KANISA LA ORTHODOX Kanisa la Kiorthodoksi si la kidunia tu...
N.k., ni jambo la busara kufahamiana na milinganyo ya aina zingine. Inayofuata kwenye mstari ni milinganyo ya mstari, utafiti unaolengwa ambao huanza katika masomo ya aljebra katika daraja la 7.
Ni wazi kwamba kwanza tunahitaji kueleza equation ya mstari ni nini, kutoa ufafanuzi wa equation ya mstari, coefficients yake, na kuonyesha fomu yake ya jumla. Kisha unaweza kujua ni suluhisho ngapi equation ya mstari ina kulingana na maadili ya coefficients, na jinsi mizizi hupatikana. Hii itawawezesha kuendelea na kutatua mifano, na hivyo kuunganisha nadharia iliyojifunza. Katika makala hii tutafanya hivi: tutakaa kwa undani juu ya vidokezo vyote vya kinadharia na vitendo vinavyohusiana na usawa wa mstari na suluhisho zao.
Wacha tuseme mara moja kwamba hapa tutazingatia hesabu za mstari tu na tofauti moja, na katika nakala tofauti tutasoma kanuni za suluhisho. milinganyo ya mstari yenye vigeu viwili.
Urambazaji wa ukurasa.
Mlingano wa mstari ni nini?
Ufafanuzi wa equation ya mstari hutolewa kwa jinsi ilivyoandikwa. Zaidi ya hayo, katika vitabu tofauti vya hisabati na aljebra, uundaji wa ufafanuzi wa milinganyo ya mstari una tofauti fulani ambazo haziathiri kiini cha suala.
Kwa mfano, katika kitabu cha kiada cha aljebra cha darasa la 7 na Yu.
Ufafanuzi.
Mlinganyo wa fomu x=b, ambapo x ni variable, a na b ni baadhi ya namba, inaitwa mlinganyo wa mstari na kigezo kimoja.
Wacha tutoe mifano ya milinganyo ya mstari ambayo inakidhi ufafanuzi uliotajwa. Kwa mfano, 5 x = 10 ni mlinganyo wa mstari wenye kigezo kimoja cha x, hapa mgawo a ni 5, na nambari b ni 10. Mfano mwingine: -2.3 · y=0 pia ni mlinganyo wa mstari, lakini yenye mabadiliko y, ambayo a=-2.3 na b=0. Na katika milinganyo ya mstari x=−2 na -x=3.33 a hazipo kwa uwazi na ni sawa na 1 na -1, mtawalia, huku katika mlingano wa kwanza b=-2, na wa pili - b=3.33.
Na mwaka mmoja mapema, katika kitabu cha hesabu cha N. Vilenkin, hesabu za mstari na moja isiyojulikana, pamoja na hesabu za fomu a x = b, pia zilizingatiwa equations ambazo zinaweza kuletwa kwa fomu hii kwa kuhamisha maneno kutoka kwa sehemu moja. ya equation hadi nyingine yenye ishara kinyume, na pia kwa kupunguza maneno sawa. Kwa mujibu wa ufafanuzi huu, equations ya fomu 5 x = 2 x + 6, nk. pia linear.
Kwa upande wake, katika kitabu cha algebra cha daraja la 7 na A. G. Mordkovich ufafanuzi ufuatao umetolewa:
Ufafanuzi.
Mlingano wa mstari na kigezo kimoja cha x ni mlinganyo wa umbo a·x+b=0, ambapo a na b ni baadhi ya nambari zinazoitwa mgawo wa mlinganyo wa mstari.
Kwa mfano, milinganyo ya mstari ya aina hii ni 2 x-12=0, hapa mgawo a ni 2, na b ni sawa na -12, na 0.2 y+4.6=0 na coefficients a=0.2 na b =4.6. Lakini wakati huo huo, kuna mifano ya milinganyo ya mstari ambayo ina umbo si a·x+b=0, lakini a·x=b, kwa mfano, 3·x=12.
Hebu, ili tusiwe na tofauti zozote katika siku zijazo, kwa mlinganyo wa mstari na kigezo kimoja cha x na mgawo a na b tutaelewa mlinganyo wa fomu a x + b = 0. Aina hii ya equation ya mstari inaonekana kuwa yenye haki zaidi, kwani milinganyo ya mstari ndiyo milinganyo ya algebra shahada ya kwanza. Na hesabu zingine zote zilizoonyeshwa hapo juu, pamoja na hesabu ambazo, kwa kutumia mabadiliko sawa, hupunguzwa kuwa fomu x + b = 0, tutaita. milinganyo ambayo inapungua hadi milinganyo ya mstari. Kwa mbinu hii, mlinganyo 2 x+6=0 ni mlinganyo wa mstari, na 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12, nk. - Hizi ni milinganyo ambayo hupungua hadi mstari.
Jinsi ya kutatua equations za mstari?
Sasa ni wakati wa kubaini jinsi milinganyo ya mstari a·x+b=0 hutatuliwa. Kwa maneno mengine, ni wakati wa kujua ikiwa equation ya mstari ina mizizi, na ikiwa ni hivyo, ni ngapi kati yao na jinsi ya kuipata.
Uwepo wa mizizi ya equation ya mstari inategemea maadili ya coefficients a na b. Katika kesi hii, equation ya mstari x+b=0 ina
- mzizi pekee wa a≠0,
- haina mizizi ya a=0 na b≠0,
- ina mizizi mingi isiyo na kikomo ya a=0 na b=0, kwa hali ambayo nambari yoyote ni mzizi wa mlinganyo wa mstari.
Hebu tueleze jinsi matokeo haya yalipatikana.
Tunajua kwamba ili kutatua milinganyo tunaweza kuhama kutoka mlinganyo wa asili hadi milinganyo sawa, yaani, hadi milinganyo yenye mizizi sawa au, kama ile ya awali, bila mizizi. Kwa kufanya hivyo, unaweza kutumia mabadiliko sawa yafuatayo:
- kuhamisha neno kutoka sehemu moja ya equation hadi nyingine na ishara kinyume,
- pamoja na kuzidisha au kugawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari ile ile isiyo ya sifuri.
Kwa hivyo, katika mlingano wa mstari wenye kigezo kimoja cha umbo a·x+b=0, tunaweza kuhamisha neno b kutoka upande wa kushoto hadi upande wa kulia kwa ishara kinyume. Katika hali hii, mlinganyo utachukua fomu a·x=−b.
Na kisha inauliza swali la kugawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari a. Lakini kuna jambo moja: nambari a inaweza kuwa sawa na sifuri, katika hali ambayo mgawanyiko huo hauwezekani. Ili kukabiliana na tatizo hili, kwanza tutafikiri kwamba nambari a sio sifuri, na tutazingatia kesi ya kuwa sawa na sifuri kando baadaye kidogo.
Kwa hivyo, wakati a si sawa na sifuri, basi tunaweza kugawanya pande zote mbili za equation a·x=−b na a, baada ya hapo itabadilika kuwa fomu x=(−b):a, matokeo haya yanaweza kuandikwa. kwa kutumia kufyeka sehemu kama.
Kwa hivyo, kwa a≠0, mlinganyo wa mstari a·x+b=0 ni sawa na mlinganyo, ambapo mzizi wake unaonekana.
Ni rahisi kuonyesha kwamba mzizi huu ni wa kipekee, yaani, equation ya mstari haina mizizi mingine. Hii inakuwezesha kufanya njia kinyume.
Wacha tuonyeshe mzizi kama x 1. Wacha tufikirie kuwa kuna mzizi mwingine wa equation ya mstari, ambayo tunaashiria kama x 2, na x 2 ≠x 1, ambayo, kwa sababu ya kuamua nambari sawa kupitia tofauti ni sawa na hali x 1 −x 2 ≠0. Kwa kuwa x 1 na x 2 ni mizizi ya mlingano wa mstari a·x+b=0, basi usawa wa nambari a·x 1 +b=0 na a·x 2 +b=0 kushikilia. Tunaweza kuondoa sehemu zinazolingana za usawa huu, ambazo sifa za usawa wa nambari huturuhusu kufanya, tuna a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, ambapo a·(x 1) −x 2)+( b−b)=0 na kisha a·(x 1 −x 2)=0 . Lakini usawa huu hauwezekani, kwani zote mbili a≠0 na x 1 - x 2 ≠0. Kwa hivyo tulikuja kwenye ukinzani, ambao unathibitisha upekee wa mzizi wa mlingano wa mstari a·x+b=0 kwa a≠0.
Kwa hivyo tulitatua mlingano wa mstari a·x+b=0 kwa a≠0. Matokeo ya kwanza yaliyotolewa mwanzoni mwa aya hii ni ya haki. Zimesalia mbili zaidi zinazokidhi sharti a=0.
Wakati a=0, mlinganyo wa mstari a·x+b=0 unachukua fomu 0·x+b=0. Kutoka kwa equation hii na mali ya kuzidisha nambari kwa sifuri inafuata kwamba haijalishi ni nambari gani tunayochukua kama x, inapobadilishwa kuwa equation 0 x + b=0, usawa wa nambari b=0 utapatikana. Usawa huu ni kweli wakati b=0, na katika hali nyingine wakati b≠0 usawa huu ni wa uongo.
Kwa hivyo, na a=0 na b=0, nambari yoyote ndio mzizi wa mlingano wa mstari a·x+b=0, kwani chini ya masharti haya, kubadilisha nambari yoyote kwa x kunatoa usawa sahihi wa nambari 0=0. Na wakati a=0 na b≠0, mlinganyo wa mstari a·x+b=0 hauna mizizi, kwani chini ya masharti haya, kubadilisha nambari yoyote badala ya x husababisha usawa wa nambari usio sahihi b=0.
Sababu zilizotolewa huturuhusu kuunda mfuatano wa vitendo ambao huturuhusu kutatua mlingano wowote wa mstari. Kwa hiyo, algorithm ya kutatua mlingano wa mstari ni:
- Kwanza, kwa kuandika equation ya mstari, tunapata maadili ya coefficients a na b.
- Ikiwa a=0 na b=0, basi mlingano huu una mizizi mingi sana, yaani, nambari yoyote ni mzizi wa mlingano huu wa mstari.
- Ikiwa a ni nonzero, basi
- mgawo b huhamishiwa upande wa kulia na ishara kinyume, na equation ya mstari inabadilishwa kuwa fomu a·x=−b,
- baada ya hapo pande zote mbili za mlinganyo unaotokana hugawanywa na nambari isiyo ya kawaida A, ambayo inatoa mzizi unaotaka wa mlingano wa awali wa mstari.
Algorithm iliyoandikwa ni jibu la kina kwa swali la jinsi ya kutatua equations za mstari.
Kwa kuhitimisha hoja hii, inafaa kusema kwamba algoriti sawa inatumiwa kutatua milinganyo ya fomu a·x=b. Tofauti yake ni kwamba wakati a≠0, pande zote mbili za equation zimegawanywa mara moja na nambari hii; hapa b iko tayari katika sehemu inayohitajika ya equation na hakuna haja ya kuihamisha.
Ili kutatua hesabu za fomu x = b, algorithm ifuatayo hutumiwa:
- Ikiwa a=0 na b=0, basi equation ina mizizi mingi sana, ambayo ni nambari zozote.
- Ikiwa a=0 na b≠0, basi mlinganyo wa asili hauna mizizi.
- Ikiwa a sio sifuri, basi pande zote mbili za equation zimegawanywa na nambari isiyo ya sifuri a, ambayo mzizi pekee wa equation hupatikana, sawa na b/a.
Mifano ya utatuzi wa milinganyo ya mstari
Tuendelee na mazoezi. Wacha tuangalie jinsi algorithm ya kusuluhisha milinganyo ya mstari inatumiwa. Wacha tutoe suluhisho kwa mifano ya kawaida inayolingana na maana tofauti mgawo wa milinganyo ya mstari.
Mfano.
Tatua mlingano wa mstari 0·x−0=0.
Suluhisho.
Katika mlinganyo huu wa mstari, a=0 na b=−0 , ambayo ni sawa na b=0 . Kwa hivyo, mlinganyo huu una mizizi mingi sana; nambari yoyote ni mzizi wa mlingano huu.
Jibu:
x - nambari yoyote.
Mfano.
Je, equation ya mstari 0 x + 2.7 = 0 ina suluhu?
Suluhisho.
Katika kesi hii, mgawo a ni sawa na sifuri, na mgawo b wa equation hii ya mstari ni sawa na 2.7, yaani, tofauti na sifuri. Kwa hivyo, equation ya mstari haina mizizi.
Usawa na kutofautiana f(x) = g(x) inaitwa equation na variable moja x. Thamani yoyote ya tofauti ambayo f(x) na g(x) huchukua thamani sawa za nambari inaitwa mzizi wa mlingano kama huo. Kwa hiyo, kutatua equation kunamaanisha kupata mizizi yote ya equation au kuthibitisha kwamba haipo.
Equation x 2 + 1 = 0 haina mizizi halisi, lakini ina mizizi ya kufikiria: katika kesi hii, haya ni mizizi x 1 = i, x 2 = -i. Katika kile kinachofuata, tutavutiwa tu na mizizi halisi ya equation.
Ikiwa equations ina mizizi sawa, basi inaitwa sawa. Milinganyo hiyo ambayo haina mizizi inachukuliwa kuwa sawa.
Wacha tuamue ikiwa milinganyo ni sawa:
a) x + 2 = 5 na x + 5 = 8
1. Hebu tutatue mlingano wa kwanza
2. Tatua mlinganyo wa pili
Mizizi ya equations ni sawa, hivyo x + 2 = 5 na x + 5 = 8 ni sawa.
b) x 2 + 1 = 0 na 2x 2 + 5 = 0
Equations hizi zote mbili hazina mizizi halisi, kwa hivyo ni sawa.
c) x - 5 = 1 na x 2 = 36
1. Pata mizizi ya equation ya kwanza
2. Pata mizizi ya equation ya pili
x 1 = 6, x 2 = -6
Mizizi ya equations haipatani, hivyo x - 5 = 1 na x 2 = 36 si sawa.
Wakati wa kutatua equation, wanajaribu kuibadilisha na sawa, lakini zaidi equation rahisi. Kwa hivyo, ni muhimu kujua kama matokeo ya mabadiliko gani equation hii inageuka kuwa equation sawa nayo.
Nadharia 1. Ukihamisha neno lolote katika mlinganyo kutoka sehemu moja hadi nyingine, ukibadilisha ishara, utapata mlinganyo unaolingana na uliyopewa.
Kwa mfano, equation x 2 + 2 = 3x ni sawa na equation x 2 + 2 - 3x = 0.
Nadharia 2. Ikiwa pande zote mbili za equation zinazidishwa au kugawanywa na nambari sawa (sio sawa na sifuri), basi equation sawa na moja iliyotolewa itapatikana.
Kwa mfano, equation (x 2 - 1) / 3 = 2x ni sawa na equation x 2 - 1 = 6x. Tulizidisha pande zote mbili za mlingano wa kwanza kwa 3.
Mlinganyo wa mstari na kigezo kimoja ni mlinganyo wa fomu shoka = b, ambapo a na b ni nambari halisi, na a huitwa mgawo wa kutofautisha, na b ni neno la bure.
Wacha tuchunguze visa vitatu vya shoka ya equation ya mstari = b.
1. a ≠ 0. Katika kesi hii, x = b/a (kwani a ni tofauti na sifuri).
2. a = 0, b = 0. Equation itachukua fomu: 0 ∙ x = 0. Equation hii ni kweli kwa x yoyote, i.e. Mzizi wa equation ni nambari yoyote halisi.
3. a = 0, b ≠ 0. Katika kesi hii, equation haitakuwa na mizizi, kwa sababu mgawanyiko kwa sifuri ni marufuku (0 ∙ x = b).
Kama matokeo ya mabadiliko, milinganyo mingi hupunguzwa hadi ya mstari.
Wacha tusuluhishe milinganyo
a) (1/5)x + 2/15= 0
1. Hebu tusogeze sehemu ya 2/15 kutoka upande wa kushoto wa equation hadi kulia na ishara kinyume. Mabadiliko haya yanadhibitiwa na Theorem 1. Kwa hivyo, equation itachukua fomu: (1/5)x = -2/15.
2. Ili kuondokana na denominator, tunazidisha pande zote mbili za equation na 15. Nadharia ya 2 inaturuhusu kufanya hivi, kwa hivyo, equation itachukua fomu.
(1/5)x ∙ 15= – 2/15 ∙ 15
Kwa hivyo, mzizi wa equation ni -2/3.
b) 2/3 + x/4 + (1 – x)/6 = 5x/12 – 1
1. Ili kuondokana na denominator, zidisha pande zote mbili za equation 
ia kwa 12 (na Theorem 2). Equation itachukua fomu:
12(2/3 + x/4 + (1 – x)/6) = 12(5x/12 – 1)
8 + 3x + 2 – 2x = 5x – 12
10 + x = 5x - 12
2. Kutumia Theorem 1, "tunakusanya" nambari zote za kulia, na vipengele vilivyo na x upande wa kushoto. Equation itachukua fomu:
10 +12 = 5x - x
Kwa hivyo, mzizi wa equation ni 5.5.
blog.site, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo asili kinahitajika.
X na upeo X. Kisha fomu ya kuelezea ya fomu f(x) = g(x) kuitwa equation na variable moja.Thamani inayobadilika X kutoka kwa wengi X, ambapo equation inageuka kuwa usawa wa kweli wa nambari inaitwa mzizi wa equation (au uamuzi wake). Tatua mlinganyo - hii inamaanisha kupata mizizi yake mingi.
Seti ya maadili ya tofauti ambayo misemo f(x) Na g(x) kufanya maana, inaitwa uwanja wa ufafanuzi wa equation
f(x) = g(x). Seti ya suluhu za mlinganyo ni sehemu ndogo ya kikoa chake cha ufafanuzi.
Ili kutatua equation yoyote, inabadilishwa kwanza, ikibadilisha na nyingine, rahisi zaidi; equation inayosababishwa inabadilishwa tena, ikibadilisha na rahisi zaidi, nk. Utaratibu huu unaendelea hadi equation ipatikane ambayo mizizi yake inaweza kupatikana kwa njia inayojulikana. Lakini ili mizizi hii iwe mizizi ya equation fulani, ni muhimu kwamba mchakato wa mabadiliko utoe milinganyo ambayo seti za mizizi zinapatana. Equations vile huitwa sawa.
Kubadilisha equation na equation sawa inaitwa mabadiliko.
Mabadiliko yanayoruhusu kupata milinganyo sawa inaweza kuwa kama ifuatavyo:
1. Ikiwa kwa pande zote mbili za mlinganyo f(x) = g(x), iliyofafanuliwa kwenye seti X, ongeza usemi sawa h(x), ambayo ina maana kwenye seti X, kisha tunapata equation f(x) + h(x) = g(x) + h(x), sawa na hii.
Kutoka kwa taarifa hii inafuata matokeo , ambayo hutumiwa kutatua milinganyo:
1) Ikiwa tunaongeza nambari sawa kwa pande zote mbili za equation, tunapata equation sawa na ile iliyotolewa.
2) Ikiwa neno lolote (au usemi wenye kutofautiana) huhamishwa kutoka sehemu moja ya equation hadi nyingine, kubadilisha ishara ya neno hadi kinyume, basi tunapata equation sawa na moja iliyotolewa.
2. Ikiwa pande zote mbili za mlinganyo f(x) = g(x), iliyofafanuliwa kwenye seti X, zidisha kwa usemi sawa h(x), ambayo ina maana kwenye seti X na haitoweka juu yake, basi tunapata mlingano f(x)× h(x) = g(x)× h(x), sawa na hii.
Kutoka kwa taarifa hii inafuata matokeo:
Ikiwa pande zote mbili za equation zimezidishwa kwa nambari sawa isipokuwa sifuri, unapata mlinganyo sawa na uliyopewa.
Kazi. Amua ni ipi kati ya jozi zifuatazo za milinganyo inayolingana kwenye seti ya nambari halisi:
A) X 2 - 9 = 0 na (2 X + 6)(X - 3) = 0;
b) (3 X+ 1) × 2 = 6 X+ 1 na X 2 + 1 = 0;
V) X 2 - X- 2 = 0 na ( X - 1)(X + 2) = 0;
Suluhisho. a) milinganyo ni sawa, kwani zote zina nambari 3 na -3 kama mizizi yao; b) equations ni sawa, kwa kuwa wote wawili hawana mizizi, i.e. seti zao za suluhisho sanjari; c) equations si sawa, kwani mizizi ya equation ya kwanza ni namba -1 na 2, na mizizi ya pili ni namba 1 na -2.
Kazi. Tatua equation na uhalalishe mabadiliko yote ambayo yatafanywa wakati wa mchakato wa suluhisho.
Suluhisho.
Mabadiliko | Mantiki ya mabadiliko |
1. Hebu tulete misemo kwenye pande za kushoto na za kulia za equation kwa denominator ya kawaida:. | Tulifanya mabadiliko sawa ya usemi kwenye upande wa kushoto wa mlinganyo. |
2. Wacha tutupilie mbali dhehebu la kawaida: 6 - 2x = x. | Tulizidisha pande zote mbili za mlingano kwa 6 (Nadharia 2) na tukapata mlingano sawa na huu. |
3. Usemi --2 X sogea upande wa kulia wa equation na ishara kinyume: 6 = X+ 2X. | Tulitumia mfuatano wa Nadharia ya 1 na tukapata mlinganyo sawa na ule wa awali na, kwa hivyo, kwa uliyopewa. |
4. Tunawasilisha maneno sawa upande wa kulia wa equation: 6 = 3 X. | Ilifanya mabadiliko sawa ya usemi. |
5. Gawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa 3: x = 2. | Tulitumia muhtasari wa Theorem 2 na tukapata mlinganyo sawa na ule wa awali, na kwa hivyo kwa hii. |
Kwa kuwa mabadiliko yote tuliyofanya wakati wa kutatua mlingano huu yalikuwa sawa, tunaweza kusema kwamba 2 ndio mzizi wa mlinganyo huu.
Ikiwa, katika mchakato wa kutatua equation, hali ya Theorems 1 na 2 haipatikani, basi kupoteza mizizi kunaweza kutokea au mizizi ya nje inaweza kuonekana. Kwa hiyo, ni muhimu, wakati wa kubadilisha equation ili kupata rahisi zaidi, ili kuhakikisha kwamba wanaongoza kwa equation sawa na moja iliyotolewa.
Fikiria, kwa mfano, equation X (X - 1) = 2X, XО R. Wacha tugawanye sehemu zote mbili X, tunapata equation X- 1 = 2, kutoka wapi X= 3, i.e. equation hii ina mzizi mmoja - nambari 3. Lakini hii ni kweli? Ni rahisi kuona ikiwa katika equation hii badala ya kutofautisha
X mbadala 0, inakuwa usawa wa kweli wa nambari
0 × (0 - 1) = 2 × 0. Hii ina maana kwamba 0 ni mzizi wa equation hii, ambayo tulipoteza wakati wa kufanya mabadiliko. Hebu tuzichambue. Jambo la kwanza tulilofanya ni kugawanya pande zote mbili za equation X, yaani, kuzidishwa na usemi, lakini pamoja na X= 0 haina maana. Kwa hivyo, hatukutimiza hali ya Theorem 2, ambayo ilisababisha upotezaji wa mzizi.
Ili kuhakikisha kwamba seti ya mizizi ya equation hii ina namba mbili 0 na 3, tunatoa suluhisho lingine. Wacha tusogeze usemi 2 X kutoka kulia kwenda kushoto: X (X - 1) - 2X= 0. Hebu tuondoe kwenye mabano upande wa kushoto wa equation X na toa masharti sawa:
X (X- 3) = 0. Bidhaa ya mambo mawili ni sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa angalau moja yao ni sawa na sifuri, kwa hiyo. X= 0 au X- 3 = 0. Kutoka hapa tunaona kwamba mizizi ya equation hii ni 0 na 3.
Katika kozi ya mwanzo ya hisabati msingi wa kinadharia kutatua milinganyo ni uhusiano kati ya vipengele na matokeo ya vitendo.
Kazi. Tatua mlinganyo ( X× 9) : 24 = 3, kwa kutumia uhusiano kati ya vipengele na matokeo ya vitendo.
Suluhisho. Kwa kuwa haijulikani iko kwenye gawio, ili kupata gawio, unahitaji kuzidisha kigawanyaji na mgawo: X× 9 = 24 × 3, au X× 9 = 72. Ili kupata sababu isiyojulikana, unahitaji kugawanya bidhaa kwa sababu inayojulikana: X= 72:9, au X= 8, kwa hivyo, mzizi wa equation hii ni nambari 8.
Mazoezi ya kazi ya kujitegemea
1. Mlinganyo 2 X 4 + 4X 2 - 6 = 0 imefafanuliwa kwenye seti nambari za asili. Eleza kwa nini nambari 1 ndio mzizi wa mlingano huu, lakini 2 na -1 sio mizizi yake.
2. Tambua ni ipi kati ya jozi zifuatazo za milinganyo inayolingana kwenye seti R:
a) 3 + 7 X= -4 na 2(3 + 7 X) = -8; c) 3 + 7 X= -4 na X + 2 = 0.
b) 3 + 7 X= -4 na 6 + 7 X = -1;
3. Tatua milinganyo na uhalalishe mabadiliko yote yaliyofanywa katika mchakato wa kurahisisha:
A) 
; b) 
; c) (2- X× 2 - X (X + 1,5) = 4.
4. Tatua milinganyo kwa kutumia uhusiano kati ya vipengele na matokeo ya vitendo:
A) ( X+ 70) × 4 = 328; c) (85 X + 765) : 170 = 98;
b) 560: ( X+ 9) = 56; G) ( X - 13581) : 709 = 306.
Hotuba ya 26. Milinganyo yenye kigezo kimoja
1. Dhana ya mlingano na kigezo kimoja
2. Milinganyo sawa. Nadharia juu ya usawa wa milinganyo
3. Kutatua milinganyo na kigezo kimoja
Wacha tuchukue misemo miwili yenye kutofautisha: 4 X na 5 X+ 2. Kuwaunganisha kwa ishara sawa, tunapata sentensi 4x= 5X+ 2. Ina tofauti na, wakati wa kubadilisha maadili ya kutofautiana, inageuka kuwa taarifa. Kwa mfano, lini x =-2 ofa 4x= 5X+ 2 inageuka kuwa usawa wa kweli wa nambari 4 ·(-2) = 5 ·(-2) + 2, na lini x = 1 - kwa uongo 4 1 = 5 1 + 2. Kwa hiyo, sentensi 4x = 5x + 2 kuna fomu ya kujieleza. Wanamwita equation na variable moja.
KATIKA mtazamo wa jumla Equation yenye kigezo kimoja inaweza kufafanuliwa kama ifuatavyo:
Ufafanuzi. Acha f(x) na g(x) ziwe semi mbili zenye kigezo cha x na kikoa cha ufafanuzi X. Kisha fomu ya kueleza ya fomu f(x) = g(x) inaitwa equation yenye kigezo kimoja.
Thamani inayobadilika X kutoka kwa wengi X, ambapo equation inageuka kuwa usawa wa kweli wa nambari inaitwa mzizi wa equation(au uamuzi wake). Tatua mlinganyo - inamaanisha kupata mizizi yake mingi.
Kwa hivyo, mzizi wa equation 4x = 5x+ 2, ikiwa tutazingatia kwenye seti R ya nambari halisi ni nambari -2. Mlinganyo huu hauna mizizi mingine. Hii ina maana kwamba seti ya mizizi yake ni (-2).
Acha seti ya nambari halisi ipewe equation ( X - 1)(x+ 2) = 0. Ina mizizi miwili - namba 1 na -2. Kwa hiyo, seti ya mizizi ya equation hii ni: (-2,-1).
Mlingano (3x + 1)-2 = 6X+ 2, iliyofafanuliwa kwenye seti ya nambari halisi, inakuwa usawa wa kweli wa nambari kwa maadili yote halisi ya kutofautisha. X: ikiwa tunafungua mabano upande wa kushoto, tunapata 6x + 2 = 6x + 2. Katika kesi hii, tunasema kwamba mzizi wake ni nambari yoyote halisi, na seti ya mizizi ni seti ya nambari zote halisi.
Mlingano (3x+ 1) 2 = 6 X+ 1, iliyofafanuliwa kwenye seti ya nambari halisi, haigeuki kuwa usawa wa kweli wa nambari kwa thamani yoyote halisi X: baada ya kufungua mabano upande wa kushoto tunapata hiyo 6 X + 2 = 6x + 1, ambayo haiwezekani na yoyote X. Katika kesi hii, tunasema kwamba equation iliyotolewa haina mizizi na kwamba seti ya mizizi yake ni tupu.
Ili kutatua equation yoyote, inabadilishwa kwanza, ikibadilisha na nyingine, rahisi zaidi; equation inayosababishwa inabadilishwa tena, ikibadilisha na rahisi zaidi, nk. Utaratibu huu unaendelea hadi equation ipatikane ambayo mizizi yake inaweza kupatikana kwa namna inayojulikana. Lakini ili mizizi hii iwe mizizi ya equation fulani, ni muhimu kwamba mchakato wa mabadiliko utoe milinganyo ambayo seti za mizizi zinapatana. Milinganyo kama hiyo inaitwa sawa.
Mlingano ni usawa ambamo kigeu kimoja au zaidi vipo.
Tutazingatia kesi wakati equation ina tofauti moja, yaani, nambari moja isiyojulikana. Kimsingi, equation ni aina ya mfano wa hisabati. Kwa hiyo, kwanza kabisa, tunahitaji equations kutatua matatizo.
Hebu tukumbuke jinsi ya kutunga mfano wa hisabati kutatua tatizo.
Kwa mfano, katika mpya mwaka wa masomo idadi ya wanafunzi shuleni Namba 5 iliongezeka maradufu. Baada ya wanafunzi 20 kuhamia shule nyingine, jumla ya wanafunzi 720 walianza kusoma katika shule namba 5. Mwaka jana kulikuwa na wanafunzi wangapi?
Tunahitaji kueleza kile kinachosemwa katika hali katika lugha ya hisabati. Hebu idadi ya wanafunzi mwaka jana iwe X. Kisha, kulingana na hali ya tatizo,
2X - 20 = 720. Tuna mfano wa hisabati unaowakilisha equation na kigezo kimoja. Kwa usahihi zaidi, ni equation ya shahada ya kwanza na variable moja. Kilichobaki ni kutafuta mzizi wake.
Nini mzizi wa equation?
Thamani ya kutofautisha ambayo mlinganyo wetu unageuka kuwa usawa wa kweli inaitwa mzizi wa mlinganyo. Kuna milinganyo ambayo ina mizizi mingi. Kwa mfano, katika equation 2*X = (5-3)*X, thamani yoyote ya X ni mzizi. Na equation X = X +5 haina mizizi hata kidogo, kwani haijalishi ni thamani gani tunabadilisha kwa X, hatutapata usawa sahihi. Kutatua equation kunamaanisha kupata mizizi yake yote, au kuamua kuwa haina mizizi. Kwa hivyo kujibu swali letu, tunahitaji kutatua equation 2X - 20 = 720.
Jinsi ya kutatua equations na tofauti moja?
Kwanza, hebu tuandike ufafanuzi wa kimsingi. Kila equation ina upande wa kulia na wa kushoto. Kwa upande wetu, (2X - 20) - upande wa kushoto equation (iko upande wa kushoto wa ishara sawa), na 720 ni upande wa kulia wa equation. Masharti ya pande za kulia na kushoto za equation huitwa masharti ya equation. Masharti yetu ya mlingano ni 2X, -20 na 720.
Wacha tuzungumze mara moja juu ya mali 2 za hesabu:
- Neno lolote la equation linaweza kuhamishwa kutoka upande wa kulia wa equation hadi kushoto, na kinyume chake. Katika kesi hii, ni muhimu kubadili ishara ya neno hili la equation kinyume chake. Hiyo ni, kumbukumbu za fomu 2X - 20 = 720, 2X - 20 - 720 = 0, 2X = 720 + 20, -20 = 720 - 2X ni sawa.
- Pande zote mbili za equation zinaweza kuzidishwa au kugawanywa kwa nambari sawa. Nambari hii haipaswi kuwa sifuri. Hiyo ni, kumbukumbu za fomu 2X - 20 = 720, 5 * (2X - 20) = 720 * 5, (2X - 20): 2 = 720: 2 pia ni sawa.
Wacha tusogee -20 kwa upande wa kulia na ishara iliyo kinyume. Tunapata:
2X = 720 + 20. Hebu tuongeze kile tulicho nacho upande wa kulia. Tunapata hiyo 2X = 740.
Sasa gawanya pande za kushoto na kulia za equation na 2.
2X:2 = 740:2 au X = 370. Tulipata mzizi wa equation yetu na wakati huo huo tukapata jibu la swali la tatizo letu. Mwaka jana kulikuwa na wanafunzi 370 katika shule nambari 5.
Wacha tuangalie ikiwa mzizi wetu unageuza mlinganyo kuwa usawa wa kweli. Wacha tubadilishe nambari 370 badala ya X kwenye equation 2X - 20 = 720.
2*370-20 = 720.
Hiyo ni kweli.
Kwa hiyo, ili kutatua equation na kutofautiana moja, inahitaji kupunguzwa kwa kinachojulikana mlinganyo wa mstari ya shoka ya umbo = b, ambapo a na b ni baadhi ya nambari. Kisha ugawanye pande za kushoto na kulia kwa nambari a. Tunapata hiyo x = b:a.
Inamaanisha nini kupunguza equation hadi equation ya mstari?
Fikiria equation hii:
5X - 2X + 10 = 59 - 7X +3X.
Huu pia ni mlinganyo wenye kigezo kimoja kisichojulikana X. Kazi yetu ni kupunguza mlingano huu hadi fomu ax = b.
Ili kufanya hivyo, kwanza tunakusanya maneno yote ambayo yana X kama kipengele kwenye upande wa kushoto wa equation, na masharti yaliyobaki upande wa kulia. Masharti ambayo yana herufi sawa na sababu huitwa maneno sawa.
5X - 2X + 7X – 3X = 59 – 10.
Kulingana na sifa ya ugawaji ya kuzidisha, tunaweza kuchukua sababu sawa kutoka kwa mabano na kuongeza coefficients (vizidishi kwa variable x). Utaratibu huu pia huitwa kupunguza maneno kama hayo.
X(5-2+7-3) = 49.
7X = 49. Tumepunguza mlinganyo kwa fomu ya shoka = b, ambapo a = 7, b = 49.
Na kama tulivyoandika hapo juu, mzizi wa mlinganyo wa fomu ax = b ni x = b:a.
Hiyo ni, X = 49:7 = 7.
Algorithm ya kutafuta mizizi ya equation na kigezo kimoja.
- Kusanya masharti sawa katika upande wa kushoto wa mlinganyo, na masharti yaliyosalia upande wa kulia wa mlingano.
- Toa masharti yanayofanana.
- Punguza mlinganyo kwa fomu ya shoka = b.
- Tafuta mizizi kwa kutumia fomula x = b:a.
