Goniometrické funkce. Vlastnosti sinus, kosinus, tangens a kotangens úhlu

Myslím, že si zasloužíš víc než tohle. Zde je můj klíč k trigonometrii:

• Nakreslete kopuli, stěnu a strop
• Goniometrické funkce nejsou nic jiného než procenta těchto tří forem.

Metafora pro sinus a kosinus: kupole

Místo toho, abyste se dívali na samotné trojúhelníky, představte si je v akci tak, že nějaké najdete speciální příklad ze života.

Představte si, že jste uprostřed kupole a chcete pověsit plátno filmového projektoru. Ukážete prstem na kopuli pod určitým úhlem „x“ a obrazovka by měla být zavěšena z tohoto bodu.

Úhel, na který ukážete, určuje:

• sine(x) = sin(x) = výška obrazovky (od podlahy k montážnímu bodu kopule)
• cosine(x) = cos(x) = vzdálenost od vás k obrazovce (podle podlahy)
• přepona, vzdálenost od vás k horní části obrazovky, vždy stejná, rovna poloměru kopule

Chcete, aby byla obrazovka co největší? Pověste ho přímo nad sebe.

Chcete, aby obrazovka visela co nejdále od vás? Zavěste ji rovně kolmo. Obrazovka bude mít v této poloze nulovou výšku a bude viset nejdále, jak jste požadovali.

Výška a vzdálenost od obrazovky jsou nepřímo úměrné: čím blíže obrazovka visí, tím větší je její výška.

Sinus a kosinus jsou procenta

Nikdo mi během let studia bohužel nevysvětlil, že goniometrické funkce sinus a kosinus nejsou nic jiného než procenta. Jejich hodnoty se pohybují od +100 % do 0 až -100 % nebo od kladného maxima k nule až po záporné maximum.

Řekněme, že jsem zaplatil daň 14 rublů. Nevíš kolik to je. Ale když řeknete, že jsem zaplatil 95% na dani, pochopíte, že jsem byl prostě ošizený.

Absolutní výška nic neznamená. Ale pokud je sinusová hodnota 0,95, pak chápu, že TV visí téměř na vrcholu vaší kopule. Velmi brzy dosáhne maximální výška ve středu kopule, a pak začne znovu klesat.

Jak můžeme vypočítat toto procento? Je to velmi jednoduché: vydělte aktuální výšku obrazovky maximální možnou hodnotou (poloměr kopule, nazývaný také přepona).

Protoříká se nám, že „kosinus = opačná strana / přepona“. Jde o to získat zájem! Nejlepší je definovat sinus jako „procento aktuální výšky z maximální možné“. (Sinus se stane záporným, pokud váš úhel směřuje „pod zem“. Kosinus se stane záporným, pokud úhel směřuje ke kopuli za vámi.)

Zjednodušme výpočty za předpokladu, že jsme ve středu jednotkové kružnice (poloměr = 1). Můžeme dělení přeskočit a vzít si sinus rovný výšce.

Každý kruh je v podstatě jednotka, zvětšená nebo zmenšená na správnou velikost. Určete tedy spojení jednotkových kruhů a aplikujte výsledky na vaši konkrétní velikost kruhu.

Experiment: Vezměte libovolný roh a podívejte se, jaké procento výšky k šířce se zobrazí:

Graf růstu hodnoty sinus není jen přímka. Prvních 45 stupňů pokrývá 70 % výšky, ale posledních 10 stupňů (od 80° do 90°) pokrývá pouze 2 %.

To vám bude jasnější: pokud jdete v kruhu, při 0° stoupáte téměř kolmo, ale jak se přibližujete k vrcholu kopule, výška se mění stále méně.

Tečna a sečna. Zeď

Jednoho dne soused postavil zeď těsně vedle sebe do vaší kopule. Plakal tvůj pohled z okna a dobrá cena k dalšímu prodeji!

Je ale možné v této situaci nějak vyhrát?

Samozřejmě ano. Co kdybychom sousedovi pověsili filmové plátno přímo na zeď? Zaměříte se na úhel (x) a získáte:

• tan(x) = tan(x) = výška obrazovky na stěně
• vzdálenost od vás ke zdi: 1 (toto je poloměr vaší kopule, zeď se od vás nikam nepohybuje, že?)
• secant(x) = sec(x) = „délka žebříku“ od vás stojícího uprostřed kupole k horní části zavěšené zástěny

Ujasněme si několik bodů týkajících se tečny neboli výšky obrazovky.

• začíná na 0 a může jít nekonečně vysoko. Obrazovku můžete na zdi natahovat výš a výš a vytvořit tak nekonečné plátno pro sledování vašeho oblíbeného filmu! (Za tak obrovskou budete samozřejmě muset utratit spoustu peněz).
• tangens je jen zvětšená verze sinus! A zatímco nárůst sinusu se zpomaluje, když se pohybujete směrem k vrcholu kopule, tečna stále roste!

Sekansu se má také čím chlubit:

• Sezení začíná od 1 (žebřík je na podlaze, od vás ke zdi) a začíná stoupat odtud
• Sečna je vždy delší než tečna. Šikmý žebřík, který používáte k zavěšení obrazovky, by měl být delší než samotná obrazovka, že? (U nereálných velikostí, kdy je zástěna táááák dlouhá a žebřík je potřeba umístit téměř svisle, jsou jejich velikosti téměř stejné. Ale i tak bude sečna trochu delší).

Pamatujte, hodnoty jsou procent. Pokud se rozhodnete zavěsit obrazovku pod úhlem 50 stupňů, tan(50)=1,19. Vaše obrazovka je o 19 % větší než vzdálenost ke zdi (poloměr kopule).

(Zadejte x=0 a zkontrolujte svou intuici - tan(0) = 0 a sec(0) = 1.)

Kotangens a kosekans. Strop

Je neuvěřitelné, že se váš soused nyní rozhodl postavit střechu nad vaší kupolí. (Co je s ním? Zřejmě nechce, abyste ho špehovali, když se bude procházet nahý po dvoře...)

No, je čas postavit východ na střechu a promluvit si se sousedem. Vyberete si úhel sklonu a zahájíte stavbu:

• vertikální vzdálenost mezi střešním výstupem a podlahou je vždy 1 (poloměr kopule)
• kotangens(x) = cot(x) = vzdálenost mezi horní částí kopule a výstupním bodem
• cosecant(x) = csc(x) = délka vaší cesty na střechu

Tečna a sečna popisují stěnu a COtangensa a COsecanta strop.

Naše intuitivní závěry jsou tentokrát podobné těm předchozím:

• Pokud vezmete úhel rovný 0°, váš výstup na střechu bude trvat navždy, protože nikdy nedosáhne stropu. Problém.
• Nejkratší „žebřík“ ke střeše získáte, pokud jej postavíte pod úhlem 90 stupňů k podlaze. Kotangensa bude rovna 0 (po střeše se vůbec neposouváme, vycházíme přísně kolmo) a kosekanta bude rovna 1 („délka žebříku“ bude minimální).

Vizualizujte spojení

Pokud jsou všechny tři případy nakresleny v kombinaci kupole-stěna-strop, bude výsledek následující:

No, je to stále stejný trojúhelník, zvětšený, aby dosáhl na stěnu a strop. Máme vertikální strany (sinus, tečna), vodorovné strany (kosinus, kotangens) a „hypotenusy“ (sekans, kosekans). (Pomocí šipek můžete vidět, kam jednotlivé prvky dosahují. Kosekans je celková vzdálenost od vás ke střeše).

Trochu magie. Všechny trojúhelníky mají stejnou rovnost:

Z Pythagorovy věty (a 2 + b 2 = c 2) vidíme, jak jsou spojeny strany každého trojúhelníku. Kromě toho by poměry „výšky k šířce“ měly být stejné pro všechny trojúhelníky. (Stačí přejít z největšího trojúhelníku na menší. Ano, velikost se změnila, ale proporce stran zůstanou stejné).

Když víme, která strana v každém trojúhelníku je rovna 1 (poloměr kopule), můžeme snadno vypočítat, že „sin/cos = tan/1“.

Vždy jsem se snažil zapamatovat si tato fakta pomocí jednoduché vizualizace. Na obrázku jasně vidíte tyto závislosti a chápete, odkud pocházejí. Tato technika je mnohem lepší než memorování suchých vzorců.

Nezapomeňte na další úhly

Psst... Nezůstávejte u jednoho grafu a nemyslete si, že tečna je vždy menší než 1. Pokud úhel zvětšíte, můžete dosáhnout stropu, aniž byste dosáhli na zeď:

Pythagorejská spojení vždy fungují, ale relativní velikosti se mohou lišit.

(Možná jste si všimli, že sinusové a kosinové poměry jsou vždy nejmenší, protože jsou obsaženy v kopuli).

Abych to shrnul: co si musíme zapamatovat?

Pro většinu z nás bych řekl, že to bude stačit:

• trigonometrie vysvětluje anatomii matematické objekty, jako jsou kruhy a opakující se intervaly
• Analogie kupole/stěna/střecha ukazuje vztah mezi různými trigonometrickými funkcemi
• výsledek goniometrické funkce jsou procenta, která aplikujeme na náš skript.

Nemusíte se učit nazpaměť vzorce jako 1 2 + postýlka 2 = csc 2 . Jsou vhodné pouze pro hloupé testy, ve kterých je znalost faktu vydávána za pochopení. Udělejte si minutu a nakreslete půlkruh v podobě kopule, stěny a střechy, označte prvky a všechny vzorce vám přijdou na papír.

Aplikace: Inverzní funkce

Jakákoli goniometrická funkce bere úhel jako vstupní parametr a vrací výsledek jako procento. sin(30) = 0,5. To znamená, že úhel 30 stupňů zabírá 50 % maximální výšky.

Inverzní goniometrická funkce se zapisuje jako sin -1 nebo arcsin. Asin je také často napsán v různých programovacích jazycích.

Pokud je naše výška 25 % výšky kopule, jaký je náš úhel?

V naší tabulce proporcí můžete najít poměr, kde je sečna dělena 1. Například sečna o 1 (hypotenza vůči horizontále) bude rovna 1 dělené kosinusem:

Řekněme, že naše sečna je 3,5, tzn. 350 % poloměru jednotkové kružnice. Jakému úhlu sklonu ke stěně tato hodnota odpovídá?

Dodatek: Několik příkladů

Nudný úkol. Pojďme zkomplikovat banální „najít sinus“ na „Jaká je výška jako procento maxima (hypotenuze)?

Nejprve si všimněte, že trojúhelník je otočený. Na tom není nic špatného. Trojúhelník má i výšku, na obrázku je vyznačena zeleně.

Čemu se rovná přepona? Podle Pythagorovy věty víme, že:

3 2 + 4 2 = přepona 2 25 = přepona 2 5 = přepona

Dobře! Sinus je procento výšky z nejdelší strany trojúhelníku nebo přepony. V našem příkladu je sinus 3/5 nebo 0,60.

Samozřejmě můžeme jít několika způsoby. Nyní víme, že sinus je 0,60, můžeme jednoduše najít arkussinus:

Asin(0,6) = 36,9

Zde je další přístup. Všimněte si, že trojúhelník je „čelem ke zdi“, takže místo sinusu můžeme použít tečnu. Výška je 3, vzdálenost ke zdi je 4, takže tečna je ¾ nebo 75 %. Arkustangens můžeme použít k přechodu z procentuální hodnoty zpět na úhel:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Příklad: Doplaveš ke břehu?

Jste na lodi a máte dostatek paliva na cestu 2 km. Nyní jste 0,25 km od pobřeží. V jakém maximálním úhlu ke břehu k němu můžete doplavat, abyste měli dostatek paliva? Dodatek k problému: máme pouze tabulku hodnot arkus cosinus.

co máme? Pobřeží lze v našem známém trojúhelníku znázornit jako „zeď“ a „délka žebříku“ připevněného ke zdi je maximální možná vzdálenost, kterou lze překonat lodí ke břehu (2 km). Objeví se secant.

Nejprve musíte přejít na procenta. Máme 2 / 0,25 = 8, to znamená, že můžeme uplavat vzdálenost, která je 8násobkem přímé vzdálenosti ke břehu (nebo ke zdi).

Vyvstává otázka: "Co je sekans 8?" Ale nemůžeme na to odpovědět, protože máme pouze arcus cosinus.

Používáme naše dříve odvozené závislosti k tomu, abychom sečnu spojili s kosinusem: „sec/1 = 1/cos“

Sekans 8 se rovná kosinu ⅛. Úhel, jehož kosinus je ⅛, se rovná acos(1/8) = 82,8. A to je největší úhel, který si na lodi s uvedeným množstvím paliva můžeme dovolit.

Není to špatné, že? Bez analogie kupole-stěna-strop bych se ztratil ve spoustě vzorců a výpočtů. Vizualizace problému značně zjednodušuje hledání řešení a také je zajímavé sledovat, která goniometrická funkce nakonec pomůže.

U každého problému přemýšlejte takto: Zajímá mě kupole (sin/cos), stěna (tan/sec) nebo strop (postýlka/csc)?

A trigonometrie bude mnohem příjemnější. Snadné výpočty pro vás!

Nebudu se vás snažit přesvědčit, abyste nepsali cheaty. Napsat! Včetně cheatů na trigonometrii. Později plánuji vysvětlit, proč jsou cheaty potřeba a proč jsou cheaty užitečné. A zde jsou informace o tom, jak se neučit, ale zapamatovat si některé trigonometrické vzorce. Takže - trigonometrie bez cheat sheetu K zapamatování používáme asociace!

1. Sčítací vzorce:

Kosiny vždy „přicházejí v párech“: kosinus-kosinus, sinus-sinus. A ještě jedna věc: kosiny jsou „neadekvátní“. „Všechno není v pořádku“ pro ně, a tak změní znaménka: „-“ na „+“ a naopak.

Sinusy - "mix": sinus-kosinus, kosinus-sinus.

2. Vzorce součtů a rozdílů:

kosiny vždy „přicházejí v párech“. Přidáním dvou kosinus - „koloboků“, získáme dvojici kosinus – „koloboků“. A odečtením rozhodně nezískáme žádné koloboky. Dostáváme pár sinů. Také s mínusem dopředu.

Sinusy - "mix" :

3. Vzorce pro převod součinu na součet a rozdíl.

Kdy získáme kosinusový pár? Když přidáme kosiny. Proto

Kdy dostaneme pár sinů? Při odečítání kosinů. Odtud:

„Míchání“ se získá jak při sčítání, tak při odečítání sinů. Co je zábavnější: sčítání nebo odečítání? Přesně tak, sklopte. A pro vzorec berou dodatek:

V prvním a třetím vzorci je součet v závorce. Přeskupení míst termínů nemění součet. Pořadí je důležité pouze u druhého vzorce. Ale abychom nebyli zmateni, pro snadné zapamatování ve všech třech vzorcích v prvních závorkách bereme rozdíl

a za druhé - částka

Cheat sheets v kapse vám dá klid: pokud zapomenete vzorec, můžete si ho zkopírovat. A dodají vám jistotu: pokud se vám nepodaří použít cheat sheet, můžete si vzorce snadno zapamatovat.

Umožňuje stanovit řadu charakteristických výsledků - vlastnosti sinus, kosinus, tangens a kotangens. V tomto článku se podíváme na tři hlavní vlastnosti. První z nich označuje znaménka sinus, kosinus, tečna a kotangens úhlu α v závislosti na úhlu, jehož souřadnicová čtvrtina je α. Dále budeme uvažovat o vlastnosti periodicity, která určuje neměnnost hodnot sinus, kosinus, tangens a kotangens úhlu α, když se tento úhel změní o celý počet otáček. Třetí vlastnost vyjadřuje vztah mezi hodnotami sinus, kosinus, tangens a kotangens opačných úhlů α a −α.

Pokud vás zajímají vlastnosti funkcí sinus, kosinus, tangens a kotangens, pak si je můžete prostudovat v odpovídající sekci článku.

Navigace na stránce.

Značky sinus, kosinus, tečna a kotangens po čtvrtinách

Níže v tomto odstavci se objeví fráze „úhel I, II, III a IV souřadnicové čtvrtiny“. Pojďme si vysvětlit, co to jsou úhly.

Vezmeme jednotkovou kružnici, označíme na ní počáteční bod A(1, 0) a otočíme kolem bodu O o úhel α a budeme předpokládat, že se dostaneme do bodu A 1 (x, y).

To říkají úhel α je úhel souřadnicového kvadrantu I, II, III, IV, pokud bod A 1 leží v I, II, III, IV čtvrtletí, v tomto pořadí; je-li úhel α takový, že bod A 1 leží na některé ze souřadnic Ox nebo Oy, pak tento úhel nepatří do žádné ze čtyř čtvrtin.

Pro názornost je zde grafické znázornění. Níže uvedené výkresy znázorňují úhly rotace 30, -210, 585 a -45 stupňů, což jsou úhly I, II, III a IV souřadnicových čtvrtí.

Úhly 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … stupně nepatří do žádné ze souřadnicových čtvrtí.

Nyní pojďme zjistit, jaká znaménka mají hodnoty sinus, kosinus, tangens a kotangens úhlu natočení α, v závislosti na tom, který čtvrtinový úhel je α.

Pro sinus a kosinus je to snadné.

Podle definice je sinus úhlu α pořadnicí bodu A1. Je zřejmé, že v I. a II. čtvrtletí je kladná a ve III. a IV. čtvrtletí záporná. Sinus úhlu α má tedy znaménko plus v 1. a 2. čtvrtině a znaménko mínus ve 3. a 6. čtvrtině.

Kosinus úhlu α je zase úsečkou bodu A1. V I. a IV. čtvrtletí je kladná a ve II. a III. čtvrtletí je záporná. V důsledku toho jsou hodnoty kosinu úhlu α ve čtvrtích I a IV kladné a ve čtvrtích II a III jsou záporné.

Chcete-li určit znaménka podle čtvrtin tečny a kotangens, musíte si zapamatovat jejich definice: tečna je poměr úsečky bodu A 1 k úsečce a kotangensa je poměr úsečky bodu A 1 k úsečce. Potom od pravidla pro dělení čísel se stejným a různá znamení z toho vyplývá, že tečna a kotangensa mají znaménko plus, když jsou znaménka úsečky a pořadnice bodu A 1 stejné, a mají znaménko mínus, když jsou znaménka úsečky a pořadnice bodu A 1 různé. V důsledku toho má tečna a kotangens úhlu znaménko + ve čtvrtích souřadnic I a III a znaménko mínus ve čtvrtích II a IV.

Skutečně například v první čtvrtině jsou jak úsečka x, tak y y bodu A 1 kladné, pak jak podíl x/y, tak podíl y/x jsou kladné, proto tečna a kotangens mají znaménka +. A ve druhé čtvrtině je úsečka x záporná a pořadnice y kladná, takže x/y i y/x jsou záporné, takže tečna a kotangens mají znaménko mínus.

Pojďme k na následující nemovitost sinus, kosinus, tangens a kotangens.

Vlastnost periodicity

Nyní se podíváme na možná nejzřetelnější vlastnost sinus, kosinus, tangens a kotangens úhlu. Je to takto: když se úhel změní o celý počet plných otáček, hodnoty sinusu, kosinu, tečny a kotangens tohoto úhlu se nemění.

To je pochopitelné: když se úhel změní o celý počet otáček, vždy se dostaneme z počátečního bodu A do bodu A 1 na jednotkové kružnici, takže hodnoty sinus, kosinus, tangens a kotangens zůstanou nezměněny, protože souřadnice bodu A 1 se nemění.

Pomocí vzorců lze uvažovanou vlastnost sinus, kosinus, tangens a kotangens zapsat takto: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα, ctg(α+2·π·z)=ctgα, kde α je úhel natočení v radiánech, z je libovolný, jehož absolutní hodnota udává počet plných otáček, o které úhel α se mění a znaménko čísla z označuje směr otáčení.

Pokud je úhel natočení α zadán ve stupních, pak uvedené vzorce budou přepsány jako sin(α+360° z)=sinα, cos(α+360° z)=cosα, tg(α+360° z)=tgα , ctg(a+360°·z)=ctga.

Uveďme příklady použití této vlastnosti. Například, , protože , A . Zde je další příklad: nebo .

Tato vlastnost se spolu s redukčními vzorci velmi často používá při výpočtu hodnot sinus, kosinus, tangens a kotangens „velkých“ úhlů.

Uvažovaná vlastnost sinus, kosinus, tangens a kotangens se někdy nazývá vlastnost periodicity.

Vlastnosti sinů, kosinů, tečen a kotangens opačných úhlů

Nechť A 1 je bod získaný otočením počátečního bodu A(1, 0) kolem bodu O o úhel α a bod A 2 je výsledek otočení bodu A o úhel −α, opačný k úhlu α.

Vlastnost sinů, kosinů, tečen a kotangens opačných úhlů je založena na celkem zřejmé skutečnosti: výše uvedené body A 1 a A 2 se buď shodují (at), nebo jsou umístěny symetricky vzhledem k ose Ox. To znamená, že pokud má bod A 1 souřadnice (x, y), pak bod A 2 bude mít souřadnice (x, −y). Odtud pomocí definic sinus, kosinus, tangens a kotangens zapíšeme rovnosti a .
Jejich porovnáním dojdeme ke vztahům mezi sinusem, kosinusem, tangens a kotangens opačných úhlů α a −α formy.
Toto je vlastnost posuzovaná ve formě vzorců.

Uveďme příklady použití této vlastnosti. Například rovnost a .

Zbývá pouze poznamenat, že vlastnost sinů, kosinus, tečen a kotangens opačných úhlů, stejně jako předchozí vlastnost, se často používá při výpočtu hodnot sinus, kosinus, tangens a kotangens a umožňuje vám zcela vyhnout se záporným úhly.

Reference.

• Algebra: Učebnice pro 9. třídu. prům. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teljakovskij - M.: Vzdělávání, 1990. - 272 s.: ill
• Algebra a začátek analýzy: Proc. pro 10-11 ročníků. všeobecné vzdělání instituce / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn a další; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. vyd. - M.: Vzdělávání, 2004. - 384 s.: ill.
• Bašmakov M.I. Algebra a počátky analýzy: Učebnice. pro 10-11 ročníků. prům. škola - 3. vyd. - M.: Vzdělávání, 1993. - 351 s.: nemoc. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (příručka pro studenty technických škol): Proc. příspěvek.- M.; Vyšší škola, 1984.-351 s., ill.

Pojmy sinus, kosinus, tangens a kotangens jsou hlavní kategorie trigonometrie, odvětví matematiky, a jsou nerozlučně spjaty s definicí úhlu. Vlastnictví tohoto matematická věda vyžaduje zapamatování a porozumění vzorcům a teorémům a také rozvinuté prostorové myšlení. To je důvod, proč trigonometrické výpočty často způsobují potíže školákům a studentům. Chcete-li je překonat, měli byste se lépe seznámit s goniometrickými funkcemi a vzorci.

Pojmy v trigonometrii

Abyste pochopili základní pojmy trigonometrie, musíte nejprve pochopit, co je pravoúhlý trojúhelník a úhel v kruhu a proč jsou s nimi spojeny všechny základní trigonometrické výpočty. Trojúhelník, ve kterém jeden z úhlů měří 90 stupňů, je obdélníkový. Historicky byla tato postava často používána lidmi v architektuře, navigaci, umění a astronomii. V souladu s tím, studiem a analýzou vlastností tohoto obrázku, lidé dospěli k výpočtu odpovídajících poměrů jeho parametrů.

Hlavní kategorie spojené s pravoúhlými trojúhelníky jsou přepona a nohy. Přepona - protější strana trojúhelníku pravý úhel. Nohy jsou zbývající dvě strany. Součet úhlů libovolných trojúhelníků je vždy 180 stupňů.

Sférická trigonometrie je úsek trigonometrie, který se ve škole nestuduje, ale v aplikovaných vědách, jako je astronomie a geodézie, ji vědci používají. Zvláštností trojúhelníku ve sférické trigonometrii je, že má vždy součet úhlů větší než 180 stupňů.

Úhly trojúhelníku

V pravoúhlém trojúhelníku je sinus úhlu poměr nohy opačné k požadovanému úhlu k přeponě trojúhelníku. V souladu s tím je kosinus poměr sousední větve a přepony. Obě tyto hodnoty mají vždy velikost menší než jedna, protože přepona je vždy delší než noha.

Tangenta úhlu je hodnota rovna poměru protilehlé strany k sousední straně požadovaného úhlu nebo sinusu ke kosinusu. Kotangens je zase poměr přilehlé strany požadovaného úhlu k opačné straně. Kotangens úhlu lze také získat vydělením jedničky hodnotou tečny.

Jednotkový kruh

Jednotková kružnice v geometrii je kružnice, jejíž poloměr je roven jedné. Taková kružnice je sestrojena v kartézském souřadnicovém systému se středem kružnice shodným s počátečním bodem a počáteční poloha vektoru poloměru je určena podél kladného směru osy X (osa úsečky). Každý bod na kružnici má dvě souřadnice: XX a YY, tedy souřadnice úsečky a pořadnice. Výběrem libovolného bodu na kružnici v rovině XX a puštěním kolmice z ní na osu úsečky získáme pravoúhlý trojúhelník tvořený poloměrem k vybranému bodu (označený písmenem C), kolmici nakreslenou k ose X (průsečík je označen písmenem G) a úsečka osy úsečky je mezi počátkem souřadnic (bod je označen písmenem A) a průsečíkem G. Výsledný trojúhelník ACG je pravoúhlý trojúhelník vepsaný do kruh, kde AG je přepona a AC a GC jsou nohy. Úhel mezi poloměrem kružnice AC a segmentem osy úsečky s označením AG je definován jako α (alfa). Takže cos α = AG/AC. Vzhledem k tomu, že AC je poloměr jednotkové kružnice a je roven jedné, ukáže se, že cos α=AG. Stejně tak hřích α=CG.

Navíc, pokud znáte tato data, můžete určit souřadnici bodu C na kružnici, protože cos α=AG a sin α=CG, což znamená, že bod C má dané souřadnice (cos α;sin α). Když víme, že tečna je rovna poměru sinusu ke kosinu, můžeme určit, že tan α = y/x a cot α = x/y. Zohledněním úhlů v záporném souřadnicovém systému můžete vypočítat, že hodnoty sinus a kosinus některých úhlů mohou být záporné.

Výpočty a základní vzorce

Hodnoty goniometrické funkce

Po zvážení podstaty goniometrických funkcí prostřednictvím jednotkového kruhu můžeme odvodit hodnoty těchto funkcí pro některé úhly. Hodnoty jsou uvedeny v tabulce níže.

Nejjednodušší goniometrické identity

Rovnice, ve kterých je pod znaménkem goniometrické funkce neznámá hodnota, se nazývají goniometrické. Totožnosti s hodnotou sin x = α, k - libovolné celé číslo:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. hřích x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, žádná řešení.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Totožnosti s hodnotou cos x = a, kde k je libovolné celé číslo:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, žádná řešení.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

Totožnosti s hodnotou tg x = a, kde k je libovolné celé číslo:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk.

Totožnosti s hodnotou ctg x = a, kde k je libovolné celé číslo:

1. postýlka x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Redukční vzorce

Tato kategorie konstantních vzorců označuje metody, pomocí kterých můžete přejít od goniometrických funkcí tvaru k funkcím argumentu, to znamená snížit sinus, kosinus, tangens a kotangens úhlu libovolné hodnoty na odpovídající indikátory úhlu úhlu. interval od 0 do 90 stupňů pro snadnější výpočet.

Vzorce pro redukční funkce pro sinus úhlu vypadají takto:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Pro kosinus úhlu:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + a) = -cos a;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Použití výše uvedených vzorců je možné při dodržení dvou pravidel. Za prvé, pokud lze úhel reprezentovat jako hodnotu (π/2 ± a) nebo (3π/2 ± a), hodnota funkce se změní:

• od hříchu k cos;
• od cos k hříchu;
• od tg do ctg;
• z ctg do tg.

Hodnota funkce zůstane nezměněna, jestliže úhel může být reprezentován jako (π ± a) nebo (2π ± a).

Za druhé, znaménko redukované funkce se nemění: pokud bylo původně kladné, tak to zůstane. To samé s negativními funkcemi.

Sčítací vzorce

Tyto vzorce vyjadřují hodnoty sinus, kosinus, tangens a kotangens součtu a rozdílu dvou úhlů rotace prostřednictvím jejich goniometrických funkcí. Typicky jsou úhly označovány jako α a β.

Vzorce vypadají takto:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Tyto vzorce jsou platné pro libovolné úhly α a β.

Vzorce dvojitého a trojitého úhlu

Goniometrické vzorce dvojitého a trojitého úhlu jsou vzorce, které vztahují funkce úhlů 2α a 3α k goniometrickým funkcím úhlu α. Odvozeno ze sčítacích vzorců:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Přechod od součtu k produktu

Uvážíme-li, že 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), zjednodušením tohoto vzorce získáme identitu sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Podobně sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Přechod od produktu k součtu

Tyto vzorce vyplývají z identit přechodu součtu na součin:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Vzorce pro snížení stupně

V těchto identitách lze druhé mocniny a kubické mocniny sinus a kosinus vyjádřit jako sinus a kosinus první mocniny vícenásobného úhlu:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 a = (1 + cos2a)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Univerzální substituce

Vzorce pro univerzální goniometrickou substituci vyjadřují goniometrické funkce pomocí tangens polovičního úhlu.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), kde x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), kde x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), kde x = π + 2πn;
• postýlka x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), přičemž x = π + 2πn.

Zvláštní případy

Zvláštní případy prvoků goniometrické rovnice jsou uvedeny níže (k je libovolné celé číslo).

Podíly pro sinus:

Podíl pro kosinus:

Podíl pro tečnu:

Podíl pro kotangens:

Věty

Věta o sinech

Existují dvě verze věty – jednoduchá a rozšířená. Jednoduchá sinová věta: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. V tomto případě jsou a, b, c strany trojúhelníku a α, β, γ jsou opačné úhly.

Rozšířená sinusová věta pro libovolný trojúhelník: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. V této identitě R označuje poloměr kružnice, do které je daný trojúhelník vepsán.

Kosinová věta

Identita je zobrazena následovně: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Ve vzorci jsou a, b, c strany trojúhelníku a α je úhel opačný ke straně a.

Věta tečny

Vzorec vyjadřuje vztah mezi tečnami dvou úhlů a délkou protilehlých stran. Strany jsou označeny a, b, c a odpovídající opačné úhly jsou α, β, γ. Vzorec teorému tečny: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Kotangensová věta

Spojuje poloměr kružnice vepsané do trojúhelníku s délkou jeho stran. Jsou-li a, b, c strany trojúhelníku a A, B, C úhly proti nim, r je poloměr vepsané kružnice a p je poloobvod trojúhelníku, platí následující identity jsou platné:

• postýlka A/2 = (p-a)/r;
• postýlka B/2 = (p-b)/r;
• dětská postýlka C/2 = (p-c)/r.

Aplikace

Trigonometrie - nejen teoretická věda spojené s matematickými vzorci. Jeho vlastnosti, věty a pravidla využívají v praxi různá odvětví lidské činnosti – astronomie, letecká a námořní navigace, hudební nauka, geodézie, chemie, akustika, optika, elektronika, architektura, ekonomie, strojírenství, měřicí práce, počítačová grafika, kartografie, oceánografie a mnoho dalších.

Sinus, kosinus, tangens a kotangens jsou základními pojmy trigonometrie, s jejichž pomocí lze matematicky vyjádřit vztahy mezi úhly a délkami stran v trojúhelníku a pomocí identit, vět a pravidel najít požadované veličiny.

Trigonometrie jako věda vznikla na starověkém východě. První trigonometrické poměry byly odvozeny astronomy, aby vytvořili přesný kalendář a orientaci podle hvězd. Tyto výpočty se týkaly sférické trigonometrie, přičemž ve školním kurzu studují poměr stran a úhlů rovinného trojúhelníku.

Trigonometrie je odvětví matematiky, které se zabývá vlastnostmi goniometrických funkcí a vztahy mezi stranami a úhly trojúhelníků.

V době rozkvětu kultury a vědy v 1. tisíciletí našeho letopočtu se znalosti rozšířily ze starověkého východu do Řecka. Ale hlavní objevy trigonometrie jsou zásluhou mužů arabského chalífátu. Zejména turkmenský vědec al-Marazwi zavedl funkce jako tangens a kotangens a sestavil první tabulky hodnot pro sinus, tangens a kotangens. Pojmy sinus a kosinus zavedli indičtí vědci. Trigonometrii se dostalo velké pozornosti v dílech tak velkých postav starověku jako Euklides, Archimedes a Eratosthenes.

Základní veličiny trigonometrie

Základní goniometrické funkce numerického argumentu jsou sinus, kosinus, tangens a kotangens. Každý z nich má svůj vlastní graf: sinus, kosinus, tangens a kotangens.

Vzorce pro výpočet hodnot těchto veličin jsou založeny na Pythagorově větě. Školákům je známější ve formulaci: „Pythagorejské kalhoty jsou si ve všech směrech stejné“, protože důkaz je uveden na příkladu rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku.

Sinus, kosinus a další závislosti vytvářejí vztah mezi ostré rohy a strany libovolného pravoúhlého trojúhelníku. Uveďme vzorce pro výpočet těchto veličin pro úhel A a nasledujme vztahy mezi goniometrickými funkcemi:

Jak vidíte, tg a ctg jsou inverzní funkce. Představíme-li si větev a jako součin sinu A a přepony c a větev b jako cos A * c, dostaneme pro tečnu a kotangens následující vzorce:

Trigonometrický kruh

Graficky lze vztah mezi zmíněnými veličinami znázornit takto:

Kruh v tomto případě představuje všechny možné hodnoty úhlu α - od 0° do 360°. Jak je vidět z obrázku, každá funkce nabývá záporné nebo kladné hodnoty v závislosti na úhlu. Například sin α bude mít znaménko „+“, pokud α patří do 1. a 2. čtvrtiny kruhu, to znamená, že je v rozsahu od 0° do 180°. Pro α od 180° do 360° (III a IV čtvrtiny) může být sin α pouze záporná hodnota.

Zkusme sestavit trigonometrické tabulky pro konkrétní úhly a zjistit význam veličin.

Hodnoty α rovné 30°, 45°, 60°, 90°, 180° a tak dále se nazývají speciální případy. Hodnoty goniometrických funkcí pro ně jsou vypočteny a prezentovány ve formě speciálních tabulek.

Tyto úhly nebyly zvoleny náhodně. Označení π v tabulkách je pro radiány. Rad je úhel, pod kterým délka oblouku kružnice odpovídá jejímu poloměru. Tato hodnota byla zavedena za účelem stanovení univerzální závislosti při výpočtu v radiánech nezáleží na skutečné délce poloměru v cm.

Úhly v tabulkách pro goniometrické funkce odpovídají hodnotám radiánů:

Není tedy těžké uhodnout, že 2π je úplný kruh nebo 360°.

Vlastnosti goniometrických funkcí: sinus a kosinus

Aby bylo možné zvážit a porovnat základní vlastnosti sinus a kosinus, tangens a kotangens, je nutné nakreslit jejich funkce. To lze provést ve formě křivky umístěné ve dvourozměrném souřadnicovém systému.

Zvažte srovnávací tabulku vlastností pro sinus a kosinus:

Určení, zda je funkce sudá či nikoli, je velmi jednoduché. Stačí si představit trigonometrický kruh se znaky goniometrických veličin a mentálně „složit“ graf vzhledem k ose OX. Pokud se znaménka shodují, je funkce sudá, jinak je lichá.

Zavedení radiánů a výčet základních vlastností sinusových a kosinusových vln nám umožňuje představit následující vzorec:

Je velmi snadné ověřit, zda je vzorec správný. Například pro x = π/2 je sinus 1, stejně jako kosinus x = 0. Kontrolu lze provést pomocí tabulek nebo sledováním funkčních křivek pro dané hodnoty.

Vlastnosti tangensoidů a kotangensoidů

Grafy funkcí tangens a kotangens se výrazně liší od funkcí sinus a cosinus. Hodnoty tg a ctg jsou vzájemně reciproční.

1. Y = tan x.
2. Tečna má tendenci k hodnotám y v x = π/2 + πk, ale nikdy jich nedosáhne.
3. Nejmenší kladná perioda tečny je π.
4. Tg (- x) = - tg x, tj. funkce je lichá.
5. Tg x = 0, pro x = πk.
6. Funkce se zvyšuje.
7. Tg x › 0, pro x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, pro x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivát (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Uvažujme grafický obrázek kotangentoidy níže v textu.

Hlavní vlastnosti kotangentoidů:

1. Y = dětská postýlka x.
2. Na rozdíl od funkcí sinus a kosinus může v tangencioidu Y nabývat hodnot množiny všech reálných čísel.
3. Kotangentoid má tendenci k hodnotám y v x = πk, ale nikdy jich nedosáhne.
4. Nejmenší kladná perioda kotangentoidu je π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, tj. funkce je lichá.
6. Ctg x = 0, pro x = π/2 + πk.
7. Funkce se snižuje.
8. Ctg x › 0, pro x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, pro x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivace (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Správně