Graf logaritma z osnovo 4. Velika enciklopedija nafte in plina

Graf funkcije poteka skozi točko s koordinatami (1;0)

Skupinska naloga. Dokaži, da sta eksponentna in logaritemska funkcija medsebojno inverzni.

Učenci narišejo graf logaritemske in eksponentne funkcije v istem koordinatnem sistemu

Upoštevajmo dve funkciji hkrati: eksponentno y = a x in logaritemsko y = log a x.

Slika 2 shematično prikazuje grafe funkcij y = a x in y = log a x v primeru a>1.

Slika 3 shematično prikazuje grafe funkcij y = a x in y = log a x v primeru 0 < a < 1.

Naslednje trditve držijo.

• Graf funkcije y = log a x je simetričen grafu funkcije y = ax glede na premico y = x.
• Nastavljena vrednost funkcije y = a x je niz y>0, in domeno definicije funkcije y = log a x je niz x>0.
• os Oh je vodoravna asimptota grafa funkcije y = a x, in os OU je navpična asimptota grafa funkcije y = log a x.
• funkcija y = a x poveča s a>1 in funkcijo y = log a x poveča tudi z a>1. funkcija y = a x zmanjša pri 0<а<1 in funkcijo y = log a x zmanjša tudi pri 0<а<1

Torej, okvirno y = a x in logaritemsko y = log a x funkciji sta medsebojno inverzni.

Graf funkcije y = log a x imenovana logaritemska krivulja, čeprav novega imena pravzaprav ni bilo mogoče izumiti. Navsezadnje je to isti eksponent, ki služi kot graf eksponentne funkcije, le da se na koordinatni ravnini nahaja drugače.

Faza refleksije. Predhodni povzetek.

Vrnimo se k vprašanjem, ki smo jih obravnavali na začetku lekcije, in se pogovorimo o dobljenih rezultatih. Poglejmo, morda se je naše mnenje po delu spremenilo.

Učenci v skupinah primerjajo svoje domneve s podatki, pridobljenimi pri delu z učbenikom, sestavljajo grafe funkcij in opise njihovih lastnosti, spreminjajo tabelo, delijo svoje misli z razredom in se pogovarjajo o odgovorih na posamezno vprašanje.

Stopnja klica.

Kaj mislite, v katerih primerih lahko pri izvajanju katerih nalog uporabimo lastnosti logaritemske funkcije?

Pričakovani odgovori učencev: reševanje logaritemskih enačb, neenačb, primerjanje številskih izrazov, ki vsebujejo logaritme, sestavljanje, transformiranje in raziskovanje kompleksnejših logaritemskih funkcij.

Faza razumevanja vsebine.

delo o prepoznavanju grafov logaritemskih funkcij, iskanju domene definicije, ugotavljanju monotonosti funkcij. (Priloga št. 4)

odgovori.

Za razširitev znanja o obravnavanem vprašanju je študentom na voljo besedilo "Uporaba logaritemske funkcije v naravi in ​​tehnologiji." (Priloga št. 5) Uporabljamo Tehnološka metoda "Cluster" ohraniti zanimanje za temo.

"Ali se ta funkcija uporablja v svetu okoli nas?", Bomo odgovorili na to vprašanje po delu na besedilu o logaritemski spirali.

Sestavljanje grozda "Uporaba logaritemske funkcije." Učenci delajo v skupinah, sestavljajo grozde. Nato se grozdi zaščitijo in obravnavajo.

Primer grozda.

Odsev

• O čem pred današnjo lekcijo niste imeli pojma in kaj vam je zdaj postalo jasno?
• Kaj ste se naučili o logaritemski funkciji in njeni uporabi?
• Na katere težave ste naleteli pri izpolnjevanju nalog?
• Označite vprašanje, ki vam je bilo manj jasno.
• Katere informacije so vas zanimale?
• Sestavite logaritemsko funkcijo syncwine
• Ocenite delo svoje skupine (Dodatek št. 6 »Ocenjevalni list uspešnosti skupine«)

Sinkwine.

1. Logaritemska funkcija
2. Neomejeno, monotono
3. Raziskujte, primerjajte, rešujte neenačbe
4. Lastnosti so odvisne od vrednosti baze logaritemske funkcije
5. Razstavljavec

Domača naloga:§ 4 str.240-243, št. 69-75 (sodo)

Literatura:

1. Azevič A.I. Dvajset lekcij harmonije: Tečaj humanistike in matematike. - M.: Shkola-Press, 1998.-160 str.: ilustr. (Knjižnica revije “Matematika v šoli”. Številka 7.)
2. Zair-Bek S.I. Razvoj kritičnega mišljenja pri pouku : priročnik za učitelje splošnega pouka. institucije. – M. Izobraževanje, 2011. – 223 str.
3. Koljagin Ju.M. Algebra in začetki analize. 10. razred: učbenik. za splošno izobraževanje ustanove: osnovna in profilna raven. – M.: Izobraževanje, 2010.
4. Korčagin V.V. Enotni državni izpit 2009. Matematika. Tematske naloge usposabljanja. – M.: Eksmo, 2009.
5. Enotni državni izpit 2008. Matematika. Tematske naloge usposabljanja / Koreshkova T.A. in drugi - M.: Eksmo, 2008.

Podane so osnovne lastnosti logaritma, graf logaritma, domena definicije, množica vrednosti, osnovne formule, naraščanje in zmanjševanje. Upošteva se iskanje odvoda logaritma. Kot tudi integral, razširjanje potenčnih vrst in predstavitev z uporabo kompleksnih števil.

Definicija logaritma

Logaritem z osnovo a je funkcija y (x) = log a x, inverzna na eksponentno funkcijo z osnovo a: x (y) = a y.

Decimalni logaritem je logaritem na osnovo števila 10 : log x ≡ log 10 x.

Naravni logaritem je logaritem na osnovi e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Graf logaritma dobimo iz grafa eksponentne funkcije tako, da ga zrcalimo glede na premico y = x. Na levi sta grafa funkcije y (x) = log a x za štiri vrednosti logaritemske baze: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 in a = 1/8 . Graf prikazuje, da ko je > 1 logaritem monotono narašča. Ko se x poveča, se rast znatno upočasni. pri 0 < a < 1 logaritem monotono pada.

Lastnosti logaritma

Domena, niz vrednosti, naraščanje, padanje

Logaritem je monotona funkcija, zato nima ekstremov. Glavne lastnosti logaritma so predstavljene v tabeli.

Zasebne vrednote

Imenuje se logaritem z osnovo 10 decimalni logaritem in je označen kot sledi:

Logaritem na osnovo e klical naravni logaritem:

Osnovne formule za logaritme

Lastnosti logaritma, ki izhajajo iz definicije inverzne funkcije:

Glavna lastnost logaritmov in njene posledice

Formula za zamenjavo baze

Logaritem je matematična operacija jemanja logaritma. Pri logaritmiranju se produkti faktorjev pretvorijo v vsote členov.

Potenciranje je inverzna matematična operacija logaritma. Med potenciranjem se dana baza dvigne do stopnje izražanja, nad katero se izvaja potenciranje. V tem primeru se vsote členov pretvorijo v produkte faktorjev.

Dokaz osnovnih formul za logaritme

Formule, povezane z logaritmi, izhajajo iz formul za eksponentne funkcije in iz definicije inverzne funkcije.

Razmislite o nepremičnini eksponentna funkcija
.
Potem
.
Uporabimo lastnost eksponentne funkcije
:
.

Dokažimo formulo zamenjave baze.
;
.
Ob predpostavki c = b imamo:

Inverzna funkcija

Inverzna logaritma z osnovo a je eksponentna funkcija z eksponentom a.

Če, potem

Če, potem

Izpeljava logaritma

Odvod logaritma modula x:
.
Izpeljanka n-tega reda:
.
Izpeljava formul >>>

Če želite najti odvod logaritma, ga je treba zmanjšati na osnovo e.
;
.

Integral

Integral logaritma izračunamo z integracijo po delih: .
Torej,

Izrazi, ki uporabljajo kompleksna števila

Razmislite o funkciji kompleksnega števila z:
.
Izrazimo kompleksno število z preko modula r in argument φ :
.
Nato z uporabo lastnosti logaritma dobimo:
.
oz

Vendar argument φ ni enolično definiran. Če postavite
, kjer je n celo število,
potem bo enako število za različne n.

Zato logaritem kot funkcija kompleksne spremenljivke ni funkcija z eno vrednostjo.

Razširitev potenčnega niza

Ko pride do razširitve:

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priročnik matematike za inženirje in študente, "Lan", 2009.

Pravi logaritem

Logaritem logaritma realnega števila a b je smiselno s src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

Najbolj razširjene vrste logaritmov so:

Če logaritemsko število obravnavamo kot spremenljivko, dobimo logaritemska funkcija, Na primer: . Ta funkcija je definirana na desni strani številske premice: x> 0, je tam zvezna in diferencibilna (glej sliko 1).

Lastnosti

Naravni logaritmi

Ko je enakost resnična

Še posebej,

Ta serija konvergira hitreje, poleg tega pa leva stran formule lahko zdaj izrazijo logaritem katerega koli pozitivnega števila.

Povezava z decimalnim logaritmom: .

Decimalni logaritmi

riž. 2. Logaritemska lestvica

Logaritmi na osnovo 10 (simbol: lg a) so se pred izumom kalkulatorjev pogosto uporabljali za izračune. Neenakomerna lestvica decimalnih logaritmov je običajno označena tudi na diapozitivih. Ta lestvica se pogosto uporablja v različna področja znanost, na primer:

• Kemija - aktivnost vodikovih ionov ().
• Glasbena teorija - lestvica not glede na frekvence glasbenih not.

Logaritemska lestvica se pogosto uporablja tudi za identifikacijo eksponenta v razmerjih moči in koeficienta v eksponentu. V tem primeru ima graf, zgrajen v logaritemskem merilu vzdolž ene ali dveh osi, obliko ravne črte, ki jo je lažje preučevati.

Kompleksni logaritem

Funkcija z več vrednostmi

Riemannova površina

Kompleksna logaritemska funkcija je primer Riemannove ploskve; njegov imaginarni del (slika 3) je sestavljen iz neskončnega števila spiralno zavitih vej. Ta površina je preprosto povezana; njegova edina ničla (prvega reda) je pridobljena pri z= 1, singularne točke: z= 0 in (vejne točke neskončnega reda).

Riemannova površina logaritma je univerzalna prekrivka za kompleksno ravnino brez točke 0.

Zgodovinska skica

Pravi logaritem

Potreba po zapletenih izračunih je v 16. stoletju hitro rasla in velik del težav je vključeval množenje in deljenje. večmestna števila. Konec stoletja se je več matematikov skoraj sočasno domislilo: zamenjati delovno intenzivno množenje s preprostim seštevanjem, pri čemer bi s posebnimi tabelami primerjali geometrijske in aritmetične progresije, pri čemer bi bila geometrijska prvotna. Takrat deljenje samodejno nadomesti neizmerno enostavnejše in zanesljivejše odštevanje. To idejo je prvi objavil v svoji knjigi » Aritmetika integra"Michael Stiefel, ki pa se ni resno potrudil za uresničitev svoje zamisli.

V 1620-ih sta Edmund Wingate in William Oughtred izumila prvi diapozitiv, še preden so se pojavili žepni kalkulatorji - nepogrešljivo orodje inženir.

Sodobno razumevanje logaritmiranja - kot obratne operacije dvigovanja na potenco - se je prvič pojavilo pri Wallisu in Johannu Bernoulliju, dokončno pa ga je uzakonil Euler v 18. stoletju. V knjigi "Uvod v analizo neskončnega" () je Euler podal sodobne definicije eksponentnih in logaritemskih funkcij, jih razširil v potenčne vrste in posebej opozoril na vlogo naravnega logaritma.

Eulerju pripisujejo tudi razširitev logaritemske funkcije na kompleksno domeno.

Kompleksni logaritem

Prva poskusa razširitve logaritmov na kompleksna števila sta na prehodu iz 17. v 18. stoletje naredila Leibniz in Johann Bernoulli, vendar jima ni uspelo ustvariti celostne teorije, predvsem zato, ker sam pojem logaritma še ni bil jasno opredeljen. Razprava o tem vprašanju je najprej potekala med Leibnizom in Bernoullijem, sredi 18. stoletja pa med d'Alembertom in Eulerjem. Bernoulli in d'Alembert sta menila, da je treba določiti log(-x) = log(x). Celotno teorijo logaritmov negativnih in kompleksnih števil je objavil Euler v letih 1747-1751 in se v bistvu ne razlikuje od sodobne.

Čeprav se je spor nadaljeval (D'Alembert je zagovarjal svoje stališče in ga podrobno argumentiral v članku v svoji Enciklopediji in v drugih delih), je Eulerjevo stališče hitro pridobilo splošno priznanje.

Logaritemske tabele

Logaritemske tabele

Iz lastnosti logaritma izhaja, da je namesto delovno intenzivnega množenja večmestnih števil dovolj, da poiščemo (iz tabel) in seštejemo njihove logaritme, nato pa z uporabo istih tabel izvedemo potenciranje, tj. vrednost rezultata iz njegovega logaritma. Delenje se razlikuje le po tem, da se odštejejo logaritmi. Laplace je dejal, da je izum logaritmov »podaljšal življenje astronomov«, saj je zelo pospešil proces izračunov.

Ko premaknete decimalno vejico v številu na nštevk, se vrednost decimalnega logaritma tega števila spremeni v n. Na primer, log8314.63 = log8.31463 + 3. Iz tega sledi, da je dovolj sestaviti tabelo decimalnih logaritmov za števila v območju od 1 do 10.

Prve tabele logaritmov je objavil John Napier () in vsebovale so samo logaritme trigonometrične funkcije, in z napakami. Neodvisno od njega je njegove tabele objavil Joost Bürgi, Keplerjev prijatelj (). Leta 1617 je oxfordski profesor matematike Henry Briggs objavil tabele, ki so že vsebovale decimalne logaritme samih števil, od 1 do 1000, z 8 (pozneje 14) mesti. Toda v Briggsovih tabelah so bile tudi napake. Prva izdaja brez napak, ki je temeljila na Veginih tabelah (), se je pojavila šele leta 1857 v Berlinu (Bremiwerjeve tabele).

V Rusiji so bile prve tabele logaritmov objavljene leta 1703 s sodelovanjem L. F. Magnitskega. V ZSSR je bilo objavljenih več zbirk logaritemskih tabel.

• Bradis V. M.Štirimestne matematične tabele. 44. izdaja, M., 1973.

Ministrstvo za šolstvo in mladinska politikaČuvaška republika

Državni avtonomni strokovni

izobraževalna ustanovaČuvaška republika

"Cheboksary College of Transport and Construction Technologies"

(GAPOU "Cheboksary tehnična šola TransStroyTech"

Ministrstvo za šolstvo Čuvašije)

Metodološki razvoj

ODP. 01 Matematika

"Logaritemska funkcija. Lastnosti in urnik"

Čeboksari - 2016

Pojasnilo………………................................................…………………………………….….…3

Teoretična utemeljitev in metodološka izvedba…………….…..................................4-10

Zaključek………………………………………………………….................................. .........................………...enajst

Aplikacije…………………………………………………………………………………... .........................................................13

Pojasnilo

Metodološki razvoj modula lekcije v disciplini "Matematika" na temo "Logaritemska funkcija. Lastnosti in graf" iz razdelka "Koreni, potence in logaritmi" je sestavljen na podlagi Program dela pri matematiki in koledarsko-tematskem načrtu. Teme lekcije so medsebojno povezane z vsebino in glavnimi določbami.

Namen študija te teme je spoznati koncept logaritemske funkcije, preučiti njene osnovne lastnosti, naučiti se zgraditi graf logaritemske funkcije in se naučiti videti logaritemsko spiralo v svetu okoli nas.

Programsko gradivo Ta lekcija temelji na znanju matematike. Metodološki razvoj modula lekcije je bil sestavljen za izvajanje teoretičnega pouka na temo: »Logaritemska funkcija. Lastnosti in urnik" -1 ura. Pri praktičnem pouku študenti utrdijo pridobljeno znanje: definicije funkcij, njihove lastnosti in grafi, transformacije grafov, zvezne in periodične funkcije, inverzne funkcije in njihovi grafi, logaritemske funkcije.

Metodološki razvoj je namenjen zagotavljanju metodološke pomoči študentom pri študiju modula lekcije na temo "Logaritemska funkcija. Lastnosti in razpored". Kot obšolsko samostojno delo Učenci lahko z dodatnimi viri pripravijo sporočilo na temo "Logaritmi in njihova uporaba v naravi in ​​tehniki", križanke in uganke. Izobraževalna znanja in strokovne kompetence, pridobljene pri študiju teme "Logaritemske funkcije, njihove lastnosti in grafi", bodo uporabljene pri študiju naslednjih sklopov: "Enačbe in neenačbe" in "Principi matematične analize".

Didaktična struktura lekcije:

Zadeva:« Logaritemska funkcija. Lastnosti in graf »

Vrsta dejavnosti: Kombinirano.

Cilji lekcije:

Izobraževalni- oblikovanje znanja pri obvladovanju pojma logaritemske funkcije, lastnosti logaritemske funkcije; uporabite grafe za reševanje problemov.

Razvojni- razvoj miselnih operacij s konkretizacijo, razvoj vizualnega spomina, potreba po samoizobraževanju, spodbujanje razvoja kognitivnih procesov.

Izobraževalni- spodbujanje kognitivne dejavnosti, občutka odgovornosti, spoštovanja drug drugega, medsebojnega razumevanja, samozavesti; negovanje kulture komuniciranja; negovanje zavestnega odnosa in zanimanja za učenje.

Sredstva izobraževanja:

Metodološki razvoj na temo;

Osebni računalnik;

Učbenik Sh.A Alimova "Algebra in začetki analize" razredi 10-11. Založba "Prosveshcheniye".

Znotrajpredmetne povezave: eksponentna funkcija in logaritemska funkcija.

Medpredmetne povezave: algebra in matematična analiza.

študentmora vedeti:

definicija logaritemske funkcije;

lastnosti logaritemske funkcije;

graf logaritemske funkcije.

študentbi moral biti sposoben:

izvajajo transformacije izrazov, ki vsebujejo logaritme;

poiščejo logaritem števila, uporabijo lastnosti logaritmov pri logaritmiranju;

določi položaj točke na grafu z njenimi koordinatami in obratno;

uporabiti lastnosti logaritemske funkcije pri gradnji grafov;

Izvedite transformacije grafov.

Učni načrt

1. Organiziranje časa(1 min).

2. Določitev ciljev in ciljev lekcije. Motivacija izobraževalne dejavnosti učenci (1 min).

3. Stopnja obnavljanja temeljnih znanj in spretnosti (3 min).

4. Preverite Domača naloga(2 minuti).

5. Faza asimilacije novega znanja (10 min).

6. Faza utrjevanja novega znanja (15 min).

7. Spremljanje naučene snovi pri pouku (10 min).

8. Povzetek (2 min).

9. Faza seznanitve učencev z domačo nalogo (1 min).

Med predavanji:

1. Organizacijski trenutek.

Vključuje učiteljevo pozdravljanje razreda, pripravo prostora za pouk in preverjanje odsotnih.

2. Določitev ciljev in ciljev lekcije.

Danes se bomo pogovarjali o pojmu logaritemske funkcije, narisali graf funkcije in preučevali njene lastnosti.

3. Stopnja obnavljanja temeljnih znanj in veščin.

Izvaja se v obliki frontalnega dela z razredom.

Katera je bila zadnja funkcija, ki smo jo preučevali? Shematično narišite na tablo.

Podajte definicijo eksponentne funkcije.

Kaj je koren eksponentne enačbe?

Definiraj logaritem?

Kakšne so lastnosti logaritmov?

Kaj je glavna logaritemska identiteta?

4. Preverjanje domače naloge.

Učenci odprejo zvezke in pokažejo rešene naloge. Postavljajte vprašanja, ki so se pojavila med pisanjem domače naloge.

5. Faza asimilacije novega znanja.

Učitelj: Odprite zvezke, zapišite današnji datum in temo lekcije "Logaritemska funkcija, njene lastnosti in graf."

definicija: Logaritemska funkcija je funkcija oblike

Kje je dano število, .

Razmislimo o izrisu te funkcije na konkreten primer.

Zgradimo grafe funkcij in .

Opomba 1: Logaritemska funkcija je inverzna eksponentni funkciji, kjer je . Zato sta njuna grafa simetrična glede na simetralo koordinatnih kotov I in III (slika 1).

Na podlagi definicije logaritma in vrste grafov bomo ugotovili lastnosti logaritemske funkcije:

1) Obseg opredelitve: , ker po definiciji logaritma x>0.

2) Obseg funkcij: .

3) Logaritem ena je enak nič, logaritem osnove je enak ena: , .

4) Funkcija , narašča v intervalu (slika 1).

5) Funkcija , zmanjšanje intervala (slika 1).

6) Intervali konstantnosti znakov:

Če , potem pri ; ob ;

Če , potem pri pri ;

Opomba 2: Graf katerekoli logaritemske funkcije vedno poteka skozi točko (1; 0).

Izrek:če , kje torej .

6. Faza utrjevanja novega znanja.

Učitelj: Rešujemo naloge št. 318 - št. 322 (liho) (§18 Alimov Sh.A. "Algebra in začetki analize" 10-11 razred).

1) ker se funkcija poveča.

3), ker se funkcija zmanjša.

1), ker in .

3) , ker in .

1), ker , , potem .

3) , ker je 10> 1, potem .

1) zmanjša

3) poveča.

7. Povzemanje.

- Danes smo v razredu opravili dobro delo! Kaj novega ste se danes naučili pri pouku?

(Nova vrsta funkcije - logaritemska funkcija)

Navedite definicijo logaritemske funkcije.

(Funkcija y = logax, (a > 0, a ≠ 1) se imenuje logaritemska funkcija)

Dobro opravljeno! Prav! Poimenujte lastnosti logaritemske funkcije.

(področje definicije funkcije, množica funkcijskih vrednosti, monotonost, konstantnost predznaka)

8. Kontrola naučene snovi pri pouku.

Učitelj: Ugotovimo, kako dobro ste obvladali temo »Logaritemska funkcija. Lastnosti in razpored". Za to bomo napisali testno nalogo (Priloga 1). Delo je sestavljeno iz štirih nalog, ki jih je treba rešiti z uporabo lastnosti logaritemske funkcije. Za dokončanje testa imate na voljo 10 minut.

9. Stopnja obveščanja učencev o domači nalogi.

Pisanje na tablo in v dnevnike: Alimov Sh.A. "Algebra in začetki analize" razredi 10-11. §18 št. 318 - št. 322 (sodo)

Zaključek

Pri uporabi metodološkega razvoja smo dosegli vse cilje in cilje. V tem metodološkem razvoju so bile upoštevane vse lastnosti logaritemske funkcije, zaradi česar so se učenci naučili preoblikovati izraze, ki vsebujejo logaritme, in graditi grafe logaritemskih funkcij. Izvedba praktični problemi pomaga pri utrjevanju preučene snovi, spremljanje preverjanja znanja in spretnosti pa bo učiteljem in učencem pomagalo ugotoviti, kako učinkovito je bilo njihovo delo pri pouku. Metodološki razvoj omogoča študentom, da pridobijo zanimive in poučne informacije o temi, posplošujejo in sistematizirajo znanje, uporabljajo lastnosti logaritmov in logaritemskih funkcij pri reševanju različnih logaritemskih enačb in neenačb.

Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. - M. Izobraževanje, 2011.

Nikolsky S. M., Potapov M. K., Reshetnikov N. N. et al. Algebra in začetki matematične analize (osnovna in profilna raven). 10 razredov - M., 2006.

Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Federova N.E. in drugi, ur. Žižčenko A.B. Algebra in začetki matematične analize (osnovna in specializirana raven). 10 razredov - M., 2005.

Lisichkin V. T. Matematika v problemih z rešitvami: učbenik / V. T. Lisichkin, I. L. Soloveychik. - 3. izd., izbrisano. - St. Petersburg. [in drugi]: Lan, 2011 (Arkhangelsk). - 464 s.

Internetni viri:

http://school-collection.edu.ru - Elektronski učbenik "Matematika v

šola, XXI stoletje."

http://fcior.edu.ru - gradiva za informacije, usposabljanje in nadzor.

www.school-collection.edu.ru - Enotna zbirka digitalnih izobraževalnih virov.

Aplikacije

Možnost 1.

Možnost 2.

Merila za ocenjevanje:

Ocena »3« (zadovoljivo) se dodeli za vsaka 2 pravilno izpolnjena primera.

Oceno »4« (dobro) dobimo, če so kateri koli 3 primeri pravilno izpolnjeni.

Oceno »5« (odlično) dobijo vsi 4 pravilno izpolnjeni primeri.

Pouk algebre v 10. razredu

Tema: “Logaritemska funkcija, njene lastnosti in graf”

Cilji:

Izobraževalni: Predstavite pojem logaritemske funkcije na podlagi preteklih izkušenj, podajte definicijo. Preučite osnovne lastnosti logaritemske funkcije. Razviti sposobnost konstruiranja grafa logaritemske funkcije.

Razvojni: Razviti sposobnost poudarjanja glavne stvari, primerjave, posploševanja. Oblikovati grafično kulturo med učenci.

Izobraževalni: Pokažite odnos med matematiko in okoliško realnostjo. Razvijati komunikacijske sposobnosti, dialog in sposobnost timskega dela.

Vrsta lekcije: Kombinirano

Učne metode: Delno iskanje, interaktivno.

Med poukom.

1. Posodabljanje preteklih izkušenj:

Študentom so na voljo ustne vaje z uporabo definicije logaritma, njegovih lastnosti, formul za premikanje na novo bazo, reševanja najpreprostejših logaritemskih in eksponentnih enačb, primerov iskanja obsega sprejemljivih vrednosti za logaritemske izraze.

Ustne vajeUstno delo.

1) Izračunajte z uporabo definicije logaritma: dnevnik 2 8; dnevnik 4 16;.

2) Izračunajte z uporabo osnovne logaritemske identitete:

3) Rešite enačbo z uporabo definicije:

4) Ugotovite, pri katerih vrednostih x je izraz smiseln:

5) Poiščite vrednost izraza z uporabo lastnosti logaritmov:

2. Preučite temo. Učenci morajo rešiti eksponentne enačbe: 2 x =y; () x = y. tako, da spremenljivko x izrazimo s spremenljivko y. Kot rezultat tega dela so pridobljene formule, ki definirajo funkcije, ki študentom niso znane. ,. vprašanje : "Kako bi poimenovali to funkcijo?" učenci pravijo, da je logaritemska, saj je spremenljivka pod logaritemskim znakom: .

vprašanje . Definirajte funkcijo. Definicija: funkcija, podana s formulo y=log a x se imenuje logaritemski z osnovo a (a>0, a 1)

III. Funkcijska študija y=log a x

Nedavno smo predstavili koncept logaritma pozitivnega števila na pozitivno osnovo a, ki ni enaka 1. Za vsako pozitivno število lahko najdete logaritem na dano osnovo. Toda potem bi morali razmisliti o funkciji oblike y=log sekira, ter o njegovi grafiki in lastnostih.Funkcija, podana s formulo y=log a x se imenuje logaritemski z osnovo a (a>0, a 1)

Osnovne lastnosti logaritemske funkcije:

1. Domena definicije logaritemske funkcije bo celotna množica pozitivnih realnih števil. Za kratkost se tudi imenujeR+. Očitna lastnost, saj vsak pozitivno število ima logaritem z osnovo a.D(f)=R+

2. Obseg logaritemske funkcije bo celoten niz realnih števil.E(f)= (-∞; +∞)

3 . Graf logaritemske funkcije vedno poteka skozi točko (1;0).

4 . Llogaritemska funkcija starostine pri a> 1 in zmanjša ob 0<х<1.

5 . Funkcija ni soda ali liha. Logaritemska funkcija – splošna funkcijaA.

6 . Funkcija nima maksimalnih ali minimalnih točk, je zvezna v domeni definicije.

Naslednja slika prikazuje graf padajoče logaritemske funkcije - (0

Če konstruirate eksponentne in logaritemske funkcije z enakimi osnovami na isti koordinatni osi, bodo grafi teh funkcij simetrični glede na ravno črto y = x. Ta izjava je prikazana na naslednji sliki.

Zgornja izjava bo veljala za naraščajoče in padajoče logaritemske in eksponentne funkcije.

Razmislite o primeru: poiščite domeno definicije logaritemske funkcije f(x) = log 8 (4 - 5x).

Glede na lastnosti logaritemske funkcije je domena definicije celotna množica pozitivnih realnih števil R+. Potem bo dana funkcija definirana za tak x, za katerega je 4 - 5x>0. Rešimo to neenakost in dobimo x<0.8. Таким образом, получается, что областью определения функции f(x) = log 8 (4 - 5*x) bo interval (-∞;0,8)

Grafi logaritemske funkcije v GeoGebri

Grafi logaritemskih funkcij
1) naravni logaritem y = ln (x)
2) decimalni logaritem y = log(x)
3) logaritem z osnovo 2 y = ld (x)

V. Utrjevanje teme

Z uporabo pridobljenih lastnosti logaritemske funkcije bomo rešili naslednje naloge:

1. Poiščite domeno funkcije: y=log 8 (4-5x);y=log 0,5 (2x+8);.

3. Shematsko zgradite grafe funkcij: y=log 2 (x+2) -3 y= log 2 (x) +2