit na části po čtyřech číslicích podle stejných pravidel.
Příklad č. 3. 1010111010,1011 = 10,1011,1010,1011 = 2B12,13 HEX
zde 0010=2; 1011=B; 1010 = 12; 1011=13

Převod čísel z 2, 8 a 16 do desítkové soustavy se provádí rozdělením čísla na jednotlivá a vynásobením základem soustavy (ze kterého se číslo překládá) umocněnou na mocninu odpovídající jeho pořadovému číslu v převáděné číslo. V tomto případě jsou čísla číslována nalevo od desetinné čárky (první číslo je číslováno 0) s rostoucím a napravo s klesajícím (tj. se záporným znaménkem). Získané výsledky se sečtou.

Příklad č. 4.
Příklad převodu z dvojkové do desítkové číselné soustavy.

1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 12-3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Příklad převodu z osmičkové na desítkovou číselnou soustavu. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Příklad převodu z šestnáctkové do desítkové číselné soustavy. 108,5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Ještě jednou zopakujeme algoritmus pro převod čísel z jedné číselné soustavy do jiné PSS

1. Ze soustavy desítkových čísel:
   • vydělte číslo základem překládaného číselného systému;
   • najít zbytek při dělení celé části čísla;
   • zapište všechny zbytky z dělení v opačném pořadí;
2. Z dvojkové číselné soustavy
   • Pro převod do desítkové číselné soustavy je nutné najít součet součinů základu 2 odpovídajícím stupněm číslice;
   • Chcete-li převést číslo na osmičkovou, musíte číslo rozdělit na trojice.
     Například 1000110 = 1 000 110 = 106 8
   • Chcete-li převést číslo z binárního na hexadecimální, musíte číslo rozdělit do skupin po 4 číslicích.
     Například 1000110 = 100 0110 = 46 16

Systém se nazývá polohový, u nichž význam nebo váha číslice závisí na jejím umístění v čísle. Vztah mezi systémy je vyjádřen v tabulce.
Srovnávací tabulka číselného systému:

Binární SS	Hexadecimální SS
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Tabulka pro převod do osmičkové číselné soustavy

Příklad č. 2. Převeďte číslo 100,12 z desítkové číselné soustavy do osmičkové soustavy a naopak. Vysvětlete důvody nesrovnalostí.
Řešení.
Fáze 1. .

Zbytek dělení zapíšeme v obráceném pořadí. Dostaneme číslo v 8. číselné soustavě: 144
100 = 144 8

Pro převod zlomkové části čísla postupně násobíme zlomkovou část základem 8. Výsledkem je, že pokaždé zapíšeme celou část součinu.
0.12*8 = 0.96 (celá část 0 )
0,96*8 = 7,68 (celočíselná část 7 )
0,68*8 = 5,44 (celočíselná část 5 )
0,44*8 = 3,52 (celočíselná část 3 )
Dostaneme číslo v 8. číselné soustavě: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

Fáze 2 Převod čísla z desítkové číselné soustavy do osmičkové soustavy.
Reverzní převod z osmičkové číselné soustavy na desítkovou.

Chcete-li přeložit část celého čísla, musíte vynásobit číslici čísla odpovídajícím stupněm číslice.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Chcete-li převést zlomkovou část, musíte vydělit číslici čísla odpovídajícím stupněm číslice
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Rozdíl 0,0001 (100,12 - 100,1199) se vysvětluje chybami zaokrouhlování při převodu do osmičkové číselné soustavy. Tuto chybu lze snížit, pokud vezmete větší počet číslic (například ne 4, ale 8).

Používá se k reprezentaci čísel v mikroprocesoru binární číselná soustava.
V tomto případě může mít jakýkoli digitální signál dva stabilní stavy: „ vysoká úroveň“ a „nízká úroveň“. V binárním číselném systému se k reprezentaci libovolného čísla používají dvě číslice: 0 a 1. Libovolné číslo x=a n a n-1 ..a 1 a 0 ,a -1 a -2 …a -m bude zapsán v binární číselné soustavě jako

x = a n ·2 n +a n-1 ·2 n-1 +…+a 1 ·2 1 +a 0 ·2 0 +a -1 ·2 -1 +a -2 ·2 -2 +…+a -m ·2 -m

Kde a i— binární číslice (0 nebo 1).

Osmičková číselná soustava

V osmičkovém číselném systému jsou základními číslicemi čísla od 0 do 7. 8 nižších čísel je sloučeno do vyššího řádu.

Hexadecimální číselná soustava

V hexadecimálním číselném systému jsou základními číslicemi čísla od 0 do 15 včetně. K označení základních číslic větších než 9 jedním symbolem se kromě arabských číslic 0...9 v hexadecimálním číselném systému používají písmena latinské abecedy:

10 10 = A 16 12 10 = C 16 14 10 = E 16
11 10 = B 16 13 10 = D 16 15 10 = F 16.

Například číslo 175 10 v hexadecimálním číselném systému bude zapsáno jako AF 16. Opravdu,

10·161 +15·160 =160+15=175

Tabulka zobrazuje čísla od 0 do 16 v desítkové, dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavě.

Desetinný	Binární	Osmičková	Hexadecimální
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Binárně-osmičkové a binárně-hexadecimální převody

Binární číselný systém je vhodný pro provádění aritmetických operací pomocí mikroprocesorového hardwaru, ale je nepohodlný pro lidské vnímání, protože vyžaduje velký počet číslic. Proto v počítačová technologie Kromě binárního číselného systému se pro kompaktnější reprezentaci čísel široce používají osmičkové a hexadecimální číselné systémy.

Tři číslice osmičkové číselné soustavy implementují všechny možné kombinace osmičkových číslic v binární číselné soustavě: od 0 (000) do 7 (111). Chcete-li převést binární číslo na osmičkové, musíte zkombinovat binární číslice do skupin po 3 číslicích (triádách) ve dvou směrech, počínaje oddělovačem desetinných míst. V případě potřeby je potřeba přidat nevýznamné nuly vlevo od původního čísla. Pokud číslo obsahuje zlomkovou část, pak napravo od něj můžete také přidávat nevýznamné nuly, dokud nebudou vyplněny všechny triády. Každá trojice je pak nahrazena osmičkovou číslicí.

Příklad: Převeďte číslo 1101110.01 2 na osmičkovou číselnou soustavu.

Kombinujeme binární číslice do trojic zprava doleva. Dostaneme

001 101 110,010 2 = 156,2 8 .

Chcete-li převést číslo z osmičkové na binární, musíte každou osmičkovou číslici zapsat do binárního kódu:

156,2 8 = 001 101 110,010 2 .

Čtyři číslice hexadecimální číselné soustavy implementují všechny možné kombinace hexadecimálních číslic v binární číselné soustavě: od 0 (0000) do F(1111). Chcete-li převést binární číslo na hexadecimální, musíte zkombinovat binární číslice do skupin po 4 číslicích (tetradách) ve dvou směrech, počínaje oddělovačem desetinných míst. Pokud je to nutné, musíte přidat nevýznamné nuly vlevo od původního čísla. Pokud číslo obsahuje zlomkovou část, pak napravo od něj musíte také přidat nevýznamné nuly, dokud nebudou všechny sešity vyplněny. Každá tetráda je pak nahrazena hexadecimální číslicí.

Příklad: Převeďte číslo 1101110.11 2 na hexadecimální číselnou soustavu.

Kombinujeme binární číslice do tetrád zprava doleva. Dostaneme

0110 1110,11002 = 6E,C16.

Chcete-li převést číslo z hexadecimálního na binární, musíte zapsat každou hexadecimální číslici v binárním kódu.

Při studiu kódování jsem si uvědomil, že číselným soustavám dost dobře nerozumím. Přesto jsem často používal 2-, 8-, 10-, 16-té systémy, převáděl jsem jeden na druhý, ale vše se dělalo „automaticky“. Po přečtení mnoha publikací mě překvapilo, že chybí jediná napsaná jednoduchým jazykem, články o takovém základním materiálu. Proto jsem se rozhodl napsat vlastní, ve kterém jsem se snažil přístupně a uspořádaně podat základy číselných soustav.

Úvod

Notový zápis je způsob záznamu (reprezentace) čísel.

Co to znamená? Například před sebou vidíte několik stromů. Vaším úkolem je spočítat je. Chcete-li to provést, můžete ohnout prsty, udělat zářezy na kameni (jeden strom - jeden prst/zářez) nebo spojit 10 stromů s předmětem, například kamenem, a jeden vzorek s tyčí a umístit je na zemi, jak počítáte. V prvním případě je číslo reprezentováno jako řetězec ohnutých prstů nebo zářezů, ve druhém - složení kamenů a tyčinek, kde kameny jsou vlevo a tyče vpravo

Číselné soustavy se dělí na poziční a nepoziční a poziční zase na homogenní a smíšené.

Nepoziční- nejstarší, v něm má každá číslice čísla hodnotu, která nezávisí na její poloze (číslici). To znamená, že pokud máte 5 řádků, pak je číslo také 5, protože každý řádek, bez ohledu na jeho místo v řádku, odpovídá pouze 1 položce.

Polohový systém- význam každé číslice závisí na její pozici (číslici) v čísle. Například 10. číselná soustava, která je nám známá, je poziční. Uvažujme číslo 453. Číslo 4 označuje počet stovek a odpovídá číslu 400, 5 - počet desítek a je podobný hodnotě 50 a 3 - jednotky a hodnotě 3. Jak vidíte, čím větší číslice, tím vyšší hodnota. Konečné číslo lze vyjádřit jako součet 400+50+3=453.

Homogenní systém- pro všechny číslice (pozice) čísla je sada platných znaků (číslic) stejná. Jako příklad si vezměme již zmíněný 10. systém. Při zápisu čísla v homogenní 10. soustavě můžete v každé číslici použít pouze jednu číslici od 0 do 9, je tedy povoleno číslo 450 (1. číslice - 0, 2. - 5, 3. - 4), ale 4F5 nikoliv, protože znak F není součástí množiny čísel 0 až 9.

Smíšený systém- v každé číslici (pozici) čísla se sada platných znaků (číslic) může lišit od sad ostatních číslic. Pozoruhodným příkladem je systém měření času. V kategorii sekund a minut je k dispozici 60 různých symbolů (od „00“ do „59“), v kategorii hodin – 24 různé symboly(od „00“ do „23“), v kategorii dne - 365 atd.

Nepolohové systémy

Jakmile se lidé naučili počítat, vyvstala potřeba čísla zapisovat. Na začátku bylo všechno jednoduché - zářez nebo čárka na nějaké ploše odpovídaly jednomu předmětu, například jednomu ovoci. Tak se objevila první číselná soustava – jednotka.

Systém čísel jednotek

Číslo v této číselné soustavě je řetězec pomlček (klacíků), jejichž počet se rovná hodnotě daného čísla. Sklizeň 100 datlí se tedy bude rovnat číslu sestávajícímu ze 100 pomlček.
Tento systém má ale zjevné nepříjemnosti – jaké větší číslo- čím delší je řetězec tyčinek. Při psaní čísla se navíc můžete snadno zmýlit tím, že omylem přidáte špejli navíc nebo naopak nezapíšete.

Pro pohodlí začali lidé seskupovat tyčinky do 3, 5 a 10 kusů. Každá skupina přitom odpovídala konkrétnímu znaku nebo předmětu. Zpočátku se k počítání používaly prsty, takže se první znaky objevily pro skupiny po 5 a 10 kusech (jednotkách). To vše umožnilo vytvořit pohodlnější systémy pro záznam čísel.

Starověký egyptský desítkový systém

V Starověký Egypt speciální symboly (čísla) byly použity k reprezentaci čísel 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7. Tady jsou některé z nich:

Proč se tomu říká desítkové? Jak bylo uvedeno výše, lidé začali seskupovat symboly. V Egyptě zvolili seskupení 10, přičemž číslo „1“ zůstalo nezměněno. V tomto případě se číslo 10 nazývá základní desítková číselná soustava a každý symbol je do určité míry reprezentací čísla 10.

Čísla ve staroegyptském číselném systému byla zapsána jako kombinace těchto
znaky, z nichž každý se neopakoval více než devětkrát. Konečná hodnota se rovnala součtu prvků čísla. Stojí za zmínku, že tento způsob získávání hodnoty je charakteristický pro každou nepoziční číselnou soustavu. Příkladem může být číslo 345:

Babylonský sexagezimální systém

Na rozdíl od egyptského systému používal babylonský systém pouze 2 symboly: „rovný“ klín pro označení jednotek a „ležící“ klín pro označení desítek. Chcete-li určit hodnotu čísla, musíte rozdělit obrázek čísla na číslice zprava doleva. Nový výboj začíná vznikem rovného klínu po ležícím. Vezměme si jako příklad číslo 32:

Číslo 60 a všechny jeho mocniny jsou také označeny rovným klínem, jako „1“. Proto byl babylónský číselný systém nazýván sexagesimální.
Babyloňané psali všechna čísla od 1 do 59 v desítkové nepoziční soustavě a velké hodnoty v poziční soustavě se základem 60. Číslo 92:

Záznam čísla byl nejednoznačný, protože tam nebyla žádná číslice označující nulu. Zastoupení čísla 92 by mohlo znamenat nejen 92=60+32, ale také například 3632=3600+32. Pro určení absolutní hodnoty čísla byl zaveden speciální symbol pro označení chybějící šestileté číslice, která odpovídá výskytu čísla 0 v zápisu desetinného čísla:

Nyní by číslo 3632 mělo být zapsáno jako:

Babylonský šestinásobný systém je první číselný systém založený částečně na pozičním principu. Tato číselná soustava se používá dodnes např. při určování času – hodina se skládá z 60 minut, minuta ze 60 sekund.

římský systém

Římský systém se příliš neliší od egyptského. Používá velká latinská písmena I, V, X, L, C, D a M k reprezentaci čísel 1, 5, 10, 50, 100, 500 a 1000. Číslo v římském číselném systému je soubor po sobě jdoucích číslic.

Metody pro určení hodnoty čísla:

1. Hodnota čísla se rovná součtu hodnot jeho číslic. Například číslo 32 v římské číselné soustavě je XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
2. Pokud je vlevo od větší číslice menší, pak se hodnota rovná rozdílu mezi větší a menší číslicí. Zároveň může být levá číslice menší než pravá maximálně o jeden řád: například pouze X(10) se může objevit před L(50) a C(100) mezi „nejnižšími“ , a pouze před D(500) a M(1000) C(100), před V(5) - pouze I(1); číslo 444 v uvažovaném číselném systému bude zapsáno jako CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
3. Hodnota se rovná součtu hodnot skupin a čísel, které se nevejdou do bodů 1 a 2.

Kromě digitálních existují i ​​písmenné (abecední) číselné soustavy, zde jsou některé z nich:
1) slovanský
2) řečtina (jónština)

Poziční číselné soustavy

Jak bylo uvedeno výše, první předpoklady pro vznik pozičního systému vznikly již ve starověkém Babylonu. V Indii měl systém podobu pozičního desítkového číslování pomocí nuly a od Indů si tuto číselnou soustavu vypůjčili Arabové, od kterých ji převzali Evropané. Z nějakého důvodu byl v Evropě tomuto systému přiřazen název „Arab“.

Desetinná číselná soustava

Jedná se o jednu z nejběžnějších číselných soustav. To je to, co používáme, když pojmenujeme cenu produktu a řekneme číslo autobusu. Každá číslice (pozice) může používat pouze jednu číslici z rozsahu od 0 do 9. Základem systému je číslo 10.

Vezměme si například číslo 503. Pokud by toto číslo bylo zapsáno v nepoziční soustavě, pak by jeho hodnota byla 5+0+3 = 8. Máme ale poziční soustavu a to znamená, že každá číslice čísla musí být násobeno základem systému, v tomto případě číslo „10“ umocněné na mocninu rovnající se číslici. Ukazuje se, že hodnota je 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Aby nedošlo k záměně při práci s několika číselnými soustavami současně, je základ označen jako dolní index. Tedy 503 = 503 10.

Kromě desítkové soustavy si zvláštní pozornost zaslouží 2-, 8- a 16. soustava.

Binární číselná soustava

Tento systém se používá především v oblasti výpočetní techniky. Proč nepoužili obvyklé 10.? První počítač vytvořil Blaise Pascal, který používal desítkovou soustavu, což se v moderních elektronických strojích ukázalo jako nepohodlné, protože vyžadovalo výrobu zařízení schopných provozu v 10 stavech, což zvýšilo jejich cenu a konečnou velikost stroj. Prvky fungující ve 2. systému tyto nedostatky nemají. Zmíněný systém však vznikl dávno před vynálezem počítačů a má své „kořeny“ v civilizaci Inků, kde se používalo quipus – složité provazové vazby a uzly.

Binární poziční číselný systém má základ 2 a pro zápis čísel používá 2 symboly (číslice): 0 a 1. V každé číslici je povolena pouze jedna číslice – buď 0, nebo 1.

Příkladem je číslo 101. Je podobné číslu 5 v desítkové soustavě čísel. Chcete-li převést z 2 na 10, musíte vynásobit každou číslici binárního čísla základem „2“ umocněným na mocninu rovnou hodnotě místa. Tedy číslo 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10.

No, pro stroje je 2. číselná soustava pohodlnější, ale často vidíme a používáme čísla v 10. soustavě na počítači. Jak potom stroj určí, jaké číslo uživatel zadává? Jak přeloží číslo z jednoho systému do druhého, protože má pouze 2 symboly - 0 a 1?

Aby mohl počítač pracovat s binárními čísly (kódy), musí být někde uloženy. K uložení každé jednotlivé číslice se používá spoušť, která je elektronický obvod. Může být ve 2 stavech, z nichž jeden odpovídá nule, druhý jedné. K zapamatování jednoho čísla slouží registr - skupina spouštěčů, jejichž počet odpovídá počtu číslic v binárním čísle. A sbírka registrů je RAM. Číslo obsažené v registru je strojové slovo. Aritmetické a logické operace se slovy provádí aritmetická logická jednotka (ALU). Pro zjednodušení přístupu k registrům jsou očíslovány. Číslo se nazývá adresa registru. Pokud například potřebujete sečíst 2 čísla, stačí uvést čísla buněk (registrů), ve kterých se nacházejí, a ne čísla samotná. Adresy se zapisují v osmičkové a šestnáctkové soustavě (o nich bude řeč níže), protože přechod z nich do dvojkové soustavy a zpět je poměrně jednoduchý. Pro převod z 2. na 8. musí být číslo rozděleno do skupin po 3 číslicích zprava doleva a pro přesun na 16. - 4. Pokud není dostatek číslic ve skupině číslic zcela vlevo, pak jsou vyplněny zleva s nulami, kterým se říká vedení. Vezměme si jako příklad číslo 101100 2. V osmičkové soustavě je to 101 100 = 54 8 a v šestnáctkové soustavě je to 0010 1100 = 2C 16. Skvělé, ale proč na obrazovce vidíme desetinná čísla a písmena? Když stisknete klávesu, do počítače se přenese určitá sekvence elektrických impulsů a každý symbol odpovídá své sekvenci elektrických impulsů (nuly a jedničky). Program ovladače klávesnice a obrazovky přistoupí k tabulce kódů znaků (například Unicode, která umožňuje zakódovat 65536 znaků), určí, kterému znaku odpovídá výsledný kód, a zobrazí jej na obrazovce. Texty a čísla jsou tedy uloženy v paměti počítače v binárním kódu a jsou programově převedeny na obrázky na obrazovce.

Osmičková číselná soustava

8. číselná soustava, stejně jako binární, se často používá v digitální technologie. Má základ 8 a k zápisu čísel používá číslice 0 až 7.

Příklad osmičkového čísla: 254. Pro převod do 10. soustavy musí být každá číslice původního čísla vynásobena 8 n, kde n je ciferné číslo. Ukazuje se, že 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10.

Hexadecimální číselná soustava

Hexadecimální systém je široce používán v moderních počítačích, například se používá k označení barvy: #FFFFFF - bílá barva. Daný systém má základ 16 a používá k zápisu tato čísla: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, kde písmena jsou 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Vezměme si jako příklad číslo 4F5 16. Pro převod do osmičkové soustavy nejprve převedeme hexadecimální číslo na binární a poté jej rozdělíme do skupin po 3 číslicích na osmičkové. Chcete-li převést číslo na 2, musíte každou číslici reprezentovat jako 4bitové binární číslo. 4F5 16 = (100 1111 101) 2. Ale ve skupinách 1 a 3 je málo číslic, takže každou vyplňte úvodními nulami: 0100 1111 0101. Nyní musíte výsledné číslo rozdělit do skupin po 3 číslicích zprava doleva: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101 Převedeme každou binární skupinu na osmičkovou soustavu, každou číslici vynásobíme 2 n, kde n je číslo číslice: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .

Kromě uvažovaných pozičních číselných soustav existují další, například:
1) Trojice
2) Čtvrtohory
3) Duodecimální

Polohové systémy se dělí na homogenní a smíšené.

Homogenní poziční číselné soustavy

Definice uvedená na začátku článku popisuje homogenní systémy zcela plně, takže je zbytečné je objasňovat.

Smíšené číselné soustavy

K již dané definici můžeme přidat větu: „pokud P=Q n (P,Q,n jsou celá čísla kladná čísla, zatímco P a Q jsou základy), pak se zápis libovolného čísla ve smíšené (P-Q) číselné soustavě shodně shoduje se zápisem stejného čísla v číselné soustavě se základem Q.“

Na základě věty můžeme formulovat pravidla pro přenos z P do Q-tý systém a naopak:

1. Chcete-li převést z Q na P, potřebujete číslo v Q systém, rozdělte do skupin po n číslicích, počínaje pravou číslicí, a každou skupinu nahraďte jednou číslicí v P-tý systém.
2. Pro převod z P-té na Q-tou je nutné převést každou číslici čísla v P-té soustavě na Q-tou a chybějící číslice doplnit úvodními nulami s výjimkou levé tak, aby každé číslo v soustavě se základem Q se skládá z n číslic .

Pozoruhodným příkladem je převod z dvojkové soustavy na osmičkovou. Vezměme si binární číslo 10011110 2, převedeme ho na osmičkovou - rozdělíme ho zprava doleva do skupin po 3 číslicích: 010 011 110, nyní vynásobíme každou číslici 2 n, kde n je číslice, 010 011 110 = (0*2 2 +1 *2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) = 236 8 . Ukazuje se, že 10011110 2 = 236 8. Aby byl obraz binárně osmičkového čísla jednoznačný, dělí se na trojice: 236 8 = (10 011 110) 2-8.

Smíšené číselné systémy jsou také například:
1) Faktorový
2) Fibonacci

Převod z jedné číselné soustavy do druhé

Někdy je potřeba převést číslo z jedné číselné soustavy do druhé, proto se podívejme na způsoby převodu mezi různými soustavami.

Převod do desítkové číselné soustavy

V číselné soustavě se základem b existuje číslo a 1 a 2 a 3. Pro převod do 10. soustavy je nutné každou číslici čísla vynásobit b n, kde n je číslo číslice. Tedy (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 * b 2 + a 2 * b 1 + a 3 * b 0) 10.

Příklad: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10

Převod z desítkové soustavy čísel na jiné

Celý díl:

1. Celou část desetinného čísla postupně dělíme základem soustavy, do které převádíme, dokud se desetinné číslo nerovná nule.
2. Zbytky získané při dělení jsou číslice požadovaného čísla. Číslo v nový systém zapište od posledního zbytku.

Zlomek:

1. Desetinnou část desetinného čísla vynásobíme základem soustavy, na kterou chceme převést. Oddělte celou část. Pokračujeme v násobení zlomkové části základem nového systému, dokud se nerovná 0.
2. Čísla v novém systému jsou složena z celých částí výsledků násobení v pořadí odpovídajícím jejich výrobě.

Příklad: převeďte 15 10 na osmičkové:
15\8 = 1, zbytek 7
1\8 = 0, zbytek 1

Po sepsání všech zbytků zdola nahoru dostaneme konečné číslo 17. Tedy 15 10 = 17 8.

Převod z dvojkové soustavy na osmičkovou a šestnáctkovou

Chcete-li převést na osmičkové číslo, rozdělíme binární číslo do skupin po 3 číslicích zprava doleva a chybějící krajní číslice doplníme úvodními nulami. Dále transformujeme každou skupinu postupným vynásobením číslic 2n, kde n je číslo číslice.

Vezměme si jako příklad číslo 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8

Pro převod do šestnáctkové soustavy rozdělíme binární číslo do skupin po 4 číslicích zprava doleva, pak obdobně jako při převodu z 2. na 8. místo.

Převod z osmičkové a šestnáctkové soustavy na binární

Převod z osmičkové na binární - převeďte každou číslici osmičkového čísla na binární 3 ciferné číslo dělením 2 (podrobnosti o dělení viz odstavec „Převod z desítkové číselné soustavy na jiné“) doplňte chybějící vnější číslice úvodními nulami.

Zvažte například číslo 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2

Překlad z 16. na 2. - každou číslici hexadecimálního čísla převedeme na binární 4místné číslo dělením 2, přičemž chybějící vnější číslice doplníme úvodními nulami.

Převod zlomkové části libovolné číselné soustavy na desítkovou

Převod se provádí stejným způsobem jako u celých částí s tím rozdílem, že číslice čísla se násobí základem na mocninu „-n“, kde n začíná od 1.

Příklad: 101 011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 0,25 + 0,125) = 5,375 10

Převod zlomkové části binárního čísla na 8. a 16

Překlad zlomkové části se provádí stejně jako u celých částí čísla s jedinou výjimkou, že rozdělení do skupin po 3 a 4 číslicích jde vpravo od desetinné čárky, chybějící číslice jsou doplněny o nuly vpravo.

Příklad: 1001,01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8

Převod zlomkové části desítkové soustavy na jakoukoli jinou

Chcete-li převést zlomkovou část čísla na jiné číselné soustavy, musíte celou část otočit na nulu a výsledné číslo začít násobit základem soustavy, na kterou chcete převést. Pokud se v důsledku násobení objeví znovu celé části, je třeba je po prvním zapamatování (zapsání) hodnoty výsledné celé části znovu vynulovat. Operace končí, když je zlomková část zcela nulová.

Například převedeme 10,625 10 na binární:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Zapsáním všech zbytků odshora dolů dostaneme 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2

Osmičková číselná soustava

Poziční celočíselná číselná soustava se základem 8. K reprezentaci čísel používá číslice 0 až 7.

Osmičková soustava se často používá v oblastech souvisejících s digitálními zařízeními. Vyznačuje se snadným převodem osmičkových čísel na binární a naopak, nahrazením osmičkových čísel binárními trojicemi. Dříve byl široce používán v programování a počítačové dokumentaci obecně, ale nyní byl téměř zcela nahrazen hexadecimálním.

Hexadecimální číselná soustava

(hexadecimální čísla) -- poziční číselný systém založený na celočíselném základu 16. Obvykle se jako hexadecimální číslice používají desetinné číslice od 0 do 9 a latinská písmena od A do F k označení čísel od 10 10 do 15 10, tedy ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Pravidla pro převod desetinných čísel do az nich

·

Chcete-li převést z binární na desítkovou, použijte následující tabulku mocnin základu 2:

Podobně, počínaje od binárního bodu, se pohybujte zprava doleva. Pod každou binární jednotku napište její ekvivalent na řádek níže. Sečtěte výsledná desetinná čísla To znamená, že binární číslo 110001 je ekvivalentní desítkové 49.

Transformace Hornerovou metodou

Chcete-li pomocí této metody převést čísla z binárních na desítkové, musíte sečíst čísla zleva doprava a vynásobit dříve získaný výsledek základem systému (v tomto případě 2). Například binární číslo 1011011 se převede do desítkové soustavy takto: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2 +0=22 >> 22*2+1=45 >> 45*2+1=91 To znamená, že v desítkové soustavě se toto číslo zapíše jako 91. Nebo se číslo 101111 přeloží do desítková soustava takto: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+1=23 >> 23*2+1=47 To znamená, že v desítkové soustavě bude toto číslo zapsáno jako 47.

Převod desítkových čísel na binární

Řekněme, že potřebujeme převést číslo 19 na binární. Můžete použít následující postup:

• 19 /2 = 9 se zbytkem 1
• 9/2 = 4 se zbytkem 1
• 4/2 = 2 se zbytkem 0
• 2/2 = 1 se zbytkem 0
• 1/2 = 0 se zbytkem 1

Každý podíl tedy vydělíme 2 a zbytek zapíšeme na konec binárního zápisu. Pokračujeme v dělení, dokud v dividendě není žádná 0. Výsledkem je číslo 19 v binárním zápisu: 10011.

Převod zlomkových binárních čísel na desetinná čísla

Potřebujeme převést číslo 1011010.101 do desítkové soustavy. Zapišme toto číslo takto:

Převod zlomkových desetinných čísel na binární

Převod zlomkového čísla z desítkové soustavy čísel do dvojkové soustavy se provádí pomocí následujícího algoritmu:

• · Nejprve se celá část desetinného zlomku převede do binární číselné soustavy;
• ·Zlomková část desetinného čísla se pak vynásobí základem binární číselné soustavy;
• · Ve výsledném součinu se vybere celočíselná část, která se bere jako hodnota prvního desetinného místa čísla v binární číselné soustavě;
• · Algoritmus končí, pokud je zlomková část výsledného produktu rovna nule nebo pokud je dosaženo požadované přesnosti výpočtu. Jinak výpočty pokračují z předchozího kroku.

Příklad: Potřebujete převést zlomkové desetinné číslo 206.116 na zlomkové binární číslo.

Překlad celé části dává 206 10 =11001110 2 podle dříve popsaných algoritmů; Vynásobíme zlomkovou část základem 2 a zadáme celočíselné části součinu na desetinná místa požadovaného zlomkového binárního čísla:

• 116 * 2 = 0.232
• 232 * 2 = 0.464
• 464 * 2 = 0.928
• 928 * 2 = 1.856
• 856 * 2 = 1.712
• 712 * 2 = 1.424
• 424 * 2 = 0.848
• 848 * 2 = 1.696
• 696 * 2 = 1.392
• 392 * 2 = 0.784

Dostaneme: 206,116 10 = 11001110,0001110110 2

· Převeďte osmičková čísla na desítková.

Algoritmus pro převod čísel z osmičkové na desítkovou číselnou soustavu je podobný tomu, o čem jsem již hovořil v této části: Převeďte binární čísla na desítková.

Chcete-li převést osmičkové číslo na binární, musíte nahradit každou číslici osmičkového čísla trojicí binárních číslic.

Příklad: 2541 8 = 010 101 100 001 = 010101100001 2

Existuje tabulka pro převod osmičkových čísel na binární

· Hexadecimální převod čísla na desetinná místa.

Chcete-li převést šestnáctkové číslo na desítkové je nutné toto číslo prezentovat jako součet součinů mocnin základu hexadecimální číselné soustavy odpovídajícími číslicemi v číslicích šestnáctkového čísla.

Například chcete převést šestnáctkové číslo 5A3 na desítkové. Toto číslo má 3 číslice. V souladu s výše uvedeným pravidlem jej uvádíme jako součet mocnin se základem 16:

5A3 16 = 3·16 0 +10·16 1 +5·16І= 3·1+10·16+5·256= 3+160+1280= 1443 10

Chcete-li převést vícemístné binární číslo na hexadecimální, musíte je rozdělit na tetrady zprava doleva a nahradit každou tetradu odpovídající hexadecimální číslicí.

Například:

010110100011 2 = 0101 1010 0011 = 5A3 16

Konverzní tabulka čísel