KANISA LA ORTHODOX Kanisa la Kiorthodoksi si la kidunia tu...
mali kuu.
- logax + logay = logi(x y);
- logi − logi = logi (x: y).
misingi inayofanana
Log6 4 + log6 9.
Sasa hebu tufanye kazi ngumu kidogo.
Mifano ya kutatua logarithms
Je, ikiwa msingi au hoja ya logariti ni nguvu? Kisha kielelezo cha shahada hii kinaweza kutolewa nje ya ishara ya logarithm kulingana na sheria zifuatazo:
Kwa kweli, sheria hizi zote zina mantiki ikiwa ODZ ya logarithm inazingatiwa: a > 0, a ≠ 1, x >
Kazi. Tafuta maana ya usemi:
Mpito kwa msingi mpya
Acha logarithm logi itolewe. Halafu kwa nambari yoyote c kama vile c > 0 na c ≠ 1, usawa ni kweli:
Kazi. Tafuta maana ya usemi:
Angalia pia:
Tabia za kimsingi za logarithm
1.
2.
3.
4.
5. 
6.
7.
8.
9.
10.
11. 
12.
13.
14. 
15.
Kipeo ni 2.718281828…. Ili kukumbuka kielelezo, unaweza kusoma sheria: kielelezo ni sawa na 2.7 na mara mbili mwaka wa kuzaliwa kwa Leo Nikolaevich Tolstoy.
Tabia za msingi za logarithms
Kujua sheria hii, utajua thamani halisi ya mtangazaji na tarehe ya kuzaliwa kwa Leo Tolstoy.
Mifano ya logarithm
Maneno ya logarithm
Mfano 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
Kutumia mali 3.5 tunahesabu 
2.
3. 
4. 
Wapi 
.
Mfano 2. Tafuta x kama
Mfano 3. Hebu thamani ya logarithms itolewe
Kokotoa logi(x) ikiwa
Tabia za msingi za logarithms
Logarithm, kama nambari yoyote, inaweza kuongezwa, kupunguzwa na kubadilishwa kwa kila njia. Lakini kwa kuwa logarithm sio nambari za kawaida, kuna sheria hapa, ambazo huitwa mali kuu.
Hakika unahitaji kujua sheria hizi - bila yao, hakuna shida moja kubwa ya logarithmic inaweza kutatuliwa. Kwa kuongeza, kuna wachache sana - unaweza kujifunza kila kitu kwa siku moja. Basi hebu tuanze.
Kuongeza na kupunguza logariti
Fikiria logariti mbili zilizo na besi sawa: logi na logay. Kisha wanaweza kuongezwa na kupunguzwa, na:
- logax + logay = logi(x y);
- logi − logi = logi (x: y).
Kwa hivyo, jumla ya logariti ni sawa na logariti ya bidhaa, na tofauti ni sawa na logarithm ya mgawo. Tafadhali kumbuka: jambo kuu hapa ni misingi inayofanana. Ikiwa sababu ni tofauti, sheria hizi hazifanyi kazi!
Fomula hizi zitakusaidia kukokotoa usemi wa logarithmic hata wakati sehemu zake binafsi hazizingatiwi (tazama somo "Logarithmu ni nini"). Angalia mifano na uone:
Kwa kuwa logariti zina misingi sawa, tunatumia fomula ya jumla:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log2 48 − log2 3.
Misingi ni sawa, tunatumia formula tofauti:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log3 135 − log3 5.
Tena besi ni sawa, kwa hivyo tunayo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Kama unavyoona, misemo ya asili imeundwa na logarithm "mbaya", ambazo hazijahesabiwa tofauti. Lakini baada ya mabadiliko, nambari za kawaida kabisa zinapatikana. Vipimo vingi vinatokana na ukweli huu. Ndiyo, usemi unaofanana na mtihani hutolewa kwa uzito wote (wakati mwingine bila mabadiliko yoyote) kwenye Mtihani wa Jimbo Pamoja.
Kuchomoa kipeo kutoka kwa logariti
Ni rahisi kuona kwamba sheria ya mwisho inafuata mbili za kwanza. Lakini ni bora kukumbuka hata hivyo - katika hali nyingine itapunguza sana mahesabu.
Bila shaka, sheria hizi zote zina maana ikiwa ODZ ya logarithm inazingatiwa: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Na jambo moja zaidi: jifunze kutumia formula zote sio tu kutoka kushoto kwenda kulia, lakini pia kinyume chake. , i.e. Unaweza kuingiza nambari kabla ya logarithm kuingia kwenye logariti yenyewe. Hii ndiyo inayohitajika mara nyingi.
Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log7 496.
Wacha tuondoe digrii katika hoja kwa kutumia fomula ya kwanza:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Kazi. Tafuta maana ya usemi:
Kumbuka kwamba denominator ina logarithm, msingi na hoja ambayo ni nguvu kamili: 16 = 24; 49 = 72. Tuna:
Nadhani mfano wa mwisho unahitaji ufafanuzi. Logarithm zimeenda wapi? Hadi dakika ya mwisho tunafanya kazi tu na dhehebu.
Fomula za Logarithm. Logarithms mifano ya ufumbuzi.
Tuliwasilisha msingi na hoja ya logariti iliyosimama hapo katika mfumo wa nguvu na tukatoa wawakilishi - tulipata sehemu ya "hadithi tatu".
Sasa hebu tuangalie sehemu kuu. Nambari na denominator zina idadi sawa: log2 7. Tangu log2 7 ≠ 0, tunaweza kupunguza sehemu - 2/4 itabaki katika denominator. Kulingana na sheria za hesabu, nne zinaweza kuhamishiwa kwa nambari, ambayo ndiyo iliyofanywa. Matokeo yalikuwa jibu: 2.
Mpito kwa msingi mpya
Kuzungumza juu ya sheria za kuongeza na kupunguza logarithms, nilisisitiza haswa kuwa zinafanya kazi tu na besi sawa. Nini ikiwa sababu ni tofauti? Je, ikiwa sio nguvu kamili za idadi sawa?
Mifumo ya mpito hadi msingi mpya huja msaada. Wacha tuyaunda kwa namna ya nadharia:
Acha logarithm logi itolewe. Halafu kwa nambari yoyote c kama vile c > 0 na c ≠ 1, usawa ni kweli:
Hasa, ikiwa tutaweka c = x, tunapata:
Kutoka kwa formula ya pili inafuata kwamba msingi na hoja ya logarithm inaweza kubadilishwa, lakini katika kesi hii usemi wote "umegeuzwa", i.e. logarithm inaonekana katika denominator.
Fomula hizi hazipatikani katika kawaida maneno ya nambari. Inawezekana kutathmini jinsi zinavyofaa tu wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa.
Hata hivyo, kuna matatizo ambayo hayawezi kutatuliwa kabisa isipokuwa kwa kuhamia msingi mpya. Hebu tuangalie michache kati ya hizi:
Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log5 16 log2 25.
Kumbuka kuwa hoja za logariti zote mbili zina nguvu kamili. Hebu tuchukue viashiria: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Sasa hebu "tubadilishe" logarithm ya pili:
Kwa kuwa bidhaa haibadilika wakati wa kupanga upya mambo, tulizidisha kwa utulivu nne na mbili, na kisha tukashughulika na logarithms.
Kazi. Pata thamani ya usemi: log9 100 lg 3.
Msingi na hoja ya logarithm ya kwanza ni nguvu kamili. Wacha tuandike hii na tuondoe viashiria:
Sasa hebu tuondoe logarithm ya desimali kwa kuhamia msingi mpya:
Utambulisho wa msingi wa logarithmic
Mara nyingi katika mchakato wa suluhisho ni muhimu kuwakilisha nambari kama logarithm kwa msingi fulani. Katika kesi hii, fomula zifuatazo zitatusaidia:
Katika kesi ya kwanza, nambari n inakuwa kielelezo katika hoja. Nambari n inaweza kuwa chochote kabisa, kwa sababu ni thamani ya logarithm.
Njia ya pili kwa kweli ni ufafanuzi uliofafanuliwa. Hiyo ndiyo inaitwa:.
Kwa kweli, nini kitatokea ikiwa nambari b itainuliwa kwa nguvu ambayo nambari b kwa nguvu hii inatoa nambari a? Hiyo ni kweli: matokeo ni nambari sawa a. Soma kifungu hiki kwa uangalifu tena - watu wengi wanakwama juu yake.
Kama fomula za kuhamia msingi mpya, kitambulisho cha msingi cha logarithmic wakati mwingine ndio suluhisho pekee linalowezekana.
Kazi. Tafuta maana ya usemi:
Kumbuka kwamba log25 64 = log5 8 - ilichukua tu mraba kutoka kwa msingi na hoja ya logarithm. Kwa kuzingatia sheria za kuzidisha nguvu na msingi sawa, tunapata:
Ikiwa mtu yeyote hajui, hii ilikuwa kazi halisi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja :)
Logarithmic kitengo na logarithmic sifuri
Kwa kumalizia, nitatoa vitambulisho viwili ambavyo haziwezi kuitwa mali - badala yake, ni matokeo ya ufafanuzi wa logarithm. Wanaonekana kila wakati katika shida na, kwa kushangaza, huunda shida hata kwa wanafunzi "wa hali ya juu".
- loga = 1 ni. Kumbuka mara moja na kwa wote: logarithm kwa msingi wowote wa msingi yenyewe ni sawa na moja.
- logi 1 = 0 ni. Msingi a unaweza kuwa chochote, lakini ikiwa hoja ina moja, logariti ni sawa na sifuri! Kwa sababu a0 = 1 ni tokeo la moja kwa moja la ufafanuzi.
Hiyo ndiyo mali yote. Hakikisha unajizoeza kuziweka katika vitendo! Pakua karatasi ya kudanganya mwanzoni mwa somo, ichapishe, na kutatua matatizo.
Angalia pia:
Logariti ya b kuweka msingi a inaashiria usemi. Kukokotoa logariti inamaanisha kupata nguvu x () ambapo usawa unaridhika
Tabia za kimsingi za logarithm
Inahitajika kujua mali hapo juu, kwani karibu shida zote na mifano zinazohusiana na logarithms zinatatuliwa kwa msingi wao. Sifa zingine za kigeni zinaweza kupatikana kupitia upotoshaji wa hisabati na fomula hizi
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Wakati wa kuhesabu fomula ya jumla na tofauti ya logarithm (3.4) unakutana mara nyingi. Zingine ni ngumu kiasi fulani, lakini katika kazi kadhaa zinahitajika sana kwa kurahisisha misemo changamano na kukokotoa thamani zake.
Kesi za kawaida za logarithms
Baadhi ya logariti za kawaida ni zile ambazo msingi ni sawa na kumi, kielelezo au mbili.
Logariti hadi msingi kumi kwa kawaida huitwa logariti ya desimali na inaashiriwa kwa urahisi na lg(x).
Ni wazi kutokana na kurekodi kwamba mambo ya msingi hayajaandikwa kwenye rekodi. Kwa mfano
Logariti asilia ni logariti ambayo msingi wake ni kielelezo (kilichoonyeshwa na ln(x)).
Kipeo ni 2.718281828…. Ili kukumbuka kielelezo, unaweza kusoma sheria: kielelezo ni sawa na 2.7 na mara mbili mwaka wa kuzaliwa kwa Leo Nikolaevich Tolstoy. Kujua sheria hii, utajua thamani halisi ya mtangazaji na tarehe ya kuzaliwa kwa Leo Tolstoy.
Na logarithm nyingine muhimu kwa msingi wa mbili inaonyeshwa na
Nyingine ya logariti ya chaguo za kukokotoa ni sawa na ile iliyogawanywa na kutofautisha
Logarithm muhimu au kizuia derivative imedhamiriwa na uhusiano
Nyenzo uliyopewa inatosha kwako kutatua darasa pana la shida zinazohusiana na logarithms na logarithms. Ili kukusaidia kuelewa nyenzo, nitatoa mifano michache tu ya kawaida kutoka mtaala wa shule na vyuo vikuu.
Mifano ya logarithm
Maneno ya logarithm
Mfano 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
Kutumia mali 3.5 tunahesabu
2.
Kwa mali ya tofauti ya logarithm tunayo
3.
Kwa kutumia mali 3.5 tunapata
4. Wapi .
Usemi unaoonekana kuwa changamano hurahisishwa kuunda kwa kutumia sheria kadhaa
Kupata thamani za logarithm
Mfano 2. Tafuta x kama
Suluhisho. Kwa hesabu, tunaomba kwa muhula wa mwisho wa 5 na 13 mali
Tunaiweka kwenye rekodi na kuomboleza
Kwa kuwa misingi ni sawa, tunalinganisha misemo
Logarithms. Kiwango cha kwanza.
Acha thamani ya logariti itolewe
Kokotoa logi(x) ikiwa
Suluhisho: Wacha tuchukue logariti ya kutofautisha ili kuandika logariti kupitia jumla ya masharti yake.
Huu ni mwanzo tu wa kufahamiana kwetu na logarithms na mali zao. Fanya mazoezi ya kuhesabu, boresha ujuzi wako wa vitendo - hivi karibuni utahitaji maarifa unayopata ili kutatua milinganyo ya logarithmic. Baada ya kusoma njia za kimsingi za kutatua hesabu kama hizo, tutapanua maarifa yako kwa mada nyingine muhimu - usawa wa logarithmic ...
Tabia za msingi za logarithms
Logarithm, kama nambari yoyote, inaweza kuongezwa, kupunguzwa na kubadilishwa kwa kila njia. Lakini kwa kuwa logarithm sio nambari za kawaida, kuna sheria hapa, ambazo huitwa mali kuu.
Hakika unahitaji kujua sheria hizi - bila yao, hakuna shida moja kubwa ya logarithmic inaweza kutatuliwa. Kwa kuongeza, kuna wachache sana - unaweza kujifunza kila kitu kwa siku moja. Basi hebu tuanze.
Kuongeza na kupunguza logariti
Fikiria logariti mbili zilizo na besi sawa: logi na logay. Kisha wanaweza kuongezwa na kupunguzwa, na:
- logax + logay = logi(x y);
- logi − logi = logi (x: y).
Kwa hivyo, jumla ya logariti ni sawa na logariti ya bidhaa, na tofauti ni sawa na logarithm ya mgawo. Tafadhali kumbuka: jambo kuu hapa ni misingi inayofanana. Ikiwa sababu ni tofauti, sheria hizi hazifanyi kazi!
Fomula hizi zitakusaidia kukokotoa usemi wa logarithmic hata wakati sehemu zake binafsi hazizingatiwi (tazama somo "Logarithmu ni nini"). Angalia mifano na uone:
Kazi. Pata thamani ya usemi: log6 4 + log6 9.
Kwa kuwa logariti zina misingi sawa, tunatumia fomula ya jumla:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log2 48 − log2 3.
Misingi ni sawa, tunatumia formula tofauti:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log3 135 − log3 5.
Tena besi ni sawa, kwa hivyo tunayo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Kama unavyoona, misemo ya asili imeundwa na logarithm "mbaya", ambazo hazijahesabiwa tofauti. Lakini baada ya mabadiliko, nambari za kawaida kabisa zinapatikana. Vipimo vingi vinatokana na ukweli huu. Ndiyo, usemi unaofanana na mtihani hutolewa kwa uzito wote (wakati mwingine bila mabadiliko yoyote) kwenye Mtihani wa Jimbo Pamoja.
Kuchomoa kipeo kutoka kwa logariti
Sasa hebu tufanye kazi ngumu kidogo. Je, ikiwa msingi au hoja ya logariti ni nguvu? Kisha kielelezo cha shahada hii kinaweza kutolewa nje ya ishara ya logarithm kulingana na sheria zifuatazo:
Ni rahisi kuona kwamba sheria ya mwisho inafuata mbili za kwanza. Lakini ni bora kukumbuka hata hivyo - katika hali nyingine itapunguza sana mahesabu.
Bila shaka, sheria hizi zote zina maana ikiwa ODZ ya logarithm inazingatiwa: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Na jambo moja zaidi: jifunze kutumia formula zote sio tu kutoka kushoto kwenda kulia, lakini pia kinyume chake. , i.e. Unaweza kuingiza nambari kabla ya logarithm kuingia kwenye logariti yenyewe.
Jinsi ya kutatua logarithm
Hii ndiyo inayohitajika mara nyingi.
Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log7 496.
Wacha tuondoe digrii katika hoja kwa kutumia fomula ya kwanza:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Kazi. Tafuta maana ya usemi:
Kumbuka kwamba denominator ina logarithm, msingi na hoja ambayo ni nguvu kamili: 16 = 24; 49 = 72. Tuna:
Nadhani mfano wa mwisho unahitaji ufafanuzi. Logarithm zimeenda wapi? Hadi dakika ya mwisho tunafanya kazi tu na dhehebu. Tuliwasilisha msingi na hoja ya logariti iliyosimama hapo katika mfumo wa nguvu na tukatoa wawakilishi - tulipata sehemu ya "hadithi tatu".
Sasa hebu tuangalie sehemu kuu. Nambari na denominator zina idadi sawa: log2 7. Tangu log2 7 ≠ 0, tunaweza kupunguza sehemu - 2/4 itabaki katika denominator. Kulingana na sheria za hesabu, nne zinaweza kuhamishiwa kwa nambari, ambayo ndiyo iliyofanywa. Matokeo yalikuwa jibu: 2.
Mpito kwa msingi mpya
Kuzungumza juu ya sheria za kuongeza na kupunguza logarithms, nilisisitiza haswa kuwa zinafanya kazi tu na besi sawa. Nini ikiwa sababu ni tofauti? Je, ikiwa sio nguvu kamili za idadi sawa?
Mifumo ya mpito hadi msingi mpya huja msaada. Wacha tuyaunda kwa namna ya nadharia:
Acha logarithm logi itolewe. Halafu kwa nambari yoyote c kama vile c > 0 na c ≠ 1, usawa ni kweli:
Hasa, ikiwa tutaweka c = x, tunapata:
Kutoka kwa formula ya pili inafuata kwamba msingi na hoja ya logarithm inaweza kubadilishwa, lakini katika kesi hii usemi wote "umegeuzwa", i.e. logarithm inaonekana katika denominator.
Fomula hizi hazipatikani kwa maneno ya kawaida ya nambari. Inawezekana kutathmini jinsi zinavyofaa tu wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa.
Hata hivyo, kuna matatizo ambayo hayawezi kutatuliwa kabisa isipokuwa kwa kuhamia msingi mpya. Hebu tuangalie michache kati ya hizi:
Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log5 16 log2 25.
Kumbuka kuwa hoja za logariti zote mbili zina nguvu kamili. Hebu tuchukue viashiria: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Sasa hebu "tubadilishe" logarithm ya pili:
Kwa kuwa bidhaa haibadilika wakati wa kupanga upya mambo, tulizidisha kwa utulivu nne na mbili, na kisha tukashughulika na logarithms.
Kazi. Pata thamani ya usemi: log9 100 lg 3.
Msingi na hoja ya logarithm ya kwanza ni nguvu kamili. Wacha tuandike hii na tuondoe viashiria:
Sasa hebu tuondoe logarithm ya desimali kwa kuhamia msingi mpya:
Utambulisho wa msingi wa logarithmic
Mara nyingi katika mchakato wa suluhisho ni muhimu kuwakilisha nambari kama logarithm kwa msingi fulani. Katika kesi hii, fomula zifuatazo zitatusaidia:
Katika kesi ya kwanza, nambari n inakuwa kielelezo katika hoja. Nambari n inaweza kuwa chochote kabisa, kwa sababu ni thamani ya logarithm.
Njia ya pili kwa kweli ni ufafanuzi uliofafanuliwa. Hiyo ndiyo inaitwa:.
Kwa kweli, nini kitatokea ikiwa nambari b itainuliwa kwa nguvu ambayo nambari b kwa nguvu hii inatoa nambari a? Hiyo ni kweli: matokeo ni nambari sawa a. Soma kifungu hiki kwa uangalifu tena - watu wengi wanakwama juu yake.
Kama fomula za kuhamia msingi mpya, kitambulisho cha msingi cha logarithmic wakati mwingine ndio suluhisho pekee linalowezekana.
Kazi. Tafuta maana ya usemi:
Kumbuka kwamba log25 64 = log5 8 - ilichukua tu mraba kutoka kwa msingi na hoja ya logarithm. Kwa kuzingatia sheria za kuzidisha nguvu na msingi sawa, tunapata:
Ikiwa mtu yeyote hajui, hii ilikuwa kazi halisi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja :)
Logarithmic kitengo na logarithmic sifuri
Kwa kumalizia, nitatoa vitambulisho viwili ambavyo haziwezi kuitwa mali - badala yake, ni matokeo ya ufafanuzi wa logarithm. Wanaonekana kila wakati katika shida na, kwa kushangaza, huunda shida hata kwa wanafunzi "wa hali ya juu".
- loga = 1 ni. Kumbuka mara moja na kwa wote: logarithm kwa msingi wowote wa msingi yenyewe ni sawa na moja.
- logi 1 = 0 ni. Msingi a unaweza kuwa chochote, lakini ikiwa hoja ina moja, logariti ni sawa na sifuri! Kwa sababu a0 = 1 ni tokeo la moja kwa moja la ufafanuzi.
Hiyo ndiyo mali yote. Hakikisha unajizoeza kuziweka katika vitendo! Pakua karatasi ya kudanganya mwanzoni mwa somo, ichapishe, na kutatua matatizo.
Moja ya vipengele vya aljebra ya kiwango cha awali ni logarithm. Jina linatokana na lugha ya Kiyunani kutoka kwa neno "nambari" au "nguvu" na linamaanisha nguvu ambayo nambari katika msingi lazima ifufuliwe ili kupata nambari ya mwisho.
Aina za logarithm
- logi a b - logarithm ya nambari b kuweka msingi a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- logi b - logarithm ya decimal (logarithm hadi msingi 10, a = 10);
- ln b - logarithm asili (logarithm kwa msingi e, a = e).
Jinsi ya kutatua logarithms?
Logariti ya b hadi msingi a ni kipeo kinachohitaji b kuinuliwa hadi msingi a. Matokeo yaliyopatikana yanatamkwa kama hii: "logarithm ya b hadi msingi a." Suluhisho la shida za logarithmic ni kwamba unahitaji kuamua nguvu uliyopewa kwa nambari kutoka kwa nambari maalum. Kuna baadhi ya sheria za msingi za kuamua au kutatua logariti, na pia kubadilisha nukuu yenyewe. Kwa kuzitumia, hesabu za logarithmic zinatatuliwa, derivatives hupatikana, viunga vinatatuliwa, na shughuli zingine nyingi hufanywa. Kimsingi, suluhisho la logarithm yenyewe ni nukuu iliyorahisishwa. Ifuatayo ni kanuni na sifa za kimsingi:
Kwa yoyote a; a> 0; a ≠ 1 na kwa x yoyote; y > 0.
- logi a b = b - kitambulisho cha msingi cha logarithmic
- andika 1 = 0
- alama a = 1
- log a (x y) = logi a x + logi y
- logi a x/ y = logi a x - andika y
- weka 1/x = -logi a x
- logi a x p = p logi a x
- logi a k x = 1/k logi a x , kwa k ≠ 0
- logi a x = logi a c x c
- logi a x = logi b x/ logi b a - fomula ya kuhamia msingi mpya
- logi a x = 1/logi x a
Jinsi ya kutatua logarithms - maagizo ya hatua kwa hatua ya kutatua
- Kwanza, andika equation inayohitajika.
Tafadhali kumbuka: ikiwa logarithm msingi ni 10, basi ingizo limefupishwa, na kusababisha logarithm ya desimali. Ikiwa inafaa nambari ya asili e, basi tunaiandika, kuipunguza kwa logarithm ya asili. Hii ina maana kwamba matokeo ya logariti zote ni nguvu ambayo nambari ya msingi inainuliwa ili kupata nambari b.
Moja kwa moja, suluhisho liko katika kuhesabu shahada hii. Kabla ya kusuluhisha usemi na logarithm, lazima iwe rahisi kulingana na sheria, ambayo ni, kwa kutumia fomula. Unaweza kupata utambulisho kuu kwa kurudi nyuma kidogo katika makala.
Unapoongeza na kutoa logariti zenye nambari mbili tofauti lakini kwa besi zile zile, badilisha na logariti moja na bidhaa au mgawanyo wa nambari b na c, mtawalia. Katika kesi hii, unaweza kutumia formula ya kuhamia msingi mwingine (tazama hapo juu).
Ikiwa unatumia misemo kurahisisha logariti, kuna mapungufu ya kuzingatia. Na hiyo ni: msingi wa logarithm a ni nambari chanya tu, lakini sio sawa na moja. Nambari b, kama a, lazima iwe kubwa kuliko sifuri.
Kuna matukio ambapo, kwa kurahisisha usemi, hutaweza kukokotoa logariti kwa nambari. Inatokea kwamba usemi kama huo hauna maana, kwa sababu nguvu nyingi ni nambari zisizo na maana. Chini ya hali hii, acha nguvu ya nambari kama logarithm.
Na video hii ninaanza mfululizo mrefu wa masomo kuhusu milinganyo ya logarithmic. Sasa una mifano mitatu mbele yako, kwa misingi ambayo tutajifunza kutatua zaidi kazi rahisi, ambazo zinaitwa hivyo - protozoa.
logi 0.5 (3x - 1) = -3
logi (x + 3) = 3 + 2 logi 5
Acha nikukumbushe kuwa equation rahisi zaidi ya logarithmic ni ifuatayo:
logi a f(x) = b
Katika kesi hii, ni muhimu kwamba variable x iko tu ndani ya hoja, yaani, tu katika kazi f (x). Na nambari a na b ni nambari tu, na kwa hali yoyote hakuna vitendaji vyenye mabadiliko ya x.
Njia za msingi za suluhisho
Kuna njia nyingi za kutatua miundo kama hiyo. Kwa mfano, walimu wengi shuleni hutoa mbinu hii: Eleza mara moja chaguo la kukokotoa f (x) ukitumia fomula f ( x) = a b. Hiyo ni, unapokutana na ujenzi rahisi zaidi, unaweza kuendelea mara moja kwenye suluhisho bila vitendo vya ziada na ujenzi.
Ndiyo, bila shaka, uamuzi utakuwa sahihi. Walakini, shida ya fomula hii ni kwamba wanafunzi wengi sielewi, inatoka wapi na kwa nini tunainua herufi a hadi herufi b.
Matokeo yake, mara nyingi mimi huona makosa ya kukasirisha sana wakati, kwa mfano, barua hizi zinabadilishwa. Njia hii lazima ieleweke au kubatizwa, na njia ya pili husababisha makosa kwa wakati usiofaa na muhimu zaidi: wakati wa mitihani, majaribio, nk.
Ndio maana ninapendekeza kwa wanafunzi wangu wote kuachana na fomula ya kawaida ya shule na kutumia mbinu ya pili kutatua milinganyo ya logarithmic, ambayo, kama unavyokisia kutoka kwa jina, inaitwa. fomu ya kisheria.
Wazo la fomu ya kisheria ni rahisi. Wacha tuangalie shida yetu tena: upande wa kushoto tuna logi a, na kwa herufi a tunamaanisha nambari, na kwa hali yoyote hakuna kazi iliyo na nambari ya x. Kwa hiyo, barua hii inakabiliwa na vikwazo vyote vinavyowekwa kwa msingi wa logarithm. yaani:
1 ≠ a > 0
Kwa upande mwingine, kutoka kwa equation sawa tunaona kwamba logarithm lazima iwe sawa na nambari b, na hakuna vikwazo vinavyowekwa kwa barua hii, kwa sababu inaweza kuchukua thamani yoyote - chanya na hasi. Yote inategemea ni maadili gani kazi f(x) inachukua.
Na hapa tunakumbuka sheria yetu nzuri kwamba nambari yoyote b inaweza kuwakilishwa kama logariti hadi msingi wa a hadi nguvu ya b:
b = logi a b
Jinsi ya kukumbuka formula hii? Ndiyo, rahisi sana. Wacha tuandike muundo ufuatao:
b = b 1 = b logi a
Bila shaka, katika kesi hii vikwazo vyote ambavyo tuliandika mwanzoni hutokea. Sasa hebu tutumie sifa ya msingi ya logariti na tutambulishe kizidishi b kama nguvu ya a. Tunapata:
b = b 1 = b logi a = logi a b
Kama matokeo, equation ya asili itaandikwa tena kama ifuatavyo:
logi a f (x) = logi a b → f (x) = a b
Ni hayo tu. Kitendakazi kipya hakina logariti na kinaweza kutatuliwa kwa kutumia mbinu za kawaida za aljebra.
Bila shaka, mtu sasa atapinga: kwa nini ilikuwa ni lazima kuja na aina fulani ya fomula ya kisheria hata kidogo, kwa nini kufanya hatua mbili za ziada zisizohitajika ikiwa inawezekana kuondoka mara moja kutoka kwa muundo wa awali hadi kwa fomula ya mwisho? Ndiyo, ikiwa tu kwa sababu wanafunzi wengi hawaelewi fomula hii inatoka wapi na, kwa sababu hiyo, hufanya makosa mara kwa mara wanapoitumia.
Lakini mlolongo huu wa vitendo, unaojumuisha hatua tatu, hukuruhusu kutatua equation ya asili ya logarithmic, hata ikiwa hauelewi fomula ya mwisho inatoka wapi. Kwa njia, kiingilio hiki kinaitwa formula ya kisheria:
logi a f (x) = logi a a b
Urahisi wa fomu ya kisheria pia iko katika ukweli kwamba inaweza kutumika kutatua darasa pana sana la equations za logarithmic, na sio tu rahisi zaidi tunayozingatia leo.
Mifano ya ufumbuzi
Sasa hebu tuangalie mifano halisi. Kwa hivyo, wacha tuamue:
logi 0.5 (3x - 1) = -3
Wacha tuiandike tena kama hii:
gogo 0.5 (3x − 1) = gogo 0.5 0.5 -3
Wanafunzi wengi wana haraka na wanajaribu kuongeza mara moja nambari 0.5 kwa nguvu ambayo ilitujia kutoka kwa shida ya asili. Hakika, wakati tayari umefunzwa vizuri katika kutatua shida kama hizo, unaweza kufanya hatua hii mara moja.
Walakini, ikiwa sasa unaanza kusoma mada hii, ni bora usikimbilie popote ili kuzuia kufanya makosa ya kukasirisha. Kwa hivyo, tunayo fomu ya kisheria. Tuna:
3x − 1 = 0.5 -3
Huu sio tena mlinganyo wa logarithmic, lakini ni mstari kuhusiana na mabadiliko ya x. Ili kuitatua, hebu kwanza tuangalie nambari 0.5 kwa nguvu ya -3. Kumbuka kuwa 0.5 ni 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Badilisha sehemu zote za desimali kuwa sehemu za kawaida wakati wa kusuluhisha mlinganyo wa logarithmic.
Tunaandika tena na kupata:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
Ni hayo tu, tumepata jibu. Tatizo la kwanza limetatuliwa.
Jukumu la pili
Wacha tuendelee kwenye kazi ya pili:
Kama tunavyoona, equation hii sio rahisi zaidi. Ikiwa tu kwa sababu kuna tofauti upande wa kushoto, na sio logarithm moja kwa msingi mmoja.
Kwa hiyo, tunahitaji kwa namna fulani kuondokana na tofauti hii. Katika kesi hii, kila kitu ni rahisi sana. Wacha tuangalie kwa karibu besi: upande wa kushoto ni nambari iliyo chini ya mzizi:
Mapendekezo ya jumla: katika milinganyo yote ya logarithmic, jaribu kuondoa radicals, i.e., kutoka kwa maingizo yaliyo na mizizi na kuendelea na kazi za nguvu, kwa sababu wasaidizi wa nguvu hizi hutolewa kwa urahisi kutoka kwa ishara ya logarithm na, mwishowe, kama hizo. kiingilio hurahisisha sana na kuharakisha mahesabu. Hebu tuandike kama hii:
Sasa hebu tukumbuke mali ya ajabu ya logarithm: nguvu zinaweza kupatikana kutoka kwa hoja, na pia kutoka kwa msingi. Katika kesi ya msingi, yafuatayo hufanyika:
logi a k b = 1/k nembo b
Kwa maneno mengine, nambari iliyokuwa kwenye nguvu ya msingi inaletwa mbele na wakati huo huo kugeuzwa, ambayo ni, inakuwa nambari ya kubadilishana. Kwa upande wetu, shahada ya msingi ilikuwa 1/2. Kwa hivyo, tunaweza kuiondoa kama 2/1. Tunapata:
5 2 logi 5 x - -gogo 5 x = 18
logi 10 5 x - -logi 5 x = 18
Tafadhali kumbuka: kwa hali yoyote unapaswa kuondoa logarithms katika hatua hii. Kumbuka hesabu ya daraja la 4-5 na utaratibu wa shughuli: kuzidisha hufanywa kwanza, na kisha tu kuongeza na kutoa. Katika kesi hii, tunaondoa moja ya vitu sawa kutoka kwa vitu 10:
9 kumbukumbu 5 x = 18
logi 5 x = 2
Sasa equation yetu inaonekana kama inavyopaswa. Hii muundo rahisi zaidi, na tunasuluhisha kwa kutumia fomu ya kisheria:
kumbukumbu 5 x = kumbukumbu 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Ni hayo tu. Tatizo la pili limetatuliwa.
Mfano wa tatu
Wacha tuendelee kwenye kazi ya tatu:
logi (x + 3) = 3 + 2 logi 5
Acha nikukumbushe formula ifuatayo:
logi b = gogo 10 b
Ikiwa kwa sababu fulani umechanganyikiwa na logi ya nukuu b , basi wakati wa kufanya mahesabu yote unaweza kuandika tu logi 10 b . Unaweza kufanya kazi na logariti za desimali kwa njia sawa na zingine: chukua mamlaka, ongeza na uwakilishe nambari zozote katika fomu lg 10.
Ni mali hizi ambazo tutatumia sasa kutatua shida, kwani sio rahisi zaidi ambayo tuliandika mwanzoni mwa somo letu.
Kwanza, kumbuka kuwa kipengele cha 2 mbele ya lg 5 kinaweza kuongezwa na kuwa nguvu ya msingi 5. Kwa kuongeza, neno la bure la 3 linaweza pia kuwakilishwa kama logarithm - hii ni rahisi sana kuchunguza kutoka kwa nukuu yetu.
Jaji mwenyewe: nambari yoyote inaweza kuwakilishwa kama logi kwa msingi wa 10:
3 = kumbukumbu 10 10 3 = kumbukumbu 10 3
Wacha tuandike tena shida ya asili kwa kuzingatia mabadiliko yaliyopatikana:
logi (x - 3) = logi 1000 + logi 25
logi (x - 3) = logi 1000 25
gogo (x - 3) = gogo 25,000
Mbele yetu tena kuna fomu ya kisheria, na tuliipata bila kupitia hatua ya mabadiliko, yaani, equation rahisi zaidi ya logarithmic haikuonekana popote.
Hivi ndivyo nilivyozungumza mwanzoni kabisa mwa somo. Fomu ya kisheria hukuruhusu kutatua darasa pana la matatizo kuliko fomula ya kawaida ya shule ambayo walimu wengi wa shule hutoa.
Kweli, ndivyo hivyo, tunaondoa ishara ya logarithm ya decimal, na tunapata muundo rahisi wa mstari:
x + 3 = 25,000
x = 24,997
Wote! Tatizo linatatuliwa.
Ujumbe juu ya upeo
Hapa ningependa kutoa maoni muhimu kuhusu wigo wa ufafanuzi. Hakika sasa kutakuwa na wanafunzi na waalimu ambao watasema: "Tunapotatua misemo kwa logariti, lazima tukumbuke kwamba hoja f (x) lazima iwe kubwa kuliko sufuri!" Katika suala hili, swali la mantiki linatokea: kwa nini hatukuhitaji usawa huu kuridhika katika matatizo yoyote yaliyozingatiwa?
Usijali. Katika kesi hizi, hakuna mizizi ya ziada itaonekana. Na hii ni hila nyingine nzuri ambayo inakuwezesha kuharakisha suluhisho. Jua tu kwamba ikiwa katika shida kutofautisha x kunatokea katika sehemu moja tu (au tuseme, katika hoja moja ya logarithm moja), na hakuna mahali pengine katika kesi yetu tofauti x inaonekana, basi andika kikoa cha ufafanuzi. hakuna haja, kwa sababu itatekelezwa kiotomatiki.
Jaji mwenyewe: katika equation ya kwanza tulipata kwamba 3x - 1, yaani hoja inapaswa kuwa sawa na 8. Hii ina maana moja kwa moja kwamba 3x - 1 itakuwa kubwa kuliko sifuri.
Kwa mafanikio sawa tunaweza kuandika kwamba katika kesi ya pili x inapaswa kuwa sawa na 5 2, i.e. hakika ni kubwa kuliko sifuri. Na katika kesi ya tatu, ambapo x + 3 = 25,000, yaani, tena, ni wazi zaidi kuliko sifuri. Kwa maneno mengine, wigo huridhika kiotomatiki, lakini tu ikiwa x hutokea tu katika hoja ya logarithm moja tu.
Hiyo ndiyo yote unayohitaji kujua ili kutatua matatizo rahisi zaidi. Sheria hii pekee, pamoja na sheria za mabadiliko, itawawezesha kutatua darasa kubwa sana la matatizo.
Lakini hebu tuwe waaminifu: ili hatimaye kuelewa mbinu hii, kujifunza jinsi ya kutumia fomu ya kisheria ya equation ya logarithmic, haitoshi tu kutazama somo moja la video. Kwa hivyo pakua chaguzi sasa hivi kwa uamuzi wa kujitegemea, ambazo zimeambatishwa kwenye somo hili la video na kuanza kusuluhisha angalau moja ya kazi hizi mbili zinazojitegemea.
Itakuchukua dakika chache halisi. Lakini matokeo ya mafunzo kama haya yatakuwa ya juu zaidi kuliko ikiwa utatazama somo hili la video tu.
Natumai somo hili litakusaidia kuelewa milinganyo ya logarithmic. Tumia fomu ya kisheria, kurahisisha misemo kwa kutumia sheria za kufanya kazi na logarithms - na hautaogopa shida zozote. Hiyo ndiyo yote niliyo nayo kwa leo.
Kwa kuzingatia kikoa cha ufafanuzi
Sasa hebu tuzungumze juu ya kikoa cha ufafanuzi kazi ya logarithmic, pamoja na jinsi hii inavyoathiri suluhisho la milinganyo ya logarithmic. Fikiria muundo wa fomu
logi a f (x) = b
Usemi kama huo unaitwa rahisi zaidi - una kazi moja tu, na nambari a na b ni nambari tu, na kwa hali yoyote hakuna kazi ambayo inategemea kutofautisha x. Inaweza kutatuliwa kwa urahisi sana. Unahitaji tu kutumia formula:
b = logi a b
Fomula hii ni moja wapo ya sifa kuu za logarithm, na tunapobadilisha kwa usemi wetu wa asili tunapata yafuatayo:
logi a f (x) = logi a a b
f (x) = a b
Hii ni fomula inayojulikana kutoka kwa vitabu vya kiada vya shule. Wanafunzi wengi labda watakuwa na swali: kwa kuwa katika usemi wa asili kazi f (x) iko chini ya ishara ya kumbukumbu, vizuizi vifuatavyo vimewekwa juu yake:
f(x) > 0
Kizuizi hiki kinatumika kwa sababu logariti ya nambari hasi haipo. Kwa hivyo, labda, kama matokeo ya kizuizi hiki, ukaguzi wa majibu unapaswa kuletwa? Labda zinahitaji kuingizwa kwenye chanzo?
Hapana, katika milinganyo rahisi zaidi ya logarithmic ukaguzi wa ziada sio lazima. Na ndiyo maana. Angalia fomula yetu ya mwisho:
f (x) = a b
Ukweli ni kwamba nambari a kwa hali yoyote ni kubwa kuliko 0 - hitaji hili pia linawekwa na logarithm. Nambari A ndio msingi. Katika kesi hii, hakuna vikwazo vinavyowekwa kwa nambari b. Lakini hii haijalishi, kwa sababu haijalishi tunainua nambari chanya kwa nguvu gani, bado tutapata nambari chanya kwenye pato. Kwa hivyo, hitaji la f (x) > 0 linaridhika kiotomatiki.
Kinachostahili kuangaliwa ni kikoa cha chaguo za kukokotoa chini ya ishara ya kumbukumbu. Kunaweza kuwa na miundo ngumu kabisa, na hakika unahitaji kuiangalia wakati wa mchakato wa suluhisho. Hebu tuangalie.
Jukumu la kwanza:
Hatua ya kwanza: badilisha sehemu iliyo kulia. Tunapata:
Tunaondoa ishara ya logarithm na kupata equation ya kawaida isiyo ya kawaida:
Ya mizizi iliyopatikana, ya kwanza tu inafaa kwetu, tangu mizizi ya pili chini ya sifuri. Jibu pekee litakuwa namba 9. Hiyo ndiyo yote, tatizo linatatuliwa. Hakuna ukaguzi wa ziada unaohitajika ili kuhakikisha kuwa usemi chini ya ishara ya logarithm ni kubwa kuliko 0, kwa sababu sio tu zaidi ya 0, lakini kulingana na hali ya equation ni sawa na 2. Kwa hiyo, mahitaji "kubwa kuliko sifuri." ” huridhika kiotomatiki.
Wacha tuendelee kwenye kazi ya pili:
Kila kitu ni sawa hapa. Tunaandika upya ujenzi, kuchukua nafasi ya tatu:
Tunaondoa ishara za logarithm na kupata equation isiyo na maana:
Tunaweka pande zote mbili kwa kuzingatia vikwazo na kupata:
4 − 6x − x 2 = (x -4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Tunatatua equation inayotokana na kibaguzi:
D = 49 − 24 = 25
x 1 = -1
x 2 = -6
Lakini x = −6 haitufai, kwa sababu tukibadilisha nambari hii kwa usawa wetu, tunapata:
−6 + 4 = −2 < 0
Kwa upande wetu, inahitajika kuwa kubwa kuliko 0 au, katika hali mbaya, sawa. Lakini x = −1 inatufaa:
−1 + 4 = 3 > 0
Jibu pekee katika kesi yetu litakuwa x = -1. Hilo ndilo suluhisho. Hebu turejee mwanzo kabisa wa mahesabu yetu.
Jambo kuu la kuchukua kutoka kwa somo hili ni kwamba hauitaji kuangalia vizuizi kwenye chaguo la kukokotoa katika milinganyo rahisi ya logarithmic. Kwa sababu wakati wa mchakato wa ufumbuzi vikwazo vyote ni kuridhika moja kwa moja.
Walakini, hii haimaanishi kuwa unaweza kusahau juu ya kuangalia kabisa. Katika mchakato wa kufanya kazi kwenye equation ya logarithmic, inaweza kugeuka kuwa isiyo na maana, ambayo itakuwa na vikwazo na mahitaji yake kwa upande wa kulia, ambayo tumeona leo katika mifano miwili tofauti.
Jisikie huru kutatua matatizo kama haya na uwe mwangalifu haswa ikiwa kuna mzizi katika mabishano.
Milinganyo ya logarithmic yenye misingi tofauti
Tunaendelea kusoma milinganyo ya logarithmic na tutachambua mbili zaidi kabisa mapokezi ya kuvutia, kwa msaada ambao ni mtindo wa kutatua zaidi miundo tata. Lakini kwanza, hebu tukumbuke jinsi matatizo rahisi zaidi yanatatuliwa:
logi a f (x) = b
Katika ingizo hili, a na b ni nambari, na katika kazi f (x) kigezo x lazima kiwepo, na pale tu, yaani, x lazima iwe tu kwenye hoja. Tutabadilisha milinganyo kama hii ya logarithmic kwa kutumia fomu ya kisheria. Ili kufanya hivyo, kumbuka
b = logi a b
Aidha, b ni hoja haswa. Wacha tuandike tena usemi huu kama ifuatavyo:
logi a f (x) = logi a a b
Hili ndilo hasa tunalojaribu kufikia, ili kuwe na logarithm ya msingi wa kushoto na kulia. Katika kesi hii, tunaweza, kwa kusema kwa mfano, kuvuka ishara za logi, na kutoka kwa maoni ya hesabu tunaweza kusema kwamba tunasawazisha hoja:
f (x) = a b
Matokeo yake, tutapata usemi mpya ambao utakuwa rahisi sana kutatua. Wacha tuitumie sheria hii kwa shida zetu leo.
Kwa hivyo, muundo wa kwanza:
Kwanza kabisa, ninaona kuwa upande wa kulia ni sehemu ambayo dhehebu lake ni logi. Unapoona usemi kama huu, ni wazo nzuri kukumbuka sifa nzuri ya logarithms:
Ikitafsiriwa katika Kirusi, hii ina maana kwamba logariti yoyote inaweza kuwakilishwa kama mgawo wa logariti mbili na msingi wowote c. Bila shaka 0< с ≠ 1.
Kwa hivyo: formula hii ina kesi moja ya ajabu, wakati variable c ni sawa na kutofautiana b. Katika kesi hii, tunapata muundo kama huu:
Huu ndio hasa ujenzi tunaoona kutoka kwa ishara upande wa kulia katika equation yetu. Wacha tubadilishe ujenzi huu na log a b , tunapata:
Kwa maneno mengine, kwa kulinganisha na kazi ya awali, tulibadilisha hoja na msingi wa logarithm. Badala yake, ilibidi tubadilishe sehemu hiyo.
Tunakumbuka kuwa digrii yoyote inaweza kutolewa kutoka kwa msingi kulingana na sheria ifuatayo:
Kwa maneno mengine, mgawo k, ambayo ni nguvu ya msingi, inaonyeshwa kama sehemu iliyogeuzwa. Wacha tuitoe kama sehemu iliyogeuzwa:
Sababu ya sehemu haiwezi kuachwa mbele, kwa sababu katika kesi hii hatutaweza kuwakilisha nukuu hii kama fomu ya kisheria (baada ya yote, katika fomu ya kisheria hakuna sababu ya ziada kabla ya logarithm ya pili). Kwa hivyo, wacha tuongeze sehemu 1/4 kwenye hoja kama nguvu:
Sasa tunalinganisha hoja ambazo misingi yake ni sawa (na misingi yetu ni sawa), na andika:
x + 5 = 1
x = -4
Ni hayo tu. Tulipata jibu la mlinganyo wa kwanza wa logarithmic. Tafadhali kumbuka: katika tatizo la awali, kutofautiana x inaonekana katika logi moja tu, na inaonekana katika hoja yake. Kwa hivyo, hakuna haja ya kuangalia kikoa, na nambari yetu x = -4 ndio jibu.
Sasa hebu tuendelee kwenye usemi wa pili:
gogo 56 = gogo 2 logi 2 7 − 3logi (x + 4)
Hapa, pamoja na logarithms ya kawaida, tutalazimika kufanya kazi na logi f (x). Jinsi ya kutatua equation kama hiyo? Kwa mwanafunzi ambaye hajajitayarisha inaweza kuonekana kama hii ni aina fulani ya kazi ngumu, lakini kwa kweli kila kitu kinaweza kutatuliwa kwa njia ya msingi.
Angalia kwa karibu neno lg 2 logi 2 7. Tunaweza kusema nini kuhusu hilo? Misingi na hoja za logi na lg ni sawa, na hii inapaswa kutoa maoni kadhaa. Wacha tukumbuke tena jinsi nguvu zinatolewa kutoka chini ya ishara ya logarithm:
log a b n = nlog a b
Kwa maneno mengine, nini ilikuwa nguvu ya b katika hoja inakuwa sababu mbele ya logi yenyewe. Hebu tutumie fomula hii kwa kujieleza lg 2 logi 2 7. Usiogope na lg 2 - hii ndiyo usemi wa kawaida zaidi. Unaweza kuiandika tena kama ifuatavyo:
Sheria zote zinazotumika kwa logarithm nyingine yoyote ni halali kwake. Hasa, jambo lililo mbele linaweza kuongezwa kwa kiwango cha hoja. Hebu tuandike:
Mara nyingi, wanafunzi hawaoni hatua hii moja kwa moja, kwa sababu si vizuri kuingiza logi moja chini ya ishara ya mwingine. Kwa kweli, hakuna kitu cha uhalifu kuhusu hili. Kwa kuongezea, tunapata fomula ambayo ni rahisi kuhesabu ikiwa unakumbuka sheria muhimu:
Fomula hii inaweza kuzingatiwa kama ufafanuzi na kama moja ya sifa zake. Kwa hali yoyote, ikiwa unabadilisha equation ya logarithmic, unapaswa kujua fomula hii kama vile ungejua uwakilishi wa logi wa nambari yoyote.
Turudi kwenye kazi yetu. Tunaiandika upya kwa kuzingatia ukweli kwamba muhula wa kwanza upande wa kulia wa ishara sawa itakuwa sawa na lg 7. Tuna:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
Wacha tuhamishe lg 7 kwenda kushoto, tunapata:
lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)
Tunatoa misemo iliyo upande wa kushoto kwa sababu ina msingi sawa:
lg (56/7) = −3lg (x + 4)
Sasa hebu tuangalie kwa karibu equation tuliyopata. Ni kivitendo fomu ya kisheria, lakini kuna kipengele -3 upande wa kulia. Wacha tuiongeze kwa hoja sahihi ya lg:
gogo 8 = gogo (x + 4) −3
Mbele yetu kuna aina ya kisheria ya mlinganyo wa logarithmic, kwa hivyo tunavuka alama za lg na kusawazisha hoja:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0.5
Ni hayo tu! Tulitatua mlinganyo wa pili wa logarithmic. Katika kesi hii, hakuna ukaguzi wa ziada unaohitajika, kwa sababu katika tatizo la awali x lilikuwepo katika hoja moja tu.
Nitaiorodhesha tena pointi muhimu somo hili.
Fomula kuu ambayo inafunzwa katika masomo yote kwenye ukurasa huu yaliyowekwa kwa ajili ya kutatua milinganyo ya logarithmic ni fomu ya kisheria. Na usiogope na ukweli kwamba vitabu vingi vya shule vinakufundisha kutatua matatizo hayo tofauti. Chombo hiki hufanya kazi kwa ufanisi sana na hukuruhusu kutatua darasa pana zaidi la shida kuliko zile rahisi ambazo tulisoma mwanzoni mwa somo letu.
Kwa kuongeza, kutatua equations za logarithmic itakuwa muhimu kujua mali ya msingi. Yaani:
- Njia ya kuhamia kwenye msingi mmoja na kesi maalum wakati tunabadilisha logi (hii ilikuwa muhimu sana kwetu katika tatizo la kwanza);
- Mfumo wa kuongeza na kupunguza nguvu kutoka kwa ishara ya logariti. Hapa, wanafunzi wengi hukwama na hawaoni kwamba shahada iliyotolewa na kuletwa inaweza kuwa na logi f (x). Hakuna ubaya kwa hilo. Tunaweza kuanzisha logi moja kulingana na ishara ya nyingine na wakati huo huo kurahisisha kwa kiasi kikubwa suluhisho la tatizo, ambalo ndilo tunaloona katika kesi ya pili.
Kwa kumalizia, ningependa kuongeza kwamba si lazima kuangalia uwanja wa ufafanuzi katika kila kesi hizi, kwa sababu kila mahali kutofautiana x iko katika ishara moja tu ya logi, na wakati huo huo ni katika hoja yake. Kama matokeo, mahitaji yote ya wigo yanatimizwa kiatomati.
Matatizo na msingi wa kutofautiana
Leo tutaangalia equations za logarithmic, ambazo kwa wanafunzi wengi zinaonekana zisizo za kawaida, ikiwa haziwezi kutatuliwa kabisa. Ni kuhusu kuhusu misemo kulingana na sio kwa nambari, lakini kwa vigezo na hata kazi. Tutasuluhisha ujenzi kama huo kwa kutumia mbinu yetu ya kawaida, ambayo ni kupitia fomu ya kisheria.
Kwanza, hebu tukumbuke jinsi matatizo rahisi zaidi yanatatuliwa, kwa kuzingatia namba za kawaida. Kwa hiyo, ujenzi rahisi zaidi unaitwa
logi a f (x) = b
Ili kutatua shida kama hizo, tunaweza kutumia fomula ifuatayo:
b = logi a b
Tunaandika upya usemi wetu wa asili na kupata:
logi a f (x) = logi a a b
Kisha tunalinganisha hoja, i.e. tunaandika:
f (x) = a b
Kwa hivyo, tunaondoa ishara ya logi na kutatua shida ya kawaida. Katika kesi hii, mizizi iliyopatikana kutoka kwa suluhisho itakuwa mizizi ya equation ya awali ya logarithmic. Kwa kuongeza, rekodi wakati kushoto na kulia ziko kwenye logarithm sawa na msingi sawa inaitwa kwa usahihi fomu ya kisheria. Ni kwa rekodi kama hiyo kwamba tutajaribu kupunguza miundo ya leo. Kwa hiyo, twende.
Jukumu la kwanza:
logi x - 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Badilisha 1 kwa logi x - 2 (x - 2) 1 . Kiwango tunachoona katika hoja ni nambari b iliyosimama upande wa kulia wa ishara sawa. Kwa hivyo, wacha tuandike tena usemi wetu. Tunapata:
gogo x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = gogo x - 2 (x - 2)
Tunaona nini? Mbele yetu kuna aina ya kisheria ya mlingano wa logarithmic, kwa hivyo tunaweza kusawazisha hoja kwa usalama. Tunapata:
2x 2 - 13x + 18 = x -2
Lakini suluhisho haliishii hapo, kwa sababu mlinganyo huu sio sawa na ule wa asili. Baada ya yote, ujenzi unaotokana unajumuisha kazi ambazo zinafafanuliwa kwenye mstari mzima wa nambari, na logarithms yetu ya awali haijafafanuliwa kila mahali na si mara zote.
Kwa hivyo, lazima tuandike kikoa cha ufafanuzi tofauti. Wacha tusigawanye nywele na kwanza tuandike mahitaji yote:
Kwanza, hoja ya kila logariti lazima iwe kubwa kuliko 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Pili, msingi lazima sio tu kuwa mkubwa kuliko 0, lakini pia tofauti na 1:
x − 2 ≠ 1
Kama matokeo, tunapata mfumo:
Lakini usifadhaike: wakati wa kusindika hesabu za logarithmic, mfumo kama huo unaweza kurahisishwa kwa kiasi kikubwa.
Jaji mwenyewe: kwa upande mmoja, tunatakiwa kuwa kazi ya quadratic iwe kubwa kuliko sifuri, na kwa upande mwingine, kazi hii ya quadratic inalingana na usemi fulani wa mstari, ambayo pia inahitajika kuwa kubwa kuliko sifuri.
Katika kesi hii, ikiwa tunahitaji kwamba x - 2 > 0, basi hitaji la 2x 2 - 13x + 18 > 0 litatoshelezwa kwa usalama kazi ya quadratic. Kwa hivyo, idadi ya misemo iliyo katika mfumo wetu itapunguzwa hadi tatu.
Bila shaka, kwa mafanikio sawa tunaweza kuvuka usawa wa mstari, yaani, kuvuka x - 2 > 0 na kuhitaji kwamba 2x 2 - 13x + 18 > 0. Lakini utakubali kwamba kutatua usawa rahisi zaidi wa mstari ni haraka zaidi. na rahisi, kuliko quadratic, hata chini ya hali ya kwamba kama matokeo ya kutatua mfumo huu wote tunapata mizizi sawa.
Kwa ujumla, jaribu kuongeza mahesabu kila inapowezekana. Na katika kesi ya milinganyo ya logarithmic, ondoa tofauti ngumu zaidi.
Wacha tuandike upya mfumo wetu:
Hapa kuna mfumo wa maneno matatu, mawili ambayo sisi, kwa kweli, tayari tumeshughulikia. Hebu tuandike tofauti mlinganyo wa quadratic na tuitatue:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Tunayo utatu uliopunguzwa wa quadratic mbele yetu na, kwa hivyo, tunaweza kutumia fomula za Vieta. Tunapata:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Sasa tunarudi kwenye mfumo wetu na kupata kwamba x = 2 haitufai, kwa sababu tunatakiwa kwamba x iwe kubwa zaidi kuliko 2.
Lakini x = 5 inatufaa kikamilifu: nambari ya 5 ni kubwa kuliko 2, na wakati huo huo 5 si sawa na 3. Kwa hiyo, suluhisho pekee la mfumo huu litakuwa x = 5.
Hiyo ndiyo yote, tatizo linatatuliwa, ikiwa ni pamoja na kuzingatia ODZ. Wacha tuendelee kwenye mlinganyo wa pili. Mahesabu zaidi ya kuvutia na ya kuelimisha yanatungojea hapa:
Hatua ya kwanza: kama mara ya mwisho, tunaleta suala hili lote katika mfumo wa kisheria. Ili kufanya hivyo, tunaweza kuandika nambari 9 kama ifuatavyo.
Msingi wa mizizi unaweza kuachwa bila kuguswa, lakini ni bora kubadilisha hoja. Wacha tuhame kutoka kwa mzizi hadi kwa nguvu na kielelezo cha busara. Hebu tuandike:
Acha nisiandike upya mlinganyo wetu wote mkubwa wa logarithmic, lakini nisawazishe hoja mara moja:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Mbele yetu kuna utatu mpya uliopunguzwa wa quadratic, hebu tutumie fomula za Vieta na tuandike:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = -3
x 2 = -1
Kwa hivyo, tulipata mizizi, lakini hakuna mtu aliyetuhakikishia kwamba ingefaa mlinganyo wa asili wa logarithmic. Baada ya yote, ishara za logi zinaweka vikwazo vya ziada (hapa tunapaswa kuandika mfumo, lakini kutokana na hali mbaya ya muundo mzima, niliamua kuhesabu uwanja wa ufafanuzi tofauti).
Kwanza kabisa, kumbuka kuwa hoja lazima ziwe kubwa kuliko 0, ambazo ni:
Haya ni mahitaji yaliyowekwa na upeo wa ufafanuzi.
Wacha tuangalie mara moja kwamba kwa kuwa tunalinganisha maneno mawili ya kwanza ya mfumo kwa kila mmoja, tunaweza kuvuka yoyote kati yao. Hebu tuchunguze ya kwanza kwa sababu inaonekana ya kutisha kuliko ya pili.
Kwa kuongezea, kumbuka kuwa suluhisho la usawa wa pili na wa tatu litakuwa seti sawa (mchemraba wa nambari fulani ni kubwa kuliko sifuri, ikiwa nambari hii yenyewe ni kubwa kuliko sifuri; vivyo hivyo, na mzizi wa digrii ya tatu - usawa huu. zinafanana kabisa, kwa hivyo tunaweza kuiondoa).
Lakini kwa usawa wa tatu hii haitafanya kazi. Wacha tuondoe ishara kali upande wa kushoto kwa kuinua sehemu zote mbili hadi mchemraba. Tunapata:
Kwa hivyo tunapata mahitaji yafuatayo:
− 2 ≠ x > −3
Ni ipi kati ya mizizi yetu: x 1 = −3 au x 2 = −1 inakidhi mahitaji haya? Ni wazi, ni x = −1 pekee, kwa sababu x = −3 haikidhi usawa wa kwanza (kwani ukosefu wetu wa usawa ni mkali). Kwa hivyo, tukirudi kwenye shida yetu, tunapata mzizi mmoja: x = -1. Hiyo ndiyo yote, shida imetatuliwa.
Kwa mara nyingine tena, mambo muhimu ya kazi hii:
- Jisikie huru kutumia na kutatua milinganyo ya logarithmic kwa kutumia fomu ya kisheria. Wanafunzi wanaotoa dokezo kama hilo, badala ya kuhama moja kwa moja kutoka kwa tatizo la awali hadi kwenye ujenzi kama vile logi a f (x) = b, hufanya makosa machache sana kuliko wale wanaokimbilia mahali fulani, wakiruka hatua za kati za hesabu;
- Mara tu msingi wa kutofautisha unapoonekana kwenye logarithm, shida huacha kuwa rahisi zaidi. Kwa hivyo, wakati wa kuisuluhisha, ni muhimu kuzingatia kikoa cha ufafanuzi: hoja lazima ziwe kubwa kuliko sifuri, na misingi haipaswi kuwa kubwa kuliko 0 tu, lakini pia haipaswi kuwa sawa na 1.
Mahitaji ya mwisho yanaweza kutumika kwa majibu ya mwisho kwa njia tofauti. Kwa mfano, unaweza kutatua mfumo mzima ulio na mahitaji yote ya kikoa cha ufafanuzi. Kwa upande mwingine, unaweza kwanza kutatua tatizo yenyewe, na kisha kumbuka kikoa cha ufafanuzi, ufanyie kazi tofauti katika mfumo wa mfumo na uitumie kwenye mizizi iliyopatikana.
Ni njia gani ya kuchagua wakati wa kusuluhisha mlinganyo fulani wa logarithmic ni juu yako. Kwa hali yoyote, jibu litakuwa sawa.
Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.
Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi
Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.
Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.
Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.
Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:
- Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, anwani Barua pepe na kadhalika.
Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:
- Imekusanywa na sisi habari za kibinafsi huturuhusu kuwasiliana nawe na kukujulisha kuhusu matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
- Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
- Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
- Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.
Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine
Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.
Vighairi:
- Ikibidi - kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, mashauri ya kisheria, na/au kulingana na maombi ya umma au maombi kutoka mashirika ya serikali kwenye eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
- Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.
Ulinzi wa habari za kibinafsi
Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.
Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni
Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.
Tunaendelea kusoma logarithms. Katika makala hii tutazungumzia kuhesabu logarithm, mchakato huu unaitwa logarithm. Kwanza tutaelewa hesabu ya logarithms kwa ufafanuzi. Ifuatayo, hebu tuangalie jinsi maadili ya logarithms yanapatikana kwa kutumia mali zao. Baada ya hayo, tutazingatia kuhesabu logariti kupitia maadili maalum ya logariti zingine. Hatimaye, hebu tujifunze jinsi ya kutumia meza za logarithm. Nadharia nzima imetolewa na mifano yenye masuluhisho ya kina.
Urambazaji wa ukurasa.
Kukokotoa logariti kwa ufafanuzi
Katika hali rahisi, inawezekana kufanya haraka na kwa urahisi kutafuta logarithm kwa ufafanuzi. Wacha tuangalie kwa undani jinsi mchakato huu unavyotokea.
Kiini chake ni kuwakilisha nambari b katika fomu a c, ambayo, kwa ufafanuzi wa logarithm, nambari c ni thamani ya logarithm. Hiyo ni, kwa ufafanuzi, mlolongo ufuatao wa usawa unalingana na kutafuta logarithm: log a b=log a a c =c.
Kwa hivyo, kuhesabu logariti kwa ufafanuzi kunakuja kupata nambari c hivi kwamba c = b, na nambari c yenyewe ndio dhamana inayotakikana ya logariti.
Kwa kuzingatia habari katika aya zilizopita, wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logarithm inatolewa na nguvu fulani ya msingi wa logarithm, unaweza kuonyesha mara moja kile logarithm ni sawa - ni sawa na kielelezo. Wacha tuonyeshe suluhisho kwa mifano.
Mfano.
Tafuta logi 2 2 -3, na pia uhesabu logarithm ya asili ya nambari e 5,3.
Suluhisho.
Ufafanuzi wa logarithm hutuwezesha kusema mara moja kwamba logi 2 2 -3 =-3. Hakika, nambari iliyo chini ya ishara ya logariti ni sawa na msingi 2 hadi -3 nguvu.
Vile vile, tunapata logarithm ya pili: lne 5.3 =5.3.
Jibu:
logi 2 2 -3 =−3 na lne 5,3 =5,3.
Ikiwa nambari b chini ya ishara ya logariti haijabainishwa kama nguvu ya msingi wa logarithm, basi unahitaji kuangalia kwa uangalifu ili kuona ikiwa inawezekana kuja na uwakilishi wa nambari b katika fomu a c . Mara nyingi uwakilishi huu ni dhahiri kabisa, haswa wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logariti ni sawa na msingi kwa nguvu ya 1, au 2, au 3, ...
Mfano.
Kukokotoa logariti logi 5 25 , na .
Suluhisho.
Ni rahisi kuona kwamba 25=5 2, hii inakuwezesha kukokotoa logariti ya kwanza: logi 5 25=logi 5 5 2 =2.
Wacha tuendelee kuhesabu logarithm ya pili. Nambari inaweza kuwakilishwa kama nguvu ya 7: 
(angalia ikiwa ni lazima). Kwa hivyo, 
.
Hebu tuandike upya logariti ya tatu katika fomu ifuatayo. Sasa unaweza kuona hilo 
, ambayo tunahitimisha kuwa 
. Kwa hiyo, kwa ufafanuzi wa logarithm 
.
Kwa kifupi, suluhisho linaweza kuandikwa kama ifuatavyo:
Jibu:
kumbukumbu 5 25=2 , 
Na .
Wakati kuna idadi kubwa ya asili ya kutosha chini ya ishara ya logarithm, haidhuru kuijumuisha katika sababu kuu. Mara nyingi husaidia kuwakilisha nambari kama nguvu fulani ya msingi wa logariti, na kwa hivyo kuhesabu logariti hii kwa ufafanuzi.
Mfano.
Tafuta thamani ya logariti.
Suluhisho.
Baadhi ya sifa za logariti hukuruhusu kutaja mara moja thamani ya logarithms. Sifa hizi ni pamoja na sifa ya logariti ya moja na sifa ya logariti ya nambari sawa na msingi: logi 1 1=logi a 0 =0 na logi a=logi a a 1 =1. Hiyo ni, wakati chini ya ishara ya logarithm kuna nambari 1 au nambari sawa na msingi wa logarithm, basi katika kesi hizi logarithms ni sawa na 0 na 1, kwa mtiririko huo.
Mfano.
Logarithmu na log10 ni sawa na nini?
Suluhisho.
Tangu , basi kutoka kwa ufafanuzi wa logarithm inafuata 
.
Katika mfano wa pili, nambari 10 chini ya ishara ya logariti inalingana na msingi wake, kwa hivyo logariti ya desimali ya kumi ni sawa na moja, ambayo ni, lg10=lg10 1 =1.
Jibu:
NA lg10=1 .
Kumbuka kwamba hesabu ya logariti kwa ufafanuzi (ambayo tulijadili katika aya iliyotangulia) inamaanisha matumizi ya logi ya usawa a p =p, ambayo ni moja ya sifa za logarithmu.
Kwa mazoezi, wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logariti na msingi wa logariti inawakilishwa kwa urahisi kama nguvu ya nambari fulani, ni rahisi sana kutumia fomula. 
, ambayo inalingana na moja ya mali ya logarithms. Hebu tuangalie mfano wa kutafuta logariti inayoonyesha matumizi ya fomula hii.
Mfano.
Kuhesabu logarithm.
Suluhisho.
Jibu:
.
Sifa za logarithm ambazo hazijatajwa hapo juu pia hutumiwa katika mahesabu, lakini tutazungumza juu ya hili katika aya zifuatazo.
Kupata logariti kupitia logariti nyingine zinazojulikana
Taarifa katika aya hii inaendelea na mada ya kutumia sifa za logarithm wakati wa kuzihesabu. Lakini hapa tofauti kuu ni kwamba mali ya logarithms hutumiwa kuelezea logarithm ya awali kwa suala la logarithm nyingine, ambayo thamani yake inajulikana. Hebu tutoe mfano kwa ufafanuzi. Wacha tuseme tunajua kuwa logi 2 3≈1.584963, basi tunaweza kupata, kwa mfano, logi 2 6 kwa kufanya mabadiliko kidogo kwa kutumia mali ya logarithm: gogo 2 6=logi 2 (2 3)=logi 2 2+logi 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Katika mfano hapo juu, ilikuwa ya kutosha kwetu kutumia mali ya logarithm ya bidhaa. Walakini, mara nyingi zaidi inahitajika kutumia safu pana ya mali ya logarithm ili kuhesabu logarithm asili kupitia zile zilizopewa.
Mfano.
Kokotoa logariti ya 27 hadi msingi 60 ikiwa unajua logi 60 2=a na logi 60 5=b.
Suluhisho.
Kwa hivyo tunahitaji kupata logi 60 27 . Ni rahisi kuona kwamba 27 = 3 3, na logariti asili, kwa sababu ya sifa ya logariti ya nguvu, inaweza kuandikwa upya kama 3·logi 60 3.
Sasa hebu tuone jinsi ya kuelezea logi 60 3 kwa suala la logarithms inayojulikana. Sifa ya logariti ya nambari sawa na msingi inaturuhusu kuandika logi ya usawa 60 60=1. Kwa upande mwingine, logi 60 60=log60(2 2 3 5)= gogo 60 2 2 +logi 60 3+logi 60 5= 2·logi 60 2+logi 60 3+logi 60 5 . Hivyo, 2 gogo 60 2+logi 60 3+logi 60 5=1. Kwa hivyo, gogo 60 3=1−2·logi 60 2−logi 60 5=1−2·a−b.
Hatimaye, tunahesabu logarithm asili: logi 60 27=3 logi 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Jibu:
gogo 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Kando, inafaa kutaja maana ya fomula ya mpito kwa msingi mpya wa logarithm ya fomu. 
. Inakuruhusu kuhama kutoka kwa logariti na msingi wowote hadi logariti zilizo na msingi maalum, maadili ambayo yanajulikana au inawezekana kuipata. Kawaida, kutoka kwa logarithm ya asili, kwa kutumia formula ya mpito, huhamia logarithms katika moja ya besi 2, e au 10, kwa kuwa kwa misingi hii kuna meza za logarithms ambazo huruhusu maadili yao kuhesabiwa kwa kiwango fulani. usahihi. Katika aya inayofuata tutaonyesha jinsi hii inafanywa.
Jedwali la Logarithm na matumizi yao
Kwa hesabu takriban ya maadili ya logarithm inaweza kutumika meza za logarithm. Jedwali la logarithm 2 la msingi linalotumika sana, jedwali la logarithm asilia na jedwali la logarithm ya desimali. Wakati wa kufanya kazi katika mfumo wa nambari ya decimal, ni rahisi kutumia meza ya logarithms kulingana na msingi wa kumi. Kwa msaada wake tutajifunza kupata maadili ya logarithms.
Jedwali lililowasilishwa hukuruhusu kupata maadili ya logariti za nambari za nambari kutoka 1,000 hadi 9,999 (na sehemu tatu za decimal) na usahihi wa elfu kumi. Tutachambua kanuni ya kupata thamani ya logariti kwa kutumia jedwali la logariti za desimali mfano maalum- ni wazi zaidi kwa njia hiyo. Wacha tupate logi1.256.
Katika safu ya kushoto ya jedwali la logarithms ya decimal tunapata tarakimu mbili za kwanza za nambari 1.256, yaani, tunapata 1.2 (nambari hii imezungukwa kwa bluu kwa uwazi). Nambari ya tatu ya nambari 1.256 (tarakimu 5) inapatikana kwenye mstari wa kwanza au wa mwisho upande wa kushoto wa mstari wa mara mbili (nambari hii imezunguka kwa nyekundu). Nambari ya nne ya nambari ya asili 1.256 (tarakimu 6) inapatikana kwenye mstari wa kwanza au wa mwisho upande wa kulia wa mstari wa mara mbili (nambari hii imezungukwa na mstari wa kijani). Sasa tunapata nambari kwenye seli za jedwali la logarithm kwenye makutano ya safu iliyowekwa alama na safu wima zilizowekwa alama (nambari hizi zimeangaziwa. machungwa) Jumla ya nambari zilizowekwa alama hutoa thamani inayotakiwa ya logarithm ya desimali kwa usahihi hadi nafasi ya nne ya desimali, ambayo ni, logi1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
Inawezekana, kwa kutumia jedwali hapo juu, kupata maadili ya logariti za nambari za nambari ambazo zina zaidi ya nambari tatu baada ya nukta ya decimal, na vile vile zile zinazoenda zaidi ya safu kutoka 1 hadi 9.999? Ndio unaweza. Wacha tuonyeshe jinsi hii inafanywa kwa mfano.
Wacha tuhesabu lg102.76332. Kwanza unahitaji kuandika nambari ndani fomu ya kawaida : 102.76332=1.0276332 · 10 2. Baada ya hayo, mantissa inapaswa kuzungushwa hadi nafasi ya tatu ya decimal, tunayo 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, wakati logariti ya desimali asili ni takriban sawa na logariti ya nambari inayotokana, yaani, tunachukua log102.76332≈lg1.028·10 2. Sasa tunatumia mali ya logarithm: Lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Hatimaye, tunapata thamani ya logarithm lg1.028 kutoka kwa jedwali la logarithms desimali lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Kama matokeo, mchakato mzima wa kuhesabu logarithm inaonekana kama hii: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = logi1.028+lg10 2 =logi1.028+2≈0.012+2=2.012.
Kwa kumalizia, ni muhimu kuzingatia kwamba kwa kutumia jedwali la logarithm za decimal unaweza kuhesabu thamani ya takriban ya logarithm yoyote. Ili kufanya hivyo, inatosha kutumia formula ya mpito kwenda kwa logarithms ya decimal, kupata maadili yao kwenye jedwali, na kufanya mahesabu iliyobaki.
Kwa mfano, hebu tuhesabu logi 2 3 . Kulingana na fomula ya mpito hadi msingi mpya wa logarithm, tunayo . Kutoka kwa jedwali la logarithms decimal tunapata log3≈0.4771 na log2≈0.3010. Hivyo, 
.
Bibliografia.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. na wengine Algebra na mwanzo wa uchambuzi: Kitabu cha maandishi kwa darasa la 10 - 11 la taasisi za elimu ya jumla.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Hisabati (mwongozo kwa wale wanaoingia shule za ufundi).
