Řešení rovnic vyšších stupňů. Rovnice vyšších stupňů v matematice

Trifanova Marina Anatolyevna
učitel matematiky, městská vzdělávací instituce "Gymnasium č. 48 (multidisciplinární)", Talnakh

Trojí účel lekce:

Vzdělávací:
systematizace a zobecnění znalostí o řešení rovnic vyšší stupně.
Vývojový:
podporovat rozvoj logické myšlení, schopnost samostatné práce, dovednosti vzájemné kontroly a sebeovládání, mluvení a poslech.
Vzdělávání:
rozvíjet návyk neustálého zaměstnání, podporovat schopnost reagovat, tvrdou práci a přesnost.

Typ lekce:

lekce integrované aplikace znalostí, dovedností a schopností.

Forma lekce:

ventilace, fyzické cvičení, různé formy práce.

Zařízení:

podpůrné poznámky, karty úkolů, matice sledování lekcí.

PRŮBĚH LEKCE

I. Organizační moment

1. Sdělování účelu lekce studentům.
2. Zkouška domácí úkol(Příloha 1). Práce s podpůrnými poznámkami (Příloha 2).

Rovnice a odpovědi pro každou z nich jsou napsány na tabuli. Studenti kontrolují své odpovědi a dávají stručná analýzařešení každé rovnice nebo odpovědi na otázky učitele (frontální průzkum). Sebekontrola – žáci si dávají známky a odevzdávají své sešity učiteli k opravě nebo schválení známky. Školní známky jsou napsány na tabuli:

„5+“ - 6 rovnic;
„5“ - 5 rovnic;
„4“ - 4 rovnice;
"3" - 3 rovnice.

Otázky učitele k domácím úkolům:

1 rovnice

1. K jaké změně proměnných dojde v rovnici?
2. Jaká rovnice se získá po změně proměnných?

2 rovnice

1. Jaký polynom byl použit k rozdělení obou stran rovnice?
2. K jaké změně proměnných došlo?

3 rovnice

1. Jaké polynomy je potřeba vynásobit, aby se řešení této rovnice zjednodušilo?

4 rovnice

1. Pojmenujte funkci f(x).
2. Jak byly nalezeny zbývající kořeny?

5 rovnice

1. Kolik intervalů bylo získáno k vyřešení rovnice?

6 rovnice

1. Jak by se dala vyřešit tato rovnice?
2. Které řešení je racionálnější?

II. Skupinová práce je hlavní částí lekce.

Třída je rozdělena do 4 skupin. Každá skupina dostane kartičku s teoretickými a praktickými otázkami (příloha 3): „Prozkoumejte navrhovanou metodu řešení rovnice a vysvětlete ji na tomto příkladu.“

1. Skupinová práce 15 minut.
2. Příklady jsou napsány na tabuli (tabule je rozdělena na 4 části).
3. Skupinová zpráva trvá 2–3 minuty.
4. Učitel opravuje skupinové zprávy a pomáhá s obtížemi.

Práce ve skupinách pokračuje na kartách č. 5 – 8. Na každou rovnici je dáno 5 minut na diskusi ve skupině. Poté tabule podá zprávu o této rovnici - stručný rozbor řešení. Rovnice možná není úplně vyřešená - doma se dokončuje, ale v hodině se probírá posloupnost jejího řešení.

III. Samostatná práce. Dodatek 4.

1. Každý student dostane individuální zadání.
2. Práce trvá 20 minut.
3. 5 minut před koncem lekce dává učitel otevřené odpovědi na každou rovnici.
4. Studenti si vyměňují sešity v kruhu a kontrolují své odpovědi s kamarádem. Dávají známky.
5. Sešity se předají vyučujícímu ke kontrole a opravě známky.

IV. Shrnutí lekce.

Domácí úkol.

Formulujte řešení nedokončených rovnic. Připravte se na kontrolní řez.

Klasifikace.

Používání rovnic je v našich životech velmi rozšířené. Používají se v mnoha výpočtech, stavbě konstrukcí a dokonce i ve sportu. Člověk používal rovnice ve starověku a od té doby se jejich používání jen zvyšuje. V matematice jsou rovnice vyšších stupňů s celočíselnými koeficienty zcela běžné. K vyřešení tohoto typu rovnic potřebujete:

Určete racionální kořeny rovnice;

Faktor polynomu na levé straně rovnice;

Najděte kořeny rovnice.

Řekněme, že dostaneme rovnici následujícího tvaru:

Pojďme najít všechny jeho skutečné kořeny. Vynásobte levou a pravou stranu rovnice \

Provedeme změnu proměnných\

Máme tedy následující rovnici čtvrtého stupně, kterou lze vyřešit pomocí standardního algoritmu: zkontrolujeme dělitele, provedeme dělení a ve výsledku zjistíme, že rovnice má dva reálné kořeny\ a dva komplexní. Dostaneme následující odpověď na naši rovnici čtvrtého stupně:

Kde mohu vyřešit rovnici vyšších stupňů pomocí online řešitele?

Rovnici můžete vyřešit na našem webu https://site. Bezplatný online řešitel vám umožní řešit online rovnice jakékoli složitosti během několika sekund. Vše, co musíte udělat, je jednoduše zadat svá data do řešitele. Na našem webu si také můžete prohlédnout video návod a naučit se rovnici řešit. A pokud máte další otázky, můžete je položit v naší skupině VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Přidejte se k naší skupině, vždy vám rádi pomůžeme.

Text práce je vyvěšen bez obrázků a vzorců.
Plná verze práce je k dispozici v záložce "Soubory práce" ve formátu PDF

Zavedení

Řešení algebraických rovnic vyšších stupňů s jednou neznámou je jedno z nejobtížnějších a nejstarších matematické problémy. Těmito problémy se zabývali nejvýznamnější matematici starověku.

Řešení rovnic n-tého stupně je důležitý úkol a pro moderní matematiku. Je o ně poměrně velký zájem, neboť tyto rovnice úzce souvisejí s hledáním kořenů rovnic, které nejsou obsaženy ve školních osnovách matematiky.

Problém: Nedostatek dovedností v řešení rovnic vyšších stupňů různými způsoby jim znemožňuje úspěšnou přípravu na závěrečnou atestaci z matematiky a matematických olympiád a výcvik ve specializované matematické třídě.

Uvedené skutečnosti stanoveny relevance naši práci „Řešení rovnic vyšších stupňů“.

Znalost nejjednodušších metod řešení rovnic n-tého stupně zkracuje čas na dokončení úkolu, na kterém závisí výsledek práce a kvalita procesu učení.

Účel práce: studovat známé metodyřešení rovnic vyšších stupňů a identifikace nejdostupnějších z nich pro praktická aplikace.

Na základě cíle je v práci definováno: úkoly:

Prostudujte si literaturu a internetové zdroje na toto téma;

Seznamte se s historickými fakty souvisejícími s tímto tématem;

Popište různé způsoby řešení rovnic vyšších stupňů

porovnat stupeň složitosti každého z nich;

Seznámit spolužáky se způsoby řešení rovnic vyšších stupňů;

Vytvořte výběr rovnic pro praktickou aplikaci každé z uvažovaných metod.

Předmět studia- rovnice vyšších stupňů s jednou proměnnou.

Předmět zkoumání- metody řešení rovnic vyšších stupňů.

Hypotéza: Neexistuje žádná obecná metoda nebo jediný algoritmus, který by umožňoval najít řešení rovnic n-tého stupně v konečném počtu kroků.

Metody výzkumu:

- bibliografická metoda (analýza literatury k výzkumnému tématu);

- klasifikační metoda;

- metoda kvalitativní analýzy.

Teoretický význam výzkum spočívá v systematizaci metod řešení rovnic vyšších stupňů a popisu jejich algoritmů.

Praktický význam- přednesl materiál na toto téma a vývoj učební pomůcka pro studenty na toto téma.

1. ROVNICE VYŠŠÍCH STUPŇŮ

1.1 Pojem rovnice n-tého stupně

Definice 1. Rovnice n-tého stupně je rovnicí tvaru

A 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, kde koeficienty A 0, A 1, A 2…, A n -1, A n- libovolná reálná čísla a ,A 0 ≠ 0 .

Polynom A 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n se nazývá polynom n-tého stupně. Koeficienty se rozlišují podle jmen: A 0 - senior koeficient; A n je volným členem.

Definice 2. Řešení nebo kořeny pro danou rovnici jsou všechny hodnoty proměnné X, které tuto rovnici promění ve skutečnou číselnou rovnost nebo, pro kterou je polynom A 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n jde na nulu. Tato proměnná hodnota X také nazýván kořenem polynomu. Řešení rovnice znamená najít všechny její kořeny nebo zjistit, že žádné neexistují.

Li A 0 = 1, pak se taková rovnice nazývá redukované celé číslo racionální rovnice n čt stupně.

Pro rovnice třetího a čtvrtého stupně existují vzorce Cardano a Ferrari, které vyjadřují kořeny těchto rovnic prostřednictvím radikálů. Ukázalo se, že v praxi se používají jen zřídka. Pokud tedy n ≥ 3 a koeficienty polynomu jsou libovolná reálná čísla, pak nalezení kořenů rovnice není snadný úkol. V mnoha speciálních případech je však tento problém zcela vyřešen. Podívejme se na některé z nich.

1.2 Historická faktařešení rovnic vyšších stupňů

Již v dávných dobách si lidé uvědomovali, jak důležité je naučit se řešit algebraické rovnice. Asi před 4000 lety měli babylonští vědci řešení kvadratická rovnice a řešil soustavy dvou rovnic, z nichž jedna byla druhého stupně. Pomocí rovnic vyšších stupňů byly na ně redukovány různé problémy zeměměřictví, architektury a vojenských záležitostí, protože přesný jazyk matematiky umožňuje jednoduše vyjádřit fakta a vztahy; , což, když je uvedeno v běžném jazyce, se může zdát matoucí a složité .

Univerzální vzorec pro hledání kořenů algebraická rovnice n-týžádný titul. Mnozí měli samozřejmě lákavou myšlenku najít pro jakýkoli stupeň n vzorce, které by vyjadřovaly kořeny rovnice prostřednictvím jejích koeficientů, tedy řešily rovnici v radikálech.

Teprve v 16. století se italským matematikům podařilo pokročit dále – najít vzorce pro n= 3 a n= 4. Zároveň se začala řešit otázka obecné rozhodnutí rovnice 3. stupně studovali Scipio, Dal, Ferro a jeho studenti Fiori a Tartaglia.

V roce 1545 vyšla kniha italského matematika D. Cardana „Velké umění, nebo o pravidlech algebry“, kde jsou vedle dalších otázek algebry zvažovány obecné metody řešení kubických rovnic a také metoda pro řešení rovnic 4. stupně, objevil jeho žák L. Ferrari.

Kompletní prezentaci problematiky související s řešením rovnic 3. a 4. stupně přednesl F. Viet.

Ve 20. letech 19. století norský matematik N. Abel dokázal, že kořeny rovnic pátého stupně nelze vyjádřit pomocí radikálů.

Studie to odhalila moderní věda Existuje mnoho způsobů, jak řešit rovnice n-tého stupně.

Výsledek hledání metod řešení rovnic vyšších stupňů, které nelze řešit metodami uvažovanými v školní osnovy, metody založené na aplikaci Vietovy věty (pro rovnice stupně n>2), Bezoutovy věty, Hornerova schémata a také Cardanova a Ferrariho formule pro řešení kubických a kvartických rovnic.

Práce představuje metody řešení rovnic a jejich typy, které se pro nás staly objevem. Patří mezi ně metoda neurčitých koeficientů, výběr plného stupně, symetrické rovnice.

2. ŘEŠENÍ CELÝCH ROVNIC VYŠŠÍCH STUPŇŮ S CELÝMI ČÍSELNÝMI KOEFICIENTY

2.1 Řešení rovnic 3. stupně. Formule D. Cardano

Zvažte rovnice tvaru x 3 +px+q=0. Převedeme rovnici celkový pohled do formuláře: x 3 +px 2 +qx+r=0. Zapišme si vzorec pro třetí mocninu součtu; Přidejme ji k původní rovnosti a nahraďme ji y. Dostaneme rovnici: y 3 + (q-) (y-) + (r- =0. Po transformacích máme: y 2 +py + q=0. Nyní si znovu zapišme vzorec součtové kostky:

(a+b) 3 =a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 + 3ab (a + b), nahradit ( a+b)na x, dostaneme rovnici x 3 - 3abx - (a 3 +b 3) = 0. Nyní vidíme, že původní rovnice je ekvivalentní systému: a řešením systému dostaneme:

Získali jsme vzorec pro řešení výše uvedené rovnice 3. stupně. Nese jméno italského matematika Cardana.

Podívejme se na příklad. Řešte rovnici: .

máme r= 15 a q= 124, pak pomocí Cardanova vzorce vypočteme kořen rovnice

Závěr: tento vzorec je dobrý, ale není vhodný pro řešení všech kubických rovnic. Zároveň je to těžkopádné. Proto se v praxi používá jen zřídka.

Ale každý, kdo ovládá tento vzorec, jej může použít při řešení rovnic třetího stupně na jednotné státní zkoušce.

2.2 Vietova věta

Z kurzu matematiky známe tuto větu pro kvadratickou rovnici, ale málokdo ví, že se používá i k řešení rovnic vyšších řádů.

Zvažte rovnici:

Vynásobme levou stranu rovnice a vydělme ≠ 0.

Převedeme pravou stranu rovnice do tvaru

; Z toho vyplývá, že do systému můžeme zapsat následující rovnosti:

Vzorce odvozené Viètem pro kvadratické rovnice a námi demonstrované pro rovnice 3. stupně platí i pro polynomy vyšších stupňů.

Pojďme řešit kubickou rovnici:

Závěr: tato metoda univerzální a dostatečně snadno pochopitelné pro studenty, protože Vietův teorém je jim znám ze školních osnov pro n = 2. Zároveň, abyste našli kořeny rovnic pomocí této věty, musíte mít dobré výpočetní schopnosti.

2.3 Bezoutova věta

Tato věta je pojmenována po francouzském matematikovi 18. století J. Bezoutovi.

Teorém. Pokud rovnice A 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, kde všechny koeficienty jsou celá čísla a volný člen je nenulový a má celočíselný kořen, pak je tento kořen dělitelem volného členu.

Vzhledem k tomu, že na levé straně rovnice je polynom n-tý stupeň, pak má věta jiný výklad.

Teorém. Při dělení polynomu n-tého stupně vzhledem k x binomicky x-a zbytek se rovná hodnotě dividendy, když x = a. (dopis A může označovat jakékoliv reálné nebo imaginární číslo, tzn. libovolné komplexní číslo).

Důkaz: nechat f(x) označuje libovolný polynom n-tého stupně vzhledem k proměnné x a nechť, když je děleno binomem ( x-a) se ukázalo v soukromí q(x), a zbytek R. To je zřejmé q(x) bude tam nějaký polynom (n - 1) stupeň vzhledem k x a zbytek R bude konstantní hodnota, tzn. nezávislý na x.

Pokud zbytek R byl polynom prvního stupně vzhledem k x, pak by to znamenalo, že dělení selhalo. Tak, R z x nezávisí. Definicí dělení získáme identitu: f(x)=(x-a) q(x)+R.

Rovnost platí pro jakoukoli hodnotu x, což znamená, že platí také pro x=a, dostaneme: f(a)=(a-a) q(a)+R. Symbol f(a) označuje hodnotu polynomu f (x) v x=a, q(a) znamená hodnotu q(x) v x=a. Zbytek R zůstal stejný jako předtím, protože R z x nezávisí. Práce ( x-a) q(a) = 0, protože faktor ( x-a) = 0, a multiplikátor q(a) existuje určitý počet. Z rovnosti tedy dostáváme: f(a)= R, atd.

Příklad 1 Najděte zbytek polynomu x 3 - 3x 2 + 6x- 5 za binom

x- 2. Bezoutovou větou R=f(2) = 23-322 + 62-5=3. Odpověď: R= 3.

Všimněte si, že Bezoutův teorém není důležitý ani tak sám o sobě, jako pro své důsledky. (Příloha 1)

Zastavme se u zvážení některých technik pro aplikaci Bezoutovy věty na řešení praktické problémy. Je třeba poznamenat, že při řešení rovnic pomocí Bezoutovy věty je nutné:

Najděte všechny celočíselné dělitele volného členu;

Najděte alespoň jeden kořen rovnice z těchto dělitelů;

Vydělte levou stranu rovnice (Ha);

Zapište součin dělitele a podílu na levé straně rovnice;

Vyřešte výslednou rovnici.

Podívejme se na příklad řešení rovnice x 3 + 4X 2 + x - 6 = 0 .

Řešení: najděte dělitele volného členu ±1 ; ± 2; ± 3; ± 6. Vypočítejme hodnoty při x= 1, 1 3 + 41 2 + 1-6=0. Vydělte levou stranu rovnice ( X- 1). Udělejme rozdělení pomocí „rohu“ a dostaneme:

Závěr: Bezoutův teorém je jednou z metod, kterou v naší práci zvažujeme, studovanou v programu volitelných tříd. Je těžké to pochopit, protože abyste to zvládli, musíte z toho znát všechny důsledky, ale zároveň je Bezoutův teorém jedním z hlavních asistentů pro studenty na jednotné státní zkoušce.

2.4 Hornerovo schéma

Dělit polynom binomem x-α můžete použít speciální jednoduchou techniku ​​vynalezenou anglickými matematiky 17. století, později nazvanou Hornerovo schéma. Kromě hledání kořenů rovnic můžete pomocí Hornerova schématu jednodušeji vypočítat jejich hodnoty. K tomu je třeba dosadit hodnotu proměnné do polynomu Pn (x) = a 0 xn+a 1 x n-1 +a 2 xⁿ - ²+…++ a n -1 x+a n. (1)

Zvažte dělení polynomu (1) binomem x-α.

Vyjádřeme koeficienty neúplného kvocientu b 0 xⁿ - ¹+ b 1 xⁿ - ²+ b 2 xⁿ - ³+…+ mld. Kč -1 a zbytek r přes koeficienty polynomu Pn( x) a číslo α. b 0 =a 0 , b 1 = α b 0 +a 1 , b 2 = α b 1 +a 2 …, mld. Kč -1 =

= α mld. Kč -2 +a n -1 = α mld. Kč -1 +a n .

Výpočty podle Hornerova schématu jsou uvedeny v následující tabulce:

	A 0	A 1	A 2 ,
	b 0 =a 0	b 1 = α b 0 +a 1	b 2 = α b 1 +a 2		r = a b n-1 +a n

Od r=Pn(α), pak α je kořen rovnice. Abychom ověřili, zda α je násobný odmocnina, lze Hornerovo schéma použít na kvocient b 0 x+ b 1 x+…+ mld. Kč -1 podle tabulky. Pokud je ve sloupci pod mld -1 výsledek je opět 0, což znamená, že α je násobný kořen.

Podívejme se na příklad: vyřešte rovnici X 3 + 4X 2 + x - 6 = 0.

Aplikujme na levou stranu rovnice rozklad polynomu na levé straně rovnice, Hornerovo schéma.

Řešení: najděte dělitele volného členu ± 1; ± 2; ± 3; ± 6.

				6 ∙ 1 + (-6) = 0

Koeficienty kvocientu jsou čísla 1, 5, 6 a zbytek r = 0.

Prostředek, X 3 + 4X 2 + X - 6 = (X - 1) (X 2 + 5X + 6) = 0.

Odtud: X- 1 = 0 nebo X 2 + 5X + 6 = 0.

X = 1, X 1 = -2; X 2 = -3. Odpověď: 1,- 2, - 3.

Závěr: na jedné rovnici jsme tedy ukázali použití dvou různými způsoby faktorizace polynomů. Podle našeho názoru je Hornerovo schéma nejpraktičtější a nejekonomičtější.

2.5 Řešení rovnic 4. stupně. Ferrari metoda

Cardanův student Ludovic Ferrari objevil způsob, jak vyřešit rovnici čtvrtého stupně. Ferrari metoda se skládá ze dvou fází.

Etapa I: rovnice tvaru jsou reprezentovány jako součin dvou čtvercových trinomů vyplývá to z toho, že rovnice je 3. stupně a má alespoň jedno řešení;

Fáze II: výsledné rovnice jsou řešeny pomocí faktorizace, ale pro nalezení požadované faktorizace je třeba vyřešit kubické rovnice.

Cílem je reprezentovat rovnice ve tvaru A 2 =B 2, kde A= x 2 + s,

B-lineární funkce x. Pak zbývá vyřešit rovnice A = ±B.

Pro názornost zvažte rovnici: Izolováním 4. stupně dostaneme: Pro libovolný d výraz bude dokonalý čtverec. Přidejte na obě strany rovnice, kterou dostaneme

Na levé straně je kompletní čtverec, můžete sebrat d, takže pravá strana (2) se také stane úplným čtvercem. Představme si, že jsme toho dosáhli. Pak naše rovnice vypadá takto:

Najít kořen nebude později těžké. Chcete-li vybrat správné d je nutné, aby se diskriminant pravé strany (3) stal nulou, tzn.

Tedy najít d, musíme vyřešit tuto rovnici 3. stupně. Tato pomocná rovnice se nazývá rozpouštědlo.

Snadno najdeme celý kořen rozpouštědla: d = 1

Dosazením rovnice do (1) dostaneme

Závěr: Ferrari metoda je univerzální, ale složitá a těžkopádná. Zároveň, pokud je algoritmus řešení jasný, lze pomocí této metody řešit rovnice 4. stupně.

2.6 Metoda nejistých koeficientů

Úspěšnost řešení rovnice 4. stupně pomocí Ferrariho metody závisí na tom, zda řešíme resolvent - rovnici 3. stupně, což, jak víme, není vždy možné.

Podstata metody neurčitých koeficientů spočívá v tom, že se tipuje typ faktorů, na které se daný polynom rozkládá, a koeficienty těchto faktorů (také polynomy) se určují vynásobením faktorů a srovnáváním koeficientů se stejnými mocninami. variabilní.

Příklad: vyřešte rovnici:

Předpokládejme, že levou stranu naší rovnice lze rozložit na dva čtvercové trinomy s celočíselnými koeficienty tak, že platí stejná rovnost

Je zřejmé, že koeficienty před nimi se musí rovnat 1 a volné členy se musí rovnat jedné + 1, druhý - 1.

Koeficienty čelí X. Označme je podle A a abychom je určili, vynásobíme oba trinomy na pravé straně rovnice.

V důsledku toho dostaneme:

Rovnocenné koeficienty ve stejných stupních X na levé a pravé straně rovnosti (1) získáme systém pro hledání a

Po vyřešení tohoto systému budeme mít

Naše rovnice je tedy ekvivalentní rovnici

Když to vyřešíme, dostaneme následující kořeny: .

Metoda neurčitých koeficientů je založena na následujících tvrzeních: libovolný polynom čtvrtého stupně v rovnici lze rozložit na součin dvou polynomů druhého stupně; dva polynomy jsou identicky stejné právě tehdy, když jsou jejich koeficienty stejné pro stejné mocniny X.

2.7 Symetrické rovnice

Definice. Rovnice ve tvaru se nazývá symetrická, pokud se první koeficienty nalevo od rovnice rovnají prvním koeficientům napravo.

Vidíme, že první koeficienty vlevo se rovnají prvním koeficientům vpravo.

Pokud má taková rovnice lichý stupeň, pak má kořen X= - 1. Dále můžeme snížit stupeň rovnice vydělením ( x+ 1). Ukazuje se, že při dělení symetrické rovnice ( x+ 1) získá se symetrická rovnice sudého stupně. Důkaz symetrie koeficientů je uveden níže. (Příloha 6) Naším úkolem je naučit se řešit symetrické rovnice sudého stupně.

Například: (1)

Vyřešme rovnici (1), vydělme X 2 (na střední stupeň) = 0.

Seskupme členy se symetrickými

) + 3(x+ . Označme na= x+ , odmocnime obě strany, tedy = na 2 Takže 2( na 2 nebo 2 na 2 + 3 řešení rovnice, dostaneme na = , na= 3. Dále se vraťme k nahrazení x+ = a x+ = 3. Získáme rovnice a První nemá řešení a druhá má dva kořeny. Odpověď:.

Závěr: tento typ s rovnicemi se často nepotkáte, ale pokud na nějakou narazíte, lze ji snadno a jednoduše vyřešit, aniž byste se museli uchylovat k těžkopádným výpočtům.

2.8 Izolace plného stupně

Zvažte rovnici.

Levá strana je třetí mocninou součtu (x+1), tzn.

Z obou částí extrahujeme třetí kořen: , pak dostaneme

Kde je jediný kořen?

VÝSLEDKY VÝZKUMU

Na základě výsledků práce jsme došli k následujícím závěrům:

Díky nastudované teorii jsme se seznámili s různé metodyřešení celých rovnic vyšších stupňů;

Vzorec D. Cardana je obtížně použitelný a dává vysokou pravděpodobnost chyb ve výpočtu;

− Metoda L. Ferrariho umožňuje redukovat řešení rovnice čtvrtého stupně na kubickou;

− Bezoutovu větu lze použít jak pro kubické rovnice, tak pro rovnice čtvrtého stupně; při řešení rovnic je srozumitelnější a názornější;

Hornerovo schéma pomáhá výrazně omezit a zjednodušit výpočty při řešení rovnic. Kromě hledání kořenů můžete pomocí Hornerova schématu jednodušeji vypočítat hodnoty polynomů na levé straně rovnice;

Zvláště zajímavá byla řešení rovnic metodou neurčitých koeficientů a řešení symetrických rovnic.

Během výzkumné práce Bylo zjištěno, že s nejjednoduššími metodami řešení rovnic nejvyššího stupně se studenti seznamují ve volitelných hodinách matematiky počínaje 9. a 10. ročníkem a také ve speciálních kurzech na hostujících matematických školách. Tato skutečnost byla zjištěna na základě průzkumu mezi učiteli matematiky na MBOU „SŠ č. 9“ a studenty, kteří projevili zvýšený zájem o předmět „matematika“.

Nejoblíbenějšími metodami řešení rovnic vyšších stupňů, se kterými se setkáváme při řešení olympiád, soutěžních úloh a v důsledku přípravy studentů na zkoušky, jsou metody založené na aplikaci Bezoutovy věty, Hornerova schématu a zavedení nové proměnné.

Demonstrace výsledků výzkumné práce, tzn. metody řešení rovnic neuvedené ve školních osnovách matematiky mé spolužáky zaujaly.

Závěr

Po prostudování vzdělávací a vědecké literatury, internetových zdrojů ve vzdělávacích fórech pro mládež

Při řešení algebraických rovnic často musíte faktor polynomu. Faktorizovat polynom znamená reprezentovat jej jako součin dvou nebo více polynomů. Některé metody rozkladu polynomů používáme poměrně často: převzetí společného činitele, použití zkrácených vzorců pro násobení, izolace úplného čtverce, seskupení. Podívejme se na další metody.

Někdy jsou při faktorizaci polynomu užitečná následující tvrzení:

1) má-li polynom s celočíselnými koeficienty racionální kořen (kde je ireducibilní zlomek, pak je dělitel volného členu a dělitel vedoucího koeficientu:

2) Pokud nějakým způsobem vyberete kořen polynomu stupně, pak polynom může být reprezentován ve tvaru kde je polynom stupně

Polynom lze nalézt buď rozdělením polynomu na binom ve „sloupci“, nebo odpovídajícím seskupením členů polynomu a oddělením násobitele od nich, nebo metodou neurčitých koeficientů.

Příklad. Faktor a polynom

Řešení. Protože koeficient x4 je roven 1, pak racionální kořeny tohoto polynomu existují a jsou děliteli čísla 6, tj. mohou to být celá čísla ±1, ±2, ±3, ±6. Označme tento polynom P4(x). Protože Р Р4 (1) = 4 a Р4(-4) = 23, pak čísla 1 a -1 nejsou kořeny polynomu PA(x). Protože P4(2) = 0, pak x = 2 je kořenem polynomu P4(x), a proto je tento polynom dělitelný binomem x - 2. Proto x4 -5x3 +7x2 -5x +6 x- 2x4 -2x3x3 -3x2 +x-3

3x3 +7x2 -5x +6

3x3 +6x2x2 - 5x + 6x2- 2x

Proto P4(x) = (x - 2) (x3 - 3x2 + x - 3). Protože xz - 3x2 + x - 3 = x2 (x - 3) + (x - 3) = (x - 3) (x2 + 1), pak x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 = (x - 2) ( x - 3) (x2 + 1).

Metoda zadávání parametrů

Někdy při faktorizaci polynomu pomáhá metoda zavedení parametru. Podstatu této metody si vysvětlíme na následujícím příkladu.

Příklad. x3 –(√3 + 1) x2 + 3.

Řešení. Uvažujme polynom s parametrem a: x3 - (a + 1)x2 + a2, který se při a = √3 změní na daný polynom. Zapišme tento polynom jako čtvercový trinom pro a: ag - ax2 + (x3 - x2).

Protože odmocniny tohoto trinomu na druhou vzhledem k a jsou a1 = x a a2 = x2 - x, pak platí rovnost a2 - ax2 + (xs - x2) = (a - x)(a - x2 + x). Následně se polynom x3 - (√3 + 1)x2 + 3 rozloží na faktory √3 – x a √3 - x2 + x, tzn.

x3 – (√3+1)x2+3=(x-√3)(x2-x-√3).

Způsob zavedení nového neznáma

V některých případech lze nahrazením výrazu f(x) obsaženého v polynomu Pn(x) prostřednictvím y získat polynom vzhledem k y, který lze snadno faktorizovat. Potom po nahrazení y f(x) získáme rozklad polynomu Pn(x).

Příklad. Faktor polynomu x(x+1)(x+2)(x+3)-15.

Řešení. Transformujme tento polynom následovně: x(x+1)(x+2)(x+3)-15= [x (x + 3)][(x + 1)(x + 2)] - 15 =( x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) - 15.

Označme x2 + 3x y. Pak máme y(y + 2) - 15 = y2 + 2y - 15 = y2 + 2y + 1 - 16 = (y + 1)2 - 16 = (y + 1 + 4) (y + 1 - 4)= (y+ 5)(y-3).

Proto x(x + 1)(x+ 2)(x + 3) - 15 = (x2+ 3x + 5)(x2 + 3x - 3).

Příklad. Faktor polynom (x-4)4+(x+2)4

Řešení. Označme x- 4+x+2 = x - 1 y.

(x - 4)4 + (x + 2)2= (y - 3)4 + (y + 3)4 = y4 - 12y3 +54y3 - 108y + 81 + y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81 =

2y4 + 108y2 + 162 = 2(y4 + 54y2 + 81) = 2[(yg + 27)2 - 648] = 2 (y2 + 27 - √b48)(y2 + 27+√b48)=

2((x-1)2+27-√b48)((x-1)2+27+√b48)=2(x2-2x + 28- 18√ 2)(x2- 2x + 28 + 18√ 2 ).

Kombinace různých metod

Při faktorizaci polynomu je často nutné použít několik výše uvedených metod za sebou.

Příklad. Faktor polynomu x4 - 3x2 + 4x-3.

Řešení. Pomocí seskupení přepíšeme polynom ve tvaru x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x4 – 2x2) – (x2 -4x + 3).

Použitím metody izolace celého čtverce do první závorky máme x4 - 3x3 + 4x - 3 = (x4 - 2 · 1 · x2 + 12) - (x2 -4x + 4).

Pomocí vzorce dokonalého čtverce nyní můžeme napsat, že x4 – 3x2 + 4x - 3 = (x2 -1)2 - (x - 2)2.

Nakonec použitím vzorce rozdílu čtverců dostaneme, že x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x2 - 1 + x - 2)(x2 - 1 - x + 2) = (x2+x-3)(x2 -x + 1).

§ 2. Symetrické rovnice

1. Symetrické rovnice třetího stupně

Rovnice ve tvaru ax3 + bx2 + bx + a = 0, a ≠ 0 (1) nazýváme symetrické rovnice třetího stupně. Protože ax3 + bx2 + bx + a = a(x3 + 1) + bx (x + 1) = (x+1)(ax2+(b-a)x+a), pak rovnice (1) je ekvivalentní soustavě rovnic x + 1 = 0 a ax2 + (b-a)x + a = 0, což není těžké vyřešit.

Příklad 1: Řešte rovnici

3x3 + 4x2 + 4x + 3 = 0. (2)

Řešení. Rovnice (2) je symetrická rovnice třetího stupně.

Protože 3x3 + 4xr + 4x + 3 = 3(x3 + 1) + 4x(x + 1) = (x+ 1)(3x2 - 3x + 3 + 4x) = (x + 1)(3x2 + x + 3) , pak rovnice (2) je ekvivalentní soustavě rovnic x + 1 = 0 a 3x3 + x +3=0.

Řešení první z těchto rovnic je x = -1, druhá rovnice řešení nemá.

Odpověď: x = -1.

2. Symetrické rovnice čtvrtého stupně

Rovnice formuláře

(3) se nazývá symetrická rovnice čtvrtého stupně.

Protože x = 0 není kořen rovnice (3), pak vydělením obou stran rovnice (3) x2 získáme rovnici ekvivalentní té původní (3):

Přepišme rovnici (4) takto:

Udělejme substituci v této rovnici, pak dostaneme kvadratickou rovnici

Pokud má rovnice (5) 2 kořeny y1 a y2, pak původní rovnice je ekvivalentní soustavě rovnic

Pokud má rovnice (5) jeden kořen y0, pak je původní rovnice ekvivalentní rovnici

Konečně, jestliže rovnice (5) nemá kořeny, pak původní rovnice také nemá kořeny.

Příklad 2: Řešte rovnici

Řešení. Tato rovnice je symetrickou rovnicí čtvrtého stupně. Protože x = 0 není jeho kořen, vydělíme rovnici (6) x2, dostaneme ekvivalentní rovnici:

Po seskupení členů přepíšeme rovnici (7) ve tvaru nebo ve tvaru

Dáme-li to, dostaneme rovnici, která má dva kořeny y1 = 2 a y2 = 3. V důsledku toho je původní rovnice ekvivalentní soustavě rovnic

Řešením první rovnice této množiny je x1 = 1 a řešením druhé je u.

Proto má původní rovnice tři kořeny: x1, x2 a x3.

Odpověď: x1=1.

§3. Algebraické rovnice

1. Snížení stupně rovnice

Některé algebraické rovnice, nahrazením určitého polynomu v nich jedním písmenem, lze redukovat na algebraické rovnice, jejichž stupeň je menší než stupeň původní rovnice a jejichž řešení je jednodušší.

Příklad 1: Řešte rovnici

Řešení. Označme, pak rovnici (1) můžeme přepsat jako Poslední rovnice má kořeny a rovnice (1) je tedy ekvivalentní soustavě rovnic a. Řešením první rovnice této množiny je a řešením druhé rovnice je

Řešení rovnice (1) jsou

Příklad 2: Řešte rovnici

Řešení. Vynásobíme obě strany rovnice 12 a označíme,

Získáme rovnici Tuto rovnici přepíšeme do tvaru

(3) a značíme rovnici (3) přepíšeme ve tvaru Poslední rovnice má kořeny a Dostaneme tedy, že rovnice (3) je ekvivalentní soustavě dvou rovnic a Existují řešení této soustavy rovnic a tedy rovnice (2) je ekvivalentní soustavě rovnic a (4)

Řešení množiny (4) jsou a a jsou řešením rovnice (2).

2. Rovnice formuláře

Rovnice

(5) kde - daná čísla lze redukovat na bikvadratickou rovnici nahrazením neznámé, tj.

Příklad 3: Řešte rovnici

Řešení. Označme,t. e. provedeme změnu proměnných nebo Pak rovnici (6) můžeme přepsat do tvaru nebo pomocí vzorce do tvaru.

Protože kořeny kvadratické rovnice jsou a, řešení rovnice (7) jsou řešeními soustavy rovnic a. Tato soustava rovnic má dvě řešení a proto řešení rovnice (6) jsou a

3. Rovnice formuláře

Rovnice

(8) kde čísla α, β, γ, δ a Α jsou taková, že α

Příklad 4: Řešte rovnici

Řešení. Udělejme změnu neznámých, tj. y=x+3 nebo x = y – 3. Pak lze rovnici (9) přepsat jako

(y-2)(y-1)(y+1)(y+2)=10, tj. ve tvaru

(y2-4)(y2-1)=10(10)

Bikvadratická rovnice (10) má dva kořeny. Rovnice (9) má tedy také dva kořeny:

4. Rovnice formuláře

Rovnice, (11)

Kde x = 0 nemá kořen, proto vydělením rovnice (11) x2 získáme ekvivalentní rovnici

Která se po nahrazení neznámé přepíše do podoby kvadratické rovnice, jejíž řešení není složité.

Příklad 5: Řešte rovnici

Řešení. Protože h = 0 není kořen rovnice (12), vydělíme ji x2, získáme ekvivalentní rovnici

Tím, že náhradu neznámou, dostaneme rovnici (y+1)(y+2)=2, která má dva kořeny: y1 = 0 a y1 = -3. V důsledku toho je původní rovnice (12) ekvivalentní soustavě rovnic

Tato množina má dva kořeny: x1= -1 a x2 = -2.

Odpověď: x1= -1, x2 = -2.

Komentář. Rovnice formuláře

Což lze vždy redukovat na tvar (11) a navíc uvažovat α > 0 a λ > 0 na tvar.

5. Rovnice tvaru

Rovnice

,(13) kde čísla α, β, γ, δ a Α jsou taková, že αβ = γδ ≠ 0, lze přepsat vynásobením první závorky druhou a třetí závorky čtvrtou, ve tvaru tj. rovnice (13) je nyní zapsána ve tvaru (11) a její řešení lze provést stejným způsobem jako řešení rovnice (11).

Příklad 6: Řešte rovnici

Řešení. Rovnice (14) má tvar (13), proto ji přepíšeme do tvaru

Protože x = 0 není řešením této rovnice, pak vydělením obou stran x2 získáme ekvivalentní původní rovnici. Provedením změny proměnných získáme kvadratickou rovnici, jejímž řešením je a. V důsledku toho je původní rovnice (14) ekvivalentní soustavě rovnic a.

Řešením první rovnice této množiny je

Druhá rovnice této množiny řešení nemá řešení. Takže původní rovnice má kořeny x1 a x2.

6. Rovnice tvaru

Rovnice

(15) kde čísla a, b, c, q, A jsou taková, že x = 0 nemá kořen, proto rovnici (15) rozdělíme x2. získáme ekvivalentní rovnici, která se po nahrazení neznámé přepíše do podoby kvadratické rovnice, jejíž řešení není obtížné.

Příklad 7. Řešení rovnice

Řešení. Protože x = 0 není kořenem rovnice (16), vydělíme obě strany x2, dostaneme rovnici

, (17) ekvivalentní rovnici (16). Po nahrazení neznámou přepíšeme rovnici (17) do tvaru

Kvadratická rovnice (18) má 2 kořeny: y1 = 1 a y2 = -1. Rovnice (17) je tedy ekvivalentní soustavě rovnic a (19)

Sada rovnic (19) má 4 kořeny: ,.

Budou kořeny rovnice (16).

§4. Racionální rovnice

Rovnice ve tvaru = 0, kde H(x) a Q(x) jsou polynomy, se nazývají racionální.

Po nalezení kořenů rovnice H(x) = 0 je třeba zkontrolovat, které z nich nejsou kořeny rovnice Q(x) = 0. Tyto kořeny a pouze ony budou řešením rovnice.

Podívejme se na některé metody řešení rovnic ve tvaru = 0.

1. Rovnice tvaru

Rovnice

(1) za určitých podmínek lze čísla řešit následovně. Seskupením členů rovnice (1) dvěma a sečtením každé dvojice je nutné získat v čitateli polynomy prvního nebo nultého stupně, lišící se pouze v číselných faktorech, a ve jmenovatelích - trinomy se stejnými dvěma členy obsahující x, pak po nahrazení proměnných bude mít výsledná rovnice buď tvar (1), ale s menším počtem členů, nebo bude ekvivalentní soustavě dvou rovnic, z nichž jedna bude prvního stupně a druhá bude rovnice typu (1), ale s menším počtem členů.

Příklad. Vyřešte rovnici

Řešení. Když jsme na levé straně rovnice (2) seskupili první člen s posledním a druhý s předposledním, přepíšeme rovnici (2) ve tvaru

Sečtením členů v každé závorce přepíšeme rovnici (3) do tvaru

Protože neexistuje žádné řešení rovnice (4), pak vydělením této rovnice dostaneme rovnici

, (5) ekvivalentní rovnici (4). Udělejme náhradu za neznámou, pak se rovnice (5) přepíše do tvaru

Řešení rovnice (2) s pěti členy na levé straně je tedy redukováno na řešení rovnice (6) stejného tvaru, ale se třemi členy na levé straně. Sečteme-li všechny členy na levé straně rovnice (6), přepíšeme ji do tvaru

Existují řešení rovnice. Žádné z těchto čísel nezmizí jmenovatel racionální funkce na levé straně rovnice (7). V důsledku toho má rovnice (7) tyto dva kořeny, a proto původní rovnice (2) je ekvivalentní soustavě rovnic

Řešení první rovnice této množiny jsou

Řešení druhé rovnice z této množiny jsou

Proto má původní rovnice kořeny

2. Rovnice formuláře

Rovnice

(8) za určitých podmínek na číslech lze řešit následovně: je nutné vybrat celočíselnou část v každém ze zlomků rovnice, tj. nahradit rovnici (8) rovnicí

Zmenšete jej na tvar (1) a poté jej vyřešte způsobem popsaným v předchozím odstavci.

Příklad. Vyřešte rovnici

Řešení. Rovnici (9) zapišme ve tvaru nebo ve tvaru

Sečtením členů v závorkách přepíšeme rovnici (10) do tvaru

Nahrazením neznámé přepíšeme rovnici (11) do tvaru

Sečteme-li členy na levé straně rovnice (12), přepíšeme ji do tvaru

Je snadné vidět, že rovnice (13) má dva kořeny: a. Proto má původní rovnice (9) čtyři kořeny:

3) Rovnice formuláře.

Rovnici tvaru (14) lze za určitých podmínek pro čísla řešit následovně: rozšířením (pokud je to samozřejmě možné) každý ze zlomků na levé straně rovnice (14) na součet nejjednodušší zlomky

Redukujte rovnici (14) na (1) a poté, co jste provedli vhodné přeskupení členů výsledné rovnice, vyřešte ji pomocí metody popsané v odstavci 1).

Příklad. Vyřešte rovnici

Řešení. Protože a pak vynásobením čitatele každého zlomku v rovnici (15) 2 a poznámkou, že rovnici (15) lze zapsat jako

Rovnice (16) má tvar (7). Po přeskupení členů v této rovnici ji přepíšeme do tvaru nebo do tvaru

Rovnice (17) je ekvivalentní soustavě rovnic a

K vyřešení druhé rovnice množiny (18) provedeme náhradu za neznámou Poté se přepíše do tvaru nebo do tvaru

Sečtěte všechny členy na levé straně rovnice (19) a přepište ji do tvaru

Protože rovnice nemá kořeny, nemá je ani rovnice (20).

První rovnice množiny (18) má jediný kořen Protože je tento kořen obsažen v ODZ druhé rovnice množiny (18), je jediným kořenem množiny (18), a tedy původní rovnicí. .

4. Rovnice formuláře

Rovnice

(21) za určitých podmínek lze čísla a A po zastoupení každého pojmu na levé straně ve tvaru zredukovat na tvar (1).

Příklad. Vyřešte rovnici

Řešení. Přepišme rovnici (22) ve tvaru nebo ve tvaru

Rovnice (23) je tedy redukována na tvar (1). Nyní, když seskupíme první člen s posledním a druhý s třetím, přepíšeme rovnici (23) ve tvaru

Tato rovnice je ekvivalentní soustavě rovnic a. (24)

Poslední rovnici množiny (24) lze přepsat jako

Tato rovnice má řešení a jelikož je zahrnuta v ODZ druhé rovnice množiny (30), má množina (24) tři kořeny:. Všechny jsou řešením původní rovnice.

5. Rovnice tvaru.

Formulářová rovnice (25)

Za určitých podmínek na číslech lze nahrazením neznámé zredukovat na rovnici tvaru

Příklad. Vyřešte rovnici

Řešení. Protože se nejedná o řešení rovnice (26), vydělíme čitatel a jmenovatel každého zlomku na levé straně číslem, přepíšeme jej do tvaru

Po změně proměnných přepíšeme rovnici (27) do tvaru

Řešení rovnice (28) existuje a. Rovnice (27) je tedy ekvivalentní soustavě rovnic a. (29)

„Metody řešení rovnic vyšších stupňů“

( Kiselevova čtení)

Učitelka matematiky Afanasyeva L.A.

Střední škola MKOU Verkhnekarachskaya

Gribanovský okres, Voroněžská oblast

2015

Matematické vzdělání získal v r střední škola, je podstatná součást všeobecné vzdělání a obecná kultura moderního člověka.

Slavný německý matematik Courant napsal: „Více než dvě tisíciletí bylo nutné mít nějaké, nepříliš povrchní znalosti v oblasti matematiky. nedílnou součástí do intelektuálního inventáře každého vzdělaný člověk" A mezi těmito znalostmi není žádné poslední místo patří ke schopnosti řešit rovnice.

Již v dávných dobách si lidé uvědomovali, jak důležité je naučit se řešit algebraické rovnice. Asi před 4000 lety věděli babylonští vědci, jak řešit kvadratickou rovnici a řešili soustavy dvou rovnic, z nichž jedna byla druhého stupně. Pomocí rovnic byly řešeny různé problémy zeměměřictví, architektury a vojenských záležitostí byly na ně redukovány mnohé a rozmanité otázky praxe a přírodních věd, protože přesný jazyk matematiky umožňuje jednoduše vyjádřit fakta a vztahy, které když; vyjádřeno v běžném jazyce se může zdát matoucí a složité. Rovnice je jedním z nejdůležitějších pojmů v matematice. Vývoj metod pro řešení rovnic, počínaje zrodem matematiky jako vědy, dlouho byla hlavním předmětem algebry. A dnes v hodinách matematiky, počínaje prvním stupněm vzdělávání, řešení rovnic různé typy je věnována velká pozornost.

Univerzální vzorec pro hledání kořenů algebraické rovnice n-tého stupně neexistuje. Mnozí samozřejmě měli lákavou myšlenku najít jakýkoli titul n vzorce, které by vyjadřovaly kořeny rovnice prostřednictvím jejích koeficientů, tedy řešily by rovnici v radikálech. Ukázalo se však, že „temný středověk“ byl ve vztahu k diskutovanému problému tak ponurý, jak jen to bylo možné - celých sedm století nikdo nenašel požadované vzorce! Teprve v 16. století se italským matematikům podařilo postoupit dále – najít vzorce pro n =3 A n =4 . Otázkou obecného řešení rovnic 3. stupně se přitom zabývali Scipio Dal Ferro, jeho žák Fiori a Tartaglia. V roce 1545 vyšla kniha italského matematika D Cardana „Velké umění nebo o pravidlech algebry“, kde se vedle dalších otázek algebry zvažují obecné metody řešení kubických rovnic a také metoda řešení. rovnice 4. stupně, které objevil jeho žák L. Ferrari. Kompletní prezentaci problematiky související s řešením rovnic 3. až 4. stupně přednesl F. Viet. A ve 20. letech 19. století norský matematik N. Abel dokázal, že kořeny rovnic 5. a vyšších stupňů nelze vyjádřit pomocí radikálů.

Proces hledání řešení rovnice obvykle zahrnuje nahrazení rovnice ekvivalentní. Nahrazení rovnice ekvivalentní je založeno na použití čtyř axiomů:

1. Pokud se stejné hodnoty zvýší o stejné číslo, výsledky budou stejné.

2. Pokud odečtete stejné číslo od stejných množství, výsledky budou stejné.

3. Pokud se stejné hodnoty vynásobí stejným číslem, budou výsledky stejné.

4. Pokud jsou stejná množství dělena stejným číslem, budou výsledky stejné.

Od levá strana rovnice P(x) = 0 je polynom n-tého stupně, je užitečné si připomenout následující tvrzení:

Výroky o kořenech polynomu a jeho dělitelích:

1. Polynom n-tý stupně má počet kořenů nepřesahujících n a kořeny násobnosti m se vyskytují přesně mkrát.

2. Polynom lichého stupně má alespoň jeden skutečný kořen.

3. Je-li α kořenem P(x), pak P n (x) = (x - α) Q n - 1 (x), kde Q n - 1 (x) je polynom stupně (n - 1).

4. Každý celočíselný kořen polynomu s celočíselnými koeficienty je dělitelem volného členu.

5. Redukovaný polynom s celočíselnými koeficienty nemůže mít zlomkové racionální kořeny.

6. Pro polynom třetího stupně

P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d je možná jedna ze dvou věcí: buď se rozloží na součin tří binomů

P 3 (x) = a (x - α)(x - β)(x - γ), nebo se rozkládá na součin dvojčlenu a čtvercového trinomu P 3 (x) = a(x - α)(x 2 + βx + γ).

7. Jakýkoli polynom čtvrtého stupně může být rozšířen na součin dvou čtvercových trinomů.

8. Polynom f (x) je dělitelný polynomem g(x) beze zbytku, pokud existuje polynom q(x) takový, že f(x) = g(x) q(x). Pro dělení polynomů se používá pravidlo „rohového dělení“.

9. Aby byl polynom P(x) dělitelný binomem (x – c), je nutné a postačující, aby c bylo kořenem P(x) (důsledek Bezoutovy věty).

10. Vietův teorém: Jestliže x 1, x 2, ..., x n jsou reálné kořeny polynomu

P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, pak platí následující rovnosti:

x 1 + x 2 + … + x n = -a 1 /a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n = a 2 /a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n = -a 3 /a 0,

x 1 x 2 x 3 x n = (-1) n a n/a 0 .

Řešení příkladů

Příklad 1 . Najděte zbytek dělení P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 krát (x – 1/3).

Řešení. Podle důsledků Bezoutovy věty: "Zbytek polynomu dělený binomem (x - c) se rovná hodnotě polynomu c." Najděte P(1/3) = 0. Zbytek je tedy 0 a číslo 1/3 je kořenem polynomu.

Odpověď: R = 0.

Příklad 2 . Rozdělte „rohem“ 2x 3 + 3x 2 – 2x + 3 x (x + 2). Najděte zbytek a neúplný kvocient.

Řešení:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

X 2 – 2x

X 2 – 2x

Odpověď: R = 3; podíl: 2x 2 – x.

Základní metody řešení rovnic vyšších stupňů

1. Zavedení nové proměnné

Metoda zavedení nové proměnné spočívá v tom, že k vyřešení rovnice f(x) = 0 se zavede nová proměnná (substituce) t = x n nebo t = g(x) a f(x) se vyjádří pomocí t, čímž se získá a nová rovnice r(t) . Při řešení rovnice r(t) jsou nalezeny kořeny: (t 1, t 2, ..., t n). Poté se získá množina n rovnic q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n, ze kterých se najdou kořeny původní rovnice.

Příklad;(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.

Řešení: (x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 – 3 (x 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Substituce (x 2 + x + 1) = t.

t2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Opačná substituce:

x 2 + x + 1 = 2 nebo x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 nebo x 2 + x = 0;

Z první rovnice: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2, z druhé: 0 a -1.

Při řešení se používá metoda zavedení nové proměnné vratné rovnice, tedy rovnice tvaru a 0 x n + a 1 x n – 1 + .. + a n – 1 x + a n =0, ve kterých jsou koeficienty členů rovnice rovnoměrně rozmístěny od začátku a konce, jsou si rovni.

2. Faktorizace pomocí seskupovacích a zkrácených vzorců násobení

Warp tato metoda sestává ze seskupení pojmů tak, že každá skupina obsahuje společný faktor. K tomu je někdy nutné použít nějaké umělé techniky.

Příklad: x 4 – 3 x 2 + 4 x – 3 = 0.

Řešení. Představte si - 3x 2 = -2x 2 - x 2 a skupina:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.

(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(x 2 – 1 – x + 2) (x 2 – 1 + x – 2) = 0.

(x 2 – x + 1) (x 2 + x – 3) = 0.

x 2 – x + 1 = 0 nebo x 2 + x – 3 = 0.

V první rovnici nejsou žádné kořeny, z druhé: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Faktorizace metodou neurčitých koeficientů

Podstatou metody je, že původní polynom je faktorizován neznámými koeficienty. Pomocí vlastnosti, že polynomy jsou si rovny, pokud jsou jejich koeficienty stejné při stejných mocninách, jsou nalezeny neznámé expanzní koeficienty.

Příklad: x 3 + 4 x 2 + 5 x + 2 = 0.

Řešení. Polynom stupně 3 lze rozšířit na součin lineárních a kvadratických faktorů.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a)x 2 + (c – ab)x – ak.

Po vyřešení systému:

dostaneme

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Kořeny rovnice (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 0 lze snadno najít.

Odpověď: -1; -2.

4. Metoda výběru kořene pomocí nejvyššího a volného koeficientu

Metoda je založena na aplikaci teorémů:

1) Každý celočíselný kořen polynomu s celočíselnými koeficienty je dělitelem volného členu.

2) Aby ireducibilní zlomek p/q (p - celé číslo, q - přirozený) byl kořenem rovnice s celočíselnými koeficienty, je nutné, aby číslo p bylo celočíselným dělitelem volného členu a 0, a q - přirozený dělitel vedoucího koeficientu.

Příklad: 6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

Řešení:

2: p = ±1, ±2

6: q = 1, 2, 3, 6.

Proto p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Po nalezení jednoho kořene, například – 2, najdeme další kořeny pomocí rohového dělení, metody neurčitých koeficientů nebo Hornerova schématu.

Odpověď: -2; 1/2; 1/3.

5. Grafická metoda.

Tato metoda spočívá v konstrukci grafů a využití vlastností funkcí.

Příklad: x 5 + x – 2 = 0

Představme si rovnici ve tvaru x 5 = - x + 2. Funkce y = x 5 je rostoucí a funkce y = - x + 2 klesající. To znamená, že rovnice x 5 + x – 2 = 0 má jediný kořen -1.

6.Násobení rovnice funkcí.

Někdy je řešení algebraické rovnice výrazně jednodušší, pokud obě strany vynásobíte určitou funkcí – polynomem v neznámé. Zároveň si musíme pamatovat, že je možné, že se mohou objevit další kořeny – kořeny polynomu, kterým byla rovnice vynásobena. Musíte tedy buď vynásobit polynomem, který nemá kořeny, a získat ekvivalentní rovnici, nebo vynásobit polynomem, který má kořeny, a pak každý z těchto kořenů dosadit do původní rovnice a určit, zda je toto číslo jejím kořenem.

Příklad. Řešte rovnici:

X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1 = 0. (1)

Řešení: Vynásobením obou stran rovnice polynomem X 2 + 1, který nemá kořeny, dostaneme rovnici:

(X 2 +1) (X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1) = 0 (2)
ekvivalentní rovnici (1). Rovnici (2) lze napsat takto:

X 10 + 1 = 0 (3)
Je jasné, že rovnice (3) nemá reálné kořeny, takže rovnice (1) je nemá.

Odpověď: žádná řešení.

Kromě výše uvedených metod řešení rovnic vyšších stupňů existují i ​​další. Například zvýraznění celého čtverce, Hornerovo schéma, představující zlomek jako dva zlomky. Z běžné metodyřešení rovnic vyšších stupňů, které se vyskytují nejčastěji, využívají: metodu faktorizace levé strany rovnice;

metoda nahrazení proměnné (metoda zavedení nové proměnné); grafická metoda. S těmito metodami seznamujeme žáky 9. ročníku při studiu tématu „Celá rovnice a její kořeny“. V učebnici Algebra 9 (autoři Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. a další) posledních letech Publikace dostatečně podrobně pojednává o základních metodách řešení rovnic vyšších stupňů. Kromě toho je v sekci „Pro ty, kteří chtějí vědět více“ podle mého názoru v přístupné přístupné verzi uveden materiál o aplikaci vět o kořeni polynomu a celých kořenech celé rovnice při řešení rovnic vyšších stupňů. způsob. Dobře připravení studenti tuto látku se zájmem prostudují a vyřešené rovnice pak prezentují svým spolužákům.

Téměř vše, co nás obklopuje, je do té či oné míry spojeno s matematikou. A úspěchy ve fyzice, technice a informačních technologiích to jen potvrzují. A co je velmi důležité, je, že řešení mnoha praktických problémů vede k řešení různých typů rovnic, které se musíte naučit řešit.