ПРАВОСЛАВНАЯ ЦЕРКОВЬ.Православная Церковь не является каким-то чисто земным...
Департамент образования Владимирской области
Управления образования Судогодского района
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Мошокская средняя общеобразовательная школа»
«
Решение
уравнений
и
неравенств
с
параметром
»
Разработала: Гаврилова Г.В.
учитель математики
моу «Мошокская средняя
общеобразовательная школа»
2009 год
Решение уравнений и неравенств с параметрами
Пояснительная записка
Понятие параметра является математическим понятием, которое часто используется в школьном курсе математики и в смежных дисциплинах.
7 класс - при изучении линейной функции и линейного уравнения с одной переменной.
8 класс – при изучении квадратных уравнений.
Общеобразовательная программа школьного курса математики не предусматривает решение задач с параметрами, а на вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ по математике задачи с параметрами присутствуют, решение которых вызывает большие затруднения учащихся.Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью, которые позволяют проверить знания основных разделов школьного курса математики, уровень логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности.
Основная задача курса – познакомить учащихся с общими подходами решения заданий с параметрами, подготовить учащихся таким образом, чтобы они смогли в атмосфере конкурсного экзамена успешно справиться с задачами, содержащие параметры.
Решить уравнение, определить количество решений, исследовать уравнение, найти положительные корни, доказать, что неравенство не имеет решений и т.д.- все это варианты параметрических примеров. Поэтому невозможно дать универсальных указаний по решению примеров, в данном курсе рассматриваются различные примеры с решениями. Материал курса представлен по схеме: справочные сведения, примеры с решениями, примеры для самостоятельной работы, примеры для определения успешности усвоения материала.
Решение заданий с параметрами способствуют формированию навыков исследовательской деятельности, интеллектуальному развитию.
Цели курса:
Систематизировать знания учащихся, полученные в 7 и 8 классах, при решении линейных и квадратных уравнений и неравенств;
Выявить и развить их математические способности;
Создать целостное представление о решении линейных уравнений и неравенств, содержащих параметры;
Создать целостное представление о решении квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметры;
Углубить знания по математике, предусматривающие формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;
обеспечить подготовку к профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры.
Учебно-тематический план
|
№ п/п
|
Тема |
Кол-во часов
|
Виды деятельности |
|
1. |
|
|
Практикум |
|
2. |
Первоначальные сведения о задачах с параметром. |
Семинар |
|
|
3. |
Решение линейных уравнений, содержащих параметры. |
|
|
|
4. |
Решение линейных неравенств, содержащих параметры. |
Исследовательская работа; отработка навыков; самостоятельная работа. |
|
|
5. |
Квадратные уравнения. Теорема Виета. |
3 |
Исследовательская работа; отработка навыков; самостоятельная работа. |
|
6. |
Успешность усвоения курса |
1 |
Итоговая контрольная работа |
Тема 1.
Решение линейных уравнений и неравенств, квадратных уравнений и неравенств, решение задач на применение теоремы Виета.
Тема 2. Первоначальные сведения о задачах с параметром.
Понятие параметра. Что означает «решить задачу с параметром»? Основные типы задач с параметром. Основные способы решения задач с параметром.
Примеры решения линейных уравнений с параметром.
Тема 4. Решение линейных неравенств, содержащих параметры.
Примеры решения линейных неравенств с параметром.
Тема 5. Квадратные уравнения. Теорема Виета.
Примеры решения квадратных уравнений с параметром.
Дидактический материал к элективному курсу
«Решение уравнений и
неравенств с параметром»
Тема 1.
Примеры для этой темы.
Тема 2.
Примеры, где учащиеся уже встречались с параметрами:
Функция прямая пропорциональность: у = kx (х и у – переменные; k – параметр, k ≠ 0);
Функция обратной пропорциональности: у = k / х (х и у – переменные, k – параметр, k ≠ 0)
Линейная функция: у = kх + b (х и у – переменные; k и b – параметры);
Линейное уравнение: ах + b = 0 (х – переменная; а и b – параметры);
Квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0 (х – переменная; а, b и c – параметры,
Что такое параметр?
Если в уравнение или неравенство некоторые коэффициенты заменены не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение или неравенство параметрическим.
Параметры обычно обозначаются первыми буквами латинского алфавита: а, в, с, … или а 1 , а 2 , а 3 , … , а неизвестные последними буквами латинского алфавита х, у, z, … Эти обозначения не являются обязательными, но если в условии не указано, какие буквы являются параметрами, а какие – неизвестны-
ми, то используются такие обозначения.
Например, решить уравнение (4х – ах)а = 6х – 10 . Здесь х – неизвестное, а – параметр.
Что означает «решить задачу с параметром»?
Решить задачу с параметром – значит, для каждого значения параметра а найти значение х, удовлетворяющие этой задаче, т.е. это зависит от вопроса в задаче.
Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:
Определить, при каких значениях параметров существует решения;
Для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.
Какие основные типы задач с параметром?
Тип 1.
Уравнения, неравенства, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговорённому множеству. Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами».
Тип 2. Уравнения, неравенства, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
Тип 3. Уравнения, неравенства, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения и неравенства имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений). Задачи типа 3 в каком-то смысле обратные задачам типа 2.
Тип 4. Уравнения, неравенства, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
Например, найти значения параметра, при которых:
1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решения второго уравнения и т.д.
Основные способы решения задач с параметром.
Способ 1. (аналитический) Этот способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные способы нахождения ответа в задачах без параметра.
Способ 2. (графический) В зависимости от задачи рассматриваются графики в координатной плоскости (х;у), или в координатной плоскости (х;а).
Способ 3. (решение относительно параметра) При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признаётся более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных х и а и заканчиваем решение.
Замечание. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор раннее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.
Рассмотрим примеры. 2.1. Сравнить -а и 5а.
Решение. Надо рассмотреть три случая: если а 5а;
если а = 0, то –а = 5а;
если а > 0, то –а
Ответ. При а 5а; при а = 0 , –а = 5а; при а > 0, -а
Решить уравнение ах = 1.
Если а ≠ 0, то х = 1 / а.
Ответ. При а = 0 нет решений; при а ≠ 0, х = 1 / а.
Сравнить с и – 7с.
Решить уравнение сх = 10
Тема 3.
Линейные уравнения
Уравнения вида
где а, в – принадлежат множеству действительных чисел, а х – неизвестное, называется линейным уравнением относительно х.
Схема исследования линейного уравнения (1).
1.Если а ≠ 0, в – любое действительное число. Уравнение имеет единственное решение х = в/а.
2. Если а=0, в=0, то уравнение примет вид 0 ∙ х = 0, решением уравнения будет множество всех действительных чисел.
3. Если а=0, в ≠ 0, то уравнение 0 ∙ х = в не имеет решений.
Замечание. Если линейное уравнение не представлено в виде (1), то сначала нужно привести его к виду (1) и только после этого проводить исследование.
Примеры. 3.1 Решить уравнение (а -3)х = в+2а
Уравнение записано в виде (1).
Решение: Если а≠ 3, то уравнение имеет решение х = в+2а/ а-3 при любом в.
Значит единственное значение а, при котором могут отсутствовать решения уравнения, это а=3. В этом случае уравнение (а -3)х = в+2а принимает вид
0 ∙ х = в+6. (2)
Если в≠ - 6, то уравнение (2) не имеет решений.
Если в = - 6, то любое х является решением (2).
Следовательно, в = - 6 единственное значение параметра в, при котором уравнение (1) имеет решение при любом а (х=2 при а ≠3 и х принадлежит множеству действительных чисел при а=3).
Ответ: в = -6.
3.2. Решить уравнение 3(х-2а) = 4(1-х).
3.3. Решить уравнение 3/kx-12=1/3x-k
3.4. Решить уравнение (a 2 -1)x = a 2 – a -2
3.5. Решить уравнение х 2 + (2а +4)х +8а+1=0
Самостоятельная работа.
Вариант 1. Решить уравнения: а) вх + 2 = - 1;
б) (а – 1)х = а – 2;
в) (а 2 – 1)х – а 2 + 2а – 1 = 0.
Вариант 2. Решить уравнения: а) – 8 = вх + 1;
б) (а + 1)х = а – 1;
в) (9а 2 – 4)х – 9а 2 + 12а – 4 = 0.
Тема 4.
Линейные неравенства с параметром
Неравенства
ах > в, ах
где а, в – выражения, зависящие от параметров, а х – неизвестное,
называются линейными неравенствами с параметрами.
Решить неравенство с параметрами – значит для всех значений параметров найти множество решений неравенства.
Схема решения неравенства а х > в.
Если а > 0, то х > в/а.
Если а
Если а = 0, то неравенство примет вид 0 ∙ х > в. При в ≥ 0 неравенство не имеет решений; при в
Примеры. 4.1. Решить неравенство а(3х-1)>3х – 2.
Решение: а(3х-1)>3х – 2, значит 3х(а-1)> а-2.
Рассмотрим три случая.
а=1, решением 0 ∙ х > -1 является любое действительное число.
а>1, 3х(а-1)> а-2, значит х > а-2/3 (а-1).
а а-2, значит х
2ах +5 > a+10x .
(а + 1)х – 3а + 1 ≤ 0.
Х 2 +ах +1 > 0 .
Самостоятельная работа.
Вариант 1. Решить неравенства: а) (а – 1)х ≤ а 2 – 1;
б) 3х-а > ах – 2.
Вариант 2. Решить неравенства: а) (а – 1)х – 2а +3 ≥ 0;
б) ах-2в
Тема 5.
Квадратные уравнения, содержащие параметры. Теорема Виета.
Уравнение вида
ах 2 +вх + с = 0, (1)
где а,в,с – выражения, зависящие от параметров, а ≠ 0, х – неизвестное, называется квадратным уравнением с параметрами.
Схема исследования квадратного уравнения (1).
Если а = 0, то имеем линейное уравнение вх +с = 0.
Если а ≠ 0 и дискриминант уравнения D = в 2 – 4ас
Если а ≠ 0 и D = 0, то уравнение имеет единственное решение х = - в/ 2а или как еще говорят, совпадающие корни х 1 = х 2 = - В / 2а.
Если а ≠ 0 и D > 0, то уравнение имеет два различных корня х 1,2 = (- В ± √D) / 2а
Примеры. 5.1. Для всех значений параметра а решить уравнение
(а – 1)х 2 – 2ах + а + 2 = 0.
Решение. 1. а – 1 = 0, т.е. а = 1.Тогда уравнение примет вид -2х + 3 = 0, х = 3 / 2 .
2. а ≠ 1. Найдём дискриминант уравнения D = 4а 2 – 4(а – 1)(а + 2) = - 4а + 8.
Возможны случаи: а) D 8, а > 2. Уравнение не имеет
б) D = 0, т.е. -4а + 8 = 0, 4а = 8, а = 2. Уравнение имеет один
корень х = а / (а – 1) = 2 / (2 – 1) = 2.
в) D > 0, т.е. -4а + 8 > 0, 4а
корня х 1,2 = (2а ± √ -4а + 8) / 2(а – 1) = (а ± √ 2 – а) / (а – 1)
Ответ. При а = 1 х = 3 / 2 ;
при а =2 х = 2;
при а >2 нет корней;
Для всех значений параметра решить уравнения:
ах 2 + 3ах – а – 2 = 0;
ах 2 +6х – 6 = 0;
вх 2 – (в + 1)х +1 = 0;
(в + 1)х 2 – 2х + 1 – в = 0.
Самостоятельная работа.
Вариант 1. Решить уравнение ах 2 - (а+3)х + 3 = 0.
Вариант 2. Решить уравнение а 2 +(а+1)х + 2а-4 = 0.
Задачи.
. Найдите все значения параметра а, для которых квадратное уравнение
Решение. Данное уравнение по условию является квадратным, значит,
а – 1 ≠ 0, т.е. а ≠ 1. Найдём дискриминант D = 4(2а + 1) 2 – 4(а – 1)(4а +3) =
4(4а 2 + 4а + 1 – 4а 2 + а + 3) = 4(5а + 4).
Имеем: 1) При а ≠ 1 и D > 0, т.е. 4(5а + 4) > 0, а > - 4 / 5 уравнение имеет два
различных корня.
2) При а ≠ 1 и D
3) При а ≠ 1 и D = 0, т.е. а = - 4 / 5 уравнение имеет один корень.
Ответ. Если а > - 4 / 5 и а ≠ 1, то уравнение имеет два различных корня;
если а = - 4 / 5 , то уравнение имеет один корень.
.При каких значениях параметра а уравнение (а + 6)х 2 + 2ах +1 = 0 имеет единственное решение?
.При каких значениях параметра а уравнение (а 2 – а – 2)х 2 + (а +1)х + 1 = 0 не имеет решений?
.При каких значениях параметра а уравнение ах 2 - (2а+3)х+а+5=0 имеет два различных корня?
Самостоятельная работа.
Вариант 1. Найдите все значения параметра а , для которых квадратное уравнение (2а – 1)х 2 +2х – 1 = 0 имеет два различных корня; не имеет корней; имеет один корень.
Вариант 2.
. Найдите все значения параметра а, для которых квадратное уравнение (1 – а
)х
2 +4х
– 3 = 0 имеет два различных корня; не имеет корней; имеет один корень.
Теорема Виета.
При решении многих задач, связанных с квадратными уравнениями, содержащими параметры, используются следующие теоремы.
Теорема Виета.
Если х 1 , х 2 – корни квадратного уравнения ах 2 + вх +с = 0, а≠0, то х 1 + х 2 = - В /а и х 1 ∙ х 2 = С /а.
Теорема 1.
Для того, чтобы корни квадратного трёхчлена ах 2 +вх +с были действительны и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: D = в 2 – 4ас ≥ 0, х 1 ∙ х 2 = С / А > 0.
При этом оба корня будут положительны, если х 1 + х 2 = - В /а > 0, и оба корня будут отрицательны, если х 1 + х 2 = - В /а
Теорема 2.
Для того, чтобы корни квадратного трёхчлена ах 2 + вх + с были действительны и оба неотрицательны или оба неположительные, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: D = в 2 – 4ас ≥ 0, х 1 ∙ х 2 = С /а≥ 0.
При этом оба корня будут неотрицательны, если х 1 + х 2 = - В /а ≥ 0, и оба корня будут неположительные, если х 1 + х 2 = - В /а ≤ 0.
Теорема 3. Для того, чтобы корни квадратного трёхчлена ах 2 + вх + с были действительны и имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условия: х 1 ∙ х 2 = С /аПри этом условие D = в 2 – 4ас > 0 выполняется автоматически.
Примечание. Эти теоремы играют важную роль при решении задач, связанных с исследованием знаков корней уравнения ах 2 + вх + с = 0.
Полезные равенства: х 1 2 + х 2 2 = (х 1 + х 2) 2 – 2х 1 х 2 , (1)
х 1 3 + х 2 3 = (х 1 + х 2)(х 1 2 – х 1 х 2 + х 2 2) = (х 1 + х 2)((х 1 + х 2) 2 – 3х 1 х 2), (2)
(х 1 - х 2) 2 = (х 1 + х 2) 2 – 4х 1 х 2 , (3)
(5)
5.10.
(а – 1)х 2 – 2ах + а +1 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?
Решение. Уравнение квадратное, значит, а ≠ 1. По теореме Виета имеем
х 1 + х 2 = 2а /(а – 1) , х 1 х 2 = (а + 1) / (а – 1) .
Вычислим дискриминант D = 4а 2 – 4(а – 1)(а + 1) = 4.
а) Согласно теоремы 1 уравнение имеет положительные корни, если
D ≥ 0, х 1 х 2 > 0, х 1 + х 2 > 0, т.е. (а + 1) / (а – 1) > 0 , 2а / (а – 1) > 0.
Отсюда а є (-1; 0).
б) Согласно теоремы 1 уравнение имеет отрицательные корни, если
D ≥ 0, х 1 х 2 > 0, х 1 + х 2 0 , 2а / (а – 1)
Отсюда а є (0; 1).
в) Согласно теоремы 3 уравнение имеет корни разных знаков, если х 1 х 2
(а + 1) /(а – 1) Ответ. а) при а є (-1; 0) уравнение имеет положительные корни;
б) при а є (0; 1) уравнение имеет отрицательные корни;
в) при а є (-1; 1) уравнение имеет корни разных знаков.
5.11.
При каких значениях параметра а квадратное уравнение
(а – 1)х 2 – 2(а +1)х + а +3 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?
5. 12. Не решая уравнения 3х 2 – (в + 1)х – 3в 2 +0, найдите х 1 -1 + х 2 -1 , где х 1 , х 2 – корни уравнения.
5.13. При каких значениях параметра а уравнение х 2 – 2(а + 1)х + а 2 = 0 имеет корни, сумма квадратов которых равна 4.
Контрольная работа.
Вариант 1. 1. Решить уравнение (а 2 +4а)х = 2а + 8.
2. Решить неравенство (в + 1)х ≥ (в 2 – 1).
3. При каких значениях параметра а уравнение
х 2 – (2а +1)х + а 2 + а – 6 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?
Вариант 2. 1. Решить уравнение (а 2 – 2а)х = 3а.
2. Решить неравенство (а + 2)х ≤ а 2 – 4.
3. При каких значениях параметра в уравнение
х 2 – (2в – 1)х + в 2 – т – 2 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?
Литература.
В.В. Мочалов, В.В. Сильвестров. Уравнения и неравенства с параметрами. Ч.:Изд-во ЧГУ, 2004. – 175с.
Ястребинский Г.А. Задачи с параметрами. М.: Просвещение, 1986, - 128 с.
Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 классов среднй школы. М.: Просвещение, 1991. – 351 с.
Т. Пескова. Первое знакомство с параметрами в уравнениях. Учебно-методическая газета «Математика». №36, 1999.
Т. Косякова. Решение линейных и квадратных неравенств, содержащих параметры. 9 кл. Учебно-методическая газета «Математика».№ 25 – 26, № 27 – 28. 2004.
Т. Горшенина. Задачи с параметром. 8 кл. Учебно-методическая газета «Математика». №16. 2004.
Ш. Цыганов. Квадратные трёхчлены и параметры. Учебно-методическая газета «Математика». №5. 1999.
С. Неделяева. Особенности решения задач с параметром. Учебно-методическая газета «Математика». №34. 1999.
Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
Самарской области средняя общеобразовательная
школа № 2 им. В. Маскина ж.-д. ст. Клявлино
муниципального района Клявлинский
Самарской области
« Уравнения
и
неравенства
с параметрами»
учебное пособие
Клявлино
« Уравнения и неравенства с параметрами» для учащихся 10 –11 классов
данное пособие является приложением к программе элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами», которая прошла внешнюю экспертизу (научно-методическим экспертным советом министерства образования и науки Самарской области от 19 декабря 2008 года бала рекомендована к использованию в образовательных учреждениях Самарской области)
Авторы
Ромаданова Ирина Владимировна
учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной
школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области
Сербаева Ирина Алексеевна
Введение……………………………………………………………3-4
Линейные уравнения и неравенства с параметрами……………..4-7
Квадратные уравнения и неравенства с параметрами……………7-9
Дробно- рациональные уравнения с параметрами……………..10-11
Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами……11-13
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами.14-15
Показательные уравнения и неравенства с параметрами………16-17
Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами…...16-18
Задачи ЕГЭ………………………………………………………...18-20
Задания для самостоятельной работы…………………………...21-28
Введение.
Уравнения и неравенства с параметрами.
Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.
Для того, чтобы решить уравнение или неравенство с параметрами необходимо:
Выделить особое значение - это то значение параметра, в котором или при переходе через которое меняется решение уравнения или неравенства.
Определить допустимые значения – это значения параметра, при которых уравнение или неравенство имеет смысл.
Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:
1) определить, при каких значениях параметров существуют решения;
2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.
Решить уравнение с параметром можно следующими методами: аналитическим или графическим.
Аналитический метод предполагает задачу исследования уравнения рассмотрением нескольких случаев, ни один из которых нельзя упустить.
Решение уравнения и неравенства с параметрами каждого вида аналитическим методом предполагает подробный анализ ситуации и последовательное исследование, в ходе которого возникает необходимость «аккуратного обращения» с параметром.
Графический метод предполагает построение графика уравнения, по которому можно определить, как влияет соответственно, на решение уравнения изменение параметра. График подчас позволяет аналитически сформулировать необходимые и достаточные условия для решения поставленной задач. Графический метод решения особенно эффективен тогда, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра и обладает несомненным преимуществом увидеть это наглядно.
§ 1. Линейные уравнения и неравенства.
Линейное уравнение а x = b , записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами, где x – неизвестное, a , b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.
При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.
Особым значением параметра a является значение а = 0.
b = 0 является особым значением параметра b .
При b ¹ 0 уравнение решений не имеет.
При b = 0 уравнение примет вид: 0х = 0 . Решением данного уравнения является любое действительное число.
Неравенства вида ах > b и ax < b (а ≠ 0) называются линейными неравенствами. Множество решений неравенства ах > b – промежуток
(; +
),
если
a
> 0
, и
(-;)
, если
а < 0
. Аналогично для неравенства
ах <
b
множество решений – промежуток
(-;),
если
a
> 0,
и
(; +),
если
а < 0.
Пример 1. Решить уравнение ах = 5
Решение : Это линейное уравнение.
Если а = 0 , то уравнение 0 × х = 5 решения не имеет.
Если а ¹ 0, х = - решение уравнения.
Ответ : при а ¹ 0, х=
при а = 0 решения нет.
Пример 2. Решить уравнение ах – 6 = 2а – 3х.
Решение: Это линейное уравнение, ах – 6 = 2а – 3х (1)
ах + 3х = 2а +6
Переписав уравнение в виде (а+3)х = 2(а+3) , рассмотрим два случая:
а= -3 и а ¹ -3.
Если а= -3 , то любое действительное число х является корнем уравнения (1). Если же а ¹ -3 , уравнение (1) имеет единственный корень х = 2.
Ответ:
При
а = -3, х 
R
;
при
а
¹
-3, х = 2.
Пример 3. При каких значениях параметра а среди корней уравнения
2ах – 4х – а 2 + 4а – 4 = 0 есть корни больше 1 ?
Решение : Решим уравнение 2ах – 4х – а 2 + 4а – 4 = 0 – линейное уравнение
2(а - 2) х = а 2 – 4а +4
2(а - 2) х = (а – 2) 2
При а = 2 решением уравнения 0х = 0 будет любое число, в том числе и большее 1.
При а
¹
2 х =
.
По условию х > 1
, то есть >1, а > 4.
Ответ:
При
а {2} U (4;∞).
Пример 4 . Для каждого значения параметра а найти количество корней уравнения ах=8.
Решение. ах = 8 – линейное уравнение.
y = a – семейство горизонтальных прямых;
y = - графиком является гипербола. Построим графики этих функций.
Ответ: Если а =0 , то уравнение решений не имеет. Если а ≠ 0 , то уравнение имеет одно решение.
Пример 5 . С помощью графиков выяснить, сколько корней имеет уравнение:
|х| = ах – 1.
y =| х | ,
y = ах – 1 – графиком является прямая, проходящая через точку (0;-1).
Построим графики этих функций.
Ответ:При|а|>1 - один корень
при | а| ≤1 – уравнение корней не имеет.
Пример 6 . Решить неравенство ах + 4 > 2х + а 2
Решение
:
ах + 4 > 2х + а
2
(а – 2) х >
а
2
– 4. Рассмотрим три случая.
Ответ. х > а + 2 при а > 2; х <а + 2, при а < 2; при а=2 решений нет.
§ 2. Квадратные уравнения и неравенства
Квадратное уравнение – это уравнение вида ах ² + b х + с = 0 , где а≠ 0,
а, b , с – параметры.
Для решения квадратных уравнений с параметром можно использовать стандартные способы решения на применение следующих формул:
1
)
дискриминанта квадратного уравнения:
D
=
b
² - 4
ac
,
(
²-
ас)
2)
формул корней квадратного уравнения:
х
1
=
, х
2
=
,
(х
1,2 =
)
Квадратными называются неравенства вида
a х 2 + b х + с > 0, a х 2 + b х + с< 0, (1), (2)
a х 2 + b х + с ≥ 0, a х 2 + b х + с ≤ 0, (3), (4)
Множество решений неравенства (3) получается объединением множеств решений неравенства (1) и уравнения , a х 2 + b х + с=0. Аналогично находится множество решений неравенства (4).
Если дискриминант квадратного трехчлена
a
х
2
+
b
х + с
меньше нуля, то при а >0 трехчлен положителен при всех х R
.
Если квадратный трехчлен имеет корни (х
1
< х
2
), то при а > 0 он положителен на множестве
(-;
х
2
)
(х
2;
+)
и отрицателен на интервале
(х
1
; х
2
). Если а < 0, то трехчлен положителен на интервале (х
1
; х
2
) и отрицателен при всех х (-;
х
1
)(х
2;
+).
Пример 1. Решить уравнение ах² - 2 (а – 1)х – 4 = 0 .
Это квадратное уравнение
Решение : Особое значение а = 0.
При а = 0 получим линейное уравнение 2х – 4 = 0 . Оно имеет единственный корень х = 2.
При а ≠ 0. Найдем дискриминант.
D = (а-1)² + 4а = (а+1)²
Если а = -1, то D = 0 – один корень.
Найдем корень, подставив вместо а = -1.
-х² + 4х – 4= 0, то есть х² -4х + 4 = 0, находим, что х=2.
Если
а ≠ - 1
, то
D
>0
. По формуле корней получим:
х=
;
х 1 =2, х 2 = -.
Ответ: При а=0 и а= -1 уравнение имеет один корень х = 2; при а ≠ 0 и
а ≠ - 1 уравнение имеет два корня х 1 =2, х 2 =-.
Пример 2. Найдите количество корней данного уравнения х²-2х-8-а=0 в зависимости от значений параметра а.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде х²-2х-8=а
y = х²-2х-8 - графиком является парабола;
y =а - семейство горизонтальных прямых.
Построим графики функций.
Ответ: При а <-9 , уравнение решений не имеет; при а=-9, уравнение имеет одно решение; при а>-9 , уравнение имеет два решения.
Пример 3. При каких а неравенство (а – 3) х 2 – 2ах + 3а – 6 >0 выполняется для всех значений х?
Решение. Квадратный трехчлен положителен при всех значениях х, если
а-3 > 0 и D <0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств
,
откуда следует, что
a
> 6
.
Ответ. a > 6
§ 3. Дробно- рациональные уравнения с параметром,
сводящиеся к линейным
Процесс решения дробных уравнений выполняется по обычной схеме: дробное заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего решается целое уравнение, исключая посторонние корни, то есть числа, которые обращают знаменатель в нуль.
В случае уравнений с параметром эта задача более сложная. Здесь, чтобы «исключить» посторонние корни, требуется найти значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решить соответствующие уравнения относительно параметра.
Пример 1.
Решить уравнение
= 0
Решение: Д.З: х +2 ≠ 0 , х ≠ -2
х – а = 0, х = а.
Ответ: При а ≠ - 2, х=а
При а = -2 корней нет.
Пример 2
.
Решить уравнение
- 
= 
(1)
Это дробно- рациональное уравнение
Решение: Значение а = 0 является особым. При а = 0 уравнение теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а ≠ 0, то после преобразований уравнение примет вид: х² + 2 (1-а) х + а² - 2а – 3 = 0 (2) – квадратное уравнение.
Найдем дискриминант
= (1 – а)² - (а² - 2а – 3)= 4,
находим корни уравнения
х
1
= а + 1, х
2
= а - 3.
При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) расширилась область определения уравнения (1), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому, необходима проверка.
П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых
х 1 +1=0, х 1 +2=0, х 2 +1=0, х 2 +2=0.
Если х 1 +1=0, то есть (а+1) + 1= 0 , то а= -2. Таким образом,
при а= -2 , х 1 -
Если х 1 +2=0, то есть (а+1)+2=0, то а = - 3 . Таким образом, при а = - 3, х 1 - посторонний корень уравнения. (1).
Если х 2 +1=0, то есть (а – 3) + 1= 0 , то а = 2 . Таким образом, при а = 2 х 2 - посторонний корень уравнения (1).
Если х 2 +2=0, то есть (а – 3) + 2 = 0, то а=1 . Таким образом, при а = 1,
х 2 - посторонний корень уравнения (1).
В соответствии с этим при а = - 3 получаем х = - 3 – 3 = -6 ;
при а = - 2 х = -2 – 3= - 5;
при а = 1 х =1 + 1= 2;
при а = 2 х=2+1 = 3.
Можно записать ответ.
Ответ: 1) если а= -3, то х= -6; 2) если а= -2 , то х= -5 ; 3) если а= 0 , то корней нет; 4) если а= 1 , то х= 2; 5) если а=2 , то х=3 ; 6) если а ≠ -3, а ≠ -2, а ≠ 0, а≠ 1, а ≠ 2, то х 1 = а + 1, х 2 = а-3.
§4. Иррациональные уравнения и неравенства
Уравнения и неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называется иррациональным.
Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение, учитывая при этом изменения значений параметра.
Уравнение вида 
=g
(x
) равносильно системе 
Неравенство f (x ) ≥ 0 следует из уравнения f (x ) = g 2 (x ).
При решении иррациональных неравенств будем использовать следующие равносильные преобразования:
≤ g(x) 
≥g(x) 
Пример 1.
Решите уравнение
= х + 1 (3)
Это иррациональное уравнение
Решение:
По определению арифметического корня уравнение (3) равносильно системе
.
При а = 2 первое уравнение системы имеет вид 0 х = 5 , то есть не имеет решений.
При
а≠ 2 х=
.
Выясним, при каких значениях
а
найденное значение
х
удовлетворяет неравенству
х ≥ -1: ≥ - 1, 
≥ 0,
откуда а ≤ или а > 2.
Ответ:
При
а≤, а > 2 х= ,
при
< а ≤ 2
уравнение решений не имеет.
Пример 2.
Решить уравнение
= а
(приложение 4)
Решение.
y
=
y = а – семейство горизонтальных прямых.
Построим графики функций.
Ответ : при а<0 –решений нет;
при а ≥ 0 – одно решение.
Пример 3
. Решим неравенство
(а+1)
<1.
Решение. О.Д.З. х ≤ 2 . Если а+1 ≤0 , то неравенство выполняется при всех допустимых значениях х . Если же а+1>0 , то
(а+1)<1.<
откуда
х (2- 
2
Ответ.
х (- ;2 при а (-;-1,
х (2- 2
при
а
(-1;+).
§ 5. Тригонометрические уравнения и неравенства.
Приведем формулы решений простейших тригонометрических уравнений:
Sinx = a x= (-1)
n
arcsin a+πn, n Z, 
≤1, (1)
Cos x = a x = ±arccos a + 2 πn, n Z, ≤1.
(2)
Если
>1, то уравнения (1) и (2) решений не имеют.
tg x = a x= arctg a + πn, n Z, aR
ctg x = a x = arcctg a + πn, n Z, aR
Для каждого стандартного неравенства укажем множество решений:
1.
sin x > a arcsin a + 2 πn
Z,
при
a
<-1,
xR
;
при
a
≥ 1,
решений нет.
2. . sin x < a π - arcsin a + 2 πnZ,
при а≤-1, решений нет; при а >1,
xR
3.
cos
x
>
a
-
arccos
a
+ 2
πn
<
x
<
arccos
a
+ 2
πn
,
n
Z
,
при
а<-1,
xR
; при
a
≥ 1
, решений нет.
4. cos x arccos a+ 2 πnZ,
при
а≤-1
, решений нет; при
a
> 1,
x
R
5. tg x > a, arctg a + πnZ
6. tg x < a, -π/2 + πn Z
Пример1. Найти а , при которых данное уравнение имеет решение:
Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.
Решение. Запишем уравнение в виде
с os 2 x + (2 a -4) cosx +(a – 5)(а+1) =0, решая его как квадратное, получаем cosx = 5-а и cosx = -а-1.
Уравнение
cosx
= 5-
а
имеет решения при условии -1≤ 5-
а
≤1
4≤
а
≤ 6, а уравнение
cosx
= -
а-1
при условии -1≤ -1-
а
≤ 1
-2 ≤
а
≤0.
Ответ.
а
-2; 0 4; 6
Пример 2.
При каких
b
найдется а такое, что неравенство 
+
b
> 0 выполняется при всех х ≠
πn
,
n
Z
.
Решение. Положим а = 0. Неравенство выполняется при b >0. Покажем теперь, что ни одно b ≤0 не удовлетворяет условиям задачи. Действительно, достаточно положить х = π /2, если а <0, и х = - π /2 при а ≥0.
Ответ. b> 0
§ 6. Показательные уравнения и неравенства
1. Уравнение
h
(x
)
f
( x
)
=
h
(x
)
g
( x
)
при
h
(x
) > 0 равносильно совокупности двух систем 
и 
2. В частном случае (h (x )= a ) уравнение а f (x ) = а g (x ) при а > 0, равносильно совокупности двух систем
и 
3. Уравнение а f (x ) = b , где а > 0, a ≠1, b >0, равносильно уравнению
f (x )= log a b . Случай а =1 рассматриваем отдельно.
Решение простейших показательных неравенств основано на свойстве степени. Неравенство вида
f
(a
x
) > 0 при помощи замены переменной
t
=
a
x
сводится к решению системы неравенств 
а затем к решению соответствующих простейших показательных неравенств.
При решении нестрого неравенства необходимо к множеству решений строгого неравенства присоединить корни соответствующего уравнения. Как и при решении уравнений во всех примерах, содержащих выражение а f (x ) , предполагаем а > 0. Случай а = 1 рассматриваем отдельно.
Пример 1
.
При каких
а
уравнение 8
х
= 
имеет только положительные корни?
Решение.
По свойству показательной функции с основанием, большим единицы, имеем х>0 8
х
>1 >1
>0, откуда
a
(1,5;4).
Ответ.
a
(1,5;4).
Пример 2. Решить неравенство a 2 ∙2 x > a
Решение . Рассмотрим три случая:
1.
а< 0
. Так как левая часть неравенства положительна, а правая отрицательна, то неравенство выполняется для любых хR
.
2. a =0. Решений нет.
3.
а
> 0
.
a
2
∙2
x
> a
2
x
>
x > - log
2
a
Ответ.
хR
при
а
> 0; решений нет при
a
=0; х (-
log
2
a
; +) при
а> 0
.
§ 7. Логарифмические уравнения и неравенства
Приведем некоторые эквивалентности, используемые при решении логарифмических уравнений и неравенств.
1. Уравнение log f (x ) g (x ) = log f (x ) h (x ) равносильно системе
В частности, если а >0, а ≠1, то
log
a
g (x)= log
a
h(x)
2.
Уравнение
log
a
g (x)=b
g (x)=
a
b
(
а
>0,
a ≠
1, g(x) >0).
3. Неравенство
log
f
( x
)
g
(x
) ≤
log
f
( x
)
h
(x
) равносильно совокупности двух систем: 
и 
Если а, b – числа, а >0, а ≠1, то
log
a
f (x) ≤ b
log
a
f (x) > b
Пример 1.
Решите уравнение
Решение . Найдем ОДЗ: х > 0, х ≠ а 4 , a > 0, а ≠ 1. Преобразуем уравнение
log
х – 2 = 4 –
log
a
x
logх +
log
a
x
– 6 = 0, откуда
log
a
x
= - 3
х =
а
-3
и
log
a
x
= 2
х =
а
2
. Условие х =
а
4
а
– 3
=
а
4
или
а
2
=
а
4
не выполняется на ОДЗ.
Ответ:
х =
а
-3
, х =
а
2
при
а
(0; 1) 
(1; ).
Пример 2 . Найдите наибольшее значение а , при котором уравнение
2
log
-
+
a
= 0 имеет решения.
Решение.
Выполним замену
=
t
и получим квадратное уравнение 2
t
2
–
t
+
a
= 0. Решая, найдем
D
= 1-8
a
. Рассмотрим
D
≥0, 1-8
а
≥0 
а
≤.
При а = квадратное уравнение имеет корень t = >0.
Ответ. а =
Пример 3 . Решить неравенство log (x 2 – 2 x + a ) > - 3
Решение.
Решим систему неравенств 
Корни квадратных трехчленов х
1,2
= 1 ± 
и х
3,4
= 1 ±
.
Критические значения параметра: а = 1 и а = 9.
Пусть Х 1 и Х 2 – множества решений первого и второго неравенств, тогда
Х
1
Х
2
= Х – решение исходного неравенства.
При 0<
a
<1 Х
1
= (-
;1 - )(1 + ; +), при
а
> 1 Х
1
= (-;+).
При 0 <
a
< 9 Х
2
= (1 -; 1 +), при
а
≥9 Х
2
– решений нет.
Рассмотрим три случая:
1. 0<
a
≤1 Х = (1 -;1 - )(1 + ;1 +).
2. 1 <
a
< 9 Х = (1 -;1 +).
3. a ≥ 9 Х – решений нет.
Задачи ЕГЭ
Высокий уровень С1, С2
Пример 1. Найдите все значения р , при которых уравнение
р ∙ ctg 2 x + 2sinx + p = 3 имеет хотя бы один корень.
Решение. Преобразуем уравнение
р
∙ (
- 1) + 2sinx
+ p
= 3, sinx
=t
, t
, t
0.
-
p
+ 2 t +
p
= 3,
+ 2 t = 3, 3 -2t =
, 3t
2
– 2t
3
=
p
.
Пусть
f
(y
) = 3
t
2
– 2
t
3
. Найдем множество значений функции
f
(x
) на 
. у
/
= 6
t
– 6
t
2
, 6
t
- 6
t
2
= 0,
t
1
=0,
t
2
= 1.
f
(-1) = 5,
f
(1) = 1.
При
t
,
E
(f
) =
,
При
t
,
E
(f
) =
, то есть при
t
,
E
(f
) =
.
Чтобы уравнение 3
t
2
– 2
t
3
=
p
(следовательно, и данное) имело хотя бы один корень необходимо и достаточно
p
E
(f
), то есть
p
.
Ответ.
.
Пример 2.
При каких значениях параметра
а
уравнение
log
(4
x
2
– 4
a
+
a
2
+7) = 2 имеет ровно один корень?
Решение. Преобразуем уравнение в равносильное данному:
4x 2 – 4a + a 2 +7 = (х 2 + 2) 2 .
Отметим, что если некоторое число х является корнем полученного уравнения, то число – х также является корнем этого уравнения. По условию это не выполнимо, поэтому единственным корнем является число 0.
Найдем а .
4∙ 0 2 - 4a + a 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,
a 2 - 4a +7 = 4, a 2 - 4a +3 = 0, a 1 = 1, a 2 = 3.
Проверка.
1)
a
1
= 1. Тогда уравнение имеет вид:
log(4
x
2
+4) =2. Решаем его
4x 2 + 4 = (х 2 + 2) 2 , 4x 2 + 4 = х 4 + 4x 2 + 4, х 4 = 0, х = 0 – единственный корень.
2)
a
2
= 3. Уравнение имеет вид:
log(4
x
2
+4) =2 х = 0 – единственный корень.
Ответ. 1; 3
Высокий уровень С4, С5
Пример 3. Найдите все значения р, при которых уравнение
х 2 – (р + 3)х + 1= 0 имеет целые корни и эти корни являются решениями неравенства: х 3 – 7р х 2 + 2х 2 – 14 р х - 3х +21 р ≤ 0.
Решение.
Пусть х
1,
х
2
– целые корни уравнения х
2
– (р
+ 3)х + 1= 0. Тогда по формуле Виета справедливы равенства х
1
+ х
2
=
р
+ 3, х
1
∙ х
2
= 1. Произведение двух целых чисел х
1
, х
2
может равняться единице только в двух случаях: х
1
= х
2
= 1 или х
1
= х
2
= - 1. Если х
1
= х
2
= 1, то
р
+ 3 = 1+1 = 2 р
= - 1; если х
1
= х
2
= - 1, то
р
+ 3 = - 1 – 1 = - 2 р
= - 5. Проверим являются ли корни уравнения х
2
– (р
+ 3)х + 1= 0 в описанных случаях решениями данного неравенства. Для случая
р
= - 1, х
1
= х
2
= 1 имеем
1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – верно; для случая р = - 5, х 1 = х 2 = - 1 имеем (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1) – 3 ∙ (- 1) + 21∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – верно. Итак, условию задачи удовлетворяют только р = - 1 и р = - 5.
Ответ. р 1 = - 1 и р 2 = - 5.
Пример 4. Найдите все положительные значения параметра а , при которых число 1 принадлежит области определения функции
у
= (а
-
а
).
Урок по элективному курсу
по теме: «Решение уравнений и неравенств с параметрами»
(Урок обобщения и повторения)
Цель: 1.Повторить и обобщить знания учащихся методов решения уравнений и неравенств с параметрами; закрепить умения применять знания при решении конкретных заданий; 2. Развивать логическое мышление; 3.Воспитывать внимание и аккуратность.
План урок: I. Организационный момент_________________________2 мин.
II. Актуализация опорных знаний:
- Повторение__________________________________3 мин.
- Устная работа________________________________3 мин.
- Работа по карточкам (во время 1 и 2)
III. Решение упражнений___________________________22 мин.
IY. Выполнение теста______________________________8 мин.
Y. Подведение итогов, постановка домашнего задания__2 мин.
Х о д у р о к а:
I. Организационный момент .
Учитель: - Здравствуйте, ребята. Приятно вас всех видеть, мы начинаем наш урок. Сегодня на уроке наша цель - повторить и отработать знания, умения и навыки, полученные на прошлых уроках при изучении данной темы.
II . Актуализация опорных знаний:
1) Повторение.
Учитель: - Итак, повторим.
Что называется линейным уравнением с параметрами?
Какие случаи мы рассматривали при решении таких уравнений?
Приведите примеры линейных уравнений с параметрами.
Приведите примеры линейных неравенств с параметрами.
2) Устная работа.
Задание: Приведите данное уравнение к линейному виду.
На доске:
а) 3а х – 1 =2 х ;
б) 2+5 х = 5а х ;
в) 2 х – 4 = а х + 1.
3) Работа по карточкам.
III . Решение упражнений.
Задание 1. Решить уравнение с параметром а.
3(ах + 1) + 1 = 2(а – х) + 1.
Задание выполняется на доске и в тетрадях.
Задание 2. При каком значении а, прямая у = 7ах + 9, проходит через
т. А(-3;2) ?
Задание выполняется самостоятельно у доски одним учеником. Остальные работают в тетрадях, затем сверяются с доской.
Физкульт. минутка.
Задание 3. При каком значении а, уравнение 3(ах – а) = х – 1 имеет
Бесконечно много решений?
Данное задание предлагается решить самостоятельно учащимся в тетрадях. Затем проверить ответы.
Задание 4. При каком значении параметра а , сумма корней уравнения
2х² + (4а² - 2)х – (а² + 1) = 0 равна 1?
Задание выполняется комментированием с места.
Задание 5. Решите неравенство с параметром р :
р(5х – 2)
Данное задание выполняется у доски и в тетрадях.
IY. Выполнение теста.
Учащимся выдаются индивидуальные листы с заданиями:
1) Является ли уравнение 6(ах + 1) + а = 3(а – х) + 7 линейным?
А) да; б) нет; в) можно привести к линейному
2) Уравнение (2ах + 1)а = 5а – 1 приведено к виду линейного уравнения
А) нет; б) да;
3) При каком значении параметра а прямая у = ах – 3 проходит через
Т. А(-2;9) ?
А) а = 1/6; б) а = 1/2; в) а = -6; г) а = 6.
4) При каком а уравнение 2ах + 1 = х имеет корень, равный -1?
а) а = -1; б) а = 0; в) а = 1; г) а = 1/2.
5) Если у квадратного уравнения ах² + вх + с = 0 Д ах² + вх + с >0 зависит от
А) значения в ; б) значения а ; в) значения -в/а ;
г) не имеет решений.
О т в е т ы к т е с т у: в; а; в; в; б.
YII. Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания.
Учитель: - Сегодня на уроке мы повторили и закрепили знания, полученные на прошлых уроках, отработали необходимые умения при выполнении различных заданий. Я думаю, что вы поработали хорошо, молодцы.
Кроме поставленных за урок оценок, можно оценить работу на уроке еще ряда учащихся.
Учитель : - Запишите домашнее задание:
На доске:
Решить неравенство: х² - 2ах + 4 > 0.
Урок окончен.
Исполнитель: Бугров С К.
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.
Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.
В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.
Неравенство
¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x), (1)
где a, b, c, …, k – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.
Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, при некоторой функции
¦(a, b, c, …, k, x) и
j(a, b, c, …, k, x
имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.
называется допустимым значением х, если
¦(a, b, c, …, k, x) и
j(a, b, c, …, k, x
принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.
Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).
Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство
¦(a, b, c, …, k, x0)>j(a, b, c, …, k, x0)
верно при любой системе допустимых значений параметров.
Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.
Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.
Два неравенства
¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x) и (1)
z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x) (2)
называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.
Находим область определения данного неравенства.
Сводим неравенство к уравнению.
Выражаем а как функцию от х.
В системе координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.
Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
Исследуем влияние параметра на результат.
найдём абсциссы точек пересечения графиков.
зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥
Записываем ответ.
Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.
§3. Примеры
I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство
В области определения параметра а, определённого системой неравенств
данное неравенство равносильно системе неравенств
Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок .
II. При каких значениях параметра а имеет решение система
Найдем корни трехчлена левой части неравенства –
(*)
Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен
сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован
ной области с окружностью, где , а значения и находятся из системы
а значения и находятся из системы
Решая эти системы, получаем, что
III. Решить неравенство 
на в зависимости от значений параметра а.
Находим область допустимых значений –
Построим график функции в системе координат хОу.
при неравенство решений не имеет.
при для 
решение х удовлетворяет соотношению 
, где 
Ответ: Решения неравенства существуют при
Где 
, причем при решения 
; при решения .
IV. Решить неравенство
Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)
Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству:
Разложим числитель на множители.
т. к. 
то
Разделим обе части равенства на при . Но является решением: левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при .
3. Строим в ПСК хОа графики функций
и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.
4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.
Для наглядности составим таблицу.
| неравенство: |
|||
|
|
|||
|
|
5. Найдем точки пересечения графиков
6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -¥ до +¥.
при 
при решений нет
при 
Список литературы
Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.
Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.
Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.
Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.
Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.
Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва 1977 г.
Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Москва 1996 г.
Муниципальное автономное общеобразовательное учереждение «Лицей №1» г. Новтроицка
Исследовательская работа
Методы решения уравнений и неравенств с параметром
Математическое моделирование
Выполнил:
ученик 11 А класса МОАУ
«Лицей №1»
Руководитель:
учитель высшей
Новотроицк
Введение. 3
Параметр. 5
Методы решения тригонометрических уравнений с параметром. 9
Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметром. 17
Методы решения систем уравнений и неравенств. 22
Заключение. 31
Список используемой литературы.. 32
Введение
Уравнения с параметром вызывают большие затруднения у учащихся 9-11 классов. Это связано с тем, что решение таких уравнений требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и техники исследования.
Трудности при изучении данного вида уравнений связаны со следующими их особенностями:
· обилие формул и методов, используемых при решении уравнений данного вида;
· возможность решения одного и того же уравнения, содержащего параметр, различными способами.
Актуальность темы обуславливается недостаточным содержанием задач по данной теме в учебнике «Алгебра 11 класс ».
Важность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами как и при сдачи Единого Государственного экзамена, так и при вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.
Объект исследования : задачи с параметрами.
Цель данной работы :
Выявить, обосновать и наглядно показать способы решения всех типов уравнений с параметрами;
Решить уравнения с параметрами;
Углубить теоретические знания по решению уравнений с параметрами;
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Дать определения понятиям уравнение с параметрами;
2. Показать способы решения уравнений с параметрами.
Достоинство моей работы заключается в следующем: указываются алгоритмы решения уравнений с параметрами; задачи часто встречаются на различных экзаменах и олимпиадах. Работа поможет ученикам сдать Единый Государственный Экзамен.
Мои действия:
1. Подобрать и изучить литературу;
2. Решить подобранные задачи;
Параметр
Имеется несколько определений параметра:
- Параметр – это величина, входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи, но в другой задаче меняет свои значения (, - «Толковый словарь математических терминов»).
- Переменныеa , b , c , …, k , которые при решении уравнения или неравенства считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение (неравенство) называется уравнением (неравенством), содержащим параметры (– «Репетитор по математике», Ростов-на-Дону «Феникс» 1997).
Решение большинства уравнений, содержащих параметр, сводится к квадратным уравнениям с параметром . Следовательно, чтобы научиться решать показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и системы уравнений с параметром, нужно сначала приобрести навыки решения квадратных уравнений с параметром .
Уравнение вида ax 2 + bx + c =0 , где х – неизвестная, a, b, c – выражения, зависящие только от параметров, а¹0, называется квадратным уравнением относительно х. Допустимыми будем считать только те значения параметров, при которых a, b, c действительны.
Контрольные значения параметра
Для решения квадратных уравнений с параметром необходимо находить контрольные значения параметра.
Контрольные значения параметра – те значения, при которых обращается в 0:
Старший коэффициент в уравнении или в неравенстве;
Знаменатели в дроби;
Дискриминант квадратного двучлена.
Общая схема решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям с параметром.
Общая схема решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям с параметром:
1. Указать и исключить все значения параметра и переменной, при которых уравнение теряет смысл.
2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю.
3. Преобразовать уравнение-следствие к виду https://pandia.ru/text/80/147/images/image002_13.png" width="128" height="24 src="> - действительные числа или функции от параметра.
4. Решить полученное уравнение, рассмотрев случаи:
а) ; б) https://pandia.ru/text/80/147/images/image005_6.png" width="19" height="27">.png" width="21" height="27">.png" height="75">х=2b+1
Так как х должен лежать на промежутке от 1 до 6, то:
1) 1<2b+1<6
2) 1<2b – 1<6
https://pandia.ru/text/80/147/images/image009_4.png" width="47" height="41 src=">=2b+1
1) 1<2b+1<6
2) 1<2b – 1<6
https://pandia.ru/text/80/147/images/image010_2.png" width="18 height=98" height="98">
у(1)>0 у=1-4b+4b2– 1>0
у(6)> 0 у=36-24b+4b2– 1>0
хвÎ(1; 6) 1<-<6
bÎ(-∞; 0) È (1; +∞).
2) 4b2-24b+35>0
D=576 – 560=16=42>0
b1=https://pandia.ru/text/80/147/images/image016_2.png" width="47" height="41 src=">=2,5 bÎ(0,5; 3)
bÎ(-∞;2,5)È(3,5;+∞)
bÎ(1; 2,5)
Ответ: корни уравнения х2-4bх+4b2–1=0 лежат на промежутке от
