Hotuba ya 26. Milinganyo yenye kigezo kimoja

1. Dhana ya mlingano na kigezo kimoja

2. Milinganyo sawa. Nadharia juu ya usawa wa milinganyo

3. Kutatua milinganyo na kigezo kimoja

Milinganyo yenye kigezo kimoja

Wacha tuchukue misemo miwili yenye kutofautisha: 4 X na 5 X+ 2. Kuwaunganisha kwa ishara sawa, tunapata sentensi 4x= 5X+ 2. Ina tofauti na, wakati wa kubadilisha maadili ya kutofautiana, inageuka kuwa taarifa. Kwa mfano, lini x =-2 ofa 4x= 5X+ 2 inageuka kuwa usawa wa kweli wa nambari 4 ·(-2) = 5 ·(-2) + 2, na lini x = 1 - kwa uongo 4 1 = 5 1 + 2. Kwa hiyo, sentensi 4x = 5x + 2 kuna fomu ya kujieleza. Wanamwita equation na variable moja.

KATIKA mtazamo wa jumla Equation yenye kigezo kimoja inaweza kufafanuliwa kama ifuatavyo:

Ufafanuzi. Acha f(x) na g(x) ziwe semi mbili zenye kigezo cha x na kikoa cha ufafanuzi X. Kisha fomu ya kueleza ya fomu f(x) = g(x) inaitwa equation yenye kigezo kimoja.

Thamani inayobadilika X kutoka kwa wengi X, ambapo equation inageuka kuwa usawa wa kweli wa nambari inaitwa mzizi wa equation(au uamuzi wake). Tatua mlinganyo - inamaanisha kupata mizizi yake mingi.

Kwa hivyo, mzizi wa equation 4x = 5x+ 2, ikiwa tutazingatia kwenye seti R ya nambari halisi ni nambari -2. Mlinganyo huu hauna mizizi mingine. Hii ina maana kwamba seti ya mizizi yake ni (-2).

Acha seti ya nambari halisi ipewe equation ( X - 1)(x+ 2) = 0. Ina mizizi miwili - namba 1 na -2. Kwa hiyo, seti ya mizizi ya equation hii ni: (-2,-1).

Mlingano (3x + 1)-2 = 6X+ 2, iliyofafanuliwa kwenye seti ya nambari halisi, inakuwa usawa wa kweli wa nambari kwa maadili yote halisi ya kutofautisha. X: ikiwa tunafungua mabano upande wa kushoto, tunapata 6x + 2 = 6x + 2. Katika kesi hii, tunasema kwamba mzizi wake ni nambari yoyote halisi, na seti ya mizizi ni seti ya nambari zote halisi.

Mlingano (3x+ 1) 2 = 6 X+ 1, iliyofafanuliwa kwenye seti ya nambari halisi, haigeuki kuwa usawa wa kweli wa nambari kwa thamani yoyote halisi X: baada ya kufungua mabano upande wa kushoto tunapata hiyo 6 X + 2 = 6x + 1, ambayo haiwezekani na yoyote X. Katika kesi hii, tunasema kwamba equation iliyotolewa haina mizizi na kwamba seti ya mizizi yake ni tupu.

Ili kutatua equation yoyote, inabadilishwa kwanza, ikibadilisha na nyingine, rahisi zaidi; equation inayosababishwa inabadilishwa tena, ikibadilisha na rahisi zaidi, nk. Utaratibu huu unaendelea hadi equation ipatikane ambayo mizizi yake inaweza kupatikana kwa njia inayojulikana. Lakini ili mizizi hii iwe mizizi ya equation fulani, ni muhimu kwamba mchakato wa mabadiliko utoe milinganyo ambayo seti za mizizi zinapatana. Milinganyo kama hiyo inaitwa sawa.

Wakati wa kusoma Kirusi shuleni, wengi walishangaa: kwa nini neno hilo wazi iliyoandikwa kupitia A , kwa sababu neno la mtihani laini iliyoandikwa kupitia O ? Kwa kweli jibu ni rahisi. Baada ya yote, tambarare inaitwa hivyo kwa sababu pointi zake zote ziko kwa masharti sawa umbali (kutoka usawa wa bahari) na neno la mtihani kwa hilo - sawa.

KUHUSU ufafanuzi: Mlinganyo wenye mabadiliko ya x ni usawa wa fomu A(x)=B(x), ambapo A(x) na B(x) ni semi za x. Nyingi Thamani za T za x, zinapobadilishwa kwenye equation ili kupata usawa wa kweli wa nambari, huitwa seti ya ukweli kupewa equation au uamuzi ya equation hii, na kila thamani kama hiyo kutofautiana - mzizi wa equation.

Hivyo inakuwa wazi kuwa msingi wa mlingano wowote ni usawaO sehemu zake mbili. Na wakati, wakati wa kutatua equations, mtu hufanya kazi kwa sehemu zake, usawa huu lazima uzingatiwe daima.

Mbinu za kutatua milinganyo na kigezo kimoja

Kuna idadi kubwa ya aina tofauti za equations za kutatua ambazo hutumiwa njia tofauti. Lakini ili kutatua equations kwa urahisi unahitaji kujua njia tatu za msingi:

Mabadiliko sawa ya milinganyo

Kuanzisha Kujieleza

Tunakuletea kigezo kipya

Mabadiliko sawa ya milinganyo

Rahisi na wakati huo huo moja ya njia za kawaida za kutatua equations ni njia ya mabadiliko ya utambulisho. KATIKA milinganyo yoyote Ili kupata haijulikani, unahitaji kubadilisha na kurahisisha mfano wa asili. Na hivyo kwamba wakati wa kubadilisha mwonekano kiini cha equation haijabadilika. Mabadiliko kama haya yanaitwa kufanana au sawa. Wacha tuchunguze njia kuu za mabadiliko sawa ya misemo ya algebra.

Mifano na kanuni za mabadiliko ya utambulisho:

Mabadiliko ya kitambulisho cha kwanza: unaweza kuongeza (kutoa) kwa pande zote mbili za mlinganyo wowote yoyote(lakini moja na sawa!) nambari au usemi (pamoja na usemi wenye kisichojulikana!). Hii haibadilishi kiini cha mlinganyo.

Mfano: 9 x 2 + 12x+ 10 = 15x+ 10 → toa kumi kutoka pande zote mbili → 9 x 2 + 12x = 15x

Ubadilishaji wa kitambulisho cha pili: kuhamisha masharti ya mlingano kutoka upande mmoja hadi mwingine kwa ishara tofauti.

Mfano: 9 x 2 + 12x = 15x→ songa 15x kushoto → 9 x 2 + 12x — 15x =0. Baada ya kurahisisha tunapata: 9 x 2 - 3x =0

Ubadilishaji wa kitambulisho cha tatu: pande zote mbili za equation zinaweza kuzidishwa (kugawanywa) na kitu kimoja zisizo sifuri nambari au usemi. Hapa kizuizi kinachoeleweka tayari kinaonekana: kuzidisha kwa sifuri ni kijinga, na kugawanya haiwezekani kabisa.

Mfano: 9 x 2 - 3x =0 → kugawanya pande zote mbili za equation na tatu → 3x 2 - x =0

Mabadiliko ya kitambulisho cha nne: Unaweza ongeza pande zote mbili za equation hadi nguvu isiyo ya kawaida au dondoomzizi usio wa kawaida wa pande zote mbili za mlinganyo. Ni lazima ikumbukwe kwamba:

a) ujenzi ndani hata inaweza kuongoza kununuamizizi ya nje;
b) vibaya uchimbaji hata mizizi inaweza kusababisha kupoteza mizizi.

Mfano: 49 x 2 = 1225 → chukua mzizi wa mraba wa sehemu zote mbili → | 7 x| = 35

Kuanzisha Kujieleza

Wacha sasa tuorodhe baadhi ya mbinu za kawaida za kuweka alama za polynomia, kama zile rahisi zaidi za aljebra.

Kuondoa sababu ya kawaida kwenye mabano

Katika kesi wakati masharti yote ya polynomial yana sababu sawa ya kawaida, inaweza kuchukuliwa nje ya mabano, na hivyo kupata upanuzi wa polynomial.
Mfano: Weka alama kwenye polinomia x 5 – 2x 3 + x 2.
Suluhisho: Kila neno la polynomial hii lina kipengele x 2. Wacha tuitoe kwenye mabano na tupate jibu:

x 5 - 2x 3 + x 2 = x 2 (x 3 - 2x + 1).

Utumiaji wa fomula zilizofupishwa za kuzidisha

Vifupisho hutumiwa kwa ufanisi kabisa wakati wa kuunda polynomial. Ni muhimu kukumbuka fomula zifuatazo:

1. Mraba wa jumla wa idadi mbili ni sawa na mraba wa kwanza na mara mbili ya bidhaa ya kwanza na ya pili pamoja na mraba wa pili.

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

2. Mraba wa tofauti kati ya idadi mbili ni sawa na mraba wa minus ya kwanza mara mbili ya bidhaa ya kwanza na ya pili pamoja na mraba wa pili.

(a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2

3. Bidhaa ya jumla ya wingi mbili na tofauti yao ni sawa na tofauti ya mraba wao.

(a+b)(a-b)=a 2 -b 2

4. Mchemraba wa jumla wa idadi mbili ni sawa na mchemraba wa kwanza pamoja na bidhaa tatu za mraba wa kwanza na wa pili pamoja na bidhaa tatu za kwanza kwa mraba wa pili pamoja na mchemraba wa pili. .

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

5. Mchemraba wa tofauti kati ya idadi mbili ni sawa na mchemraba wa kwanza ukiondoa bidhaa tatu za mraba wa kwanza na wa pili pamoja na bidhaa tatu za kwanza kwa mraba wa pili ukiondoa mchemraba wa pili. .

(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3

6. Bidhaa ya jumla ya kiasi mbili na mraba wa sehemu ya tofauti ni sawa na jumla ya cubes zao.

(a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3 +b 3

7. Bidhaa ya tofauti ya wingi mbili na mraba wa sehemu ya jumla ni sawa na tofauti ya cubes zao.

(a-b)(a 2 +ab+b 2)=a 3 -b 3

Mfano: (3x+5) 2 =9x 2 +30x+25=0

Suluhisho: kwa kutumia formula (1) 9x 2 +30x+25=(3x+5) 2

Inatumia uteuzi kamili wa mraba

Bila kuzidisha, tunaweza kusema kwamba njia ya kutenganisha mraba kamili ni mojawapo ya wengi mbinu za ufanisi factorization kutumika wakati wa kupita na

Thamani inayobadilika X kutoka kwa wengi X, ambapo equation inageuka kuwa usawa wa kweli wa nambari inaitwa mzizi wa equation (au uamuzi wake). Tatua mlinganyo - hii inamaanisha kupata mizizi yake mingi.

Seti ya maadili ya tofauti ambayo misemo f(x) Na g(x) kufanya maana, inaitwa uwanja wa ufafanuzi wa equation
f(x) = g(x). Seti ya suluhu za mlinganyo ni sehemu ndogo ya kikoa chake cha ufafanuzi.

Ili kutatua equation yoyote, inabadilishwa kwanza, ikibadilisha na nyingine, rahisi zaidi; equation inayosababishwa inabadilishwa tena, ikibadilisha na rahisi zaidi, nk. Utaratibu huu unaendelea hadi equation ipatikane ambayo mizizi yake inaweza kupatikana kwa namna inayojulikana. Lakini ili mizizi hii iwe mizizi ya equation fulani, ni muhimu kwamba mchakato wa mabadiliko utoe milinganyo ambayo seti za mizizi zinapatana. Equations vile huitwa sawa.

Kubadilisha equation na equation sawa inaitwa mabadiliko.

Mabadiliko yanayoruhusu kupata milinganyo sawa inaweza kuwa kama ifuatavyo:

1. Ikiwa kwa pande zote mbili za mlinganyo f(x) = g(x), iliyofafanuliwa kwenye seti X, ongeza usemi sawa h(x), ambayo ina maana kwenye seti X, kisha tunapata equation f(x) + h(x) = g(x) + h(x), sawa na hii.

Kutoka kwa taarifa hii inafuata matokeo , ambayo hutumiwa kutatua milinganyo:

1) Ikiwa tunaongeza nambari sawa kwa pande zote mbili za equation, tunapata equation sawa na ile iliyotolewa.

2) Ikiwa neno lolote (au usemi wenye kutofautiana) huhamishwa kutoka sehemu moja ya equation hadi nyingine, kubadilisha ishara ya neno hadi kinyume, basi tunapata equation sawa na moja iliyotolewa.

2. Ikiwa pande zote mbili za mlinganyo f(x) = g(x), iliyofafanuliwa kwenye seti X, zidisha kwa usemi sawa h(x), ambayo ina maana kwenye seti X na haitoweka juu yake, basi tunapata mlingano f(x)× h(x) = g(x)× h(x), sawa na hii.

Kutoka kwa taarifa hii inafuata matokeo:

Ikiwa pande zote mbili za equation zimezidishwa kwa nambari sawa isipokuwa sifuri, unapata mlinganyo sawa na uliyopewa.

Kazi. Amua ni ipi kati ya jozi zifuatazo za milinganyo inayolingana kwenye seti ya nambari halisi:

A) X 2 - 9 = 0 na (2 X + 6)(X - 3) = 0;

b) (3 X+ 1) × 2 = 6 X+ 1 na X 2 + 1 = 0;

V) X 2 - X- 2 = 0 na ( X - 1)(X + 2) = 0;

Suluhisho. a) milinganyo ni sawa, kwani zote zina nambari 3 na -3 kama mizizi yao; b) equations ni sawa, kwa kuwa wote wawili hawana mizizi, i.e. seti zao za suluhisho sanjari; c) equations si sawa, kwani mizizi ya equation ya kwanza ni namba -1 na 2, na mizizi ya pili ni namba 1 na -2.

Kazi. Tatua equation na uhalalishe mabadiliko yote ambayo yatafanywa wakati wa mchakato wa suluhisho.

Suluhisho.

Kwa kuwa mabadiliko yote tuliyofanya wakati wa kutatua mlingano huu yalikuwa sawa, tunaweza kusema kwamba 2 ndio mzizi wa mlinganyo huu.

Ikiwa, katika mchakato wa kutatua equation, hali ya Theorems 1 na 2 haipatikani, basi kupoteza mizizi kunaweza kutokea au mizizi ya nje inaweza kuonekana. Kwa hiyo, ni muhimu, wakati wa kubadilisha equation ili kupata rahisi zaidi, ili kuhakikisha kwamba wanaongoza kwa equation sawa na moja iliyotolewa.

Fikiria, kwa mfano, equation X (X - 1) = 2X, XО R. Wacha tugawanye sehemu zote mbili X, tunapata equation X- 1 = 2, kutoka wapi X= 3, i.e. equation hii ina mzizi mmoja - nambari 3. Lakini hii ni kweli? Ni rahisi kuona ikiwa katika equation hii badala ya kutofautisha
X mbadala 0, inakuwa usawa wa kweli wa nambari
0 × (0 - 1) = 2 × 0. Hii ina maana kwamba 0 ni mzizi wa equation hii, ambayo tulipoteza wakati wa kufanya mabadiliko. Hebu tuzichambue. Jambo la kwanza tulilofanya ni kugawanya pande zote mbili za equation X, yaani, kuzidishwa na usemi, lakini pamoja na X= 0 haina maana. Kwa hivyo, hatukutimiza hali ya Theorem 2, ambayo ilisababisha upotezaji wa mzizi.

Ili kuhakikisha kwamba seti ya mizizi ya equation hii ina namba mbili 0 na 3, tunatoa suluhisho lingine. Wacha tusogeze usemi 2 X kutoka kulia kwenda kushoto: X (X - 1) - 2X= 0. Hebu tuondoe kwenye mabano upande wa kushoto wa equation X na toa masharti sawa:
X (X- 3) = 0. Bidhaa ya mambo mawili ni sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa angalau moja yao ni sawa na sifuri, kwa hiyo. X= 0 au X- 3 = 0. Kutoka hapa tunaona kwamba mizizi ya equation hii ni 0 na 3.

Katika kozi ya mwanzo ya hisabati msingi wa kinadharia kutatua milinganyo ni uhusiano kati ya vipengele na matokeo ya vitendo.

Kazi. Tatua mlinganyo ( X× 9) : 24 = 3, kwa kutumia uhusiano kati ya vipengele na matokeo ya vitendo.

Suluhisho. Kwa kuwa haijulikani iko kwenye gawio, ili kupata gawio, unahitaji kuzidisha kigawanyaji na mgawo: X× 9 = 24 × 3, au X× 9 = 72. Ili kupata sababu isiyojulikana, unahitaji kugawanya bidhaa kwa sababu inayojulikana: X= 72:9, au X= 8, kwa hivyo, mzizi wa equation hii ni nambari 8.

Mazoezi ya kazi ya kujitegemea

1. Mlinganyo 2 X 4 + 4X 2 - 6 = 0 imefafanuliwa kwenye seti nambari za asili. Eleza kwa nini nambari 1 ndio mzizi wa mlingano huu, lakini 2 na -1 sio mizizi yake.

2. Tambua ni ipi kati ya jozi zifuatazo za milinganyo inayolingana kwenye seti R:

a) 3 + 7 X= -4 na 2(3 + 7 X) = -8; c) 3 + 7 X= -4 na X + 2 = 0.

b) 3 + 7 X= -4 na 6 + 7 X = -1;

3. Tatua milinganyo na uhalalishe mabadiliko yote yaliyofanywa katika mchakato wa kurahisisha:

A) ; b) ; c) (2- X× 2 - X (X + 1,5) = 4.

4. Tatua milinganyo kwa kutumia uhusiano kati ya vipengele na matokeo ya vitendo:

A) ( X+ 70) × 4 = 328; c) (85 X + 765) : 170 = 98;

b) 560: ( X+ 9) = 56; G) ( X - 13581) : 709 = 306.

Wacha tuchukue misemo miwili yenye kutofautisha: 4x na 5x + 2. Kuwaunganisha na ishara sawa, tunapata sentensi 4x = 5x + 2. Ina kutofautisha na, wakati wa kubadilisha maadili ya kutofautisha, inabadilika kuwa a. kauli.

Kwa mfano, wakati x = -2, sentensi 4x = 5x + 2 inageuka kuwa usawa wa kweli wa nambari 4-(-2) = 5-(-2) + 2, na wakati x = 1 - kuwa uwongo 4-1 = 5- 1+2. Kwa hiyo, sentensi 4x = 5x + 2 ni fomu ya kueleza. Wanamwita equation na variable moja.

Kwa ujumla, equation iliyo na kigezo kimoja inaweza kufafanuliwa kama ifuatavyo:

Ufafanuzi.Acha f(x) na q(x) ziwe semi mbili zenye mabadiliko ya x na kikoa cha ufafanuzi X. Kisha fomu ya kueleza ya fomu f(x) =q(x) inaitwa equation yenye kigezo kimoja.

Thamani inayobadilika X kutoka kwa wengi X, ambapo equation inageuka kuwa usawa wa kweli wa nambari inaitwa mzizi wa equation (au uamuzi wake). Kutatua equation kunamaanisha kupata mizizi yake mingi. .

Kwa hivyo, mzizi wa equation 4x = 5x + 2, ikiwa tunazingatia kwenye seti R ya nambari halisi ni nambari -2. Mlinganyo huu hauna mizizi mingine. Hii ina maana kwamba seti ya mizizi yake ni (-2).

Acha equation (x-1)(x+2)=0 itolewe kwenye seti ya nambari halisi. Ina mizizi miwili - nambari 1 na -2. Kwa hiyo, seti ya mizizi ya equation hii ni: (-2,- 1).

Equation (3x + 1) × 2 = 6x + 2, iliyotolewa kwenye seti ya nambari halisi, inageuka kuwa usawa wa kweli wa nambari kwa maadili yote halisi ya kutofautisha x: ikiwa tutafungua mabano upande wa kushoto. pata 6x + 2 = 6 X+ 2. Katika kesi hii, tunasema kwamba mizizi yake ni nambari yoyote halisi, na seti ya mizizi ni seti ya nambari zote halisi.

Equation (3x + 1) -2 = 6x + 1, iliyotolewa kwenye seti ya nambari halisi, haibadiliki kuwa usawa wa kweli wa nambari kwa thamani yoyote halisi ya x: baada ya kufungua mabano upande wa kushoto, tunapata 6x. + 2 = 6x + 1, ambayo haiwezekani kwa x yoyote. Katika kesi hii, tunasema kwamba equation iliyotolewa haina mizizi na kwamba seti ya mizizi yake ni tupu.

Ili kutatua equation yoyote, inabadilishwa kwanza, ikibadilisha na nyingine, rahisi zaidi; equation inayosababishwa inabadilishwa tena, ikibadilisha na rahisi zaidi, nk. Utaratibu huu unaendelea hadi equation ipatikane ambayo mizizi yake inaweza kupatikana kwa namna inayojulikana. Lakini ili mizizi hii iwe mizizi ya equation fulani, ni muhimu kwamba mchakato wa mabadiliko utoe milinganyo ambayo seti za mizizi zinapatana. Equations kama hizo huitwa sawa.

Ufafanuzi.Milinganyo miwili f 1 (x) =q 1 (x) na f 2 (x) =q 2 (x) huitwa sawa ikiwa seti za mizizi yao zinapatana.

Kwa mfano, milinganyo x 2 - 9 = 0 na (2x + 6) (x - 3) = 0 ni sawa kwani zote zina mizizi katika nambari 3 na -3. Milinganyo (3x + 1) -2 = 6x + 1 na x 2 + 1 pia ni sawa. = 0, kwa kuwa wote wawili hawana mizizi, i.e. seti ya mizizi yao sanjari.

Ufafanuzi. Kubadilisha equation na equation sawa inaitwa mabadiliko sawa.

Wacha sasa tujue ni mabadiliko gani huturuhusu kupata milinganyo sawa.

Nadharia 1. Acha equation f(x) = q(x) ifafanuliwe kwenye seti na h(x) iwe usemi uliofafanuliwa kwenye seti sawa. Kisha equation f(x) = q(x) (1) na f(x) + h(x) = q(x) + h(x) (2) ni sawa.

Ushahidi. Wacha tuonyeshe kwa T 1 seti ya suluhisho la equation (1), na kwa T 2 seti ya suluhisho la equation (2). Kisha milinganyo (1) na (2) itakuwa sawa ikiwa T 1 = T 2. Ili kuthibitisha hili, ni muhimu kuonyesha kwamba mizizi yoyote ya T 1 ni mzizi wa equation (2) na, kinyume chake, mizizi yoyote ya T 2 ni mzizi wa equation (1).

Acha nambari a iwe mzizi wa equation (1). Kisha О Т 1, na wakati wa kubadilisha katika equation (1) huibadilisha kuwa usawa wa kweli wa nambari f(a) = q(a), na kugeuza usemi h(x) kuwa. usemi wa nambari h(a) ambayo ina maana kwenye seti X. Hebu tuongeze kwa pande zote mbili za usawa wa kweli f(a) = q(a) usemi wa nambari h(a). Tunapata, kulingana na sifa za usawa wa kweli wa nambari, usawa wa kweli wa nambari f(a) + h(a) = q(a) + h(a), ambayo inaonyesha kwamba nambari a ndio mzizi wa equation (2) .

Kwa hivyo, imethibitishwa kwamba kila mzizi wa mlingano (1) pia ni mzizi wa mlingano (2), i.e. Т 1 М Т 2.

Wacha sasa iwe mzizi wa equation (2). Kisha О Т 2, na wakati wa kubadilisha katika equation (2) hugeuka kuwa usawa wa kweli wa nambari f (a) + h (a) = q (a) + h (a). Wacha tuongeze kwa pande zote mbili za usawa huu usemi wa nambari - h(a). Tunapata usawa wa kweli wa nambari f(a) = q(a), kwamba nambari a ndio mzizi wa mlinganyo (1).

Kwa hivyo, imethibitishwa kwamba kila mzizi wa mlingano (2) pia ni mzizi wa mlingano (1), i.e. Т 2 М Т 1 .

Kwa kuwa T 1 Ì T 2 na T 2 Ì T 1, basi kwa ufafanuzi wa seti sawa T 1 = T 2, ambayo ina maana kwamba equations (1) na (2) ni sawa.

Nadharia hii ya 1 inaweza kuundwa kwa njia tofauti: Ikiwa tunaongeza usemi sawa na kigezo, kilichofafanuliwa kwenye seti sawa, kwa pande zote mbili za equation na kikoa cha ufafanuzi X, tunapata equation mpya sawa na ile iliyotolewa.

Kutoka kwa nadharia hii fuata mifuatano ambayo hutumika wakati wa kusuluhisha milinganyo:

1. Ikiwa tunaongeza nambari sawa kwa pande zote mbili za equation, tunapata equation sawa na ile iliyotolewa.

2. Ikiwa neno lolote (usemi wa nambari au usemi wenye kigezo) huhamishwa kutoka sehemu moja ya mlinganyo hadi nyingine, kubadilisha ishara ya neno hadi kinyume, basi tunapata mlingano sawa na uliyopewa.

Nadharia 2.Acha equation f(x) = q(x) ifafanuliwe kwenye seti ya X na acha h(x) iwe usemi unaofafanuliwa kwenye seti sawa na haitoweka kwa thamani zozote za x kutoka kwa seti X. Kisha milinganyo f(x) = q(x) na f(x) × h(x) = q(x) × h(x) ni sawa.

Uthibitisho wa nadharia hii ni sawa na uthibitisho wa Theorem 1.

Nadharia 2 inaweza kutengenezwa kwa njia tofauti: Ikiwa pande zote mbili za equation na kikoa cha ufafanuzi X zinazidishwa na usemi sawa, ambao umefafanuliwa kwenye seti moja na haipotei juu yake, basi tunapata equation mpya sawa na iliyotolewa.

Muhtasari unafuata kutoka kwa nadharia hii: Ikiwa pande zote mbili za equation zimezidishwa (au kugawanywa) na nambari sawa isipokuwa sifuri, tunapata mlinganyo unaolingana na uliyopewa.

Wacha tusuluhishe equation , x О R, na tuhalalishe mabadiliko yote ambayo tutafanya katika mchakato wa suluhisho.

Hotuba ya 26. Milinganyo yenye kigezo kimoja

1. Dhana ya mlingano na kigezo kimoja

2. Milinganyo sawa. Nadharia juu ya usawa wa milinganyo

3. Kutatua milinganyo na kigezo kimoja

Wacha tuchukue misemo miwili yenye kutofautisha: 4 X na 5 X+ 2. Kuwaunganisha kwa ishara sawa, tunapata sentensi 4x= 5X+ 2. Ina tofauti na, wakati wa kubadilisha maadili ya kutofautiana, inageuka kuwa taarifa. Kwa mfano, lini x =-2 ofa 4x= 5X+ 2 inageuka kuwa usawa wa kweli wa nambari 4 ·(-2) = 5 ·(-2) + 2, na lini x = 1 - kwa uongo 4 1 = 5 1 + 2. Kwa hiyo, sentensi 4x = 5x + 2 kuna fomu ya kujieleza. Wanamwita equation na variable moja.

Kwa ujumla, equation iliyo na kigezo kimoja inaweza kufafanuliwa kama ifuatavyo:

Ufafanuzi. Acha f(x) na g(x) ziwe semi mbili zenye kigezo cha x na kikoa cha ufafanuzi X. Kisha fomu ya kueleza ya fomu f(x) = g(x) inaitwa equation yenye kigezo kimoja.

Thamani inayobadilika X kutoka kwa wengi X, ambapo equation inageuka kuwa usawa wa kweli wa nambari inaitwa mzizi wa equation(au uamuzi wake). Tatua mlinganyo - inamaanisha kupata mizizi yake mingi.

Kwa hivyo, mzizi wa equation 4x = 5x+ 2, ikiwa tutazingatia kwenye seti R ya nambari halisi ni nambari -2. Mlinganyo huu hauna mizizi mingine. Hii ina maana kwamba seti ya mizizi yake ni (-2).

Acha seti ya nambari halisi ipewe equation ( X - 1)(x+ 2) = 0. Ina mizizi miwili - namba 1 na -2. Kwa hiyo, seti ya mizizi ya equation hii ni: (-2,-1).

Mlingano (3x + 1)-2 = 6X+ 2, iliyofafanuliwa kwenye seti ya nambari halisi, inakuwa usawa wa kweli wa nambari kwa maadili yote halisi ya kutofautisha. X: ikiwa tunafungua mabano upande wa kushoto, tunapata 6x + 2 = 6x + 2. Katika kesi hii, tunasema kwamba mzizi wake ni nambari yoyote halisi, na seti ya mizizi ni seti ya nambari zote halisi.

Mlingano (3x+ 1) 2 = 6 X+ 1, iliyofafanuliwa kwenye seti ya nambari halisi, haigeuki kuwa usawa wa kweli wa nambari kwa thamani yoyote halisi X: baada ya kufungua mabano upande wa kushoto tunapata hiyo 6 X + 2 = 6x + 1, ambayo haiwezekani na yoyote X. Katika kesi hii, tunasema kwamba equation iliyotolewa haina mizizi na kwamba seti ya mizizi yake ni tupu.

Ili kutatua equation yoyote, inabadilishwa kwanza, ikibadilisha na nyingine, rahisi zaidi; equation inayosababishwa inabadilishwa tena, ikibadilisha na rahisi zaidi, nk. Utaratibu huu unaendelea hadi equation ipatikane ambayo mizizi yake inaweza kupatikana kwa namna inayojulikana. Lakini ili mizizi hii iwe mizizi ya equation fulani, ni muhimu kwamba mchakato wa mabadiliko utoe milinganyo ambayo seti za mizizi zinapatana. Milinganyo kama hiyo inaitwa sawa.