คริสตจักรออร์โธด็อกซ์ไม่ใช่คริสตจักรออร์โธดอกซ์ที่เป็นเพียงโลกล้วนๆ...
กรมสามัญศึกษาแห่งภูมิภาควลาดิเมียร์
กรมสามัญศึกษาเขต Sudogodsky
เทศบาล สถาบันการศึกษา
"โรงเรียนมัธยมโมโชค"
«
สารละลาย สมการ และ ความไม่เท่าเทียมกัน กับ พารามิเตอร์»
พัฒนาโดย: Gavrilova G.V.
ครูคณิตศาสตร์
สถาบันการศึกษาเทศบาล "ค่าเฉลี่ย Moshokskaya"
โรงเรียนมัธยม"
2552
การแก้สมการและอสมการด้วยพารามิเตอร์
หมายเหตุอธิบาย
แนวคิดเรื่องพารามิเตอร์เป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่มักใช้ในคณิตศาสตร์ของโรงเรียนและสาขาวิชาที่เกี่ยวข้อง
ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 - ในขณะที่เรียนอยู่ ฟังก์ชันเชิงเส้นและสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตัวเดียว
ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - เมื่อเรียนสมการกำลังสอง
หลักสูตรการศึกษาทั่วไปของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนไม่ได้มีไว้สำหรับการแก้ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์และในการสอบเข้ามหาวิทยาลัยและการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ก็มีปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ซึ่งเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ทำให้นักเรียนมีปัญหามาก ด้วยพารามิเตอร์ที่มีค่าการวินิจฉัยและการพยากรณ์โรคซึ่งช่วยให้คุณสามารถทดสอบความรู้ของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนส่วนหลักระดับของการคิดเชิงตรรกะทักษะการวิจัยเบื้องต้น
วัตถุประสงค์หลักของหลักสูตรคือการแนะนำนักเรียนให้รู้จักกับแนวทางทั่วไปในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ เพื่อเตรียมนักเรียนในลักษณะที่พวกเขาสามารถรับมือกับปัญหาที่มีพารามิเตอร์ในบรรยากาศของการสอบแข่งขันได้สำเร็จ
แก้สมการ กำหนดจำนวนคำตอบ ตรวจสอบสมการ หารากที่เป็นบวก พิสูจน์ว่าอสมการไม่มีคำตอบ ฯลฯ ทั้งหมดนี้เป็นตัวเลือกสำหรับตัวอย่างพาราเมตริก ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะให้คำแนะนำแบบสากลสำหรับการแก้ไขตัวอย่าง หลักสูตรนี้ครอบคลุมถึง ตัวอย่างต่างๆพร้อมโซลูชั่น เนื้อหาหลักสูตรนำเสนอตามโครงร่างต่อไปนี้: ข้อมูลความเป็นมา ตัวอย่างพร้อมวิธีแก้ไข ตัวอย่าง งานอิสระตัวอย่างเพื่อกำหนดความสำเร็จของการเรียนรู้เนื้อหา
การแก้ปัญหาด้วยพารามิเตอร์มีส่วนช่วยในการพัฒนาทักษะการวิจัยและการพัฒนาทางปัญญา
วัตถุประสงค์ของหลักสูตร:
จัดระบบความรู้ที่นักเรียนได้รับในเกรด 7 และ 8 เมื่อแก้สมการเชิงเส้นและกำลังสองและอสมการ
ระบุและพัฒนาความสามารถทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา
สร้างมุมมองแบบองค์รวมของการแก้ปัญหา สมการเชิงเส้นและความไม่เท่าเทียมกันที่มีพารามิเตอร์
สร้างความเข้าใจแบบองค์รวมในการแก้สมการกำลังสองและอสมการที่มีพารามิเตอร์
เพื่อเพิ่มพูนความรู้ทางคณิตศาสตร์ให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้นโดยจัดให้มีความสนใจอย่างยั่งยืนของนักเรียนในวิชานี้
จัดให้มีการเตรียมความพร้อมสำหรับ กิจกรรมระดับมืออาชีพซึ่งต้องใช้วัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ชั้นสูง
แผนการศึกษาและเฉพาะเรื่อง
|
№ หน้า/พี
|
เรื่อง |
จำนวน ชั่วโมง
|
ประเภทของกิจกรรม |
|
1. |
|
|
การประชุมเชิงปฏิบัติการ |
|
2. |
ข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับงานที่มีพารามิเตอร์ |
สัมมนา |
|
|
3. |
การแก้สมการเชิงเส้นที่มีพารามิเตอร์ |
|
|
|
4. |
การแก้อสมการเชิงเส้นที่มีพารามิเตอร์ |
งานวิจัย การฝึกอบรมทักษะ งานอิสระ |
|
|
5. |
สมการกำลังสอง ทฤษฎีบทของเวียตตา |
3 |
งานวิจัย การฝึกอบรมทักษะ งานอิสระ |
|
6. |
สำเร็จหลักสูตรได้สำเร็จ |
1 |
การทดสอบครั้งสุดท้าย |
หัวข้อที่ 1.การแก้สมการเชิงเส้นและอสมการ สมการกำลังสองและอสมการ การแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม
หัวข้อที่ 2 ข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับงานที่มีพารามิเตอร์
แนวคิดของพารามิเตอร์ “การแก้ปัญหาด้วยพารามิเตอร์” หมายความว่าอย่างไร ปัญหาประเภทพื้นฐานเกี่ยวกับพารามิเตอร์ วิธีการพื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์
ตัวอย่างการแก้สมการเชิงเส้นด้วยพารามิเตอร์
หัวข้อที่ 4 การแก้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นที่มีพารามิเตอร์
ตัวอย่างของการแก้อสมการเชิงเส้นด้วยพารามิเตอร์
หัวข้อที่ 5 สมการกำลังสอง ทฤษฎีบทของเวียตตา
ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองด้วยพารามิเตอร์
สื่อการสอนสำหรับวิชาเลือก
“การแก้สมการและ
อสมการกับพารามิเตอร์"
หัวข้อที่ 1.ตัวอย่างสำหรับหัวข้อนี้
หัวข้อที่ 2.ตัวอย่างที่นักเรียนพบพารามิเตอร์แล้ว:
ฟังก์ชันสัดส่วนโดยตรง: y = kx (x และ y เป็นตัวแปร; k คือพารามิเตอร์, k ≠ 0);
ฟังก์ชันสัดส่วนผกผัน: y = k / x (x และ y เป็นตัวแปร, k คือพารามิเตอร์, k ≠ 0)
ฟังก์ชันเชิงเส้น: y = kh + b (x และ y เป็นตัวแปร k และ b เป็นพารามิเตอร์)
สมการเชิงเส้น: ax + b = 0 (x เป็นตัวแปร a และ b เป็นพารามิเตอร์)
สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 (x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นพารามิเตอร์
พารามิเตอร์คืออะไร?
หากในสมการหรืออสมการค่าสัมประสิทธิ์บางส่วนไม่ได้ถูกแทนที่ด้วยค่าตัวเลขเฉพาะ แต่ถูกกำหนดด้วยตัวอักษรจะเรียกว่าพารามิเตอร์และสมการหรืออสมการนั้นเป็นพารามิเตอร์
พารามิเตอร์มักจะแสดงด้วยตัวอักษรตัวแรกของตัวอักษรละติน: a, b, c, ... หรือ 1, a 2, a 3, ... และสิ่งที่ไม่รู้จักด้วยตัวอักษรสุดท้ายของตัวอักษรละติน x, y, z, ... การกำหนดเหล่านี้ไม่ได้บังคับ แต่ถ้าอยู่ในสภาพไม่ได้ระบุว่าตัวอักษรใดเป็นพารามิเตอร์และตัวใดที่ไม่รู้จัก -
mi จากนั้นจะใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้
เช่น แก้สมการ (4x - ax)a = 6x - 10 โดยที่ x คือค่าที่ไม่รู้จัก และ a คือพารามิเตอร์
“การแก้ปัญหาด้วยพารามิเตอร์” หมายความว่าอย่างไร
การแก้ปัญหาด้วยพารามิเตอร์ หมายถึง สำหรับแต่ละค่าของพารามิเตอร์ a ให้ค้นหาค่า x ที่ตรงกับปัญหานี้ เช่น มันขึ้นอยู่กับคำถามในปัญหา
การแก้สมการหรืออสมการด้วยพารามิเตอร์หมายถึง:
พิจารณาว่ามีวิธีแก้ปัญหาค่าพารามิเตอร์ใดบ้าง
สำหรับแต่ละระบบค่าพารามิเตอร์ที่ยอมรับได้ ให้ค้นหาชุดวิธีแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้อง
ปัญหาประเภทหลักของพารามิเตอร์คืออะไร?
ประเภทที่ 1สมการอสมการที่ต้องแก้ไขสำหรับค่าพารามิเตอร์ใด ๆ หรือค่าพารามิเตอร์ที่เป็นของชุดที่กำหนดไว้ล่วงหน้า งานประเภทนี้เป็นงานพื้นฐานเมื่อเชี่ยวชาญหัวข้อ "ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์"
ประเภทที่ 2สมการอสมการที่จำเป็นในการกำหนดจำนวนวิธีแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์
ประเภทที่ 3สมการอสมการที่จำเป็นในการค้นหาค่าพารามิเตอร์ทั้งหมดที่สมการและอสมการที่ระบุมีจำนวนวิธีแก้ปัญหาที่กำหนด (โดยเฉพาะไม่มีหรือมีจำนวนวิธีแก้ปัญหาไม่สิ้นสุด) ปัญหาประเภทที่ 3 มีความหมายตรงกันข้ามกับปัญหาประเภทที่ 2
ประเภทที่ 4สมการอสมการซึ่งสำหรับค่าที่ต้องการของพารามิเตอร์ชุดการแก้ปัญหาจะตรงตามเงื่อนไขที่กำหนดในขอบเขตของคำจำกัดความ
ตัวอย่างเช่น ค้นหาค่าพารามิเตอร์ที่:
1) สมการเป็นที่พอใจสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรจากช่วงเวลาที่กำหนด
2) ชุดคำตอบของสมการแรกคือชุดย่อยของชุดคำตอบของสมการที่สอง เป็นต้น
วิธีการพื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์
วิธีที่ 1. (เชิงวิเคราะห์) วิธีนี้จะเรียกว่าการแก้ปัญหาโดยตรงแบบทำซ้ำ วิธีการมาตรฐานค้นหาคำตอบในปัญหาโดยไม่มีพารามิเตอร์
วิธีที่ 2 (กราฟิก) พิจารณากราฟในระนาบพิกัด (x; y) หรือในระนาบพิกัด (x; a) ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับงาน
วิธีที่ 3 (การตัดสินใจเกี่ยวกับพารามิเตอร์) เมื่อแก้ไขโดยใช้วิธีนี้ ตัวแปร x และ a จะถือว่าเท่ากัน และเลือกตัวแปรที่เกี่ยวข้องกับโซลูชันการวิเคราะห์ที่ถือว่าง่ายกว่า หลังจากลดความซับซ้อนตามธรรมชาติแล้ว เราจะกลับไปสู่ความหมายเดิมของตัวแปร x และ a และแก้โจทย์ให้สมบูรณ์
ความคิดเห็น ขั้นตอนสำคัญในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์คือการเขียนคำตอบ สิ่งนี้ใช้กับตัวอย่างเหล่านั้นโดยเฉพาะซึ่งโซลูชันดูเหมือนจะ "แตกแขนง" ขึ้นอยู่กับค่าพารามิเตอร์ ในกรณีเช่นนี้ การเขียนคำตอบคือการรวบรวมผลลัพธ์ที่ได้รับก่อนหน้านี้ และที่นี่เป็นสิ่งสำคัญมากที่จะไม่ลืมที่จะไตร่ตรองคำตอบทุกขั้นตอนของการแก้ปัญหา
ลองดูตัวอย่าง 2.1. เปรียบเทียบ -a และ 5a
สารละลาย. จำเป็นต้องพิจารณาสามกรณี: ถ้า 5a;
ถ้า a = 0 ดังนั้น –a = 5a;
ถ้า a > 0 แล้ว –a
คำตอบ. เมื่อ 5a; ที่ = 0, –a = 5a; สำหรับ > 0, -a
แก้สมการ ax = 1
ถ้า a ≠ 0 แล้ว x = 1 / a
คำตอบ. สำหรับ a = 0 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา สำหรับ ≠ 0, x = 1 / a
เปรียบเทียบกับและ – 7c
แก้สมการ cx = 10
หัวข้อที่ 3.
สมการเชิงเส้น
สมการของแบบฟอร์ม
โดยที่ a, b อยู่ในเซตของจำนวนจริง และ x ไม่เป็นที่รู้จัก เรียกว่าสมการเชิงเส้นเทียบกับ x
โครงการศึกษาสมการเชิงเส้น (1)
1. ถ้า a ≠ 0, b เป็นจำนวนจริงใดๆ สมการนี้มีคำตอบเฉพาะ x = b/a
2. ถ้า a=0, b=0 สมการจะอยู่ในรูปแบบ 0 ∙ x = 0 ผลเฉลยของสมการจะเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมด
3. ถ้า a=0, b ≠ 0 แล้วสมการ 0 ∙ x = b จะไม่มีคำตอบ
ความคิดเห็น หากสมการเชิงเส้นไม่ได้นำเสนอในรูปแบบ (1) ก่อนอื่นคุณต้องนำมาไว้ในรูปแบบ (1) จากนั้นจึงทำการศึกษาเท่านั้น
ตัวอย่าง. 3.1 แก้สมการ (a -3)x = b+2a
สมการเขียนเป็น (1)
วิธีแก้: ถ้า a≠ 3 สมการจะมีคำตอบ x = b+2a/ a-3 สำหรับ b ใดๆ
ซึ่งหมายความว่าค่า a เพียงค่าเดียวที่อาจไม่มีคำตอบของสมการคือ a = 3 ในกรณีนี้ สมการ (a -3)x = b+2a จะอยู่ในรูปแบบ
0 ∙ x = b+6 (2)
ถ้า β≠ - 6 แสดงว่าสมการ (2) ไม่มีทางแก้ได้
ถ้า β = - 6 แล้ว x ใดๆ จะเป็นคำตอบของ (2)
ดังนั้น b = - 6 จึงเป็นค่าเดียวของพารามิเตอร์ b ที่สมการ (1) มีคำตอบสำหรับ a ใดๆ (x=2 สำหรับ ≠3 และ x อยู่ในเซตของจำนวนจริงสำหรับ a=3)
คำตอบ: ข = -6
3.2. แก้สมการ 3(x-2a) = 4(1-x)
3.3. แก้สมการ 3/kx-12=1/3x-k
3.4. แก้สมการ (a 2 -1)x = a 2 – a -2
3.5. แก้สมการ x 2 + (2a +4)x +8a+1=0
ทำงานอิสระ.
ตัวเลือก 1. แก้สมการ: ก) อินพุต + 2 = - 1;
ข) (ก – 1)x = ก – 2;
ค) (ก 2 – 1)x – ก 2 + 2a – 1 = 0
ตัวเลือก 2. แก้สมการ: ก) – 8 = ใน + 1;
ข) (ก + 1)x = ก – 1;
ค) (9a 2 – 4)x – 9a 2 + 12a – 4 = 0
หัวข้อที่ 4.
อสมการเชิงเส้นพร้อมพารามิเตอร์
อสมการ
อ่า > เข้ามา อ่า
โดยที่ a, b เป็นนิพจน์ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ และ x คือค่าที่ไม่รู้จักเรียกว่าอสมการเชิงเส้นพร้อมพารามิเตอร์
การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันด้วยพารามิเตอร์หมายถึงการค้นหาชุดวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันสำหรับค่าพารามิเตอร์ทั้งหมด
โครงการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน กเอ็กซ์ > ค.
ถ้า a > 0 แล้ว x > b/a
ถ้าก
ถ้า a = 0 ความไม่เท่าเทียมกันจะอยู่ในรูปแบบ 0 ∙ x > b สำหรับ β ≥ 0 ความไม่เท่าเทียมกันไม่มีวิธีแก้ปัญหา ที่
ตัวอย่าง. 4.1. แก้อสมการ a(3x-1)>3x – 2
วิธีแก้: a(3x-1)>3x – 2 ซึ่งหมายถึง 3x(a-1)>a-2
ลองพิจารณาสามกรณี
a=1 คำตอบ 0 ∙ x > -1 คือจำนวนจริงใดๆ
a>1, 3x(a-1)>a-2, ซึ่งหมายถึง x>a-2/3 (a-1)
และ a-2 หมายถึง x
2ax +5 > a+10x
(ก + 1)x – 3a + 1 ≤ 0
X 2 + ขวาน +1 > 0
ทำงานอิสระ.
ตัวเลือกที่ 1แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: ก) ( ก– 1)x ≤ ก 2 – 1;
b) 3x-a > อา – 2
ตัวเลือกที่ 2แก้อสมการ: ก) (ก – 1)x – 2a +3 ≥ 0;
ข) ah-2c
หัวข้อที่ 5.
สมการกำลังสองที่มีพารามิเตอร์ ทฤษฎีบทของเวียตตา
สมการของแบบฟอร์ม
ขวาน 2 +ใน + c = 0, (1)
โดยที่ a, b, c เป็นนิพจน์ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ ส่วน a ≠ 0, x ไม่ใช่ค่าที่ไม่รู้จัก เรียกว่าสมการกำลังสองพร้อมพารามิเตอร์
โครงการศึกษาสมการกำลังสอง (1)
ถ้า a = 0 เราจะได้สมการเชิงเส้น bx + c = 0
ถ้า a ≠ 0 และการแบ่งแยกสมการ D = 2 – 4ac
หาก a ≠ 0 และ D = 0 สมการจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ x = - B / 2a หรืออย่างที่พวกเขาพูดกันคือรากที่ตรงกัน x 1 = x 2 = - B / 2a
ถ้า ≠ 0 และ D > 0 สมการนี้จะมีรากที่ต่างกันสองราก เอ็กซ์ 1.2 = (- โวลต์ ± √D) / 2a
ตัวอย่าง. 5.1. สำหรับค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ a ให้แก้สมการ
(ก – 1)x 2 – 2ax + ก + 2 = 0
สารละลาย. 1. ก – 1 = 0 เช่น a = 1 จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ -2x + 3 = 0, x = 3/2
2. a ≠ 1. ลองหาการแบ่งแยกของสมการ D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 2) = - 4a + 8.
กรณีต่อไปนี้เป็นไปได้: a) D 8, a > 2. ไม่มีสมการ
b) D = 0 เช่น -4a + 8 = 0, 4a = 8, a = 2 สมการนี้มีหนึ่งค่า
รูต x = a / (a – 1) = 2 / (2 – 1) = 2
c) D > 0 เช่น -4a + 8 > 0.4a
รูท x 1.2 = (2a ± √ -4a + 8) / 2(a – 1) = (a ± √ 2 – a) / (a – 1)
คำตอบ. เมื่อ a = 1 x = 3/2;
เมื่อ a =2 x = 2;
สำหรับ a > 2 ไม่มีราก;
สำหรับค่าพารามิเตอร์ทั้งหมด ให้แก้สมการ:
ขวาน 2 + 3ขวาน – ก – 2 = 0;
ขวาน 2 +6x – 6 = 0;
ใน 2 – (ใน + 1)x +1 = 0;
(ข + 1)x 2 – 2x + 1 – ข = 0
ทำงานอิสระ.
ตัวเลือกที่ 1 แก้สมการ ax 2 - (a+3)x + 3 = 0
ตัวเลือกที่ 2 แก้สมการ a 2 + (a + 1)x + 2a-4 = 0
งาน
- ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ a ซึ่งเป็นสมการกำลังสอง
สารละลาย. สมการนี้เป็นกำลังสองตามเงื่อนไข ซึ่งหมายถึง
ก – 1 ≠ 0 เช่น a ≠ 1. ลองหาตัวจำแนก D = 4(2a + 1) 2 – 4(a – 1)(4a +3) =
4(4a 2 + 4a + 1 – 4a 2 + a + 3) = 4(5a + 4)
เรามี: 1) สำหรับ ≠ 1 และ D > 0 เช่น 4(5a + 4) > 0, a > - 4/5 สมการมีสอง
รากต่างๆ
2) สำหรับ ≠ 1 และ D
3) สำหรับ ≠ 1 และ D = 0 เช่น a = - 4/5 สมการมีหนึ่งรูท
คำตอบ. ถ้า a > - 4/5 และ ≠ 1 สมการนี้จะมีรากที่ต่างกันสองราก
ถ้า a = - 4/5 แสดงว่าสมการนั้นมีหนึ่งรูท
. สำหรับค่าพารามิเตอร์ a สมการ (a + 6)x 2 + 2ax +1 = 0 มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับค่าใดของพารามิเตอร์
. สำหรับค่าของพารามิเตอร์ a สมการ (a 2 – a – 2)x 2 + (a +1)x + 1 = 0 ไม่มีคำตอบสำหรับค่าใดของพารามิเตอร์?
.สำหรับค่าใดของพารามิเตอร์ a สมการ ax 2 - (2a+3)x+a+5=0 มีรากที่แตกต่างกันสองอัน?
ทำงานอิสระ.
ตัวเลือกที่ 1ค้นหาค่าพารามิเตอร์ทั้งหมด กซึ่งสมการกำลังสอง (2 ก – 1)เอ็กซ์ 2 +2เอ็กซ์– 1 = 0 มีรากที่แตกต่างกันสองแบบ ไม่มีราก มีหนึ่งราก
ตัวเลือกที่ 2- ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ a ซึ่งสมการกำลังสอง (1 – ก)เอ็กซ์ 2 +4เอ็กซ์– 3 = 0 มีรากที่แตกต่างกันสองแบบ ไม่มีราก มีหนึ่งราก
ทฤษฎีบทของเวียตตา
ทฤษฎีบทต่อไปนี้ใช้ในการแก้ปัญหาต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับสมการกำลังสองที่มีพารามิเตอร์
ทฤษฎีบทของเวียตตาถ้า x 1, x 2 เป็นรากของสมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0, a≠0 ดังนั้น x 1 + x 2 = - B / a และ x 1 ∙ x 2 = C / a
ทฤษฎีบท 1เพื่อให้รากของขวานตรีโกณมิติกำลังสอง 2 + bx + c เป็นจริงและมีสัญญาณเหมือนกัน จำเป็นและเพียงพอที่จะเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: D = ใน 2 – 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = ค/ก > 0
ในกรณีนี้ รากทั้งสองจะเป็นค่าบวกถ้า x 1 + x 2 = - B /a > 0 และรากทั้งสองจะเป็นลบถ้า x 1 + x 2 = - B /a
ทฤษฎีบท 2เพื่อให้รากของขวานตรีโกณมิติกำลังสอง 2 + bx + c เป็นจริงและไม่เป็นลบหรือเป็นบวกทั้งคู่ จำเป็นและเพียงพอที่จะเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: D = ใน 2 – 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C /a≥ 0
ในกรณีนี้ รากทั้งสองจะไม่เป็นค่าลบ ถ้า x 1 + x 2 = - B /a ≥ 0 และรากทั้งสองจะไม่เป็นค่าบวก ถ้า x 1 + x 2 = - B /a ≤ 0
ทฤษฎีบท 3เพื่อให้รากของขวานตรีโกณมิติกำลังสอง 2 + bx + c เป็นจริงและมี สัญญาณที่แตกต่างกันจำเป็นและเพียงพอที่จะปฏิบัติตามเงื่อนไขต่อไปนี้: x 1 ∙ x 2 = C /aในกรณีนี้ เงื่อนไข D = ใน 2 – 4ac > 0 จะเป็นไปโดยอัตโนมัติ
บันทึก.ทฤษฎีบทเหล่านี้มีบทบาทสำคัญในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาสัญญาณของรากของสมการ ax 2 + bx + c = 0
ความเท่าเทียมกันที่เป็นประโยชน์: x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2, (1)
x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2), (2)
(x 1 - x 2) 2 = (x 1 + x 2) 2 – 4x 1 x 2, (3)
(5)
5.10.
(a – 1)x 2 – 2ax + a +1 = 0 มี: a) รากที่เป็นบวกสองตัว; b) รากลบสองอัน; c) รากของสัญญาณต่าง ๆ ?
สารละลาย. สมการนี้เป็นสมการกำลังสอง ซึ่งหมายถึง ≠ 1 ตามทฤษฎีบทของเวียตาที่เรามี
x 1 + x 2 = 2a / (a – 1), x 1 x 2 = (a + 1) / (a – 1)
ลองคำนวณการแบ่งแยก D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 1) = 4
ก) ตามทฤษฎีบทที่ 1 สมการนี้มีรากที่เป็นบวกถ้า
D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 > 0 เช่น (ก + 1) / (ก – 1) > 0, 2a / (ก – 1) > 0
ดังนั้น є (-1; 0)
b) ตามทฤษฎีบทที่ 1 สมการนี้มีรากเป็นลบถ้า
ง ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 0, 2a / (ก – 1)
ดังนั้น є (0; 1)
c) ตามทฤษฎีบทที่ 3 สมการนี้มีรากของเครื่องหมายต่างกันถ้า x 1 x 2
(ก + 1) / (ก – 1) ตอบ ก) สำหรับ a (-1; 0) สมการมีรากที่เป็นบวก
b) สำหรับ a є (0; 1) สมการมีรากเป็นลบ
c) สำหรับ є (-1; 1) สมการมีรากของเครื่องหมายต่างกัน
5.11.
ค่าของพารามิเตอร์ a คือสมการกำลังสอง
(a – 1)x 2 – 2(a +1)x + a +3 = 0 มี: a) รากที่เป็นบวกสองตัว; b) รากลบสองอัน; c) รากของสัญญาณต่าง ๆ ?
5. 12. โดยไม่ต้องแก้สมการ 3x 2 – (b + 1)x – 3b 2 +0 ให้หา x 1 -1 + x 2 -1 โดยที่ x 1, x 2 คือรากของสมการ
5.13. สำหรับค่าของพารามิเตอร์ a ใดที่สมการ x 2 – 2(a + 1)x + a 2 = 0 มีรากซึ่งผลรวมของกำลังสองคือ 4
ทดสอบ.
ตัวเลือกที่ 1 1. แก้สมการ (a 2 + 4a)x = 2a + 8
2. แก้อสมการ (ใน + 1)x ≥ (ใน 2 – 1)
3. ค่าของพารามิเตอร์ a ใดที่สมการ
x 2 – (2a +1)x + a 2 + a – 6 = 0 มี: a) รากที่เป็นบวกสองตัว; b) รากลบสองอัน; c) รากของสัญญาณต่าง ๆ ?
ตัวเลือกที่ 2 1. แก้สมการ (a 2 – 2a)x = 3a
2. แก้อสมการ (a + 2)x ≤ a 2 – 4
3. ค่าของพารามิเตอร์ในสมการคือเท่าใด
x 2 – (2b – 1)x + b 2 – t – 2 = 0 มี: a) รากที่เป็นบวกสองตัว; b) รากลบสองอัน; c) รากของสัญญาณต่าง ๆ ?
วรรณกรรม.
วี.วี. โมชาลอฟ, วี.วี. ซิลเวสตรอฟ. สมการและอสมการพร้อมพารามิเตอร์ Ch.: สำนักพิมพ์ ChSU, 2004. – 175 น.
ยาสเตรบินสกี้ จี.เอ. ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ อ.: การศึกษา, 2529, - 128 หน้า
บาชมาคอฟ M.I. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ หนังสือเรียนสำหรับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 10 – 11 อ.: การศึกษา, 2534. – 351 น.
ต. เปสโควา ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับพารามิเตอร์ในสมการ หนังสือพิมพ์การศึกษาและระเบียบวิธี "คณิตศาสตร์" ฉบับที่ 36, 2542.
ต. โคสยาโควา การแก้อสมการเชิงเส้นและกำลังสองที่มีพารามิเตอร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 หนังสือพิมพ์การศึกษาและระเบียบวิธี "คณิตศาสตร์" ฉบับที่ 25 - 26, ฉบับที่ 27 - 28 พ.ศ. 2547
ต. กอร์เชนินา ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 หนังสือพิมพ์การศึกษาและระเบียบวิธี "คณิตศาสตร์" หมายเลข 16. 2547.
ช. ทซีกานอฟ ตรีโกณมิติและพารามิเตอร์กำลังสอง หนังสือพิมพ์การศึกษาและระเบียบวิธี "คณิตศาสตร์" ลำดับที่ 5. 1999.
ส. เนเดลยาวา. คุณสมบัติของการแก้ปัญหาด้วยพารามิเตอร์ หนังสือพิมพ์การศึกษาและระเบียบวิธี "คณิตศาสตร์" หมายเลข 34. 1999.
สถาบันการศึกษางบประมาณของรัฐ
ภูมิภาคซามาราการศึกษาทั่วไประดับมัธยมศึกษา
โรงเรียนหมายเลข 2 ตั้งชื่อตาม รถไฟ V. Maskina ศิลปะ. คลีฟลิโน
เขตเทศบาล Klyavlinsky
ภูมิภาคซามารา
« สมการ
และ
ความไม่เท่าเทียมกัน
ด้วยพารามิเตอร์"
คู่มือการฝึกอบรม
คลีฟลิโน
"สมการและอสมการพร้อมพารามิเตอร์"สำหรับนักเรียนเกรด 10–11
คู่มือนี้เป็นภาคผนวกของโปรแกรมวิชาเลือก "สมการและอสมการพร้อมพารามิเตอร์" ซึ่งผ่านการตรวจสอบภายนอก (สภาผู้เชี่ยวชาญทางวิทยาศาสตร์และระเบียบวิธีของกระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของภูมิภาค Samara ลงวันที่ 19 ธันวาคม 2551 แนะนำสำหรับ ใช้ใน สถาบันการศึกษาภูมิภาคซามารา)
ผู้เขียน
โรมาดาโนวา อิรินา วลาดิมีโรฟนา
ครูคณิตศาสตร์ที่สถาบันการศึกษาระดับมัธยมศึกษา Klyavlinskaya
โรงเรียนหมายเลข 2 ตั้งชื่อตาม V. Maskina, เขต Klyavlinsky, ภูมิภาค Samara
เซอร์บาเอวา อิรินา อเล็กซีฟนา
บทนำ…………………………………………………………3-4
สมการเชิงเส้นและอสมการพร้อมพารามิเตอร์……..4-7
สมการกำลังสองและอสมการพร้อมพารามิเตอร์…… 7-9
สมการเศษส่วน-ตรรกยะพร้อมพารามิเตอร์……..10-11
สมการไม่ลงตัวและอสมการพร้อมพารามิเตอร์……11-13
สมการตรีโกณมิติและอสมการพร้อมพารามิเตอร์14-15
สมการเลขชี้กำลังและอสมการกับพารามิเตอร์………16-17
สมการลอการิทึมและอสมการพร้อมพารามิเตอร์......16-18
วัตถุประสงค์การสอบ Unified State………………………………………………...18-20
งานสำหรับงานอิสระ………………21-28
การแนะนำ.
สมการและอสมการพร้อมพารามิเตอร์
หากในสมการหรืออสมการค่าสัมประสิทธิ์บางตัวไม่ได้ระบุค่าตัวเลขเฉพาะ แต่กำหนดด้วยตัวอักษรก็จะเรียกว่า พารามิเตอร์และสมการหรืออสมการนั่นเอง พารามิเตอร์
ในการแก้สมการหรืออสมการด้วยพารามิเตอร์ คุณต้อง:
เลือก ความหมายพิเศษ- นี่คือค่าของพารามิเตอร์ที่หรือเมื่อผ่านไปซึ่งการแก้สมการหรืออสมการเปลี่ยนแปลงไป
กำหนด ค่าที่ถูกต้อง– นี่คือค่าของพารามิเตอร์ที่ทำให้สมการหรืออสมการสมเหตุสมผล
การแก้สมการหรืออสมการด้วยพารามิเตอร์หมายถึง:
1) กำหนดว่าค่าพารามิเตอร์ใดมีวิธีแก้ปัญหาอยู่
2) สำหรับแต่ละระบบค่าพารามิเตอร์ที่ยอมรับได้ ให้ค้นหาชุดโซลูชันที่เกี่ยวข้อง
คุณสามารถแก้สมการด้วยพารามิเตอร์โดยใช้วิธีการต่อไปนี้: เชิงวิเคราะห์หรือเชิงกราฟิก
วิธีการวิเคราะห์ เกี่ยวข้องกับงานศึกษาสมการโดยพิจารณาหลายกรณีซึ่งไม่ควรพลาด
การแก้สมการและอสมการด้วยพารามิเตอร์แต่ละประเภทโดยใช้วิธีวิเคราะห์เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์สถานการณ์โดยละเอียดและการวิจัยที่สอดคล้องกันในระหว่างที่มีความต้องการเกิดขึ้น "การจัดการอย่างระมัดระวัง"พร้อมพารามิเตอร์
วิธีการแบบกราฟิก เกี่ยวข้องกับการสร้างกราฟของสมการ ซึ่งสามารถระบุได้ว่าการเปลี่ยนแปลงในพารามิเตอร์ส่งผลต่อการแก้สมการอย่างไร ตามลำดับ บางครั้งกราฟช่วยให้สามารถกำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอในการวิเคราะห์เพื่อแก้ไขปัญหาที่กำหนดได้ วิธีการแก้โจทย์แบบกราฟิกมีประสิทธิภาพอย่างยิ่งเมื่อคุณต้องการกำหนดจำนวนรากของสมการโดยขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ และมีข้อได้เปรียบอย่างไม่ต้องสงสัยเมื่อเห็นค่านี้อย่างชัดเจน
§ 1. สมการเชิงเส้นและอสมการ
สมการเชิงเส้น ก x = ข , บันทึกไว้ใน มุมมองทั่วไปถือได้ว่าเป็นสมการที่มีพารามิเตอร์ โดยที่ x – ไม่ทราบ , ก , ข – พารามิเตอร์ สำหรับสมการนี้ ค่าพิเศษหรือค่าควบคุมของพารามิเตอร์คือค่าสัมประสิทธิ์ของค่าที่ไม่รู้จักหายไป
เมื่อแก้สมการเชิงเส้นด้วยพารามิเตอร์ จะพิจารณากรณีต่างๆ เมื่อพารามิเตอร์เท่ากับค่าพิเศษและแตกต่างจากค่านั้น
ค่าพารามิเตอร์พิเศษ ก คือมูลค่า ก = 0.
ข = 0 เป็นค่าพารามิเตอร์พิเศษ ข .
ที่ ข ¹ 0 สมการไม่มีคำตอบ
ที่ ข = 0 สมการจะอยู่ในรูปแบบ: 0x = 0- ผลเฉลยของสมการนี้คือจำนวนจริงใดๆ
ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม อ่า > ข และ ขวาน < ข (ก ≠ 0)เรียกว่าอสมการเชิงเส้น ชุดวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน อ่า >ข– ช่วงเวลา
(; +
),
ถ้า ก
> 0
, และ (-;)
, ถ้า ก< 0
- ในทำนองเดียวกันสำหรับความไม่เท่าเทียมกัน
โอ้<
ข
ชุดวิธีแก้ปัญหา - ช่วงเวลา(-;),
ถ้า ก
> 0,
และ (; +),
ถ้า ก< 0.
ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการ ขวาน = 5
สารละลาย: นี่คือสมการเชิงเส้น
ถ้า ก = 0แล้วสมการ 0 × x = 5ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
ถ้า ก¹ 0, x =- การแก้สมการ
คำตอบ: ที่ ก¹ 0, x=
สำหรับ a = 0 ไม่มีทางแก้
ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการ ขวาน – 6 = 2a – 3x.
สารละลาย:นี่คือสมการเชิงเส้น ขวาน – 6 = 2a – 3x (1)
ขวาน + 3x = 2a +6
เขียนสมการใหม่เป็น (a+3)x = 2(a+3)ให้พิจารณาสองกรณี:
ก= -3และ ก¹ -3.
ถ้า ก= -3แล้วจำนวนจริงใดๆ เอ็กซ์คือรากของสมการ (1) ถ้า ก¹ -3 สมการ (1) มีรากเดียว x = 2
คำตอบ:ที่ ก = -3, x 
ร
;
ที่ ก
¹
-3, x = 2.
ตัวอย่างที่ 3 ที่ค่าพารามิเตอร์ใด กท่ามกลางรากของสมการ
2อา – 4ค – อา 2 + 4a – 4 = 0มีรากมากขึ้น 1 ?
สารละลาย: มาแก้สมการกัน 2อา – 4ค – อา 2 + 4a – 4 = 0– สมการเชิงเส้น
2(ก - 2) x = ก 2 – 4a +4
2(ก - 2) x = (ก – 2) 2
ที่ ก = 2การแก้สมการ 0x = 0จะเป็นตัวเลขใดๆ รวมทั้งจำนวนที่มากกว่า 1 ด้วย
ที่ ก¹
2 x = 
.
ตามเงื่อนไข x > 1นั่นคือ >1 และ >4
คำตอบ:ที่ ก (2) คุณ (4;∞)
ตัวอย่างที่ 4 . สำหรับแต่ละค่าพารามิเตอร์ กหาจำนวนรากของสมการ อา=8.
สารละลาย. ขวาน = 8– สมการเชิงเส้น
ย = ก- ตระกูลของเส้นแนวนอน
ย = - กราฟเป็นไฮเปอร์โบลา มาสร้างกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้กัน
คำตอบ: ถ้า ก = 0แล้วสมการก็ไม่มีคำตอบ ถ้า ก ≠ 0แล้วสมการก็มีคำตอบเดียว
ตัวอย่างที่ 5 . ใช้กราฟเพื่อดูว่าสมการนี้มีกี่ราก:
|x| = อา – 1.
ย =| x | -
ย = อา – 1– กราฟเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่ง (0;-1).
มาสร้างกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้กัน
คำตอบ: เมื่อไหร่ |ก|>1- หนึ่งราก
ที่ - ก|≤1 – สมการไม่มีราก
ตัวอย่าง 6 . แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ขวาน + 4 > 2x + ก 2
สารละลาย
:
ขวาน + 4 > 2x + ก
2
(ก – 2) x >ก
2
– 4. ลองพิจารณาสามกรณี.
คำตอบ. x > ก + 2ที่ ก > 2; เอ็กซ์<а + 2, ที่ ก< 2; ที่ ก=2ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
§ 2 สมการกำลังสองและอสมการ
สมการกำลังสองเป็นสมการของรูปแบบ โอ้ ² + ข x + ค = 0 , ที่ไหน ก≠ 0,
เอ, ข , กับ – พารามิเตอร์
ในการแก้สมการกำลังสองด้วยพารามิเตอร์ คุณสามารถใช้วิธีการแก้ปัญหามาตรฐานโดยใช้สูตรต่อไปนี้:
1
)
จำแนกสมการกำลังสอง:
ดี
=
ข
² - 4
เครื่องปรับอากาศ
,
(
²-
เครื่องปรับอากาศ)
2)
สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง:เอ็กซ์
1
=
, เอ็กซ์
2
=
,
(เอ็กซ์
1,2 =
)
อสมการกำลังสองเรียกว่า
ก เอ็กซ์ 2 + ข x + ค > 0,ก เอ็กซ์ 2 + ข x + ค< 0, (1), (2)
ก เอ็กซ์ 2 + ข x + ค ≥ 0,ก เอ็กซ์ 2 + ข x + ค ≤ 0,(3), (4)
ชุดการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน (3) ได้มาจากการรวมชุดการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน (1) และสมการ , ก เอ็กซ์ 2 + ข x + ค = 0ชุดวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน (4) สามารถพบได้ในทำนองเดียวกัน
ถ้าแบ่งแยกตรีโนเมียลกำลังสอง
ก
เอ็กซ์
2
+
ข
x + ค
น้อยกว่าศูนย์ ดังนั้นสำหรับ a > 0 ตรีโกณมิติจะเป็นค่าบวกสำหรับ x ทั้งหมด ร.
ถ้าตรีโกณมิติกำลังสองมีราก (x 1
< х
2
) จากนั้นสำหรับ a > 0 จะเป็นค่าบวกบนเซต(-;
x2 )
(เอ็กซ์ 2;
+)
และลบในช่วงเวลานั้น
(x1; x2 - ถ้าก< 0, то трехчлен положителен на интервале (х
1 ; x2 ) และลบสำหรับ x ทั้งหมด (-;
x1 )(เอ็กซ์ 2;
+).
ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการ ax² - 2 (ก – 1)x – 4 = 0.
นี่คือสมการกำลังสอง
สารละลาย: ความสำคัญเป็นพิเศษ ก = 0
ที่ ก = 0เราได้สมการเชิงเส้น 2x – 4 = 0- มันมีรากเดียว x = 2
ที่ ก ≠ 0เรามาค้นหาความแตกต่างกัน
ดี = (a-1)² + 4a = (a+1)²
ถ้า ก = -1,ที่ ดี = 0 - หนึ่งราก
ลองหารากโดยการแทนที่กัน ก = -1
-x² + 4x – 4= 0,นั่นคือ x² -4x + 4 = 0,เราพบว่า x=2.
ถ้า ก ≠ - 1, ที่ ดี
>0
- เมื่อใช้สูตรรูทเราได้รับ:x= 
;
เอ็กซ์ 1 =2,x 2 = -.
คำตอบ:ที่ ก=0 และ ก= -1สมการมีหนึ่งราก x = 2;ที่ ก ≠ 0 และ
ก ≠ - สมการ 1 มีสองรากเอ็กซ์ 1 =2,x 2 =-.
ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาจำนวนรากของสมการนี้ x²-2x-8-a=0ขึ้นอยู่กับค่าพารามิเตอร์ ก.
สารละลาย. ให้เราเขียนสมการนี้ใหม่ในรูปแบบ x²-2x-8=ก
ย = x²-2x-8- กราฟเป็นรูปพาราโบลา
ย =ก- ตระกูลเส้นแนวนอน
มาสร้างกราฟของฟังก์ชันกัน
คำตอบ: เมื่อไหร่ ก<-9 สมการนี้ไม่มีคำตอบ เมื่อ a=-9 สมการจะมีคำตอบเดียว ที่ ก>-9สมการมีสองคำตอบ
ตัวอย่างที่ 3 อะไร กความไม่เท่าเทียมกัน (ก – 3) x 2 – 2ax + 3a – 6 >0ถือค่าทั้งหมดของ x?
สารละลาย.ตรีโกณมิติกำลังสองเป็นบวกสำหรับทุกค่าของ x ถ้า
a-3 > 0 และ ดี<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств
,
เหตุใดจึงเป็นไปตามนั้นก
> 6
.
คำตอบ.ก > 6
§ 3 สมการตรรกยะเศษส่วนพร้อมพารามิเตอร์
ลดลงเป็นเส้นตรง
กระบวนการแก้ปัญหา สมการเศษส่วนดำเนินการตามรูปแบบปกติ: เศษส่วนจะถูกแทนที่ด้วยจำนวนเต็มโดยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวส่วนร่วมของด้านซ้ายและด้านขวา หลังจากนั้นสมการทั้งหมดจะถูกแก้ไขโดยไม่รวมรากที่ไม่เกี่ยวข้องนั่นคือตัวเลขที่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์
ในกรณีของสมการที่มีพารามิเตอร์ ปัญหานี้มีความซับซ้อนมากขึ้น ที่นี่เพื่อที่จะ "กำจัด" รากภายนอกจำเป็นต้องค้นหาค่าของพารามิเตอร์ที่เปลี่ยนตัวส่วนร่วมให้เป็นศูนย์นั่นคือเพื่อแก้สมการที่สอดคล้องกันของพารามิเตอร์
ตัวอย่างที่ 1
แก้สมการ 
= 0
สารละลาย: D.Z: x +2 ≠ 0, x ≠ -2
x – ก = 0, x = ก.
คำตอบ:ที่ ก ≠ - 2, x=a
ที่ ก = -2ไม่มีราก
ตัวอย่างที่ 2
.
แก้สมการ 
- 
= 
(1)
นี่คือสมการตรรกยะเศษส่วน
สารละลาย:ความหมาย ก = 0เป็นพิเศษ ที่ ก = 0สมการนี้ไม่สมเหตุสมผลดังนั้นจึงไม่มีราก ถ้า ก ≠ 0,หลังจากการแปลงสมการจะอยู่ในรูปแบบ: x² + 2 (1-a) x + a² - 2a – 3 = 0 (2)– สมการกำลังสอง
เรามาค้นหาความแตกต่างกัน 
= (1 – ก)² - (ก² - 2a – 3)= 4,
ค้นหารากของสมการเอ็กซ์
1
= ก + 1, x
2
= ก - 3
เมื่อย้ายจากสมการ (1) ไปเป็นสมการ (2) ขอบเขตของคำจำกัดความของสมการ (1) จะขยายออกไปซึ่งอาจนำไปสู่การปรากฏตัวของรากที่ไม่เกี่ยวข้อง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีการตรวจสอบ
การตรวจสอบ.ลองแยกออกจากค่าที่พบ เอ็กซ์เหล่านั้นในนั้น
x 1 +1=0, x 1 +2=0, x 2 +1=0, x 2 +2=0
ถ้า เอ็กซ์ 1 +1=0, นั่นคือ (ก+1) + 1= 0, ที่ ก= -2.ดังนั้น,
ที่ ก= -2 , เอ็กซ์ 1 -
ถ้า เอ็กซ์ 1 +2=0, นั่นคือ (a+1)+2=0,ที่ ก = - 3- ดังนั้นเมื่อ ก = - 3, x 1 - รากภายนอกของสมการ (1).
ถ้า เอ็กซ์ 2 +1=0, นั่นคือ (ก – 3) + 1= 0, ที่ ก = 2- ดังนั้นเมื่อ ก = 2 x 2 - รากภายนอกของสมการ (1)
ถ้า เอ็กซ์ 2 +2=0, นั่นคือ ( ก – 3) + 2 = 0,ที่ ก=1- ดังนั้นเมื่อ ก = 1,
เอ็กซ์ 2 - รากภายนอกของสมการ (1)
ตามนี้เมื่อ ก = - 3เราได้รับ x = - 3 – 3 = -6;
ที่ ก = - 2 x = -2 – 3= - 5;
ที่ ก = 1 x =1 + 1= 2;
ที่ ก = 2 x = 2+1 = 3
คุณสามารถเขียนคำตอบได้
คำตอบ: 1) ถ้า ก= -3,ที่ x= -6; 2) ถ้า ก= -2, ที่ x= -5- 3) ถ้า ก= 0ก็ไม่มีราก 4) ถ้า ก= 1, ที่ x=2; 5) ถ้า ก=2, ที่ x=3- 6) ถ้า ก ≠ -3, ก ≠ -2, ก ≠ 0, ก≠ 1, ก ≠ 2 จากนั้น x 1 = ก + 1, x 2 = ก-3
§4 สมการอตรรกยะและอสมการ
สมการและอสมการซึ่งมีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายรูตเรียกว่า ไม่มีเหตุผล
การแก้สมการไร้เหตุผลนั้นเริ่มจากการเปลี่ยนจากสมการไม่ลงตัวไปเป็นสมการตรรกยะโดยการยกกำลังทั้งสองด้านของสมการหรือการแทนที่ตัวแปร เมื่อทั้งสองข้างของสมการยกกำลังเท่ากัน รากที่ไม่เกี่ยวข้องอาจปรากฏขึ้น ดังนั้นเมื่อใช้วิธีนี้ คุณควรตรวจสอบรากทั้งหมดที่พบโดยการแทนที่ลงในสมการดั้งเดิม โดยคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงของค่าพารามิเตอร์ด้วย
สมการของแบบฟอร์ม 
=g (x) เทียบเท่ากับระบบ 
อสมการ f (x) ≥ 0 ตามมาจากสมการ f (x) = g 2 (x)
เมื่อแก้ไขอสมการไร้เหตุผล เราจะใช้การแปลงที่เทียบเท่าต่อไปนี้:
≤ ก.(เอ็กซ์) 
≥ก(x) 
ตัวอย่างที่ 1
แก้สมการ 
= x + 1 (3)
นี่คือสมการอตรรกยะ
สารละลาย:
ตามคำนิยามของรากเลขคณิต สมการ (3) จะเทียบเท่ากับระบบ 
.
ที่ ก = 2สมการแรกของระบบมีรูปแบบ 0 x = 5นั่นคือมันไม่มีวิธีแก้ปัญหา
ที่ ก≠ 2 x= 
.
เรามาดูกันว่าค่าอะไรก
พบมูลค่าเอ็กซ์
ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันx ≥ -1: ≥ - 1, 
≥ 0,
ที่ไหน ≤หรือ ก > 2
คำตอบ:ที่ a≤, a > 2 x= ,
ที่ < а ≤ 2
สมการไม่มีคำตอบ
ตัวอย่างที่ 2
แก้สมการ 
= ก
(ภาคผนวก 4)
สารละลาย. ย
=
ย = ก– ตระกูลเส้นแนวนอน
มาสร้างกราฟของฟังก์ชันกัน
คำตอบ: ที่ ก<0 – ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
ที่ ก≥ 0 - ทางออกหนึ่ง
ตัวอย่างที่ 3
- มาแก้อสมการกัน(ก+1) 
<1.
สารละลาย.โอ.ดี.ซี. x ≤ 2- ถ้า ก+1 ≤0จากนั้นความไม่เท่าเทียมกันจะคงอยู่ในค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมด เอ็กซ์- ถ้า ก+1>0, ที่
(ก+1) <1.<
ที่ไหน เอ็กซ์ (2- 
2
คำตอบ.
เอ็กซ์ (- ;2ที่ (-;-1,
เอ็กซ์ (2- 2
ที่ ก
(-1;+).
§ 5. สมการตรีโกณมิติและอสมการ
ต่อไปนี้เป็นสูตรสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด:
ซินซ์ = ก x= (-1) n อาร์คซิน a+πn, n ซี, 
≤1, (1)
คอส x = ก x = ±อาร์คคอส a + 2 πn, n ซี, ≤1.
(2)
ถ้า
>1 ดังนั้นสมการ (1) และ (2) จึงไม่มีคำตอบ
สีแทน x = ก x= อาร์คแทน a + πn, n ซี.เอ ร
ซีทีจี x = ก x = ส่วนโค้ง a + πn, n ซี.เอ ร
สำหรับอสมการมาตรฐานแต่ละรายการ เราจะระบุชุดวิธีแก้ปัญหา:
1.
บาป x > ก อาร์คซิน a + 2 πn
ซี,
ที่ ก
<-1,
x ร
;
ที่ ก
≥ 1,
ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
2. . บาป x< a π - อาร์คซิน a + 2 πnZ
สำหรับ a≤-1 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา สำหรับ > 1,x ร
3.
เพราะ
x
>
ก
-
อาร์คคอส
ก
+ 2
πn
<
x
<
อาร์คคอส
ก
+ 2
πn
,
n
ซี
,
ที่ ก<-1,
x ร
- ที่ ก
≥ 1
ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
4. เพราะ x อาร์คคอส a+ 2 πnZ,
ที่ เอ≤-1
ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ที่ก
> 1,
x
ร
5. สีแทน x > a, อาร์กแทน a + πnZ
6.tg x< a, -π/2 + πn Z
ตัวอย่างที่ 1 หา กซึ่งสมการนี้มีคำตอบ:
คอส 2 x + 2(a-2)คอสเอ็กซ์ + เอ 2 – 4a – 5 =0
สารละลาย.เรามาเขียนสมการในรูปแบบกัน
กับระบบปฏิบัติการ 2 x + (2 ก -4) คอกซ์ +(ก – 5)(ก+1) =0,เราก็ได้การแก้มันเป็นกำลังสอง คอกซ์ = 5-กและ คอกซ์ = -เอ-1.
สมการ คอกซ์
= 5-
ก
มีวิธีแก้ปัญหาให้ -1≤ 5-ก
≤1
4≤
ก≤ 6 และสมการ คอกซ์
= -
เอ-1
ให้ไว้ -1≤ -1-ก
≤ 1
-2 ≤
ก
≤0.
คำตอบ.
ก
-2; 0 4; 6
ตัวอย่างที่ 2
อะไร ขมีความไม่เท่าเทียมกันเช่นนั้น 
+
ข> 0 ถือไว้สำหรับทั้งหมด x ≠πn
,
n
ซี
.
สารละลาย.เอาล่ะใส่ ก= 0 อสมการถือเป็น b >0 ให้เราแสดงว่าไม่มี b ≤0 ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา จริงๆ แล้ว x = ก็เพียงพอแล้ว π /2, ถ้า ก <0, и х = - π /2 ที่ ก ≥0.
คำตอบ.ข>0
§ 6. สมการเลขชี้กำลังและอสมการ
1. สมการ ชม.(x)
ฉ ( x )
=
ชม.(x)
ก ( x) ที่ ชม.(x) > 0 เทียบเท่ากับชุดของสองระบบ 
และ 
2. ในกรณีพิเศษ (h (x)= ก ) สมการ กฉ(x) = กก.(x) ที่ ก> 0 เทียบเท่ากับชุดของสองระบบ
และ 
3. สมการ กฉ(x) = ข , ที่ไหน ก > 0, ก ≠1, ข>0 เทียบเท่ากับสมการ
f (x )= บันทึก ข . กำลังเกิดขึ้น ก=1 ถือว่าแยกกัน
วิธีแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ง่ายที่สุดนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติกำลัง ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์มฉ(ก
x ) > 0 โดยใช้การเปลี่ยนแปลงตัวแปรที=
ก
x ช่วยลดการแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน 
แล้วจึงไปหาคำตอบของอสมการเลขชี้กำลังอย่างง่ายที่สอดคล้องกัน
เมื่อแก้ไขอสมการไม่เข้มงวด จำเป็นต้องเพิ่มรากของสมการที่เกี่ยวข้องลงในชุดคำตอบของอสมการเข้มงวด เช่นเดียวกับการแก้สมการในทุกตัวอย่างที่มีนิพจน์ ก f (x) เราถือว่า ก> 0. กรณี ก= 1 ถือว่าแยกกัน
ตัวอย่างที่ 1
.
อะไร กสมการ 8 x = 
มีรากที่เป็นบวกเท่านั้นเหรอ?
สารละลาย.
ตามทรัพย์สิน ฟังก์ชันเลขชี้กำลังด้วยฐานที่มากกว่าหนึ่ง เราจะได้ x>0 8
เอ็กซ์ >1 >1
>0 จากที่ไหนก
(1,5;4).
คำตอบ.
ก
(1,5;4).
ตัวอย่างที่ 2 แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ก 2 ∙2 x > ก
สารละลาย- ลองพิจารณาสามกรณี:
1.
ก< 0
- เพราะ ด้านซ้ายอสมการเป็นบวก และอันที่ถูกต้องเป็นลบ แล้วอสมการจะเป็นค่า x ใดๆ ร.
2. ก=0.
3.
ก
> 0
.
ก
2
∙2
x
ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
2
x
>
>ก 2
x > - บันทึก
คำตอบ.
ก รที่ ก
เอ็กซ์
ก
> 0; ไม่มีวิธีแก้ปัญหาสำหรับ (-
=0; เอ็กซ์ 2
x > - บันทึก; +บันทึก) ที่
.
ก> 0
§ 7. สมการลอการิทึมและอสมการ ให้เรานำเสนอความเท่าเทียมกันที่ใช้ในการแก้ปัญหา
สมการลอการิทึมและอสมการ
1. บันทึกสมการ f (x) g (x) = log f (x) h (x) เทียบเท่ากับระบบ ก >0, กโดยเฉพาะถ้า
=0; เอ็กซ์ ก
≠1 แล้ว ก
ก.(x)= บันทึก 
2.
สมการ ชั่วโมง(x) ก
บันทึก ก(x)=ขก
ข (
ก
>0,
ก(x)=
ก ≠
1, ก(x) >0) =0; เอ็กซ์ ฉ ( x )
ก (x) ≤
=0; เอ็กซ์ ฉ ( x )
ชม.(x3. ความไม่เท่าเทียมกัน 
และ 
) เทียบเท่ากับการรวมกันของสองระบบ: ถ้า
=0; เอ็กซ์ ก
b คือตัวเลข a >0, a ≠1 แล้ว 
=0; เอ็กซ์ ก
ฉ(x) ≤ ข 
ตัวอย่างที่ 1
ฉ(x)>ข 
สารละลายแก้สมการ ก 4 , ก > 0, ก- มาหา ODZ กัน: x > 0, x ≠
≠ 1. แปลงสมการ 
บันทึก =0; เอ็กซ์ ก
x ≠ 1. แปลงสมการ x – 2 = 4 – =0; เอ็กซ์ ก
x x + =0; เอ็กซ์ ก
x = - 3
– 6 = 0 ดังนั้น ก x= =0; เอ็กซ์ ก
x = 2
-3 และ ก x= ก
4
ก
– 3
=
ก 2. เงื่อนไข x = ก
2
=
ก
4
4 หรือ
คำตอบ:ไม่ได้ดำเนินการบน ODZ ก x= ก-3, x = ก
(0; 1) 
(1; ).
ตัวอย่างที่ 2 . 2 ณ กค้นหาคุณค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด
2
≠ 1. แปลงสมการ 
-
+
ก
ซึ่งสำหรับสมการนั้น
สารละลาย.
= 0 มีคำตอบ =
ทีเราจะทำการทดแทนที 2
–
ที +
ก
และเราจะได้สมการกำลังสอง 2= 0. การแก้ปัญหาเราพบ = 1-8
ก
ดี = 0. การแก้ปัญหาเราพบ≥0, 1-8
ก
≥0 
ก
≤.
ที่ ก - ลองพิจารณาดูที= >0.
คำตอบ. ก =
ตัวอย่างที่ 3 . = สมการกำลังสองมีราก=0; เอ็กซ์(x 2 – 2 x + ก ) > - 3
สารละลาย.
แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน 
มาแก้ระบบอสมการกันเถอะ 1,2
รากของตรีโกณมิติกำลังสอง x 
= 1 ± 3,4
ของพวกเขา 
.
= 1 ± กค่าพารามิเตอร์ที่สำคัญ: ก= 9.
= 1 และ
ให้ X 1 และ X 2 เป็นเซตคำตอบของอสมการตัวแรกและตัวที่สอง 
เอ็กซ์ 1 2
เอ็กซ์
= X – คำตอบของอสมการดั้งเดิม<
ก
<1 Х
1
= (-
;1 - )(1 + ; +เวลา 0ก), ที่ = (-;+).
> 1x1<
ก
< 9 Х
2
= (1 -; 1 +เวลา 0กเวลา 0
≥9 X 2 – ไม่มีวิธีแก้ไข
1. 0<
ก
ลองพิจารณาสามกรณี: ;1 - )(1 + ;1 +).
2. 1 <
ก
< 9 Х = (1 -;1 +).
3. ก≤1 X = (1 -
≥ 9 X – ไม่มีวิธีแก้ไข
วัตถุประสงค์การสอบ Unified Stateระดับสูง
ตัวอย่างที่ 1 ซี1, ซี2 ค้นหาค่าทั้งหมดร
ค้นหาค่าทั้งหมด ∙ ซึ่งสำหรับสมการนั้น CTG 2x+2sinx+พี
สารละลาย.= 3 มีอย่างน้อยหนึ่งราก
ค้นหาค่าทั้งหมด ∙ (
มาแปลงสมการกัน CTG 2x+2sinx+- 1) + 2ซินx + = 3, บาปx =t, 
ที 
0.
-
CTG 2x+2sinx+,ที CTG 2x+2sinx+
= 3,
+2t+ + 2 เสื้อ = 3, 3 -2t = CTG 2x+2sinx+
.
, 3ที 2 – 2ที 3 = ฉ(อนุญาต) = 3
ที 2
– 2
ที 3
ยฉ(x- ลองหาเซตของค่าฟังก์ชันกัน 
) บน /
= 6
ที – 6
ที 2
, 6
ที - 6
ที 2
= 0,
ที 1
=0,
ที 2
= 1.
ฉ(-1) = 5,
ฉ(1) = 1.
ที่ ที ,
- ที่(ฉ) =
,
ที่ ที ,
- ที่(ฉ) =
อี ที ,
- ที่(ฉ) =
.
นั่นคือเมื่อใดที 2
– 2
ที 3
=
CTG 2x+2sinx+
ถึงสมการที่ 3(เพราะฉะนั้นที่ให้มา) มีรากอย่างน้อยหนึ่งรากที่จำเป็นและเพียงพอ
- ที่(ฉพี (เพราะฉะนั้นที่ให้มา) มีรากอย่างน้อยหนึ่งรากที่จำเป็นและเพียงพอ
.
คำตอบ.
.
ตัวอย่างที่ 2
) นั่นคือกที่ค่าพารามิเตอร์ใด ≠ 1. แปลงสมการ 
(4
x 2
– 4
ก
+
ก
2
สมการ
สารละลาย.+7) = 2 มีรากเดียวใช่ไหม?
4ลองแปลงสมการเป็นสิ่งที่เทียบเท่ากับสิ่งนี้: ก + ก x2 – 4
โปรดทราบว่าหากจำนวน x เป็นรากของสมการผลลัพธ์ จำนวน – x ก็เป็นรากของสมการนี้ด้วย ตามเงื่อนไขแล้ว สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ ดังนั้นรากเดียวคือเลข 0
เราจะพบ ก.
4∙ 0 2 - 4ก + ก 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,
ก 2 - 4ก +7 = 4, ก 2 - 4ก +3 = 0, ก 1 = 1, ก 2 = 3.
การตรวจสอบ.
1)
ก
1
= 1 จากนั้นสมการจะมีลักษณะดังนี้:≠ 1. แปลงสมการ (4
x 2
+4) =2. มาแก้กันเถอะ
4x 2 + 4 = (x 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4, x 4 = 0, x = 0 เป็นรากเดียวเท่านั้น
2)
ก
2
= 3 สมการมีลักษณะดังนี้:≠ 1. แปลงสมการ (4
x 2
+4) =2 x = 0 เป็นเพียงรูทเท่านั้น
คำตอบ. 1; 3
ระดับสูง C4, C5
ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาค่าทั้งหมด พีซึ่งสมการนั้น
x 2 – ( ค้นหาค่าทั้งหมด+ 3)x + 1= 0 มีรากเป็นจำนวนเต็ม และรากเหล่านี้คือคำตอบของอสมการ: x 3 – 7 ค้นหาค่าทั้งหมด x 2 + 2x 2 – 14 ค้นหาค่าทั้งหมด x - 3x +21 ร ≤ 0.
สารละลาย.
ให้เอ็กซ์ 1,
เอ็กซ์ 2
– รากจำนวนเต็มของสมการ x 2
– (ค้นหาค่าทั้งหมด
+ 3)x + 1= 0 จากนั้น ตามสูตรของเวียตา ค่าเท่ากับ x 1
+ x 2
=
ค้นหาค่าทั้งหมด
+3,x 1
∙ x 2
= 1. ผลคูณของจำนวนเต็มสองตัว x 1
, เอ็กซ์ 2
สามารถเท่ากับหนึ่งเท่านั้นในสองกรณี: x 1
= x 2
= 1 หรือ x 1
= x 2
= - 1. ถ้า x 1
= x 2
= 1 แล้วค้นหาค่าทั้งหมด
+ 3 = 1+1 = 2ร
= - 1; ถ้า x 1
= x 2
= - 1 แล้วค้นหาค่าทั้งหมด
+ 3 = - 1 – 1 = - 2 ร
= - 5. ลองตรวจสอบว่ารากของสมการ x หรือไม่ 2
– (ค้นหาค่าทั้งหมด
+ 3)x + 1= 0 ในกรณีที่อธิบายไว้โดยการแก้อสมการนี้ สำหรับโอกาสนี้ร
= - 1, x 1
= x 2
= 1 เรามี
1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – จริง; สำหรับโอกาสนี้ ร= - 5, x 1 = x 2 = - 1 เรามี (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – ถูกต้อง ดังนั้นให้ตรงตามเงื่อนไขของปัญหาเท่านั้น ร= - 1 และ ร = - 5.
คำตอบ.ค้นหาค่าทั้งหมด 1 = - 1 และ ร 2 = - 5.
ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาค่าบวกทั้งหมดของพารามิเตอร์ กซึ่งเลข 1 อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน
ที่
= (ก 
-
ก 
).
บทเรียนวิชาเลือก
ในหัวข้อ: “การแก้สมการและอสมการด้วยพารามิเตอร์”
(บทเรียนเรื่องลักษณะทั่วไปและการทำซ้ำ)
เป้า: 1. ทำซ้ำและสรุปความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับวิธีการแก้สมการและอสมการด้วยพารามิเตอร์ รวบรวมความสามารถในการประยุกต์ความรู้เมื่อแก้ไขงานเฉพาะ 2. พัฒนา การคิดเชิงตรรกะ- 3. ปลูกฝังความสนใจและความถูกต้อง
แผนการสอน: I. ช่วงเวลาขององค์กร______________________________2 นาที
ครั้งที่สอง อัพเดตความรู้พื้นฐาน:
- การทำซ้ำ_________________________________3 นาที
- งานช่องปาก________________________________3 นาที
- การทำงานกับการ์ด (ในช่วง 1 และ 2)
ที่สาม วิธีแก้ปัญหาของการออกกำลังกาย_________________________________22 นาที
ไอวาย. การทดสอบการดำเนินการ______________________________8 นาที
Y. สรุป ทำการบ้าน__2 นาที
สวัสดีคุณโอเค:
ฉัน. ช่วงเวลาขององค์กร.
ครู: - สวัสดีเพื่อนๆ ยินดีที่ได้รู้จักทุกคน เรากำลังเริ่มบทเรียนของเรา วันนี้ในบทเรียนเป้าหมายของเราคือการทำซ้ำและฝึกฝนความรู้ ทักษะ และความสามารถที่ได้รับจากบทเรียนก่อนหน้าขณะศึกษาหัวข้อนี้
ครั้งที่สอง - อัพเดตความรู้พื้นฐาน:
1) การทำซ้ำ
ครู: - งั้นเรามาทำซ้ำกัน
สมการเชิงเส้นที่มีพารามิเตอร์เรียกว่าอะไร?
เราพิจารณากรณีใดบ้างเมื่อแก้สมการดังกล่าว
ยกตัวอย่างสมการเชิงเส้นพร้อมพารามิเตอร์
ยกตัวอย่างความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นพร้อมพารามิเตอร์
2) งานช่องปาก
ภารกิจ: นำสมการนี้มาสู่รูปแบบเชิงเส้น
บนกระดาน:
ก) 3a x – 1 =2 x;
ข) 2+5 x = 5a x;
ค) 2 x – 4 = a x + 1
3) ทำงานโดยใช้การ์ด
ที่สาม - โซลูชั่นของการออกกำลังกาย
ภารกิจที่ 1 แก้สมการด้วยพารามิเตอร์ก.
3(ขวาน + 1) + 1 = 2(ก – x) + 1
งานเสร็จสมบูรณ์บนกระดานและในสมุดบันทึก
ภารกิจที่ 2 ในราคาเท่าไร a เส้นตรง y = 7ax + 9 ผ่านไป
เสื้อ เอ(-3;2) ?
งานจะเสร็จสิ้นโดยอิสระบนกระดานโดยนักเรียนคนหนึ่ง ที่เหลือทำงานในโน้ตบุ๊กแล้วตรวจสอบกระดาน
พลศึกษา แค่นาทีเดียว
ภารกิจที่ 3 ในราคาเท่าไรก สมการ 3(ขวาน – ก) = x – 1 มี
โซลูชั่นมากมายไม่สิ้นสุด?
นักเรียนจะถูกขอให้แก้ไขปัญหานี้อย่างอิสระในสมุดบันทึก จากนั้นตรวจสอบคำตอบ
ภารกิจที่ 4 ที่ค่าพารามิเตอร์เท่าใดก , ผลรวมของรากของสมการ
2х² + (4а² - 2)х – (а² + 1) = 0เท่ากับ 1?
งานจะเสร็จสิ้นโดยการแสดงความคิดเห็นจากจุดนั้น
ภารกิจที่ 5 แก้อสมการด้วยพารามิเตอร์ร:
ร(5х – 2)
งานนี้ดำเนินการที่บอร์ดและในสมุดบันทึก
ไอวาย. ดำเนินการทดสอบ
นักเรียนจะได้รับแผ่นงานพร้อมงานต่างๆ:
1) คือสมการ6(ขวาน + 1) + ก = 3(ก – x) + 7เป็นเส้นตรง?
ก. ใช่; B: ไม่; c) สามารถลดลงเป็นเส้นตรงได้
2) สมการ (2ax + 1)a = 5a – 1 ลดลงจนกลายเป็นสมการเชิงเส้น
ก) ไม่; B: ใช่;
3) ค่าพารามิเตอร์เท่าไรและเส้นตรง y = ax – 3 ผ่านไป
ที.เอ(-2;9) ?
ก) ก = 1/6; ข) ก = 1/2; ค) ก = -6; ง) ก = 6
4) สมการ 2ax + 1 = x คืออะไร มีรูตเท่ากับ -1 หรือไม่?
ก) ก = -1; ข) ก = 0; ค) ก = 1; ง) ก = 1/2
5) ถ้าเป็นสมการกำลังสอง ax² + inx + c = 0 D ax² + inx + c >0 ขึ้นอยู่กับ
ก) ค่าใน ; b) ค่าของ a; ค) ค่า -v/a;
d) ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
คำตอบสำหรับการทดสอบ:วี; ก; วี; วี; ข.
ยี่. สรุปบทเรียน. การตั้งค่าการบ้าน
ครู: - วันนี้ในบทเรียน เราได้ทำซ้ำและรวบรวมความรู้ที่ได้รับจากบทเรียนก่อนหน้า ฝึกฝนทักษะที่จำเป็นเมื่อปฏิบัติงานต่างๆ ฉันคิดว่าคุณทำได้ดีมาก ทำได้ดีมาก
นอกจากเกรดที่กำหนดให้กับบทเรียนแล้ว คุณยังสามารถประเมินผลงานของนักเรียนคนอื่นๆ อีกจำนวนหนึ่งในบทเรียนได้
ครู : - เขียนการบ้านของคุณ:
บนกระดาน:
แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน: x² - 2ax + 4 > 0
บทเรียนจบลงแล้ว
ผู้เล่น: Bugrov S K.
การศึกษากระบวนการทางกายภาพและรูปแบบทางเรขาคณิตหลายอย่างมักนำไปสู่การแก้ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ มหาวิทยาลัยบางแห่งยังรวมสมการ อสมการ และระบบของสมการไว้ในข้อสอบด้วย ซึ่งมักจะซับซ้อนมากและต้องใช้แนวทางการแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐาน ที่โรงเรียน หนึ่งในส่วนที่ยากที่สุดของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนนี้ถือเป็นวิชาเลือกเพียงไม่กี่วิชาเท่านั้น
การทำอาหาร งานนี้ฉันตั้งเป้าหมายของการศึกษาหัวข้อนี้อย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้น โดยระบุวิธีแก้ปัญหาที่มีเหตุผลที่สุดซึ่งนำไปสู่คำตอบอย่างรวดเร็ว ในความคิดของฉันวิธีแบบกราฟิกนั้นสะดวกและ อย่างรวดเร็วการแก้สมการและอสมการด้วยพารามิเตอร์
เรียงความของฉันกล่าวถึงประเภทของสมการ อสมการ และระบบของสมการประเภทต่างๆ ที่พบบ่อย และฉันหวังว่าความรู้ที่ฉันได้รับในกระบวนการทำงานจะช่วยฉันเมื่อสอบผ่านในโรงเรียนและเมื่อเข้ามหาวิทยาลัย
ความไม่เท่าเทียมกัน
¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x), (1)
โดยที่ a, b, c, ..., k เป็นพารามิเตอร์ และ x เป็นตัวแปรจริง เรียกว่าอสมการโดยมีพารามิเตอร์ตัวหนึ่งที่ไม่รู้จัก
ระบบค่าพารามิเตอร์ใด ๆ a = a0, b = b0, c = c0, ..., k = k0 สำหรับบางฟังก์ชัน
¦(ก, ข, ค, …, เค, x) และ
เจ(ก, ข, ค, …, เค, x
สมเหตุสมผลในโดเมนของจำนวนจริง เรียกว่าระบบค่าพารามิเตอร์ที่อนุญาต
เรียกว่าค่า x if ที่ถูกต้อง
¦(ก, ข, ค, …, เค, x) และ
เจ(ก, ข, ค, …, เค, x
รับค่าที่ถูกต้องสำหรับระบบค่าพารามิเตอร์ที่ยอมรับได้
ชุดของค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมดของ x เรียกว่าโดเมนของคำจำกัดความของความไม่เท่าเทียมกัน (1)
จำนวนจริง x0 เรียกว่าผลเฉลยบางส่วนของอสมการ (1) หากเป็นอสมการ
¦(a, b, c, …, k, x0)>j(a, b, c, …, k, x0)
เป็นจริงสำหรับระบบใดๆ ของค่าพารามิเตอร์ที่อนุญาต
ชุดของคำตอบเฉพาะทั้งหมดสำหรับอสมการ (1) เรียกว่าวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับอสมการนี้
การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน (1) หมายถึงการระบุค่าของพารามิเตอร์ที่มีวิธีแก้ปัญหาทั่วไปอยู่และคืออะไร
ความไม่เท่าเทียมกันสองประการ
¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x) และ (1)
z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x) (2)
เรียกว่าเทียบเท่าถ้ามีเหมือนกัน โซลูชั่นทั่วไปด้วยระบบชุดเดียวกันของค่าพารามิเตอร์ที่อนุญาต
เราพบขอบเขตของคำจำกัดความของอสมการนี้
เราลดความไม่เท่าเทียมกันให้เป็นสมการ
เราเขียน a เป็นฟังก์ชันของ x
ในระบบพิกัด xOa เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน a =¦ (x) สำหรับค่าของ x ที่รวมอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของความไม่เท่าเทียมกันนี้
เราพบชุดของจุดที่ตรงกับอสมการนี้
เรามาสำรวจอิทธิพลของพารามิเตอร์ที่มีต่อผลลัพธ์กันดีกว่า
ลองหาจุดตัดของจุดตัดของกราฟกัน
มาตั้งเส้นตรง a=const แล้วเปลี่ยนจาก -¥ เป็น +¥
เราเขียนคำตอบ
นี่เป็นเพียงหนึ่งในอัลกอริธึมสำหรับแก้ไขอสมการด้วยพารามิเตอร์โดยใช้ระบบพิกัด xOa วิธีการแก้ปัญหาอื่น ๆ ก็สามารถทำได้โดยใช้ ระบบมาตรฐานพิกัด xOy.
§3 ตัวอย่าง
I. สำหรับค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมดของพารามิเตอร์ a ให้แก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน
ในขอบเขตของคำจำกัดความของพารามิเตอร์ a ซึ่งกำหนดโดยระบบความไม่เท่าเทียมกัน
ความไม่เท่าเทียมกันนี้เทียบเท่ากับระบบความไม่เท่าเทียมกัน
ถ้า ดังนั้นคำตอบของอสมการดั้งเดิมจะเติมเต็มช่วงเวลา
ครั้งที่สอง ระบบมีวิธีแก้ไขที่ค่าพารามิเตอร์เท่าใด
ลองหารากของตรีโกณมิติทางด้านซ้ายของอสมการกัน -
(*)
เส้นตรงที่กำหนดด้วยความเท่ากัน (*) แบ่งระนาบพิกัด aOx ออกเป็นสี่ส่วน โดยแต่ละส่วนจะมีรูปสามเหลี่ยมกำลังสอง
รักษาสัญญาณคงที่ สมการ (2) กำหนดวงกลมรัศมี 2 โดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด แล้วทางแก้ ระบบเดิมทางแยกจะเป็นร่มเงา
ภูมิภาคที่มีวงกลม โดยที่ และค่าต่างๆ และหาได้จากระบบ
และค่าต่างๆและหาได้จากระบบ
การแก้ปัญหาระบบเหล่านี้ เราได้รับสิ่งนั้น
ที่สาม แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน 
ขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์ก
การหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้ –
มาสร้างกราฟของฟังก์ชันในระบบพิกัด xOy กัน
เมื่อความไม่เท่าเทียมกันไม่มีทางแก้ไขได้
ที่สำหรับ 
สารละลาย x เป็นไปตามความสัมพันธ์ 
, ที่ไหน 
คำตอบ : แนวทางแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันมีอยู่เมื่อ
ที่ไหน 
และเมื่อแก้ได้แล้ว 
- เมื่อตัดสินใจ
IV. แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน
การค้นหา ODZ หรือเส้นไม่ต่อเนื่อง (เส้นกำกับ)
มาดูสมการของฟังก์ชันที่ต้องสร้างกราฟใน UCS กัน ทำไมเราถึงต้องก้าวไปสู่ความเท่าเทียมกัน:
ลองแยกตัวประกอบตัวเศษ.
เพราะ 
ที่
ให้เราหารความเท่ากันทั้งสองข้างด้วย แต่มันเป็นวิธีแก้ปัญหา: ด้านซ้ายของสมการเท่ากับด้านขวาและเท่ากับศูนย์ที่
3. เราสร้างกราฟของฟังก์ชันใน UCS xOa
และกำหนดหมายเลขพื้นที่ผลลัพธ์ (แกนไม่ได้มีบทบาท) ส่งผลให้มีเก้าแคว้น
4. เรากำลังมองหาพื้นที่ใดที่เหมาะกับความไม่เท่าเทียมกันนี้ โดยเราจะนำประเด็นจากพื้นที่นั้นมาแทนที่เป็นความไม่เท่าเทียมกัน
เพื่อความชัดเจนเรามาทำตารางกันดีกว่า
| ความไม่เท่าเทียมกัน: |
|||
|
|
|||
|
|
5. ค้นหาจุดตัดกันของกราฟ
6. ตั้งค่าเส้นตรง a=const แล้วเลื่อนจาก -¥ เป็น +¥
ที่ 
ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
ที่ 
อ้างอิง
Dalinger V. A. “เรขาคณิตช่วยพีชคณิต” สำนักพิมพ์ “โรงเรียน - สื่อมวลชน”. มอสโก 1996
Dalinger V. A. “ทุกสิ่งเพื่อความสำเร็จในการสอบปลายภาคและการสอบเข้าในวิชาคณิตศาสตร์” สำนักพิมพ์ของ Omsk Pedagogical University ออมสค์ 1995
Okunev A. A. “ การแก้สมการกราฟิกของสมการพร้อมพารามิเตอร์” สำนักพิมพ์ “โรงเรียน - สื่อมวลชน”. มอสโก 1986
Pismensky D. T. “คณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย” สำนักพิมพ์ “ไอริส”. มอสโก 1996
Yastribinetsky G. A. “ สมการและอสมการที่มีพารามิเตอร์” สำนักพิมพ์ "Prosveshcheniye" มอสโก 1972
ก.กร และ ต.กร “คู่มือคณิตศาสตร์” สำนักพิมพ์ “วิทยาศาสตร์” วรรณกรรมกายภาพและคณิตศาสตร์ มอสโก 2520
Amelkin V.V. และ Rabtsevich V.L. “ ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์” สำนักพิมพ์ “อาซาร์”. มอสโก 1996
สถาบันการศึกษาในกำกับของรัฐ "สถานศึกษาหมายเลข 1" ของ Novtroitsk
งานวิจัย
วิธีการแก้สมการและอสมการด้วยพารามิเตอร์
การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
สมบูรณ์:
นักเรียน 11 คลาส A MOAU
"สถานศึกษาหมายเลข 1"
หัวหน้างาน:
ครูการศึกษาระดับอุดมศึกษา
โนโวทรอยต์สค์
การแนะนำ. 3
พารามิเตอร์. 5
วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติด้วยพารามิเตอร์ 9
วิธีการแก้สมการเลขชี้กำลังและลอการิทึมและอสมการด้วยพารามิเตอร์ 17
วิธีการแก้ระบบสมการและอสมการ 22
บทสรุป. 31
รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว...32
การแนะนำ
สมการที่มีพารามิเตอร์ทำให้เกิดความยากลำบากอย่างมากสำหรับนักเรียนเกรด 9-11 นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าการแก้สมการดังกล่าวไม่เพียงแต่ต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชันและสมการ ความสามารถในการแปลงพีชคณิตเท่านั้น แต่ยังต้องอาศัยวัฒนธรรมเชิงตรรกะและเทคนิคการวิจัยที่สูงอีกด้วย
ความยากลำบากเมื่อศึกษาสมการประเภทนี้จะสัมพันธ์กับคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
· มีสูตรและวิธีการมากมายที่ใช้ในการแก้สมการประเภทนี้
· ความสามารถในการแก้สมการเดียวกันที่มีพารามิเตอร์ในรูปแบบต่างๆ
ความเกี่ยวข้องหัวข้อถูกกำหนดโดยเนื้อหาไม่เพียงพอของปัญหาในหัวข้อนี้ในหนังสือเรียน "พีชคณิตเกรด 11"
ความสำคัญของหัวข้อนี้ถูกกำหนดโดยความจำเป็นในการแก้สมการดังกล่าวด้วยพารามิเตอร์ทั้งเมื่อผ่านการสอบ Unified State และระหว่างการสอบเข้าสถาบันการศึกษาระดับสูง
วัตถุประสงค์ของการศึกษา: งานที่มีพารามิเตอร์
วัตถุประสงค์ของงานนี้:
ระบุ ชี้แจง และสาธิตวิธีการแก้สมการทุกประเภทด้วยพารามิเตอร์อย่างชัดเจน
แก้สมการด้วยพารามิเตอร์
เพิ่มพูนความรู้ทางทฤษฎีของการแก้สมการด้วยพารามิเตอร์ให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น
เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ จำเป็นต้องแก้ไขดังต่อไปนี้ งาน:
1. กำหนดแนวคิดของสมการด้วยพารามิเตอร์
2. แสดงวิธีแก้สมการด้วยพารามิเตอร์
ศักดิ์ศรีของการทำงานของฉันมีดังต่อไปนี้: ระบุอัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการด้วยพารามิเตอร์ ปัญหามักพบในการสอบและโอลิมปิกต่างๆ งานนี้จะช่วยให้นักเรียนผ่านการสอบ Unified State
การกระทำของฉัน:
1. คัดเลือกและศึกษาวรรณกรรม
2. แก้ไขปัญหาที่เลือก
พารามิเตอร์
มีหลายคำจำกัดความ พารามิเตอร์:
- พารามิเตอร์ เป็นปริมาณที่รวมอยู่ในสูตรและนิพจน์ซึ่งค่าคงที่ภายในงานที่กำลังพิจารณา แต่ในงานอื่นจะเปลี่ยนค่า (, - " พจนานุกรมเงื่อนไขทางคณิตศาสตร์")
- ตัวแปร ก, ข, ค, …, เค, ซึ่งถือว่าคงที่เมื่อแก้สมการหรืออสมการเรียกว่า พารามิเตอร์ และสมการ (อสมการ) นั้นเรียกว่าสมการ (อสมการ) ที่มีพารามิเตอร์ (- "Math Tutor", Rostov-on-Don "Phoenix" 1997)
วิธีแก้สมการส่วนใหญ่ที่มีพารามิเตอร์อยู่ที่ สมการกำลังสองพร้อมพารามิเตอร์- ดังนั้น เพื่อเรียนรู้วิธีแก้เลขชี้กำลัง ลอการิทึม สมการตรีโกณมิติและระบบสมการที่มีพารามิเตอร์ คุณต้องเรียนรู้ทักษะในการแก้โจทย์ก่อน สมการกำลังสองพร้อมพารามิเตอร์.
สมการของแบบฟอร์ม ขวาน2 + บีเอ็กซ์+ ค=0 โดยที่ x ไม่รู้จัก a, b, c คือนิพจน์ที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์เท่านั้น a¹0 เรียกว่า สมการกำลังสองสัมพันธ์กับ x เราจะพิจารณาเฉพาะค่าพารามิเตอร์ที่ถูกต้อง a, b, c
ค่าควบคุมพารามิเตอร์
ในการแก้สมการกำลังสองด้วยพารามิเตอร์ จำเป็นต้องค้นหา ค่าควบคุมพารามิเตอร์
ค่าควบคุมพารามิเตอร์– ค่าเหล่านั้นที่เปลี่ยนเป็น 0:
ค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าในสมการหรืออสมการ
ตัวส่วนเป็นเศษส่วน
การแยกแยะของทวินามกำลังสอง
รูปแบบทั่วไปสำหรับการแก้สมการที่ลดเป็นสมการกำลังสองพร้อมพารามิเตอร์
โครงการทั่วไปสำหรับการแก้สมการที่ลดเป็นสมการกำลังสองด้วยพารามิเตอร์:
1. ระบุและยกเว้นค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์และตัวแปรที่ทำให้สมการไม่มีความหมาย
2. คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวส่วนร่วมที่ไม่ใช่ศูนย์
3. แปลงสมการที่พิสูจน์ให้อยู่ในรูปแบบ https://pandia.ru/text/80/147/images/image002_13.png" width="128" height="24 src="> - จำนวนจริงหรือฟังก์ชันของพารามิเตอร์
4. แก้สมการผลลัพธ์โดยพิจารณากรณีต่างๆ:
ก) ; ข) https://pandia.ru/text/80/147/images/image005_6.png" width="19" height="27">.png" width="21" height="27">.png" ความสูง="75">х=2b+1
เนื่องจาก x ต้องอยู่ในช่วงตั้งแต่ 1 ถึง 6 ดังนั้น:
1) 1<2b+1<6
2) 1<2b – 1<6
https://pandia.ru/text/80/147/images/image009_4.png" width="47" height="41 src=">=2b+1
1) 1<2b+1<6
2) 1<2b – 1<6
https://pandia.ru/text/80/147/images/image010_2.png" width="18 height=98" height="98"> 
y(1)>0 y=1-4b+4b2– 1>0
y(6)> 0 y=36-24b+4b2– 1>0
xвО(1; 6) 1<-<6
bО(-∞; 0) È (1; +∞)
2) 4b2-24b+35>0
D=576 – 560=16=42>0
b1=https://pandia.ru/text/80/147/images/image016_2.png" width="47" height="41 src=">=2.5 bÎ(0.5; 3)
bО(-∞;2.5)Р(3.5;+∞)
โบ(1; 2.5)
คำตอบ: รากของสมการ x2-4bх+4b2–1=0 อยู่ในช่วงจาก
