Gibanje telesa v gravitacijskem polju ob upoštevanju zračnega upora. Gibanje telesa v gravitacijskem polju ob upoštevanju zračnega upora Let telesa pod kotom

Teorija

Če telo vržemo pod kotom na obzorje, potem med letom nanj delujeta sila težnosti in sila zračnega upora. Če zanemarimo silo upora, je edina preostala sila gravitacija. Zato se zaradi 2. Newtonovega zakona telo giblje s pospeškom, ki je enak težnemu pospešku; projekcije pospeška na koordinatne osi enake a x = 0, in y= -g.

Vsako kompleksno gibanje materialne točke je mogoče predstaviti kot superpozicijo neodvisnih gibanj vzdolž koordinatnih osi, v smeri različnih osi pa se lahko vrsta gibanja razlikuje. V našem primeru lahko gibanje letečega telesa predstavimo kot superpozicijo dveh neodvisnih gibanj: enakomernega gibanja vzdolž vodoravne osi (X os) in enakomerno pospešeno gibanje vzdolž navpične osi (os Y) (slika 1).

Projekcije hitrosti telesa se torej spreminjajo s časom na naslednji način:

,

kjer je začetna hitrost, α je vrzni kot.

Telesne koordinate se torej spreminjajo takole:

Z našo izbiro izhodišča koordinat, začetnih koordinat (slika 1) Potem

Druga časovna vrednost, pri kateri je višina enaka nič, je nič, kar ustreza trenutku metanja, tj. ta vrednost ima tudi fizični pomen.

Domet letenja dobimo iz prve formule (1). Domet letenja je koordinatna vrednost X na koncu leta, tj. v času, ki je enak t 0. Če nadomestimo vrednost (2) v prvo formulo (1), dobimo:

.

(3)

Iz te formule je razvidno, da je največji doseg letenja dosežen pri vržnem kotu 45 stopinj.

Največja višina dvig vrženega telesa lahko dobimo iz druge formule (1). Če želite to narediti, morate v to formulo nadomestiti časovno vrednost, ki je enaka polovici časa letenja (2), ker Največja višina leta je na sredini poti. Izvajanje izračunov, dobimo

Pri proučevanju mehanskega gibanja v fiziki po seznanitvi z enakomernim in enakomerno pospešenim gibanjem predmetov preidejo na obravnavanje gibanja telesa pod kotom na obzorje. V tem članku bomo podrobneje preučili to vprašanje.

Kakšno je gibanje telesa pod kotom na vodoravno ravnino?

Do te vrste premikanja predmeta pride, ko oseba vrže kamen v zrak, top izstreli topovsko kroglo ali vratar brcne nogometno žogo stran od vrat. Vse take primere obravnava balistična znanost.

Omenjena vrsta gibanja predmetov v zraku poteka po parabolični poti. Na splošno izvajanje ustreznih izračunov ni enostavno, saj je treba upoštevati zračni upor, vrtenje telesa med letom, vrtenje Zemlje okoli svoje osi in nekatere druge dejavnike.

V tem članku ne bomo upoštevali vseh teh dejavnikov, ampak bomo vprašanje obravnavali s povsem teoretičnega vidika. Kljub temu dobljene formule precej dobro opisujejo trajektorije teles, ki se premikajo na kratke razdalje.

Pridobivanje formul za obravnavano vrsto gibanja

Telesa pripeljemo do obzorja pod kotom. V tem primeru bomo upoštevali le eno samo silo, ki deluje na leteči predmet - gravitacijo. Ker deluje navpično navzdol (vzporedno z osjo y in proti njej), lahko glede na vodoravno in navpično komponento gibanja rečemo, da bo prva imela značaj enotnega linearno gibanje. In drugo - enakomerno počasno (enakomerno pospešeno) pravokotno gibanje s pospeškom g. To pomeni, da bodo komponente hitrosti skozi vrednost v 0 (začetna hitrost) in θ (kot smeri gibanja telesa) zapisane na naslednji način:

v x = v 0 *cos(θ)

v y = v 0 *sin(θ)-g*t

Prva formula (za v x) je vedno veljavna. Kar zadeva drugo, je treba opozoriti na eno nianso: znak minus je postavljen pred produkt g*t le, če je navpična komponenta v 0 *sin(θ) usmerjena navzgor. V večini primerov se to zgodi, vendar če vržete telo z višine in ga usmerite navzdol, potem morate v izrazu za v y postaviti znak "+" pred g*t.

Z integriranjem formul za komponente hitrosti skozi čas in ob upoštevanju začetne višine h leta telesa dobimo enačbe za koordinate:

x = v 0 *cos(θ)*t

y = h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2

Izračun dosega leta

Ko v fiziki obravnavamo gibanje telesa proti obzorju pod kotom, ki je uporaben za praktična uporaba, se izkaže, da je doseg leta izračunan. Opredelimo ga.

Ker je to gibanje enakomerno gibanje brez pospeševanja, potem je dovolj, da vanj nadomestimo čas letenja in dobimo zahtevani rezultat. Domet letenja je določen izključno z gibanjem vzdolž osi x (vzporedno z obzorjem).

Čas, ko telo ostane v zraku, lahko izračunamo tako, da koordinato y nastavimo na nič. Imamo:

0 = h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2

to kvadratna enačbaČe rešimo diskriminanto, dobimo:

D = b 2 - 4*a*c = v 0 2 *sin 2 (θ) - 4*(-g/2)*h = v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h,

t = (-b±√D)/(2*a) = (-v 0 *sin(θ)±√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/(-2* g/2) =

= (v 0 *sin(θ)+√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/g.

V zadnjem izrazu je en koren z znakom minus zavržen zaradi nepomembnega fizičnega pomena. Če nadomestimo čas leta t v izraz za x, dobimo razdaljo leta l:

l = x = v 0 *cos(θ)*(v 0 *sin(θ)+√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/g.

Najlažji način za analizo tega izraza je, če je začetna višina nič (h=0), potem dobimo preprosto formulo:

l = v 0 2 *sin(2*θ)/g

Ta izraz nakazuje, da je največji doseg leta mogoče doseči, če telo vržemo pod kotom 45 o (sin(2*45 o) = m1).

Največja višina dviga

Poleg razdalje leta je koristno ugotoviti tudi višino nad tlemi, na katero se telo lahko dvigne. Ker je ta vrsta gibanja opisana s parabolo, katere veje so usmerjene navzdol, je največja višina dviga njen ekstrem. Slednji se izračuna z reševanjem enačbe za odvod t od y:

dy/dt = d(h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2)/dt = v 0 *sin(θ)-gt=0 =>

=> t = v 0 *sin(θ)/g.

Če nadomestimo ta čas v enačbo za y, dobimo:

y = h+v 0 *sin(θ)*v 0 *sin(θ)/g-g*(v 0 *sin(θ)/g) 2 /2 = h + v 0 2 *sin 2 (θ)/( 2*g).

Ta izraz nakazuje, da se bo telo dvignilo na največjo višino, če ga vržemo navpično navzgor (sin 2 (90 o) = 1).

V tem članku bomo obravnavali analizo situacije, ko je telo vrženo pod kotom na vodoravno ravnino. To je lahko metanje kamna z roko, izstrelitev granate iz topa, izstrelitev puščice iz loka ipd. Vse te situacije so z matematičnega vidika opisane na enak način.

Značilnost gibanja pod kotom na vodoravno

Kakšne so podobnosti med zgornjima primeroma z vidika fizike? Leži v naravi sil, ki delujejo na telo. Med prostim letom na telo delujeta na telo le dve sili:

• Gravitacija.
• vetrovnost.

Če je masa telesa dovolj velika in je njegova oblika koničasta (projektil, puščica), lahko zračni upor zanemarimo.

Tako je gibanje telesa, vrženega pod kotom na obzorje, problem, v katerem se pojavi samo gravitacija. Prav ta določa obliko trajektorije, ki jo z dobro natančnostjo opisuje parabolična funkcija.

Enačbe gibanja po parabolični trajektoriji. Hitrost

Telo je bilo vrženo pod kotom proti obzorju. Kako lahko opišete njegovo gibanje? Ker je edina sila, ki deluje med letom telesa, usmerjena navzdol, je njegova vodoravna komponenta enaka nič. To dejstvo pomeni, da je vodoravno gibanje predmeta enolično določeno z začetnimi pogoji (met ali strelni kot θ in hitrost v). Navpično gibanje telesa je nazoren primer enakomerno pospešenega gibanja, kjer ima vlogo pospeška konstanta g (9,81 m/s2).

Ob upoštevanju zgoraj navedenega lahko zapišemo dve komponenti za hitrost letečega telesa v času t:

v x = v * cos(θ);

v y = v * sin(θ) - g * t

Kot je razvidno, komponenta v x ni odvisna od časa in ostaja konstantna skozi celotno pot leta (posledica odsotnosti zunanjih sil v smeri osi x). Komponenta v y ima maksimum v začetnem trenutku. In potem se začne zmanjševati, dokler ne postane nič na največji točki vzleta telesa. Po tem spremeni predznak in v trenutku padca se izkaže, da je enak modulu začetna komponenta v y, to je v*sin(θ).

Napisane enačbe nam omogočajo določitev hitrosti telesa, vrženega pod kotom na vodoravno ravnino v katerem koli trenutku t. Njegov modul bo enak:

v = √ (v x 2 + v y 2) = √ (v 2 * cos 2 (θ) + v 2 * sin 2 (θ) - 2 * v* sin(θ) * g * t + g 2 * t 2) =

= √ (v 2 - 2 * v * sin(θ) * g * t + g 2 * t 2)

Enačbe gibanja po parabolični trajektoriji. Domet letenja

Telo je bilo vrženo pod kotom proti obzorju. Kako daleč bo letelo? Težava z razponom se nanaša na spremembo koordinate x. To vrednost je mogoče najti z integracijo obeh komponent hitrosti skozi čas. Kot rezultat integracije dobimo formule:

x = v * cos(θ) * t + x 0 ;

y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + y 0

Razlika med koordinatama x in x 0 je doseg leta. Če predpostavimo, da je x 0 = 0, bo razpon enak x, da bi ga našli, morate vedeti, kako dolgo t bo telo v zraku.

Druga enačba vam omogoča izračun tega časa, če je znana vrednost y 0 (višina h, s katere je telo vrženo). Ko predmet zaključi svoje gibanje (pade na tla), bo njegova y koordinata postala nič. Izračunajmo čas, ko se bo to zgodilo. Imamo:

v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = 0

Pred nami je popolna kvadratna enakost. Rešimo jo preko diskriminante:

D = v 2 * sin 2 (θ) - 4 * (-g/2) * h = v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h;

t = (-v * sin(θ) ± √D)/(2 * (-g/2))

Negativni koren zavržemo. Dobimo naslednji čas letenja:

t = (v * sin(θ) + √ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h))/g

Zdaj nadomestimo to vrednost v enačbo za doseg leta. Dobimo:

x = v * cos(θ) * (v * sin(θ)+√ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h))/g

Če telo vržemo s tal, to je h = 0, bo ta formula bistveno poenostavljena. In izgledalo bo takole:

x = 2 * v 2 * cos(θ) * sin(θ)/g = v 2 * sin(2 * θ)/g

Zadnji izraz je bil pridobljen z uporabo razmerja med trigonometrične funkcije sinus in kosinus (formule redukcije).

Ker ima sinus največjo vrednost za pravi kot, Potem največji doseg let dosežemo, ko telo vržemo (izstrelimo) s površine zemlje pod kotom 45°, ta razpon pa je enak:

Višina telesa, vrženega pod kotom na vodoravno ravnino

Zdaj pa definirajmo še enega pomemben parameter- višina, do katere se vrženi predmet lahko dvigne. Očitno je za to dovolj, da upoštevamo samo spremembo koordinate y.

Torej, telo je vrženo pod kotom na obzorje, do katere višine bo poletelo? Ta višina bo ustrezala komponenti hitrosti v y, ki je nič. Imamo enačbo:

v y = v * sin(θ) - g * t = 0

Rešimo enačbo. Dobimo:

Zdaj morate ta čas nadomestiti v izraz za koordinato y. Dobimo:

y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = v 2 * sin 2 (θ)/g - g/2* v 2 * sin 2 (θ)/g 2 + h =

V 2 * sin 2 (θ)/(2 * g) + h

Ta formula kaže, da največjo višino, v nasprotju z razponom leta, dobimo, če telo vržemo strogo navpično (θ = 90). V tem primeru pridemo do formule:

Zanimivo je, da vse formule v tem članku ne vključujejo telesne teže. Značilnosti parabolične trajektorije niso odvisne od tega, ampak le v odsotnosti zračnega upora.

To je ustvarjalna naloga za mojstrski tečaj računalništva za šolarje na FEFU.
Namen naloge je ugotoviti, kako se bo spremenila tirnica telesa, če upoštevamo zračni upor. Odgovoriti je treba tudi na vprašanje, ali bo doseg leta še dosegel največja vrednost pri izmetnem kotu 45° ob upoštevanju zračnega upora.

Oddelek »Analitične raziskave« opisuje teorijo. Ta razdelek lahko preskočite, vendar bi vam moralo biti večinoma jasno, ker... O večino tega si se naučil v šoli.
Poglavje "Numerična študija" vsebuje opis algoritma, ki mora biti implementiran v računalnik. Algoritem je preprost in jedrnat, zato bi ga moral znati narediti vsak.

Analitične raziskave

Predstavimo pravokotni koordinatni sistem, kot je prikazan na sliki. V začetnem trenutku telo z maso m se nahaja na izvoru. Vektor pospeška prostega pada je usmerjen navpično navzdol in ima koordinate (0, - g).
- vektor začetne hitrosti. Razširimo ta vektor v njegovo osnovo: . Tukaj je , kjer je velikost vektorja hitrosti, kot metanja.

Zapišimo drugi Newtonov zakon: .
Pospešek v vsakem trenutku je (trenutna) stopnja spremembe hitrosti, to je odvod hitrosti glede na čas: .

Zato lahko Newtonov 2. zakon prepišemo na naslednji način:
, kjer je rezultanta vseh sil, ki delujejo na telo.
Ker na telo delujeta sila težnosti in sila zračnega upora, torej
.

Upoštevali bomo tri primere:
1) Sila zračnega upora je 0: .
2) Sila zračnega upora je usmerjena nasprotno od vektorja hitrosti, njena velikost pa je sorazmerna s hitrostjo: .
3) Sila zračnega upora je usmerjena nasprotno od vektorja hitrosti, njena velikost pa je sorazmerna s kvadratom hitrosti: .

Najprej razmislimo o 1. primeru.
V tem primeru , ali .


Sledi, da (enakomerno pospešeno gibanje).
Ker ( r- polmerni vektor), potem .
Od tod .
Ta formula ni nič drugega kot znana formula za zakon gibanja telesa med enakomerno pospešenim gibanjem.
Od takrat .
Glede na to, da oboje , iz zadnje vektorske enakosti dobimo skalarne enačbe:

Analizirajmo dobljene formule.
Najdimo čas letenja telesa. Enačenje l na nič, dobimo

Domet letenja enaka koordinatni vrednosti x v določenem trenutku t 0:

Iz te formule sledi, da je največji doseg leta dosežen pri .
Zdaj pa poiščimo karoserija traktor enačba. Da bi to naredili, izražamo t skozi x

In zamenjajmo dobljeni izraz za t v enakopravnost za l.

Rezultat funkcije l(x) -- kvadratna funkcija, njen graf je parabola, katere veje so usmerjene navzdol.
Gibanje telesa, vrženega pod kotom na obzorje (brez upoštevanja zračnega upora), je opisano v tem videu.

Zdaj razmislite o drugem primeru: .

Drugi zakon ima obliko ,
od tod .
Zapišimo to enakost v skalarni obliki:

Imamo dve linearni diferencialni enačbi.
Prva enačba ima rešitev

To lahko preverimo tako, da to funkcijo zamenjamo v enačbo za v x in na začetno stanje .
Tukaj je e = 2,718281828459... Eulerjevo število.
Druga enačba ima rešitev

Ker , , potem v prisotnosti zračnega upora gibanje telesa teži k enakomernemu, v nasprotju s primerom 1, ko hitrost neomejeno narašča.
Naslednji videoposnetek pove, da se padalec najprej premika pospešeno, nato pa se začne premikati enakomerno (še preden se odpre padalo).

Poiščimo izraze za x in l.
Ker x(0) = 0, l(0) = 0, torej

Preostane nam še primer 3, ko .
Newtonov drugi zakon ima obliko
, oz .
V skalarni obliki je ta enačba videti takole:

to sistem nelinearnih diferencialnih enačb. Tega sistema ni mogoče eksplicitno rešiti, zato je potrebna numerična simulacija.

Numerična študija

V prejšnjem razdelku smo videli, da lahko v prvih dveh primerih dobimo zakon gibanja telesa v eksplicitni obliki. V tretjem primeru pa je treba problem rešiti numerično. Z numeričnimi metodami bomo dobili le približno rešitev, vendar bomo z majhno natančnostjo povsem zadovoljni. (Število π oz Kvadratni koren od 2, mimogrede, ni mogoče zapisati popolnoma natančno, zato pri računanju vzamejo neko končno število števk in to je povsem dovolj.)

Upoštevali bomo drugi primer, ko je sila zračnega upora določena s formulo . Upoštevajte, da ko k= 0 dobimo prvi primer.

Hitrost telesa upošteva naslednje enačbe:

Komponente pospeška so zapisane na levi strani teh enačb .
Spomnimo se, da je pospešek (trenutna) stopnja spremembe hitrosti, to je odvod hitrosti glede na čas.
Desne strani enačb vsebujejo komponente hitrosti. Tako te enačbe kažejo, kako je stopnja spremembe hitrosti povezana s hitrostjo.

Poskusimo poiskati rešitve teh enačb z uporabo numeričnih metod. Da bi to naredili, uvedemo na časovno os mreža: izberimo številko in upoštevajmo časovne trenutke oblike: .

Naša naloga je približno izračunati vrednosti na vozliščih mreže.

Zamenjajmo pospešek v enačbah ( trenutna hitrost spremembe hitrosti) z Povprečna hitrost spremembe hitrosti ob upoštevanju gibanja telesa v določenem časovnem obdobju:

Sedaj pa dobljene približke nadomestimo v naše enačbe.

Dobljene formule nam omogočajo izračun vrednosti funkcij na naslednjem vozlišču mreže, če so znane vrednosti teh funkcij na prejšnjem vozlišču mreže.

Z opisano metodo lahko dobimo tabelo približnih vrednosti komponent hitrosti.

Kako najti zakon gibanja telesa, tj. tabela približnih vrednosti koordinat x(t), l(t)? Prav tako!
Imamo

Vrednost vx[j] je enaka vrednosti funkcije in enako za druge nize.
Sedaj preostane le še pisanje zanke, znotraj katere bomo preko že izračunane vrednosti vx[j] izračunali vx in enako z ostalimi nizi. Cikel bo j od 1 do n.
Ne pozabite inicializirati začetnih vrednosti vx, vy, x, y v skladu s formulami, x 0 = 0, l 0 = 0.

V Pascalu in C obstajata funkciji sin(x) in cos(x) za izračun sinusa in kosinusa. Upoštevajte, da te funkcije sprejmejo argument v radianih.

Sestaviti morate graf gibanja telesa med k= 0 in k> 0 in primerjajte nastale grafe. Grafe lahko ustvarite v Excelu.
Upoštevajte to formule za izračun tako preprosto, da lahko za izračune uporabljate samo Excel in ne uporabljate niti programskega jezika.
Vendar pa boste v prihodnosti morali rešiti problem v CATS, pri katerem morate izračunati čas in doseg leta telesa, kjer brez programskega jezika ne gre.

Upoštevajte, da lahko test svoj program in preverite svoje grafe tako, da primerjate rezultate izračuna, ko k= 0 z natančnimi formulami, navedenimi v razdelku »Analitična študija«.

Eksperimentirajte s svojim programom. Prepričajte se, da če ni zračnega upora ( k= 0) je največji doseg leta pri stalni začetni hitrosti dosežen pod kotom 45°.
Kaj pa zračni upor? Pod katerim kotom je dosežen največji doseg leta?

Slika prikazuje trajektorije telesa pri v 0 = 10 m/s, α = 45°, g= 9,8 m/s 2, m= 1 kg, k= 0 in 1, pridobljena z numerično simulacijo pri Δ t = 0,01.

Lahko se seznanite s čudovitim delom desetošolcev iz Troitsk, predstavljenim na konferenci "Start in Science" leta 2011. Delo je posvečeno modeliranju gibanja teniške žogice, vržene pod kotom na obzorje (ob upoštevanju zraka odpornost). Uporabljata se tako numerično modeliranje kot eksperiment v polnem obsegu.

Tako vam ta ustvarjalna naloga omogoča, da se seznanite z metodami matematičnega in numeričnega modeliranja, ki se aktivno uporabljajo v praksi, vendar jih v šoli malo preučujejo. Te metode so bile na primer uporabljene pri izvajanju jedrskih in vesoljskih projektov v ZSSR sredi 20. stoletja.

Navodila

Naj bo telo vrženo pod kotom α glede na obzorje z začetno hitrostjo v0. Naj bodo začetne koordinate telesa nič: x(0)=0, y(0)=0. V projekcijah na koordinatne osi bo začetna hitrost razložena na dve komponenti: v0(x) in v0(y). Na splošno enaka hitrost. Vzdolž osi Ox se hitrost običajno šteje za konstantno, medtem ko se vzdolž osi Oy spreminja pod vplivom . Gravitacijski pospešek g lahko vzamemo za približno 10 m/s².

Kot α, pod katerega je telo vrženo, ni podan naključno. Preko njega lahko opišete začetno hitrost v koordinatnih oseh. Tako je v0(x)=v0·cos(α), v0(y)=v0·sin(α). Zdaj lahko dobimo funkcijo koordinatnih komponent hitrosti: v(x)=const=v0(x)=v0·cos(α), v(y)=v0(y)-g·t=v0·sin( α)-g· t.

Koordinati x in y telesa sta odvisni od časa t. Tako lahko ustvarimo dve enačbi odvisnosti: x=x0+v0(x) t+a(x) t²/2, y=y0+v0(y) t+a(y) t²/2. Ker je x0=0, a(x)=0, potem je x=v0(x) t=v0 cos(α) t. Znano je tudi, da je y0=0, a(y)=-g (znak “ ” se pojavi, ker sta si smer gravitacijskega pospeška g in pozitivna smer osi Oy nasprotni). Zato je y=v0·sin(α)·t-g·t²/2.

Čas letenja lahko izrazimo s formulo za hitrost, pri čemer vemo, da se na najvišji točki telo za trenutek ustavi (v = 0), trajanje "vzpona" in "spusta" pa sta enaka. Torej, pri zamenjavi v(y)=0 v enačbo v(y)=v0·sin(α)-g·t se izkaže: 0=v0·sin(α)-g·t(p), kjer je t (p) – konica, "t vertex". Zato je t(p)=v0·sin(α)/g. Skupni čas let bo nato izražen kot t=2·v0·sin(α)/g.

Isto formulo lahko dobimo na drug način, matematično, iz enačbe za koordinato y=v0·sin(α)·t-g·t²/2. To enačbo lahko prepišemo v rahlo spremenjeni obliki: y=-g/2·t²+v0·sin(α)·t. Vidimo lahko, da je to kvadratna odvisnost, kjer je y funkcija, t je argument. Oglišče parabole, ki opisuje trajektorijo, je točka t(p)=[-v0·sin(α)]/[-2g/2]. Minusi in dvojke se izničijo, torej t(p)=v0·sin(α)/g. Če največjo višino označimo kot H in se spomnimo, da je vrh vrh teme parabole, po kateri se telo giblje, potem je H=y(t(p))=v0²sin²(α)/2g. Da bi dobili višino, morate v enačbo za koordinato y nadomestiti "t vertex".

Tako je čas leta zapisan kot t=2·v0·sin(α)/g. Če ga želite spremeniti, morate ustrezno spremeniti začetno hitrost in kot naklona. Večja kot je hitrost, dlje telo leti. S kotom je nekoliko bolj zapleteno, saj čas ni odvisen od samega kota, temveč od njegovega sinusa. Največja možna sinusna vrednost - enota - je dosežena pri kotu naklona 90°. To pomeni, da telo leti najdlje, ko ga vržemo navpično navzgor.

Obseg leta je končna x koordinata. Če že najden čas letenja zamenjamo v enačbo x=v0·cos(α)·t, potem zlahka ugotovimo, da je L=2v0²sin(α)cos(α)/g. Tukaj lahko uporabimo trigonometrično formulo dvojnega kota 2sin(α)cos(α)=sin(2α), nato L=v0²sin(2α)/g. Sinus dveh alf je enak ena, če je 2α=n/2, α=n/4. Tako je domet letenja največji, če je telo vrženo pod kotom 45°.