Hledání nejmenšího společného násobku online. Největší společný dělitel (GCD): Definice, příklady a vlastnosti

Známky dělitelnosti přirozená čísla.

Volají se čísla dělitelná 2 beze zbytkudokonce .

Volají se čísla, která nejsou dělitelná 2 rovnoměrnězvláštní .

Test dělitelnosti 2

Pokud přirozené číslo končí sudou číslicí, pak je toto číslo dělitelné 2 beze zbytku, a pokud číslo končí lichou číslicí, pak toto číslo není dělitelné 2 rovnoměrně.

Například čísla 60 , 30 8 , 8 4 jsou beze zbytku dělitelné 2 a čísla jsou 51 , 8 5 , 16 7 nejsou beze zbytku dělitelné 2.

Test dělitelnosti 3

Je-li součet číslic čísla dělitelný 3, pak je číslo dělitelné 3; Pokud součet číslic čísla není dělitelný 3, pak číslo není dělitelné 3.

Zjistíme například, zda je číslo 2772825 dělitelné 3. K tomu spočítejme součet číslic tohoto čísla: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - dělitelné 3. To znamená, že číslo 2772825 je dělitelné 3.

Test dělitelnosti 5

Pokud záznam přirozeného čísla končí číslicí 0 nebo 5, pak je toto číslo dělitelné 5 beze zbytku Pokud záznam čísla končí jinou číslicí, pak číslo není beze zbytku dělitelné 5.

Například čísla 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 jsou beze zbytku dělitelné 5 a čísla jsou 17 , 37 8 , 9 1 nesdílejte.

Test dělitelnosti 9

Je-li součet číslic čísla dělitelný 9, pak je číslo dělitelné 9; Pokud součet číslic čísla není dělitelný 9, pak číslo není dělitelné 9.

Zjistíme například, zda je číslo 5402070 dělitelné 9. K tomu spočítejme součet číslic tohoto čísla: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - nedělitelné 9 To znamená, že číslo 5402070 není dělitelné 9.

Test dělitelnosti 10

Pokud přirozené číslo končí číslicí 0, pak je toto číslo dělitelné 10 beze zbytku, pokud přirozené číslo končí jinou číslicí, pak není dělitelné 10.

Například čísla 40 , 17 0 , 1409 0 jsou dělitelná 10 beze zbytku a čísla 17 , 9 3 , 1430 7 - nesdílejte.

Pravidlo pro nalezení největšího společného dělitele (GCD).

Chcete-li najít největší společný dělitel několik přirozených čísel, potřebujete:

2) z faktorů zahrnutých do rozšíření jednoho z těchto čísel škrtněte ty, které nejsou zahrnuty do rozšíření jiných čísel;

3) najděte součin zbývajících faktorů.

Příklad. Najdeme GCD (48;36). Použijme pravidlo.

1. Rozložme čísla 48 a 36 na prvočinitele.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Z faktorů zahrnutých do rozšíření čísla 48 škrtneme ty, které nejsou zahrnuty do rozšíření čísla 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Zbývající faktory jsou 2, 2 a 3.

3. Vynásobte zbývající faktory a dostanete 12. Toto číslo je největším společným dělitelem čísel 48 a 36.

GCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.

Pravidlo pro nalezení nejmenšího společného násobku (LCM).

Chcete-li najít nejmenší společný násobek několika přirozených čísel, musíte:

1) zahrnout je do primárních faktorů;

2) zapište faktory zahrnuté v rozšíření jednoho z čísel;

3) doplňte k nim chybějící faktory z rozšíření zbývajících čísel;

4) najděte součin výsledných faktorů.

Příklad. Pojďme najít LOC (75;60). Použijme pravidlo.

1. Rozložme čísla 75 a 60 na prvočinitele.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Zapišme faktory zahrnuté v rozšíření čísla 75: 3, 5, 5.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Doplňte k nim chybějící faktory z rozšíření čísla 60, tzn. 2, 2.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Najděte součin výsledných faktorů

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Pojďme vyřešit problém. Máme dva typy cookies. Některé jsou čokoládové a jiné obyčejné. Čokoládových je 48 a obyčejných 36. Z těchto sušenek je potřeba vyrobit maximální možný počet dárků a je potřeba je všechny použít.

Nejprve si zapišme všechny dělitele každého z těchto dvou čísel, protože obě tato čísla musí být dělitelná počtem darů.

Dostaneme,

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Najdeme mezi společnými děliteli, které má první i druhé číslo.

Společné faktory budou: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Největším společným činitelem ze všech je číslo 12. Toto číslo se nazývá největší společný činitel čísel 36 a 48.

Na základě získaných výsledků můžeme usoudit, že ze všech sušenek lze vyrobit 12 dárků. Jeden takový dárek bude obsahovat 4 čokoládové sušenky a 3 běžné sušenky.

Hledání největšího společného dělitele

• Největší přirozené číslo, které dělí dvě čísla a a b beze zbytku, se nazývá největší společný dělitel těchto čísel.

Někdy se pro zkrácení zápisu používá zkratka GCD.

Některé dvojice čísel mají jedničku jako největšího společného dělitele. Taková čísla se nazývají vzájemně prvočísla. Například čísla 24 a 35 mají GCD =1.

Jak najít největšího společného dělitele

Abychom našli největšího společného dělitele, není nutné zapisovat všechny dělitele daných čísel.

Můžete to udělat jinak. Nejprve rozložte obě čísla na prvočinitele.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

Nyní z faktorů, které jsou zahrnuty do rozšíření prvního čísla, odškrtneme všechny, které nejsou zahrnuty do rozšíření druhého čísla. V našem případě se jedná o dvě dvojky.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

Zbývající faktory jsou 2, 2 a 3. Jejich součin je 12. Toto číslo bude největším společným dělitelem čísel 48 a 36.

Toto pravidlo lze rozšířit na tři, čtyři atd. čísla.

Obecné schéma hledání největšího společného dělitele

• 1. Rozdělte čísla na prvočinitele.
• 2. Z faktorů zahrnutých do rozšíření jednoho z těchto čísel škrtněte ty, které nejsou zahrnuty do rozšíření jiných čísel.
• 3. Vypočítejte součin zbývajících faktorů.

Zpět dopředu

Pozornost! Náhledy snímků mají pouze informativní charakter a nemusí představovat všechny funkce prezentace. Jestli máte zájem tato práce, stáhněte si prosím plnou verzi.

S pojmy největší společný dělitel (GCD) a nejmenší společný násobek (LCM) se studenti středních škol setkávají v šesté třídě. Toto téma je vždy těžké pochopit. Děti si tyto pojmy často pletou a nechápou, proč je třeba je studovat. V Nedávno a v populárně naučné literatuře se objevují jednotlivá tvrzení, že tento materiál by měl být vyřazen ze školního vzdělávacího programu. Myslím si, že to není tak úplně pravda a je potřeba to studovat, když ne ve třídě, tak v mimoškolních hodinách při výuce školních složek, protože to přispívá k rozvoji logického myšlení u školáků, zvyšuje rychlost výpočetních operací, a schopnost řešit problémy pomocí krásných metod.

Při studiu tématu „Sčítání a odčítání zlomků s různých jmenovatelů"Učíme děti najít společného jmenovatele dvou a více čísel. Například je potřeba sečíst zlomky 1/3 a 1/5. Žáci snadno najdou číslo, které je beze zbytku dělitelné 3 a 5. To je číslo 15. Pokud jsou čísla malá, pak je snadné najít jejich společného jmenovatele, pokud dobře znáte násobilku Jedno z dětí si všimne, že toto číslo je součinem čísel 3 a 5. Děti mají názor, že takto lze vždy najít společného jmenovatele čísel Například odečteme zlomky 18 a 5/24. Je roven 432 Získali jsme již velké číslo, a pokud jsou potřeba další výpočty (zejména pro příklady pro všechny akce), zvyšuje se pravděpodobnost chyby, ale zvyšuje se nejmenší nalezený společný násobek čísel (LCD), což je v tomto případě je ekvivalentní nejmenšímu společnému jmenovateli (LCD) – číslu 72 – značně usnadní výpočty a povede k rychlejšímu řešení příkladu, a tím ušetří čas vyhrazený na provedení tohoto zadání, která hraje důležitou roli při provádění závěrečných testů a zkoušek, zejména při závěrečné certifikaci.

Při studiu tématu „Zmenšování zlomků“ se můžete postupně pohybovat vydělením čitatele a jmenovatele zlomku stejným přirozeným číslem pomocí znamének dělitelnosti čísel, čímž nakonec získáte neredukovatelný zlomek. Například musíte snížit zlomek 128/344. Nejprve vydělte čitatele a jmenovatele zlomku číslem 2, dostaneme zlomek 64/172. Ještě jednou vydělte čitatele a jmenovatele výsledného zlomku 2, dostaneme zlomek 32/86. Vydělte čitatele a jmenovatele zlomku opět 2, dostaneme neredukovatelný zlomek 16/43. Zmenšení zlomku lze ale provést mnohem snadněji, pokud najdeme největšího společného dělitele čísel 128 a 344. GCD(128, 344) = 8. Vydělením čitatele a jmenovatele zlomku tímto číslem okamžitě získáme neredukovatelný zlomek .

Je potřeba ukázat dětem různé způsoby nalezení největšího společného dělitele (GCD) a nejmenšího společného násobku (LCM) čísel. V jednoduchých případech je vhodné najít největšího společného dělitele (GCD) a nejmenšího společného násobku (LCD) čísel jednoduchým výčtem. Jak se čísla zvětšují, můžete použít prvočíselné rozklady. Učebnice pro šestou třídu (autor N.Ya. Vilenkin) ukazuje následující metodu hledání největšího společného dělitele (GCD) čísel. Rozložme čísla do prvočinitelů:

• 16 = 2*2*2*2
• 120 = 2*2*2*3*5

Poté z faktorů zahrnutých do rozšíření jednoho z těchto čísel odškrtneme ty, které nejsou zahrnuty do rozšíření druhého čísla. Součin zbývajících faktorů bude největším společným dělitelem těchto čísel. V tomto případě se jedná o číslo 8. Z vlastní zkušenosti jsem přesvědčen, že pro děti je srozumitelnější, když v rozkladech čísel podtrhneme stejné činitele, a pak v jednom z rozkladů najdeme součin tzv. podtržené faktory. Toto je největší společný dělitel těchto čísel. V šesté třídě jsou děti aktivní a zvídavé. Můžete jim zadat následující úkol: zkuste popsanou metodou najít největšího společného dělitele čísel 343 a 287. Není hned zřejmé, jak je rozdělit na prvočinitele. A tady jim můžete vyprávět o úžasné metodě vynalezené starými Řeky, která vám umožňuje hledat největšího společného dělitele (GCD), aniž byste ho započítávali do prvočísel. Tato metoda hledání největšího společného dělitele byla poprvé popsána v Euklidově knize Elements. Říká se tomu euklidovský algoritmus. Skládá se z následujícího: Nejprve vydělte větší číslo menším. Pokud je získán zbytek, vydělte menší číslo zbytkem. Pokud znovu získáte zbytek, vydělte první zbytek druhým. Pokračujte v dělení tímto způsobem, dokud nebude zbytek nula. Poslední dělitel je největší společný dělitel (GCD) těchto čísel.

Vraťme se k našemu příkladu a pro názornost zapišme řešení ve formě tabulky.

Takže gcd(344,287) = 7

Jak najít nejmenší společný násobek (LCM) stejných čísel? Existuje k tomu nějaký způsob, který nevyžaduje předchozí rozklad těchto čísel na prvočinitele? Ukázalo se, že existuje a je to velmi jednoduché. Musíme tato čísla vynásobit a vydělit součin největším společným dělitelem (GCD), který jsme našli. V tomto příkladu je součin čísel 98441. Vydělte ho 7 a dostanete číslo 14063. LCM(343,287) = 14063.

Jedním z obtížných témat v matematice je řešení slovních úloh. Musíme studentům ukázat, jak lze koncepty Greatest Common Divisor (GCD) a Least Common Multiple (LCM) využít k řešení problémů, které je někdy obtížné vyřešit běžným způsobem. Zde je vhodné se studenty spolu s úkoly navrženými autory školní učebnice zvážit starodávné a zábavné úkoly, které rozvíjejí dětskou zvídavost a zvyšují zájem o studium tohoto tématu. Dovedné zvládnutí těchto pojmů umožňuje studentům vidět krásné řešení nestandardního problému. A pokud se nálada dítěte po vyřešení dobrého problému zvedne, je to známka úspěšné práce.

Studium ve škole takových pojmů jako „největší společný dělitel (GCD)“ a „nejmenší společný násobek (LCD)“ čísel

Umožňuje ušetřit čas vyhrazený na dokončení práce, což vede k výraznému zvýšení objemu dokončených úkolů;

Zvyšuje rychlost a přesnost provádění aritmetických operací, což vede k výraznému snížení počtu chyb ve výpočtu;

Umožňuje vám najít krásné způsobyřešení nestandardních textových problémů;

Rozvíjí zvídavost studentů a rozšiřuje jejich obzory;

Vytváří předpoklady pro výchovu všestranné tvůrčí osobnosti.

Definice.Říká se největší přirozené číslo, kterým jsou čísla a a b beze zbytku dělena největší společný dělitel (GCD) tato čísla.

Pojďme najít největšího společného dělitele čísel 24 a 35.
Dělitelé 24 jsou čísla 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 a dělitelé 35 jsou čísla 1, 5, 7, 35.
Vidíme, že čísla 24 a 35 mají pouze jednoho společného dělitele – číslo 1. Taková čísla se nazývají vzájemně prvočíslo.

Definice. Volají se přirozená čísla vzájemně prvočíslo, pokud jejich největší společný dělitel (GCD) je 1.

Největší společný dělitel (GCD) lze nalézt bez vypsání všech dělitelů daných čísel.

Rozložením čísel 48 a 36 dostaneme:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Z faktorů zahrnutých do rozšíření prvního z těchto čísel odškrtneme ty, které nejsou zahrnuty do rozšíření druhého čísla (tedy dvě dvojky).
Zbývající faktory jsou 2 * 2 * 3. Jejich součin je roven 12. Toto číslo je největším společným dělitelem čísel 48 a 36. Také byl nalezen největší společný dělitel tří nebo více čísel.

Najít největší společný dělitel

2) z faktorů zahrnutých do rozšíření jednoho z těchto čísel škrtněte ty, které nejsou zahrnuty do rozšíření jiných čísel;
3) najděte součin zbývajících faktorů.

Pokud jsou všechna zadaná čísla dělitelná jedním z nich, pak toto číslo je největší společný dělitel daná čísla.
Například největší společný dělitel čísel 15, 45, 75 a 180 je číslo 15, protože všechna ostatní čísla jsou jím dělitelná: 45, 75 a 180.

Nejmenší společný násobek (LCM)

Definice. Nejmenší společný násobek (LCM) přirozená čísla a a b je nejmenší přirozené číslo, které je násobkem obou a a b. Nejmenší společný násobek (LCM) čísel 75 a 60 lze najít bez zapsání násobků těchto čísel za sebou. Abychom to udělali, rozdělme 75 a 60 na prvočinitele: 75 = 3 * 5 * 5 a 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Zapišme si činitele zahrnuté v rozšíření prvního z těchto čísel a doplňte k nim chybějící činitele 2 a 2 z rozšíření druhého čísla (tedy činitele spojíme).
Dostaneme pět faktorů 2 * 2 * 3 * 5 * 5, jejichž součin je 300. Toto číslo je nejmenší společný násobek čísel 75 a 60.

Najdou také nejmenší společný násobek tří a více čísel.

Na najít nejmenší společný násobek několik přirozených čísel, potřebujete:
1) zahrnout je do prvočinitelů;
2) zapište faktory zahrnuté v rozšíření jednoho z čísel;
3) doplňte k nim chybějící faktory z rozšíření zbývajících čísel;
4) najděte součin výsledných faktorů.

Všimněte si, že pokud je jedno z těchto čísel dělitelné všemi ostatními čísly, pak je toto číslo nejmenším společným násobkem těchto čísel.
Například nejmenší společný násobek čísel 12, 15, 20 a 60 je 60, protože je dělitelný všemi těmito čísly.

Pythagoras (VI. století před naším letopočtem) a jeho studenti studovali otázku dělitelnosti čísel. Číslo rovné součtu všech jeho dělitelů (bez čísla samotného) nazvali dokonalým číslem. Například čísla 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) jsou dokonalá. Další dokonalá čísla jsou 496, 8128, 33 550 336. Pythagorejci znali pouze první tři dokonalá čísla. Čtvrtý - 8128 - se stal známým v 1. století. n. E. Pátý - 33 550 336 - byl nalezen v 15. století. V roce 1983 již bylo známo 27 dokonalých čísel. Ale vědci stále nevědí, zda existují lichá dokonalá čísla, nebo zda existuje největší dokonalé číslo.
Zájem starověkých matematiků o prvočísla je způsoben tím, že jakékoli číslo je buď prvočíslo, nebo může být reprezentováno jako součin prvočísel, tj. prvočísla jsou jako cihly, ze kterých je sestaven zbytek přirozených čísel.
Pravděpodobně jste si všimli, že prvočísla v řadě přirozených čísel se vyskytují nerovnoměrně – v některých částech řady jich je více, v jiných méně. Čím dále se ale po číselné řadě pohybujeme, tím méně častá jsou prvočísla. Nabízí se otázka: existuje poslední (největší) prvočíslo? Starořecký matematik Euclid (3. století př. n. l.) ve své knize „Prvky“, která byla hlavní učebnicí matematiky po dva tisíce let, dokázal, že prvočísel je nekonečně mnoho, tedy za každým prvočíslem je ještě větší prvočíslo. číslo.
K nalezení prvočísel přišel s touto metodou jiný řecký matematik téže doby, Eratosthenes. Zapsal všechna čísla od 1 do nějakého čísla a pak přeškrtl jedno, které není ani prvočíslo, ani složené číslo, pak přes jedničku přeškrtl všechna čísla po 2 (čísla, která jsou násobky 2, tedy 4, 6, 8 atd.). První zbývající číslo po 2 bylo 3. Poté po dvou byla přeškrtnuta všechna čísla po 3 (čísla, která byla násobkem 3, tedy 6, 9, 12 atd.). nakonec zůstala nezkřížená jen prvočísla.

Tento článek je o nalezení největšího společného dělitele (GCD) dva a vícečísla. Nejprve se podívejme na Euclidův algoritmus, který vám umožňuje najít gcd dvou čísel. Poté se zaměříme na metodu, která nám umožňuje vypočítat gcd čísel jako součin jejich společných prvočinitelů. Dále se podíváme na nalezení největšího společného dělitele tří nebo více čísel a také uvedeme příklady výpočtu gcd záporných čísel.

Navigace na stránce.

Euklidovský algoritmus pro nalezení GCD

Všimněte si, že kdybychom se hned od začátku obrátili na tabulku prvočísel, zjistili bychom, že čísla 661 a 113 jsou prvočísla, z čehož bychom hned mohli říci, že jejich největší společný dělitel je 1.

Odpovědět:

GCD(661,113)=1.

Hledání GCD rozkladem čísel na prvočinitele

Zvažme jiný způsob, jak najít GCD. Největší společný dělitel lze nalézt rozkladem čísel na prvočinitele. Formulujme pravidlo: GCD dvou celých čísel kladná čísla aab se rovná součinu všech běžných prvočinitelů nalezených v rozkladech prvočísel a ab.

Uveďme příklad pro vysvětlení pravidla pro nalezení GCD. Poznejme rozklady čísel 220 a 600 na prvočinitele, mají tvar 220=2·2·5·11 a 600=2·2·2·3·5·5. Společnými prvočísly zapojenými do faktorizace čísel 220 a 600 jsou 2, 2 a 5. Proto GCD(220, 600)=2·2·5=20.

Pokud tedy rozdělíme čísla a a b na prvočinitele a najdeme součin všech jejich společných činitelů, najdeme největšího společného dělitele čísel a a b.

Uvažujme příklad nalezení GCD podle uvedeného pravidla.

Příklad.

Najděte největšího společného dělitele čísel 72 a 96.

Řešení.

Rozložme čísla 72 a 96 na prvočinitele:

To znamená, 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 a 96 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3. Běžné prvočinitele jsou 2, 2, 2 a 3. Tedy GCD(72, 96)=2·2·2·3=24.

Odpovědět:

GCD(72,96)=24.

Na závěr tohoto odstavce poznamenáváme, že platnost výše uvedeného pravidla pro zjištění GCD vyplývá z vlastnosti největšího společného dělitele, která říká, že GCD(m a 1, mb 1)=m GCD(a 1, b 1), kde m je libovolné kladné celé číslo.

Nalezení gcd tří nebo více čísel

Hledání největšího společného dělitele tří nebo více čísel lze zredukovat na postupné hledání gcd dvou čísel. Zmínili jsme to při studiu vlastností GCD. Tam jsme formulovali a dokázali větu: největší společný dělitel několika čísel a 1, a 2, ..., a k je roven číslu d k, které se najde sekvenčním výpočtem GCD(a 1, a 2)=d 2 GCD(d2,a3)=d3, GCD(d3,a4)=d4,..., GCD(dk-l, ak)=dk.

Podívejme se, jak vypadá proces hledání gcd několika čísel, když se podíváme na řešení příkladu.

Příklad.

Najděte největšího společného dělitele čtyř čísel 78, 294, 570 a 36.

Řešení.

V tomto příkladu a 1 = 78, a 2 = 294, a 3 = 570, a 4 = 36.

Nejprve pomocí euklidovského algoritmu určíme největšího společného dělitele d 2 prvních dvou čísel 78 a 294. Při dělení získáme rovnosti 294=78·3+60; 78=60-1+18; 60=18,3+6 a 18=6,3. Tedy d2=GCD(78,294)=6.

Teď pojďme počítat d3=GCD(d2, a3)=GCD(6, 570). Aplikujme znovu euklidovský algoritmus: 570=6·95, tedy d 3 = GCD(6, 570)=6.

Zbývá spočítat d4 =GCD(d3, a4)=GCD(6; 36). Protože 36 je dělitelné 6, pak d 4 = GCD(6, 36) = 6.

Největší společný dělitel čtyř daných čísel je tedy d 4 =6, tedy gcd(78, 294, 570, 36)=6.

Odpovědět:

GCD(78,294,570,36)=6.

Rozdělení čísel na prvočísla vám také umožňuje vypočítat gcd tří nebo více čísel. V tomto případě je největší společný dělitel nalezen jako součin všech společných prvočinitelů daných čísel.

Příklad.

Vypočítejte gcd čísel z předchozího příkladu pomocí jejich prvočíselných rozkladů.

Řešení.

Rozložme čísla 78, 294, 570 a 36 na prvočinitele, dostaneme 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 ·3· 3. Společnými prvočísly všech těchto čtyř čísel jsou čísla 2 a 3. Proto, GCD(78, 294, 570, 36)=2-3=6.